数学归纳法
数学归纳法
考察后得出结论
神腰牌般的野影状的缕缕闪光体中，突然同时喷出七簇奇妙无比的青兰花色精灵，这些奇妙无比的青兰花色精灵被光一晃，立刻化作浓重的飘带，不一会儿这些飘带就一望 无际着跳向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上变成了闪烁怪异、质感华丽的凸凹飘动的摇钱树……这时女总裁腾霓玛娅婆婆发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技
=
1 2
k(k+1)+(k+1)
=
1 2
(k+1)[(k+1)+1]
右边=
1 2
(k+1)[(k+1)+1]
即n=k+1时成立。
由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立
2、 1+2+22+…+2n-1= 2n - 1
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=21 – 1=1 等式成立。
（2）假设当n=k成立，即 1+2+22+…+2k-1= 2k-1
三、数学归纳法
怎样由归纳法得到的某些与正整数有关的 数学命题的真假呢？
1 23
请思考：
k k+1
n-1 n
满足什么样的条件才能使骨牌全部倒下？
先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题 成立，然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明
这个命题成立。 这种证明方法叫数学归纳法。
（3）书写格式（两个步骤一个结论）。
练习：用数学归纳法证明：
1、1+2+3+…+n=
1 2
n(n+1)
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
数学归纳法
1、2、3；1、2、3；1、2、3；1、…（mod4 ）即
猜想： （k≥0），下面证明之
证明当k=0时，由分析可知结论成立
假设对于k结论成立，即
从而可知
那么对于k+1时， ，
即对于k+1时结论成立
所以由数学归纳法知， ， 模4不同余于0，所以 ，
数学归纳法
一、数学归纳法
最小数原理：已知 ，则 ， ，使得 。
证明若 是有限集，且 ，那么 中元素可以按小到大的顺序排列，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
若 为无限集，且 ，那么 是可列的，因而 中元素可以按小到大的顺序列出，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
综上所述，若 ，则 ， ，使得 。
因为 ，j=1,2,…,k，所以
又因为 ，故 。
解得 或 （舍去）.
所以n=k+1时命题也成立.
从而， ，命题成立。
例5将质数由小到大编上序号： ， ， ，…求证：第 个质数 。
证当 时， ，命题成立。
假设 时命题成立，即 ，
将上面这 个不等式相乘，得
所以
因为 ， ，…， 都不能整除 ，所以 的质因数 不可能是 ， ，…， ，只能大于或等于 ，于是有
由 的假设可知， ，P（n）成立。
再由定理条件 ，命题P（n）成立，能推出 时，命题P（n）成立知，
，命题P（n）成立。
这与B中定有最小正整数 ， ，使得 不成立矛盾。
故原假设不成立。即定理结论成立。
特别的：
（1）第一数学归纳法
取 ，当n=1（即 ）时，P（1）成立，假如n=k（即 ）时，P（k）成立，能推出n=k+1（ ）时，P（k+1）成立；则对 ，命题P（n）成立。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知某个命题成立和成立条件，则可以推导出该命题对所有符合条件的情况都成立。
数学归纳法在数学领域中发挥着重要的作用，本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，称为基础步骤。
通常情况下，我们会取n=1或n=0作为基础步骤。
2. 归纳步骤：接下来，假设当n=k时，命题成立，即我们假设命题对于某个值k成立。
然后，使用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步骤称为归纳步骤。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设命题对于n=k成立，这被称为归纳假设。
通过归纳假设，我们可以推导出命题对于n=k+1的情况也成立。
归纳法的基本原理就是通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法不仅仅是一种证明方法，它也被广泛应用于其他数学问题的解决中。
以下是数学归纳法的一些典型应用。
1. 证明整数性质：数学归纳法常被用来证明某个整数性质对于所有正整数成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明所有正整数的和公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。
2. 证明不等式：数学归纳法还可以应用于证明不等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明命题等式：除了整数性质和不等式，数学归纳法也可以应用于证明命题等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式：F(n) = (φ^n - （1-φ）^n) / √5，其中φ为黄金分割率。
数学归纳法作为一种重要的证明方法，广泛应用于数学的各个领域。
它能够简化证明过程，使得证明更加直观和清晰。
总结：数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
数学归纳法
1、归纳法：
由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。
完全归纳法：在逐步考察某个事例的所有可能的情况下 推出结论；
不完全归纳法：在考察某个事例的部分情况下推出结论 分析： （1）归纳法是一种特殊到一般的数学思想方法； （2）完全归纳法推出的结论一定正确，而不完全 归纳法推断出的结论有时不正确
2 2
2 2
Ｂ
2
）
1
2
(k Ｃ． 1 )
Ｄ． ( k 1 )[ 2 ( k 1 ) 3
1]
Ex：在数归法中，证明了若n=k时命题成立，则n=k+1时 命题也成立。现已知n=4时命题不成立，则n=（ 3 ）时 命题必不成立。
Ex：设 f ( x ) 是定义在正整数集上的函数，且
“当
f (k ) k
Ｄ．n 1 2
Ex:用数学归纳法证明
1 2 ( n 1) n ( n 1) 2 1
2 2 2 2 2 2 2
n(2 n 1)
2
时，由 n
k 的假设到证明 n k 1
3
时，等式左边应添加的式子是（
(k (k A． 1 ) 2 k Ｂ． 1) k
2、数学归纳法及其证明步骤
数学归纳法是证明与自然数n有关的命题 它的步骤如下： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立； （奠基步） （2）假设当n=k(kN*， n≥n0 )时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立 （假设递推步） 由（1）和（2）得：该命题对n≥n0 成立 分析： （1）数学归纳法适用范围仅限于有关自然数的命题。 整数、有理数和实数等有关的命题都不适用； （2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学归纳法
