广东省阳江市双捷中学高一数学理上学期期末试卷含解析

广东省阳江市双捷中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
函数的最小正周期是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
2. 若 0＜a＜1，b＞1，则三个数M=a b，N=log b a，P=b a的大小关系是（）
A．M＜N＜P B．N＜M＜P C．P＜M＜N D．P＜N＜M
参考答案：
B
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据0＜a＜1，b＞1，利用对数的性质推出N=log b a的范围，利用指数函数确定P=b a，M=a b 的范围，然后确定选项．
【解答】解：由于 0＜a＜1，b＞1，N=log b a＜0；
P=b a＞1；M=a b∈（0，1）
所以N＜M＜P
故选B．
3. 已知，，c=，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，，c==，
，
y=5x是增函数，
∴a＞c＞b．
故选：C．
4. 将函数的图象的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再向右平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）
A B.
C. D.
参考答案：
B
5. 已知偶函数在区间[0，4]上是增函数，则和的大小关系
是（）
A. B. C. D. 无法确定
参考答案：
C
略
6. 如图中阴影部分的面积S是h的函数（其中0≤h≤H），则该函数的大致图象为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用排除法求解．首先确定当时，阴影部分面积为0，排除A与B，又由当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C，从而得到答案D．
【详解】解：∵当时，对应阴影部分的面积为0，
∴排除A与B；
∵当时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半，
且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，
∴排除C．
从而得到答案D．
故选：D．
【点睛】此题考查了函数问题的实际应用．注意排除法在解选择题中的应用，还要注意数形结合思想的应用．
7. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．f（x）的一个对称中心为(，0)
B．f（x）的图象关于直线x=﹣π对称
C．f（x）在[﹣π，﹣]上是增函数
D．f（x）的周期为
参考答案：
A 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A=3，==﹣，∴ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，
∴y=3sin（2x+）．
显然，它的周期为=π，故排除D；
当x=时，函数y=f（x）=3sin（2x+）=0，故函数的图象关于点对称，故A正确．
当时，f（x）=，不是最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除B；
在上，2x+∈[﹣，﹣]，y=3sin（2x+）不是增函数，故排除C，
故选：A．
8. 若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则( )
A．函数f[g（x）]是奇函数B．函数g[f（x）]是奇函数
C．函数f（x）?g（x）是奇函数D．函数f（x）+g（x）是奇函数
参考答案：
C
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题．
【分析】令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），然后检验h（﹣x）与h（x）的关系即可判断
【解答】解：令h（x）=f（x）．g（x）
∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）
∴h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）．g（x）=﹣h（x）
∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数
故选C
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题
9. 为了得到函数的图像，只需将的图像（ ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
参考答案： C 10. 三个数
的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
参考答案： A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知则
____ .
参考答案：
12. 已知
，则
______．
参考答案：
【分析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】因为
，则
．
【点睛】本题主要考查应用诱导公式对三角函数式化简求值。

13. 幂函数y =f (x )的图像经过点(，2)，则f (x )=__________。

参考答案：
解析：设f (x )=x k ，∴
，∴=，∴。

14. .已知圆C 1：与圆C 2：相外切，则ab 的最大值为
_______.
参考答案：
【分析】
根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值．
【详解】由已知，
圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1．
∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切， ∴|C 1C 2|=
=r 1+r 2=3
要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，
由基本不等式，得 ．
故答案为
．
【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题． 15. 在△ABC 中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积S= ．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可．
【解答】解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA
即49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×（﹣），
即AC|2+5×|AC|﹣24=0解得|AC|=3
故△ABC的面积S=×5×3×sin120°=
故应填
16. 半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度
参考答案：
17. 已知函数f(x)满足，则f(x)的解析式为________ 参考答案：
【分析】
由已知可得f（）2f（x），联立两式消去f（），解方程组可得．【详解】∵
∴f（）2f（x），
联立两式消去f（），
可得f（x）=
故答案为f（x）=【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （21）（本小题满分12分）如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
参考答案：
证明（1）连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N为PC中点，
∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN=PC.
∴AN=BN，
∴△ABN为等腰三角形，
又M为底边的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.
∵四边形ABCD为矩形.
∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M为AB的中点，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
略
19. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，当x=时，f（x）取得最大值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的单调区间．
参考答案：
【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得ω、再根据最大值求得φ，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得它的单调区间．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ+）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ+）．
根据当x=时，f（x）=sin（2?+φ+）=，∴φ+=2kπ+，k∈Z，∴取φ=，
∴f（x）=sin（2x+）．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为，k∈Z；同理求得函数的减区间为，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值、以及它的单调性，属于基础题．20. (本小题满分14分)
(1)已知tan=3，计算
(2)若。

参考答案：
（1）原式===10 ....7分（2）解：由题可知：①
② .....3分
①+②得：cosαcosβ=，①-②得：sinαsinβ=....2分所以
tanαtanβ= ....2分
21. 从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图1的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，.
（1）求图1中a 的值；
（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S .
参考答案：
解：（1）由频率直方图可知，
解得
；
（2）根据程序框图
，
， ，，
，
所以输出的；
22. （本小题满分12分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，
，且B 为钝角.
（1）证明：； （2）求的取值范围.
参考答案：。