北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量复习
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
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3.1.5
向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} {a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
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二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
a
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
P
a
B A
O7Βιβλιοθήκη 二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
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2.共面向量定理:如果两个向量
北师大版高中数学选修2-1第 二章《空间向量与立体几何》
空间向量复习
1 法门高中姚连省制作
3.1.1空间向量的运算
B
b
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 2 关结论仍适用于它们。
类比思想
数形结合思想
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二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
2 | a | a a a12 a22 a32 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
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终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 起点坐标
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3
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三、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
a ∥b a=kb; 线面平行：l ∥α a⊥u u=0; a· 面面平行：α∥β ∥v u u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α ∥ u a=ku; a 面面垂直：α ⊥ β ⊥ v u v=0. u·
（a b) c a (b c)
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向量数量积的应用
1、应用 a b a b 0 可证明两直线垂直，
2 2 2、利用 a a 可求线段的长度。
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3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
25 （回到图形问题）
如果 a ⊥，那么向量 a 叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
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1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证： （1）FC1//平面ADE （2）平面ADE//平面B1C1F
证明：如图1所示建立空间直角 坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、 A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以 FC1 (0,2,1) DA ( 2,0,0) AE (0,2,1)
注意：
证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 存在唯一实数对 x , y , 使得MP xMA yMB （ ） OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1) 10
取y=1，则 n1 (0,1,2)
同理可求
（1）
n1 FC1
n2 (0,1,2)
n1 FC1 (0,1,2) (0,2,1) 0
，又FC1
平面ADE，
FC1 //
平面ADE
（2）
n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F
2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
注：可用于证明三个向量共面
B b M a A
p
A
a ,b
条件是存在实数对x, y 使P xa yb
P
O
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推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有OP OM xMA yMB
A B
e
A1
B1
l
注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， AB 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代 AB 表在l上射影的长度。
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4)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) a e a cos a, e 2) a b a b 0 3) a a a
线线平行：l∥m
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3.2.3利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D
A
B
D1
结论： cos
| cos CD, AB |
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题型二：线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A n 直线AB与平面α所成 的角θ可看成是向量与 B O 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
a （2）当 cos a , b 1 时， 与
思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
时，的夹角在什么范围内？
B( x2 , y2 , z2 ) ，则
（2）空间两点间的距离公式
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 | AB | ABAB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行 向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a b
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可 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 用 于 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的 证 明 方向向量. 点 共 假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。 线
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。 2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
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3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a
O A
a
B
b
b
范围： a, b 在这个规定下，两个向 0 量的夹角就 被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
设 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ，n2 ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是 平面ADE、平面B1C1F的法向量，则， DA n AE ， n
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n 1 DA 2 x 0 x 0 n 1 AE 2 y z 0 z 2 y
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
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立体几何中的向 量方法
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1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
如果 a, b
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： b a
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2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
2016-2017学年北师大版高中数学选修2-1课件：第二章
②两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ③向量的数量积的性质(e是单位向量) ⅰ)a·e＝|a|cos〈a，e〉；ⅱ)a⊥b⇔a·b＝0； ⅲ)|a|2＝a·a＝a2；ⅳ)|a·b|≤|a||b|. ④向量的数量积满足如下运算律： ⅰ)(λa·b＝λ(a·b)；ⅱ)a·b＝b·a(交换律)； ⅲ)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
2．平行与垂直关系的证明 (1)利用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直 线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可 以用向量方法来研究．具体情况如下： ①设a，b是两条不重合的直线，它们的方向向量 分别为a，b，那么a∥b⇔a∥b.根据实数与向量积 的定义：a∥b⇔a＝kb(k∈R，k≠0)． ②平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量 平行：设两个不重合的平面α，β的法向量分别为 a，b，那么α∥β⇔a∥b.
