随机规划
产品设计方案随机机会约束规划
产品设计⽅案随机机会约束规划2019-10-170引⾔近年来，伴随着科学技术的飞速发展，市场环境和消费者需求⽇益动态多变，企业之间的竞争愈加激烈，新产品开发成为企业在瞬息万变的市场环境中获取竞争优势的重要⼿段。
⽽产品设计⽅案的优选⼜是新产品开发成功的关键。
在产品设计⽅案的优选中，费⽤—效能（简称费效）分析是⽬前最常⽤的⼀类⽅法，其基本思路是综合费⽤和效能的各种指标，从费⽤和效能两⽅⾯综合评价各备选⽅案，得到费⽤和效能最佳配合的⽅案[1]。
传统的费效分析多使⽤费⽤效能⽐法[2-3]，即分别计算出产品的费⽤值和效能值，再⽐较得出效能/费⽤⽐，然后根据决策准则进⾏⽅案优选。
由于⼤部分产品结构复杂，费⽤、效能的评估涉及因素众多，采⽤单⼀指标难以进⾏全⾯、准确的评价，很多学者提出对影响费⽤和效能的主要因素综合考虑，全⾯分析各因素对费⽤-效能的影响。
如熊云峰等[4]提出⼀种加权的多层次多⽬标灰关联综合评估⽅法，对船舶设备的费效进⾏综合评价，进⽽选择最佳的船舶设备⽅案。
赖佳栋等[5]建⽴了费效分析模糊综合评判法，⽤于电器设备购置决策；索中英[6]等建⽴了费效分析的模糊综合评判模型，⽤于飞机研制⽅案的决策；廖武等[7]应⽤数据包络分析⽅法对装备费效进⾏综合评价，为优化装备费⽤规模提供决策⽀持；陈佳[8]利⽤改进DEA⽅法⽤于油轮风险控制设计⽅案的费效分析。
这些⽅法都将产品费⽤和效能作为输出，根据费效⽐进⾏⽅案优选决策，追求⾼的费效⽐是其根本所在。
然⽽这些⽅法并没有对产品的费⽤、效能进⾏约束，使得最终⽅案会出现在满⾜⾼的费效⽐的前提下超出预算或产品⽆法达到预期效能的问题。
韩庆兰等[9]借鉴源⾃美国军⽅的以费⽤为独⽴变量(CostasIndependentVariable,CAIV)的武器装备采办费⽤管理技术，将产品的性能、⽣命周期费⽤及性能参数都作为输⼊，构建了基于CAIV的产品费效权衡模型，应⽤于混凝⼟泵车产品的设计⽅案优选，有效避免了费效分析中存在的弊端。
集装箱港口堆场箱位数的二阶段随机规划方法
网 络 出版 地 址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ２ ３ ． １ ３ ９ ０ ． Ｕ ． ２ ０ １ ３ １ ０ ２ １ ． ０ ９ ０ ７ ． ０ ０ ２ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
中图分类号 ： Ｕ ６ ５ １ ． ５ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ７ ４３ ０ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２ — １ ５ ２ ０ ｇ ｅ ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕｍ ｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｌａ ｆ ｔ ｃ ｏ ｎ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｒ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｒ ｔ ｙ ａ ｒ ｄ Ｇ Ｕ Ｏ Ｚ ｉ ｊ ｉ ａ ｎ ， Ｘ Ｕ Ｓ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ａ ｏ ， ＷＡ Ｎ Ｇ Ｗｅ ｎ ｙ ｕ ａ ｎ ， Ｐ Ｅ Ｎ Ｇ Ｙ ｕ ｎ
集 装箱 港 口堆 场箱 位 数 的二 阶段 随机 规 划 方法
郭子 坚， 许松乔 ，王文渊 ，彭云
（ 大连理 工大学 建设工程学部 ， 辽 宁 大连 １ １ ６ ０ ２ ３ ） 摘 要： 针对集装箱港 口堆场平面箱位数确 定的 问题 ， 在分 析集装箱 港 口装卸 流程 的基 础上 ， 考虑集装 箱种类 、 装 卸工
随机规划经验逼近最优解集序列的几乎处处上半收敛性
ｍ［ ｉ ｎ ｍ［ ｉ ｎ
， ＋Ｓ ） ） ５ ， ｏ］ （ ， ） ） ＋ ） ］ ， （ ５ ）
文章编￣： ０— ８ （ ０）４ ７ １ ６ ＇ ０５ ０５２ ７０— ０— １ ３ ０ ０ ０
随机 规划经验 逼近 最优 解集 序列
的几乎处 处上半 收敛性木