A、1
B、1 a
C、1 a a2
D、1 a a2 a3
2、用数学归纳法证明： 1 1 1
1
24 46 68
2n (2n 2)
n 4(n
1)
时，从k到k＋1时左边需要增添的项为__1_______
4(k 1)(k 2)
3、用数学归纳法证明： 当n N时，1 2 22 23 25n1是31 的倍数，当n＝1时，原式为 _____________
7、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 234
1 2n 1
n(n
N
, 且n
1）时，
不等式在n＝k 1时的形式是 ____________
1
1 2
1 3
1 4
1 2k 1
1 2k
1 2k 1
1 2k1 1
共有多少项呢？ 2k 个项
例1已知数列
1 ,1 , 1 , 1×4 4×7 7×10
,
1
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
k
1
3k 1 (3k 1)(3k 4)
3k 2 4k 1 (3k 1)(3k 4)
数学归纳法
用数学归纳法需注意：
1.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳 基础。 2.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确 性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而 不是确认命题成立)。 3.第三步是总体结论，也不可少。
k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ， 3
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 2 2+2k+1 = k ( 2k 1) + 2k2+2k+1 =Sk+2k 3 1 1 3+k+6k2+6k+3) = [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] = 3 (2k 3 = 1 (k+1)(2k2+4k+2+1) = 1 (k+1)[2(k+1)2+1],
3
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
3
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有
n( 2n 2 1) Sn 3
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
数学归纳法
数学归纳法1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2) (归纳递推)假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1) 用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2) 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3) 步骤(2)的证明必须以“假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立”为条件.题型一 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．总结：用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k(k ∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2(k ＋1)＋k 2(k ＋1)综上所述，对于任何n ∈N*，等式都成立．题型二 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论． 例2 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n .下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立．(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1对任意的n ∈N *都成立．总结： 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练2 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1k (k ＋1)k ＋1综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．题型三 利用数学归纳法证明整除问题 例3 求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k－1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．总结： 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练3 证明x 2n －1＋y 2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x 2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即x 2k －1＋y 2k－1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－1＋y 2(k＋1)－1＝x 2k ＋1＋y 2k ＋1＝x 2k－1＋2＋y 2k－1＋2＝x 2·x 2k －1＋y 2·y 2k －1＋x 2·y 2k－1－x 2·y 2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y 2k －1(y 2－x 2)．∵x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型四 用数学归纳法证明数列问题例4 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．总结： 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练4 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．题型五 利用数学归纳法证明几何问题思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例5 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．总结： 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明． 跟踪训练5 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． ∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．