1997年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
则
()
(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值
(B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值
(C) (x0, f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0, f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点
(4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x) x
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
已知
f
(
x)
(cos
x)
x2
,
x 0, 在 x 0 处连续,则 a
.
a,
x0
(2) 设 y ln
1 x 1 x2
,则
y x0
.
(3)
dx x(4 x)
x0
x0
x0
x0
lim e e e lncosx x2
lim ln cos x 洛必达 x0 x2
1 (sin x)
lim cos x
x0
2x
x0
lim sin x
1
e e x0 2xcos x
2
【相关知识点】1.函数 y f (x) 在点 x0 连续：
设函数
f
(
x)
在点
x0
的某一邻域内有定义,如果
程组1T x1 2T x2 3T x3 BX 0 有非零解,因
1 2 0
B
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
0 t
4 5
1
0
2
212 1 2
0 2
1 4
1 2
0
31 41
1
0
4
4
32 t 2 422
0
1
1
,
0 t 2 5
0 0 t 3
0
2
2
0 0
0
故 BX 0 有非零解 t 3 .
x0
xn
x0
xn
lim
x0
tan x xn
x
洛必达
lim
x0
sec2 1 nxn1
lim
x0
tan2 x nxn1
n3
lim
x0
x2 3x2
1, 3
etan x ex 与 x3 同阶,故应选(C).
(2)【答案】(D)
【解析】方法 1：用几何意义.由 f (x) 0, f (x) 0, f (x) 0 可知,曲线 y f (x) 是上 半平面的一段下降的凹弧, y f (x) 的图形大致如右图. y
单调递增的.由于(a) 0, 所以(x) 0, x [a,b] ,从而
(b) 1 [ f (b) f (a)](b a)
b
f (t)dt 0 ,
2
a
即 S3 S1 .因此, S2 S1 S3 ,应选(D).
如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数 f (x) 在积分区间[a,b] 上连续,则在 (a,b) 上至
特定的
f
(x)
来观察结果是什么.例如取
f
(x)
1 x2
,
x [1, 2],则
S1
2 1
1 x2
dx
1 2
, S2
1 4
, S3
5 8
S2
S1
S3 .
6
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【评注】本题也可用分析方法证明如下：
b
由积分中值定理,至少存在一个点 ,使 f (x)dx f ( )(b a), a b 成立,再由 a
七、(本题满分 8 分.)
已知函数 f (x) 连续,且 lim f (x) 2 ,设(x)
1
f (xt)dt ,求(x) ,并讨论(x) 的
x0 x
0
连续性.
八、(本题满分 8 分)
就 k 的不同取值情况,确定方程 x sin x k 在开区间 (0, ) 内根的个数,并证明你
2
2
的结论.
2
2
1 f (x)(x a) 1 ( f (x) f (a))
2
2
1 f (x)(x a) 1 f ()(x a) (a x) (拉格朗日中值定理)
2
2
1 ( f (x) f ())(x a), 2
由于 f (x) 0 ,所以 f (x) 是单调递增的,故 f (x) f () ,(x) 0 ,即(x) 在[a,b] 上
3
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
1
(1)【答案】 e 2
【解析】由于 f (x) 在 x 0 处连续,故
f (0) lim f (x) lim eln f (x) lim eln(cos x)x2 lim ex2 lncos x
(3)【答案】(B)
【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：
f (x) 0, 所以 f (x) 是单调递减的,故 f ( ) f (b), 从而
b
S1 a f (x)dx f ( )(b a) f (b)(b a) S2 .