③直线与平面平行 ⅰ)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直： 设直 线 l 在平面 α 外，a 是 l 的一个方向向量，b 是平面 α 的一个法向量， 那么 l∥α⇔a⊥b⇔a· b＝0.a∥平面 α⇔表示以 a 为方向向量的直线与 α 平行或平面 α 内，因此也可用向量证明线面平行．
ⅱ)已知直线 a⊄α，A，B∈a，C，D∈α，且 C、D、 E 三点不共线，则 a∥α 的充要条件是存在有序实 → → → → → 数对 λ、μ 使AB＝λCD＋μCE.(常先设AB＝λCD＋ → μCE，再求解 λ，μ 的值．若 λ，μ 存在即证毕；若 λ，μ 不存在，则直线 AB 与平面相交)
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一 → 点 P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝ → → → xOA＋yOB＋zOC. (2)两个向量的数量积(与平面向量基本相同) ①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任 → → 取一点 O，作．通常规定 0≤〈a，b〉≤π.若〈a， π b〉＝ ，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b. 2
高二选修2-1北师大版：第二章_空间向量与立体几何_§2_空间向量的运算(一)_word版有答案
§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一 空间向量的加减法及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二 空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一 空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二 共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三 空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A解析 如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B解析 连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →， 又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 0解析 连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0， 解得λ＝－1，μ＝3.。
北师大版高中数学选修2-1教案：第二章空间向量与立体几何复习与小结(1)
uuur uuur uuuur 对（ x，y），使 MA xMB yMC ．
uuur uuuur uuur uuur 对于空间任一定点 O，有 OP OM xMA yMB ．对于空间任一定点 O， P、 M、 A、B 四点共面的充分必要
uuur uuuur uuur uuur 条 件是 OP xOM yOA zOB ，其中 x y z 1。
uuur r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
在 l 上取 AB a ，则 OP OA t AB 或 OP (1 t )OA tOB ． O是空间任一点， A、 B、 C 三点共线的充要
uuur 条件是 OA
uuur xOB
uuur yOC ，其中 x +
y = 1 ．特别地，当
uuur uuur uuur uuur OP xOA yOB zOC 。
P，都存在唯一的有序实数组
x、 y、z ，使
1/ 3
rr r r
rr
a b a b cos a,b
4、空间向量的数 量积：
空间向量的数量积的性质：①
rr ae
r a cos
rr a,e
r ②a
r b
rr ab 0
rr
r 2 r r r 2 cos a,b
uuur r
aecsin uAuuBr nr
所成角为 arc
AB n
uuur 的一个法向量， AB 是平面
的斜线 l 的一个方向向量， 则直线 l 与平面
2/ 3
3、二面角的求法：① AB、 C D 分别是二面角
l
的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小为
uuur uuur AB, CD ；
高二数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何复习(北师大版)精选教学PPT课件
3 3 a.
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如图 2－5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截 面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点 C 到平面 AEC1F 的距离．
图 2－5
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【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0,0)，
图 2－6
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【思路点拨】 建立适当的坐标系，设出 M 点的坐标， 由点到平面的距离的向量公式列方程，若方程有解可求 M 点 坐标，无解则不存在 M.
【规范解答】 根据图形的结构特点，可建立如图空间 直角坐标系．
则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
平面 EDB．
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(2)依题意得 B(a，a,0)，P→B＝(a，a，－a)，又D→E＝(0，a2， a2)，故P→B·D→E＝0＋a22－a22＝0，所以 PB⊥DE.
由已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E，所以 PB⊥平面 EFD．
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如图 2－2，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC， 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，且 OA＝OP，OP⊥平面 ABC.
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如图 2－3，在空间直角坐标系中，已知 E，F 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点，求：
(1)A1D 与 EF 所成角的大小； (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的正弦值； (3)平面 CD1B1 与平面 D1B1B 夹角的余弦值．
图 2－3
－34a2 ＝－
22a×
6 2a
3 2.