注意：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 练习1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C 解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 答案 C 解析 将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 课后练习1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2 (n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4答案 D 解析 等式左边的数是从1加到n ＋3. 当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6答案 C 解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k－1项B ．2k＋1项C ．2k 项D ．以上都不对答案 C 解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C 解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A 解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 答案 S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k )＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1)＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案D 解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是__________________________． 答案122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。
数学归纳法
5．由 k 到 k＋1 这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适 当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．
6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题 中经常出现的题型，希望同学们用心体会．
7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度 能证明一些简单的数学命题就可以了．
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1. 【思路分析】 本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤， 注意当 n＝k＋1 时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设 n＝k 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋212k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1] ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切正整数 n∈N*，等式成立．
【名师点睛】 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证 n＝k＋1 成立时，必须用 n＝k 成立的结论，否则，就不是数学 归纳法证明．
1．用数学归纳法证明： 1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝ 16k(k＋1)(k＋2)成立．
(2)假设 n＝2k(k∈N*)时，命题成立， 即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 当 n＝2k＋2 时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)． ∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被 x＋y 整除， ∴x2k＋2－y2k＋2 能被 x＋y 整除，即 n＝2k＋2 时命题成立． 由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立． 【名师点睛】 因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假 设中采用了 n＝2k(k∈N*)与它相邻的是 n＝2k＋2.要注意体会 n ＝2k＋2 时的变形方法．
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《数学归纳法》说课稿各位专家、评委：大家好！我是陇西一中的数学教师王耀文，很高兴能有机会参加这次说课活动.我要讲的课题是《数学归纳法》（第一课时），用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修Ⅱ），本课是高中数学第三册第二章第一节.下面我就从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择、学法的指导、教学过程的设计和板书设计六个方面进行说明.1教材分析1.1教材的地位和作用数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过“有限”来解决某些“无限”问题.1.2重点、难点重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路.难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用.2教材目标的确定2.1知识目标使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤.2.2能力目标培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.2.3情感目标使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验.3教学方法的选择本节课我主要采用“…发现‟的过程教学”和“启发探究式”的教学方法，根据教材特点和学生实际在教学中体现两点：⑴由学生的特点确定启发探究和感性体验的学习方法.由于本节课安排在高三阶段，且为数学基础较好的理科学生的选修内容，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位.⑵由教材特点确定以引导发现为教学主线.根据本节课的特点，教学重点应该是方法的应用．但是我认为虽然数学归纳法的操作步骤简单、明确，教师却不能把教学过程简单的当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必将半信半疑，兴趣不大．为此，我在教学中通过实例给学生创造条件，让学生直观感受到数学归纳法的实质，再在教师的引导下发现理解数学归纳法，揭示数学归纳法的实质.对于数学归纳法的应用，只要求学生在理解原理的基础上掌握应用原理证题的步骤，学会证明一些简单的问题.4学法的指导我国著名教育家陶行知先生早就指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学.”