为证
S3
S1
,令 ( x)
1 2
[
f
(x)
f (a)](x a)
x
f (t)dt, 则(a) 0,
a
(x) 1 f (x)(x a) 1 ( f (x) f (a)) f (x)
x2
)
,
y 1 ( 1 2x ) 1 x , 2 1 x 1 x2 2(1 x) 1 x2
y
1 2(1
x)2
1 x2 (1 x2 )2
,
y
x0
3 2
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果 u g(x) 在点 x 可导,而 y f (x) 在点 u g(x) 可导,则复合函数 y f g(x)
()
(A) 为正常数 (C) 恒为零
(5)
设
g(
x)
2 x
x, 2,
(B) 为负常数 (D) 不为常数
x0
x2,
x
, 0
f
(x)
x,
x 0 ,则g[ f (x)] 为 x0
(A)
2 x2,
x0
2 x, x 0
(B)
2 x2,
x0
2 x, x 0
(C)
2 x2,
x0
2 x, x 0
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(C)
【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：
lim etan x ex lim ex etan xx 1
若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0 , M 两点间弧长值的一 半,求曲线 L 的方程.
2
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六、(本题满分 8 分)
设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内大于零,并满足 xf (x) f (x) 3a x2 ( a 为常数),又曲线 y f (x) 与 x 1, y 0 所围成的图形 S 的面积值为 2,求函数 2 y f (x) ,并问 a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
arcsin x 2 C .
1 ( x 2)2
2
2
4
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方法 2：原式
x
dx
4 ( x)2 2
dx
4 ( x)2 2
dx 2
2 arcsin x C .
1 ( x )2
2
2
(4)【答案】 8
1 1
A
2
2
2 0
1 t
1 0
21 2
1 0
2 4
1 t2
1 2
3 0 4 5 2
0 4 5 2
321
1 0
2 4
1 t2
1 2 ,
0 0 3 t 0
1
因为
r
A
r
2
2,
所以
3
t
0,
t
3
.
3
方法 2：利用秩的定义.
1
由于
r
2
r
A
2, 则矩阵
A
中任一三阶子行列式应等于零.
3
.
(4)
0
x2
dx 4x
8
.
(5) 已知向量组1 (1, 2, 1,1),2 (2, 0,t, 0),3 (0, 4,5, 2) 的秩为 2,则 t
.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 ), 则称函数
f
(x) 在点
x0 连续.
2.如果函数在
x0
处连续,则有
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1997年考研数学试题详解及评分参考
（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
【答】 应选(A).
【解】 因函数 e sin t s in t 是以 2p 为周期的周期函数，故
ò ò ò ò F (x) = x+2p esint sin tdt = 2p esint sin tdt = - 2p esint d cos t = 0 + 2p cos2 t esint dt > 0.
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题详解及评分参考
【解】由题意， f (x) 在 x 轴的上方、单调下降且是上凹的，
（如右图所示），设 S1 、S2 、S3 分别为图中所示区域的面积， 显然有 S1 < S2 < S3 . 故选（B）.
ò (3) 设 F (x) = x + 2p e sin t s in td t ，则 F (x) x
(B) 连续, 偏导数不存在.
(C) 不连续, 偏导数存在.
(D) 不连续, 偏导数不存在.
【答】 应选(C).