选修2-1第二章空间向量与立体几何章末复习课
1．空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．2．两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．4．空间向量的分解定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．题型一 空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．例1 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________． 答案 ③④解析 容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.跟踪训练1 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 以A 为坐标原点，AC 、AB 、AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →＝(－1,0,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 的夹角为π2.题型二 利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下． 1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a ⊥b ⇔a·b ＝0. 3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量． 4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．例2 如图，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1. 求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .证明 如图，以C 1为原点，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)， AB 1→＝(－2,2，－2)， 因此BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， 因此BC 1→⊥AB 1→， 故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)， 所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)， 所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1， 又DE 平面CA 1D ，BC 1 平面CA 1D ， 故BC 1∥平面CA 1D .跟踪训练2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz . 设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→， DE →＝(1,1，12)，D 1F →＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1→＝0，n ·D 1F →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 题型三 利用空间向量求空间角 1．求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线的夹角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉， ∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 2．求面面的夹角如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面α、β的夹角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 3．求斜线与平面的夹角如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.例3 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 与AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC ＝BC . (1)求证：AM ⊥平面EBC ； (2)求直线AB 与平面EBC 的夹角； (3)求平面EAB 与平面EBC 的夹角． (1)证明 ∵四边形ACDE 是正方形，∴EA ⊥AC ，∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC .∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以AC 和AE 所在直线为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)． ∵M 是正方形ACDE 的对角线的交点， ∴M (0,1,1)．∵AM →＝(0,1,1)，EC →＝(0,2，－2)， CB →＝(2,0,0)，∴AM →·EC →＝0，AM →·CB →＝0. ∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB .又∵EC ∩CB ＝C ，AM 平面EBC ，∴AM ⊥平面EBC . (2)解 ∵AM ⊥平面EBC ， ∴AM →为平面EBC 的一个法向量． ∵AM →＝(0,1,1)，AB →＝(2,2,0)， ∴cos 〈AB →，AM →〉＝AB →·AM →|AB →|·|AM →|＝12.∴〈AB →，AM →〉＝60°.∴直线AB 与平面EBC 的夹角为30°.(3)解 设平面EAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥AE →且n ⊥AB →，∴n ·AE →＝0且n ·AB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ (0，0，2)·(x ，y ，z )＝0，(2，2，0)·(x ，y ，z )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0.取y ＝－1，∴x ＝1.∴n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)， ∴cos 〈n ，AM →〉＝n ·AM →|n |·|AM →|＝－12.设平面EAB 与平面EBC 的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，AM →〉|＝12，∴θ＝60°.∴平面EAB 与平面EBC 的夹角60°.跟踪训练3 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求平面A 1CD 与平面C 1CD 夹角的余弦值． 解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝5.(2)方法一 如图，取A 1B 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1. 又由(1)知CD ⊥平面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1， 所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因为A 1D 为A 1C 在平面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，易得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余， 因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.方法二 如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2，0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )． 由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，解得h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)， DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0.取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)， 设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝22＋1·1＝63. 所以平面A 1CD 与平面C 1CD 夹角的余弦值为63. [呈重点、现规律]空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路，我们可以通过建立合理的空间直角坐标系，直接利用空间向量的坐标运算进行求解，这也是空间几何体数字化的一个特征．。
数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)
§2空间向量的运算(二)学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．1．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)2．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)3．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)4．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1—→；(2)BF →·AB 1—→；(3)EF →·FC 1—→. 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1—→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1—→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.类型二 利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系为___________________________________________________．(填“平行”“垂直”) 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 垂直解析 ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD → ＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0， ∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 设A 1B 1——→＝a ，A 1D 1——→＝b ，A 1A —→＝c ， 则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O —→＝A 1A —→＋AO →＝A 1A —→＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12a ＋12b －12c ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O —→⊥BD →，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O —→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ?平面GBD ，BD ?平面CBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三 利用数量积解决空间角或两点间的距离问题 命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC 所成角的余弦值． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉 ＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.反思与感悟 求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求解解 不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， A 1B —→＝a －c ，AC →＝a ＋b . ∴A 1B —→·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1， 而|A 1B —→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B —→，AC →〉＝12×2＝12， ∵〈A 1B —→，AC →〉∈[0°，180°]， ∴〈A 1B —→，AC →〉＝60°.