也有人说：“一个普通的教师，是奉送真理，一个好的教师，则是教别人去发现真理”.总之素质教育的一个根本任务就是教会学生怎样学习.因此本节课注重调动学生积极思考、主动探索，激发学生思维，尽可能为学生发挥他们的聪明才智提供必要的条件、增加活动的时间和空间，为此进行了以下学法指导：4.1 独立思考，自主探索，主动发现学生在整个教学过程中始终是认识的主体，引导学生积极参与课堂，学会发现问题，提出问题，养成善于独立思考和主动探索的学习习惯；4.2观察分析引导学生学会观察问题、分析问题和解决新问题；4.3合作学习发展学生的合作意识和合作能力，促进学生的高水平的思维和学习活动，使学生在交流过程中得到更深层次的理解.同时合作学习还能使教学适应不同能力水平的学生，增强平等意识，促进相互理解.4.4总结归纳引导学生抓住重点，掌握方法.5教学过程的设计在本阶段，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意到它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．为此，本节课我设想以思维过程为主线，发现为目标，把教学过程设计分为五个阶段.5.1 设置悬念，引入新课（引起学生回顾、联想和认知冲突）在本阶段的教学中，我想应从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．具体教学安排如下：请同学们回忆：我们是如何推导首项为，公差为的等差数列的通项公式的？（学生回答，教师板书）在同学回答的基础上进行归纳：像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法.用归纳法可以帮助我们从具体的事例发现一般规律，但是仅根据特殊事例所得出的结论有时是不正确的.我们看一个例子：历史上曾有人用不完全归纳法推理得出一个质数公式，这个公式当1、2、3、…40时都是正确的，但当41时，它不是质数.那么等差数列的通项公式是否正确呢？要不要证明？这个与正整数有关的数学命题，怎么证明？如果能一个一个地算下去，都把它算出来，那也是一种证明方法，但是算得完吗？显然，是不行的，那怎么办？5.2 从生活实例引入，描述数学归纳法（设计趣例，激发学生学习兴趣）数学归纳法的引入是学习数学归纳法的过程中重要的一环.根据以往的经验，不论老师如何解释，学生对数学归纳法的原理往往迷惑不解，将信将疑，为了突破这一难点，我在教学中设计了一实例，使学生在比较熟悉的实际问题中领悟数学归纳法，同时也激发了学生的学习兴趣.具体教学安排如下：5.2.1引入实例我们看一个生活中的的例子：展览馆门前排了很长的队等候参观，新来者怀疑自己能否进入，于是去问看门人：“我现在排队能进去吗？”看门人回答时说了一句话，他立即高兴的去排队了，请问看门人回答时说了一句什么话？在学生讨论的基础上教师指出，答案很简单：“如果前一个人能进去，那么后一个人一定能进去.”这就是依此类推的法则.他看见第一个人进去了，依次法则，第二个人必能进去，第三个人也必能进去，依次下去，所有排队的人都能进去，所以我一定能进去.所以他很高兴的去排队了.5.2.2理解实例这一阶段从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义.理解数学归纳法中的递推思想，要特别注意其中第二步，即证明命题成立时必须用到时命题成立这个假设条件．中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.事实上这时已经触及到了数学归纳法，所以在此时我设计了这样一个问题：请问怎样才能保证所有排队的人都能进去参观？必须：教师引导，学生归纳：1首先第一个人一定要进去；2假设第一个人进去后，第二个人一定也要进去，第二个人进去后，第三个人一定要进去……也就是说，假设前面一个人进去后，后面一个人一定也要进去；即假设当第个人进去后，第个人也一定要进去，这样才能保证所有排队的人都能进去参观.强调很显然，这两个条件缺一不可.5.2.3提升实例在上述实例的基础上，引导学生思考：现在我们把上例换成前面的数学问题（等差数列通项公式的推导），请问，要是这无穷多个等式都成立，必须此时高三理科学生容易发现结论：1第一个等式要成立，即时，要成立；2假设第个等式要成立，一定要推出第个等式也要成立，也就是说，要由一定能推出也成立.请问：这两步能做到吗？5.2.4发现数学归纳法哪一位同学能板演一下学生尝试后，教师解析学生的书写格式.（注意板书）5.3提升理念，形成数学归纳法（引导学生总结归纳，培养学生的归纳推理能力）此阶段的目的是引导学生得出数学归纳法原理，理解数学归纳法的实质.具体教学安排如下：请问：如何证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立？从上面的例子可以看出，要证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立，只须满足：1证明当时命题成立；2假设（时命题成立，证明是命题也成立；由1、2可知命题对所有的正整数都成立.这种证法的本质步骤可以归结为“证明两个条件，得出一个结论”.这种证明方法就叫做数学归纳法(板书课题).数学归纳法的这两个步骤，第一个步骤是命题递推的基础.，第二个步骤是命题递推的根据，二者缺一不可，其中第二步是数学归纳法的核心，在从到的递推过程中，必须要用到归纳假设，这是数学归纳法证题的本质特征.否则，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.5.4目标训练—数学归纳法的初步应用（通过应用理解数学归纳法，弄清数学归纳法的两个步骤及其应用），在本阶段教学中我选用了一道典型的题目，目的是初步明确数学归纳法的实质和用途.例设有数列表示数列前项的和，计算，，，由此推猜，并证明你的结论. 具体教学安排如下：5.4.1 两位同学板演，其他同学练习5.4.2 全班同学评价，教师个别辅导5.4.3 大家形成共识，归纳解题步骤（注意板书）5.5总结反思，深化认识这一阶段通过小结，使学生对对所学知识有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习并在课外拓展. 具体教学安排如下：5.5.1内容小结这节课我们学习的数学归纳法是解决与自然数有关的数学命题的有力工具，应用非常广泛，后面还要陆续介绍如何用数学归纳法解决各种问题，这节课我们主要掌握两点：⑴理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法证明命题的步骤和格式. 数学归纳法证明命题的步骤简单的说：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.⑵会证一些简单的恒等式，初步理解其第二步的作用及书写格式.5.5.2课外延展我按照“课堂教学为主，课外活动为辅”的原则，把课外活动作为课内教学的补充和提高，让学生在课堂教学基础上加深对知识的理解和运用，扩大知识面，提高能力，发展智力.同时培养他们的自学能力和刻苦钻研的精神.因此我考虑不能把所有的问题都放在课堂解决，而应该让学生带着问题走出课堂，为此我设计了两个问题：⑴若你要证明的命题只对大于3的正整数成立，那么应从几开始验证？⑵若你要证的命题是对所有的正偶数成立，上述两个步骤又怎样应用？5.5.3作业布置⑴阅读教材第62～63页内容并整理笔记；⑵课外作业：第64页练习.6板书设计我考虑本节课板书设计要突出两点：⑴目的性数学归纳法的形成过程及数学归纳法的描述；⑵示范性数学归纳法证明命题的规范格式，整个过程中的等式成立，等式也成立，等式都成立三者之间严谨的逻辑关系也要表述清楚，使论证无懈可击，更充分，更完美.以上是我对这节课的教学设想，恳请各位专家和评委提出宝贵意见和建议.谢谢大家！各位专家、评委：大家好！。