【解】
令y
= kx ，则 lim x®0 y =kx
xy x2 + y2
k = 1+ k2
，因 k 不同时， k 1+ k2
的值不同，
( ) 故极限 lim x®0 y®0
xy x2 + y2
……2 分
Ñò ò 于是 I = (z - y)dx + (x - z)dy + (x - y)dz = - 0 (2(sinq + cosq ) - 2cos 2q -1)dq
C
2p
=
-[2(- cosq
1997考研数学真题答案
1997考研数学真题答案一、选择题1.答案：B解析：对于函数f(x) = |x - 1|，x < 1时，f(x) = -x + 1；x ≥ 1时，f(x) = x - 1。
f'(x)的导数在x = 1处断开，故不可导。
2.答案：C解析：根据直线方程y = kx + b，可知当k = 2，b = -5时，直线穿过两点(0, -5)和(2, -1)。
3.答案：A解析：当x → +∞时，e^x 的增长速度远大于lnx，因此极限为+∞。
4.答案：D解析：由反函数的求导公式可得，(f⁻¹(x))' = 1/f'(f⁻¹(x))。
因为f(x) = √(1 + x²)，所以f'(x) = 1/(2√(1 + x²))。
带入x = 2，可得(f⁻¹(x))' =1/(2√(1 + 4)) = 1/(2√5)。
5.答案：A解析：根据等差数列的通项公式，an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
所以15 = 1 + (n - 1)2，解得n = 8。
二、填空题1.答案：3解析：设正方形的边长为a，根据题目可得方程4a + 2√2 * a = 40，解得a = 3。
2.答案：56解析：根据勾股定理，可得a² + b² = c²。
代入题目中的a = 28，c = 36，解得b = 56。
3.答案：32解析：由题意可知，根据反比例函数的性质x * y = k，代入x = 2，y = 4，可求得k = 8。
所以当x = 4时，y = 8/4 = 2。
再代入x = 8，可得y = 8/8 = 1/2。
所以当x = 16时，y = 8/16 = 1/2² = 1/4。
以此类推，当x = 32时，y = 8/32 = 1/2⁵ = 1/32。
4.答案：4解析：根据题目可得三角形的面积S = 1/2 * b * h。
考研高数二真题及答案97年到12年
又由于 D3 , D4 关于 x 轴对称，可知在 D3 D4 上关于 y 的奇函数为零， 故
D3 D4
x 5 ydxdy 0 。
5 2 因此 x y 1 dxdy dxdy dx D D 2
1
sin x
dy ，故选（D） 。
2 2 2
dx
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得， 将 所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx dx dx Nhomakorabeadx
d2y dx 2
(A) x1 x2 , y1 y2 (C) x1 x2 , y1 y2 【答案】 ：(D) 【解析】 ： (B) x1 x2 , y1 y2 (D) x1 x2 , y1 y2
f ( x, y ) f ( x, y ) 0， 0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是 x y
1
故选（B） 。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）设 y y ( x) 是由方程 x y 1 e 所确定的隐函数，则 d
2 y
2
y
2 x 0
dx
【答案】 1 ：
________。
【解析】 ：将 x 0 代入原方程可得 y 0 方程 x 2 y 1 e y 两端对 x 求导， 2 x dy 有
1。
x 0
（10）计算 lim n
1997考研数学二真题及答案解析
x=0
(3) ∫
dx = x(4 − x)
.
∫ (4)
+∞ 0
x2
dx + 4x
+
8
=
.
(5) 已知向量组α1 =(1, 2, −1,1),α2 =(2, 0,t, 0),α3 =(0, −4,5, −2) 的秩为 2,则 t =
.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
α3
方法 2：利用秩的定义.
α1 由于 r = α2
α3
r= ( A)
2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零.
α1 1 2 −1 1
α 2
=
2
0
t
0
,
α3 0 −4 5 −2
应有
1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 0 t = 0 −4 t + 2 = 0 −4 t + 2 = 0 , 0 −4 5 0 −4 5 0 0 3 − t
❤
六、(本题满分 8 分)
设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内大于零,并满足 xf = ′(x) f (x) + 3a x2 ( a 为常数),又曲线 y = f (x) 与=x 1,=y 0 所围成的图形 S 的面积值为 2,求函数 2 y = f (x) ,并问 a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
2
2
的结论.