又异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c . 由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1—→＋A 1F —→ ＝－12AB →＋AA 1—→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可． 跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→， 所以AC →21＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA →21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1—→＋AD →·AA 1—→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC →21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1—→|2， 所以|AC 1—→|2＝23，则|AC 1—→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列说法正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B解析 结合向量的运算，只有B 正确．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则“c ·a ＝0且c ·b ＝0”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B解析 若a ∥b ，则不一定得到l ⊥α，反之成立．3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61D ．61考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 C解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61， ∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝3π4.5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．一、选择题1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是() A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能考点空间向量数量积的概念与性质题点数量积的性质答案 A解析由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于() A．30°B．45°C．60°D．90°考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案 B解析根据a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝22×2＝22，又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°，故选B.3．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B4．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，得|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 为等腰三角形．5．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14B.14C ．4D ．2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B解析 ∵|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14， ∴|a －2b ＋3c |＝14.6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1—→·B 1C → B.BD 1—→·AC →C.AB →·AD 1—→D.BD 1—→·BC →考点 空间向量数量积的概念及性质题点 数量积的性质答案 D解析 选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时BD 1→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1→＝0，故选D.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点 空间向量数量积的概念及性质题点 数量积的性质答案 B解析 ①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选B.二、填空题8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用答案 a 2解析 如图，A 1B →＝AB →－AA 1→，B 1C →＝BC →－BB 1→＝AD →－AA 1→，∴A 1B →·B 1C →＝(AB →－AA 1→)·(AD →－AA 1→)＝AB →·AD →－AB →·AA 1→－AA 1→·AD →＋|AA 1→|2＝0－0－0＋a 2＝a 2.9．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为________．考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用答案 －310解析 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×⎝⎛⎭⎫－22＝－15， 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310. 10．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12， 再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，求得cos 〈a ，b 〉＝18. 11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长答案 13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴|a ＋3b |＝13.三、解答题12．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ， A ′D —→＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D —→＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D —→，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010， 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 13．等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝P A →·PB →，则实数λ的值为________．考点 空间向量数量积的概念及性质题点 空间向量数量积定义答案 1－22解析 如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos A ，P A →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2， 解得λ＝1－22⎝⎛⎭⎫λ＝1＋22舍. 四、探究与拓展14．已知BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB 1A 1，平行四边形BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，则异面直线BA 1与AC 所成的角为________．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角答案 60°解析 如图所示，∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →.∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2.∴BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→||AC →|cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a＝－12. 又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0°，180°]，∴〈BA 1→，AC →〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.。
北师大版数学选修2-1教案：第二章+空间向量与立体几何+复习与小结(1)
科目：数学 教师： 授课时间：第 周 星期 年 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任一点在直线l 上的充要条a 叫做直线OA t AB =+或)OP t OA tOB =+OA xOB yOC =+，其中x + y = 1．特别地，当2t =时，P 为推论：空间一点位于平面，P 、M 、A 、B 四点共面的充分yOA zOB +，其中1x y z ++=。
、如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任一向量，其中{a b c 、、}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
cos a b a b ⋅=⋅空间向量的数量积的性质：① cos ,a e a a e ⋅=<>2a cos ,ab a b a b⋅<>=⋅空间向量的数量积的运算律：①)()a b a b λ⋅=⋅（结合律）、向量的直角坐标运算：设a =123112233(,,)//,a a a a a a a b a b a b a b b a b a b a b a b λλ=⋅=+++=+++⇔==⊥⇔111(,,)A x y z ，则((2cos AB x y y a b =+-<⋅（二）基本方法列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量线面角的求法：设n 是平面AB n⋅② 设12,n n 12n n ⋅（或其补角）的大小。
AB n n⋅。
作 课本 56精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.(28张ppt)
D1
AB 1 B 1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
(3)
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 28张pp t)【精 品】
ACAB1 AD1 xAC1
C B
18
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.(28张ppt)【精品】 求满足下列各式的x的值。
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
5
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
10
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
11
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
高中数学选修2-1北师大版 空间向量与立体几何复习与小结参考教案1
空间向量与立体几何复习与小结教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．1、空间向量及其运算：重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。
难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。
理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。
（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。
难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。
（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。
由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。