霍永亮 ， 刘三 阳
ｆ一榆林学院数学与应用数学系 ，陕西榆林 ７ ９ ０ ； ｌ １００ 西 安电子科技大学应用数学系 ，西安 ７ ０ ７ １ １０ １ 摘 要：本文对随机规划经验逼近最优解集的几乎处处上半收敛性进行了研究 。首先通过经验概率测度替 代初 始规划 的概 率测度得 到随机 规划 的经 验逼 近模 型，然后将 带有约 束的随机 规划 问题 转化 成与 其等价的无约束的随机 规划 问题 ，最后利用上图收敛性 理论，给出了随机 规划 经验逼近 最优 解集 的几乎处处上半收敛性 。本文采 用的经验逼近 方法可应用于研 究随机 规划 统计估计 问题 的一致相 合性 、稳健性 、极大似然估计 的强相合性 。 关键 词： 随机规划 ；经验逼近 ；最优解集 ；正则条件 ；几乎处处上半收敛
∈Ｄ．
（＝ ： ｛∈ ）
， ）
）０∈） ＜ｌ 。，
（＝ （： ，， （ ） ，， （ ｛ （ ） ） ） ∈ ） ， ＝ （ ） ） ｄ ， ） ｄ
问题（ 和问题（） ２ ） ３又可以 分别等价地转化为下列问题（） ４和问题（） ５
｛∈ ：
在许多实际问题中，概率测度 。 是未知的，而只有 礼个样本点 （ ） ∈ ， ） ， ） 是已 １ ， … ） 知的。而 ∈ ） １ ， ）… ， ） ， 是随机独立取得的样本，因此可以认为随机变量 ∈， ， ， １ … 是独立的且与 ∈有相同的分布。对每一个固定的 ∈Ｑ ，观测值 （ ） ∈ ， ）… ， ） 可 １ ， ）
随机优化与随机规划
随机优化与随机规划随机优化和随机规划是运筹学和数学领域中一类重要的优化问题求解方法。
它们通过引入随机变量来刻画问题中的不确定性信息，进而对问题进行求解和优化。
本文将介绍随机优化和随机规划的基本概念、方法以及应用领域。
一、随机优化的基本概念随机优化是指在优化问题中引入随机变量的方法，将确定性优化问题转化为随机优化问题，从而考虑问题中的不确定性因素。
随机优化的目标是在考虑不确定性条件下，寻找使得目标函数达到最优的解。
随机优化的基本步骤包括：建立模型、制定目标函数、确定约束条件、引入随机变量、建立随机优化模型、求解最优解。
其中，引入随机变量是随机优化的核心步骤，通过引入随机变量来刻画问题中的不确定性信息。
随机优化可以分为两类：随机线性规划和随机非线性规划。
随机线性规划是指目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题；随机非线性规划是指目标函数和/或约束条件中存在非线性函数的优化问题。
二、随机规划的基本概念随机规划是指在规划问题中引入随机变量的方法，将确定性规划问题转化为随机规划问题，从而考虑问题中的不确定性因素。
随机规划的目标是在考虑不确定性条件下，制定合理的规划方案。
随机规划的基本步骤包括：建立模型、制定目标函数、确定约束条件、引入随机变量、建立随机规划模型、求解最优解。
与随机优化相似，引入随机变量也是随机规划的核心步骤。
随机规划可以分为两类：随机线性规划和随机非线性规划。
随机线性规划是指目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题；随机非线性规划是指目标函数和/或约束条件中存在非线性函数的规划问题。
三、随机优化与随机规划的应用领域随机优化和随机规划在实际应用中具有广泛的应用领域，以下列举几个典型的应用领域：1. 金融风险管理：随机优化和随机规划可以应用于金融领域中的风险管理问题，通过引入随机变量来描述金融市场的不确定性，进而制定合理的投资组合方案和风险控制策略。
2. 生产调度问题：随机优化和随机规划可以应用于生产调度领域中的问题，通过引入随机变量来刻画生产过程中的各种不确定性因素，进而优化生产计划、资源调度和物流管理。
基于Benders'分解法的随机规划HN解及应用举例
ｍｉ ｎ ｛ ｆ ｏ （ ｚ ０ ） ＋Ｅ ［ － ｍｉ ｎ ｛ ｆ １ （ Ｉ ｚ ｏ ， ， ｚ １ （ ｏ ， ａ） ） ＋ … ＋
Ｅ钉ｌ 一 ， 。 ． ［ ｍｉ ｎ ｛ 厂 Ｔ （ ｏ ， ａ， …， Ｘ Ｔ （ ｚ ｏ ， ， …， 钉） ｝ ］ ） ｝ ］ ｝
ｌ ｇ ｉ （ ｚ 。 ， １ ， ， ｚ １ ， （ ｚ 。 ， ， ） ） ≤ ｏ ，
ｔ ‘ １ ；
下 面 以二 阶段 线性 随 机规划 一般 形式 （ ４ ） 为例来 说 明这种 算法 。 ｍｉ ｎ ｃ Ｔ ｘ＋ Ｅ ［ － ｍｉ ｎ ｑ （ ￥ ） Ｗ ｙ ］