❤
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
1997-2002考研数学二历年真题
量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 2 2
3 ．若
1
2
3
4 ，求线性方程组
Ax 的通解．
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 二 ) 试题
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 )
3x 1x
1、 lim x1
x2 x 2
=（
）．
2、曲线 e2x y cos(xy) e 1 在点（ 0， 1）处 的切线方程为 ：（
）．
3 ． yy
（
y2
0满足初始条件
y(0) 1, y (0)
1 2
的特解是
）．
4
．
lim 1 [ 1 cos
1 cos2
1 cos n ]
=
nn
n
n
n
（
）．
0 22
5．矩阵 2 2
2 的非零特征值是（
）．
2 22
二、单项选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分． )
１．函数 f (u) 可导， y f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x 1处取得增量 x 0.1时，相应的函
率半径， s
s(x) 是该抛物线上介于点
A（1，1）与 M 之间的弧长，计算
3
d2 ds 2
d (
)2
ds
y
的值（曲率 K＝
3 ）．
(1 y 2) 2
六、（本题满分 7 分） f ( x) 在 [0， + ）可导， f (0) =0，且其反函数为 g (x) ．
f ( x)
若
g (t )dt x2ex ，求 f ( x) ．
1997-数二真题、标准答案及解析
应选（A）. 由于 e
x + 2π
sin t
sin t 是以 2π 为周期的，因此
2π
F ( x) = ∫
x 2π
esin t sin tdt = ∫ esin t sin tdt
0
= − ∫ esin t d cos t
0
= 0 + ∫ cos 2 t ⋅ esin t dt > 0.
0
2π
故应选（A）. （5）设 g ( x ) = ⎨
方法一：
由
dx 1 = ， dt 1 + t 2 dy dy 2 − y 2 − 2ty + et = 0, dt dt
dy y 2 − et = dt 2 (1 − ty )
2 t 2 dy ( y − e )(1 + t ) = 2 (1 − ty ) dx
得
因而 方法二：
由 x = arctan t ，得 t = tan x ，将其代入题目中第二式有
x →−∞
(
4 x2 + x − 1 − x − 1
)
1 2 3− − 2 x x =1 ＝ lim x →−∞ sin x ⎛ 1 1 1⎞ 1+ 2 ⎜ 4 + − 2 +1+ ⎟ x ⎝ x x x⎠
(2)设 y = y ( x ) 由 ⎨ 【详解】
⎧ x = arctan t dy 所确定，求 . 2 t dx ⎩ 2 y − ty + e = 5
可见无论 x0 ( ≠ 0 ) 为何值，都有 f 所以
( x0 ) > 0
x = x0 是 f ( x ) 的极小值点.
(3)设 F ( x ) =
1997考研数二真题与解析
lim
x → x0
f (x) =
f (x0 ), 则称函数
若极径 OM 0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 , M 两点间弧长值的一 半,求曲线 L 的方程.
2
六、(本题满分 8 分)
Born to win
设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内大于零,并满足 xf = ′(x) f (x) +
1
f (xt)dt ,求ϕ′(x) ,并讨论ϕ′(x) 的
x→0 x
0
连续性.
八、(本题满分 8 分)
就 k 的不同取值情况,确定方程 x − π sin x = k 在开区间 (0, π ) 内根的个数,并证明你
2
2
的结论.
3
Born to win
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
(5) 已知 y1 =xex + e2x , y2 =xex + e−x , y3 =xex + e2x − e−x 是某二阶线性非齐次微分方程
的三个解,求此微分方程.
1 1 −1
(6) 已知 A = 0 1
1
,且
A2
−
AB
= E ,其中
E
是三阶单位矩阵,求矩阵
B
.