（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。
难点：向量坐标的确定、公式的应用。
2、空间向量的应用重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。
（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。
难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。
（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。
难点：斜线与平面所成的角的求解，公式12cos cos cos θθθ=⋅的灵活运用。
北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π 3．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．34．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．625．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭6．下列命题中是真命题的是( ) A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD7．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D ．228．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．39．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）A ．25B ．35+C ．45+D ．422+ 10．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A 3λB ．22C 2λD 511．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33312．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A ．33B ．66C ．217D ．213二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P AB R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．已知空间直角坐标系中点()123p ，，，()321Q ，，，则||PQ =__________． 15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，6AC ，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．16．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.17．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．18．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为_____.19．正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则1AD 与平面11BB D 所成角的正弦值为__________．20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，90ACB ∠=，2AC BC ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为棱PC 上一点；（1）求直线AD 与PB 的夹角的余弦值；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）若直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为227，求线段CE 的长度； 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.（1）求证：GF //平面PDC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，CF CP λ=且满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.26．已知三棱锥,A BCD ABD -和BCD △是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD（1）求证：AC BD ⊥；（2）设G 为BD 中点，H 为ACD △内的动点(含边界)，且//GH 平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状.【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-， ()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF .故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.2．B解析：B【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||1cos 6||||1m n m n a b π∴==++， 解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=，∴线段1AC 的长为12AC =，故选A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 4．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C所成角的余弦值为1111cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．5．A解析：A 【分析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z). 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)=1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +). 因为OG =31GG =3(1OG OG -), 所以OG=34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)=31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ .故答案为A 【点睛】（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.6．D解析：D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为1111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．C解析：C 【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =，由题意23sin 21CE CM CE CMk α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221kα≤=≤+，解得222k ≤≤，所以k 2 当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则20312022n DE y z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩， 取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 6θ=tan 2θ= C.点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.9．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--•0MP MC =,22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()22125a b -+-=M ∴为底面ABCD 内以()12O ，为圆心，以5r = 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-=故选B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题10．D解析：D 【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题11．D解析：D 【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案.【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12．B解析：B 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=．以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=，222211111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=，∴11116cos ,632AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅⋅．∴1BD 与AC 夹角的余弦值为66．故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)0120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n mn m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．【解析】15．【分析】如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量平面的法向量利用夹角公式计算得到答案【详解】设中点为则故故两两垂直如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量设平面的法向量为则解得：则法向量夹角故二面角B ﹣解析：5【分析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD的法向量()11,0,0n=，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,n=，则法向量夹角1212cos 5n n n n θ⋅===⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C .【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．【解析】即 解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线 ，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 17．12【解析】解析：12 【解析】31418．【分析】建立空间直角坐标系得到相关点的坐标后求出直线AE 的方向向量=(011)和平面A1ED1的法向量然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A1ED1垂直于是得所求角为【详解】以D 为原点以DADCDD解析：90【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE 的方向向量AE =(0,1,1)和平面A 1ED 1的法向量()0,1,1n =，然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A 1ED 1垂直，于是得所求角为90． 【详解】以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0),E (1,1,1),A 1(1,0,2),D 1(0,0,2), 于是AE =(0,1,1),1AE =(0,1,-1),11A D =(-1,0,0)．设平面A 1ED 1的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A E y z n A D x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩得,0,y z x =⎧⎨=⎩令1z =，得()0,1,1n =． 所以AE ∥n ,故直线AE 与平面A 1ED 1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．19．