Ｖｏ １ ． ３ ｌ Ｎｏ ． ２ Ａｐ ｒ ．２ ０ １ ３
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ —５ ８ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ —０ １ ９ ６ —０ ４
基于 Ｂ ｅ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ’ 分 解 法 的 随机 规 划 Ｈ Ｎ解 及 应 用 举 例
冯 宏 岩 ，孟 慧 慧
（ １ ．沈 阳师范大学 人事处 ，沈 阳 １ １ ０ ０ ３ ４ ；２ ． 河北 民族师 范学 院 数学与计算机 系 ，河北 承德 ０ ６ ７ ０ ０ Ｏ ）
摘
要 ：随机 规划方法在解 决不确定环境 中的资源配置 问题上具有很 大优势。笔者介绍并
采用 了 Ｂ ｅ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ’ 分解法来求解动态随机规划 ， 依 据“ 阶段 ” 的概 念划分 出后部子规划 ， 通 过前 向模
第 ２ 期
冯宏 岩 ， 等 ：基于 Ｂ ｅ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ’ 分解法 的随机规划 ＨＮ解及应用举例
随机规划模型
研究Pn(t)旳变化规律；得到X(t)旳期望和方差
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t旳出生和死亡概率作下列假设
1)出生一人旳概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上旳概率为o(t).
2)死亡一人旳概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上旳概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立旳随机事件。
为拟定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个以便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空旳概率p，则 s=mp
怎 设每只挂钩为空旳概率为q，则 p=1-q
样 求
设每只挂钩不被一工人触到旳概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到旳概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩经过每一工作台旳上方
u=1/m
优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）
求解 J (m) m
P(m)
y
xm,
m,
l
J ()
( )
P(m)
l
p( x)dx
p(x)
1
e
(
xm)
2 2
2
2
z
(
z)
z
(
y)dy
(y)
1
y2
e2
2
J () ( )
J (z) ( z)
(z)
求 z 使J(z) 最小（已知 ）
• 能够用一种周期内传送带运走旳产品数占产品 总数旳百分比，作为衡量传送带效率旳数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品旳时刻不会一致，能够以为是随机旳， 而且在一种周期内任一时刻旳可能性相同。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；
运筹学-随机规划
page 5 21 May 2020
School of Management & Economics of UESTC
Operations Research
期望值模型
解：由于每天可以售出报纸份数为随机变量b. 若x≥b, 则每天 报纸的剩余量为x-b; 否则为0. 于是, 报童的收益为
f
(x,
b)
(a (a
p)x, p)b
p(x
b),
xb xb
收益函数 f (x,b)是随机变量, 考虑其期望收益
E(
f
( x, b))
x
0
p(x
b)
(a
p)b(b)db
x (a p)x(b)db
这里E表示期望值算子, (b)表示需求量b的概率密度函数.