0 0 −1
()
1
(A) 为正常数 (C) 恒为零
(B) 为负常数 (D) 不为常数
2 − x, x ≤ 0
x2, x < 0
= (5) 设 g(x) = x + 2, x > 0, f (x) −x,
,则g[ f (x)] 为 x≥0
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
(C) (x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点 (4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x)
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
北京大学 1997 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答
北京大学1997年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答微信公众号：数学十五少2019.05.21一、(10分)将函数f(x)=arctan2x1−x2在x=0点展开为幂级数,并指出收敛区间.二、(10分)判断广义积分的收敛性:∫+∞0ln(1+x)x pd x.三、(15分)设f(x)在(−∞,+∞)上有任意阶导数f(n)(x),且对任意有限闭区间[a,b],f(n)(x)在[a,b]上一致收敛于ϕ(x)(n→+∞),求证:ϕ(x)=c e x,c为常数.四、(15分)设xn >0(n=1,2,…)及limn→+∞x n=a,用ε−N语言证明:limn→+∞√x n=√a.五、(15分)求第二型曲面积分∯S(x d y d z+cos y d z d x+d x d y),其中S为x2+y2+z2=1的外侧.六、(20分)设x=f(u,v),y=g(u,v),w=w(x,y)有二阶连续偏导数,满足ðfðu=ðgðv,ðfðv=−ðgðu,ð2wðx2+ð2wðy2=0,证明:(1)ð2(fg)ðu2+ð2(fg)ðv2=0,(2)w(u,v)=w(f(u,v),g(u,v))满足ð2wðu2+ð2wðv2=0.七、(15分)计算三重积分∭Ω∶x2+y2+z2≤2z(x2+y2+z2)5/2d x d y d z.一、f(x)=2∞∑n=0(−1)n2n+1x2n+1(|x|<1).详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第241页例5.二、当1<p<2时,原广义积分收敛.详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第203页例3的(1).三、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第235页练习题4.2.16.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第538页练习题5.2.28.四、因为limn→+∞x n=a,故有∀ε>0,∃N>0,当n>N时,|x n−a|<√aε.于是∣√x n−√a∣=|x n−a|√x n+√a<|x n−a|√a<ε.五、先由对称性知:所求的积分I=∯S x d y d z,再用Gauss公式得I=∭Vd x d y d z=4π3.六、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第283页练习题5.2.23.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第670页练习题6.2.12.七、通过做极坐标变换可以算出结果为64π9.此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第336页练习题5.2.9的(2).。
1997考研数二真题及解析
0
定点,若极径 OM 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M , M 两点
0
0
间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.
六、(本题满分 8 分)
设 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 , 在 开 区 间 (0,1) 内 大 于 零 , 并 满 足
x f( x) f( x)
是(x单)(x调递a)增 的12 f,故(f)(x(x)
a)
f
(a ( )
,(x)x)(0拉,即格朗 (日x中) 在值定[a理, b])
上单调递增的.由于f (21a()( ()f()(0)),xx所以0,axx),[a,b] ,从而
(b) 1[ f (b) f (a)](b a) b f (t)dt 0,
四、(本题满分0 80分.)1
2x x x 1
取何值时
,方程组
1
x
x
2
x
3
2
无解 ,有惟一解或有无穷多解？并在
有无穷多解时写出方程组的4x通11解5x2.2 53x3 1
五、(本题满分 8 分)
设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ) , M (r, ) 为 L 上任一点 , M (2,0) 为 L 上一
(4)求微分方程 (3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0的通解.
(5)已知 y xex e2x, y xex ex, y xex e2x ex 是某二阶线性非齐次微分方
1
2
3
程的三个解,求此微分方程.
1 (6)已知 A 0
1 1
11 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B .
2
a
定点,若极径 OM 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M , M 两点
0
0
间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.
六、(本题满分 8 分)
设 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 , 在 开 区 间 (0,1) 内 大 于 零 , 并 满 足
x f( x) f( x)
是(x单)(x调递a)增 的12 f,故(f)(x(x)
a)
f
(a ( )
,(x)x)(0拉,即格朗 (日x中) 在值定[a理, b])
上单调递增的.由于f (21a()( ()f()(0)),xx所以0,axx),[a,b] ,从而
(b) 1[ f (b) f (a)](b a) b f (t)dt 0,
四、(本题满分0 80分.)1
2x x x 1
取何值时
,方程组
1
x
x
2
x
3
2
无解 ,有惟一解或有无穷多解？并在
有无穷多解时写出方程组的4x通11解5x2.2 53x3 1
五、(本题满分 8 分)
设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ) , M (r, ) 为 L 上任一点 , M (2,0) 为 L 上一
(4)求微分方程 (3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0的通解.
(5)已知 y xex e2x, y xex ex, y xex e2x ex 是某二阶线性非齐次微分方
1
2
3
程的三个解,求此微分方程.
1 (6)已知 A 0
1 1
11 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B .
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