【解析】分析：建立空间直角坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求AD1与面BB1D1D 所成角的正弦值详解：以D 为原点DADCDD1分别为x 轴y 轴z 轴建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz 设AB=1则D 解析：1010【解析】分析：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD 1与面BB 1D 1D 所成角的正弦值．详解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ．设AB=1，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2）， A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．设AD 1与面BB 1D 1D 所成角的大小为θ，1AD =（﹣1，0，2），设平面BB 1D 1D 的法向量为n =（x ，y ，z ），DB =（1，1，0），1DD =（0，0，2）， 则x+y=0，z=0．令x=1，则y=﹣1，所以n =（1，﹣1，0），sinθ=|cos ＜1AD ，n ＞， 所以AD 1与平面BB 1D 1D所成角的正弦值为10．. 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB解析：4.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.三、解答题21．答案见解析 【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可. 【详解】 解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ， 设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-. 选择①：()()DE CF DE CF +⊥-， 所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==， 得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =2=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=， 得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<， 所以EF 与DB 不共线， 所以2b a ≠-， 即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠， 故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键. 22．（1）26565；（2）67；（3）1.【分析】（1）根据PC AC ⊥，PC BC ⊥，AC BC ⊥，以点C 为原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求得向量AD ，PB 的坐标，由cos ,AD PB AD PB AD PB⋅=⋅求解.（2）易知平面PAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =，求得平面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅求解.（3）设(0,0,)E m ，[]0,3m ∈，(0,1,)DE m =-，根据直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为227，由22222cos ,7DE n DE n DE n ⋅==⋅求解. 【详解】（1）因为PC AC ⊥，PC BC ⊥，AC BC ⊥，以点C 为原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,3)P ， 所以()2,1,0AD =-，(0,2,3)PB =-， 则2cos ,65AD PB AD PB AD PB⋅==⋅ 所以直线AD 与PB 的夹角的余弦值是65. （2）设平面PAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 平面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =， 因为()2,1,0AD =-，(0,1,3)PD =-，则2200n AD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030x y y z -+=⎧⎨-=⎩，设6y =，则3x =，2z =，则2(3,6,2)n =， 所以1212126cos ,7n n n n n n ⋅==⋅， 由图知：二面角C PA D --是锐角， 所以二面角C PA D --的余弦值为67； （3）设(0,0,)E m ，[]0,3m ∈，(0,1,)DE m =-， 则2226cos ,71DE nDE n DE n ⋅-==⋅，因为直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为7， 7=， 解得：1m =， 所以1CE =. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）9331. 【分析】（1）连结EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】解：（1）连结EC ，DC ∥AB ∴2AF ABFC CD==， 2AGGE=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，∴PO ⊥平面ABCD ，连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面PAD 的法向量1(0,1,0)n →=， 易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,,0)22C -， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22GC →=--，设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2y =，则236,z x ==∴2(n →= .设所求锐二面角的平面角大小为θ，则1212cos n n n n θ→→→→⋅==所以平面PAD 与平面GBC所成锐二面角的余弦值为31. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n →→；再代入公式cos m nm nα→→→→=±（其中,m n →→分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）24．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案. 【详解】（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点， ∴//FI SA ，//IE AB ，且FI EI I =，∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ，同理AB 平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ，又∵FIEI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI IE I =，∴平面//EFI 平面SAB ，∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，所以2222222222224(3)(1)(2)33422x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪--⎛⎫⎛⎫⎪++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-， 设(,,)n x y z =⊥平面SBC ， ∴320220n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则31,z x ==，所以3,1,1n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量，∴cos |cos ,|71m n mn m nθ⋅=〈〉===⋅+， 所以二面角B SCD --的余弦值为7. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力. 25．（1）证明见解析；（23 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出点的坐标，根据向量垂直的坐标表示可得证； （2）根据线面角的空间向量求解方法，可得答案；（3）由CF CP λ=，01λ≤≤.，由向量垂直的坐标表示，求得λ，再运用二面角的空间向量求解方法，可得答案. 【详解】解：（1）证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）.可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E 向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=， 所以BE DC ⊥.（2）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量.则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量， 于是有cos ,||||6n BE n BE n BE ⋅〈〉===⋅ 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （3）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =. 由点F 在棱PC 上，CF CP λ=，01λ≤≤.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此()() 212 2220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110 0n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩. 不妨令1z =，得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则：12121233101010c 1os ,n n n n n n ⋅=-⋅==-⨯知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为31010.【点睛】求二面角的方法：1、几何法：做出二面角的平面角，运用解三角形的知识求解二面角的大小；2、建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积运算求得二面角的大小，运用此方法时，注意判断二面角的范围． 26．（1）证明见解析；（2）15655⎣⎦. 【分析】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .根据三角形的性质和线面垂直的判定和性质可得证；()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动，设1)0(EH EF λλ=≤≤，运用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质可求得范围. 【详解】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .ABD 和BCD △是等边三角形，AG BD CG BD AG BD G ⊥⎧⎪∴⊥⇒⎨⎪⋂=⎩BD ⊥面ACG ，AC ⊂面ACG ⇒AC BD ⊥； ()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动， 则()(),0,0,00,1,0G B -，()()3,0,00,1,,,(00,3)0,CD A ，,13310,,,,02222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1)0(EH EF λλ=≤≤，3133,,2222GH λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACD 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AC n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3303+0x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，平面的一个法向量()1,3,1n =，设直线GH 与平面ACD 所成角为θ，则231526sin ,55335122GH n GH nθλλ⎡⎤⋅==∈⎢⎥⎣⎦⋅-+.所以直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的范围为1526,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及运用向量法求线面角的方法，关键在于得出动点运动的轨迹，运用向量的线性关系，设出动点的坐标，属于中档题.。