报童问题就是寻找最优的订购数量x, 使期望收益E(f(x,b))达到最 大值. 这是一个典型的期望值模型.
其中x是一个n维决策向量，是一个t维随机向量，其概率密度函数为( ), f (x, )是目标函数, g j (x, )是随机约束函数, E表示期望值算子，
E( f (x, )) f (x, )( )d Rt
E(g j (x, )) Rt g j (x, )( )d , j 1, 2,L , p E(hk (x, )) Rt hk (x, )( )d , k 1, 2,L , q
Operations Research
随机规划
page 1 21 May 2020
School of Management & Economics of UESTC
Operations Research
随机规划
在确定性数学规划问题中, 要求目标函数是确定性函数, 约束条件确定的集合是一个确定的可行域. 但是，数学规划 问题中目标函数或约束条件中的系数往往是随机变 (向) 量. 含有随机变 (向)量的数学规划问题被称为随机规划.
数学建模中经济与金融优化模型分析
数学建模中经济与金融优化模型分析在当今复杂多变的经济与金融领域，数学建模已成为一种不可或缺的工具。
通过建立数学模型，我们能够对经济和金融现象进行定量分析，预测趋势，制定优化策略，从而为决策提供有力支持。
本文将深入探讨数学建模中常见的经济与金融优化模型，分析它们的原理、应用以及优缺点。
一、线性规划模型线性规划是数学建模中最基本也是应用最广泛的优化模型之一。
它主要用于解决在一组线性约束条件下，如何使线性目标函数达到最优值的问题。
在经济领域，线性规划常用于生产计划的制定。
例如，一家工厂生产多种产品，每种产品需要不同的原材料、生产时间和劳动力，同时市场对每种产品的需求也有限制。
通过建立线性规划模型，工厂可以确定每种产品的生产数量，以在满足各种约束条件的前提下，实现利润最大化。
在金融领域，线性规划可用于资产配置。
投资者拥有一定的资金，并希望在多种资产（如股票、债券、基金等）之间进行分配，以在风险限制和预期收益目标下，实现投资组合的最优配置。
线性规划模型的优点在于计算简单、易于理解和求解。
然而，它也有局限性，比如只能处理线性关系，无法准确描述现实中许多复杂的非线性现象。
二、整数规划模型整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取整数值的优化模型。
在经济领域，整数规划常用于项目选择和人员分配问题。
例如，一个企业有多个项目可供投资，但每个项目的投资金额是整数，且资源有限。
通过整数规划模型，可以确定投资哪些项目，以实现企业的长期发展目标。
在金融领域，整数规划可用于股票的买卖决策。
假设投资者只能以整数股买卖股票，且有资金和风险限制，整数规划可以帮助确定购买哪些股票以及购买的数量。
整数规划模型相较于线性规划更加符合实际情况，但求解难度也更大，往往需要更复杂的算法和计算资源。
三、非线性规划模型非线性规划用于处理目标函数或约束条件中包含非线性函数的优化问题。
在经济领域，非线性规划可用于研究成本函数和需求函数为非线性的企业生产决策。
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第二讲 随机规划第一节 基本概念1、 问题的提出许多实际决策问题，尤其是比较复杂的决策问题，可以建立如下的线性规划模型：{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫≥=+++=+++=++++++.0,...,,............min 11221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a to subject x c x c x c M M （1.1） 用矩阵向量分析法，简化问题（1.1）得：⎪⎭⎪⎬⎫≥=0..min x b Ax t s xc T （1.2） 线性规划模型，在工业生产、运输业、农业、能源、生态、工程等领域都有广泛（典型）的应用。
在问题（1.1）中系数j c （例如价格因素）、ij a （比如生产率）、j b （比如需求量或存储能力）假设都已知为实数，这样我们的任务就是：寻找满足约束条件的决策变量j x （比如投入因素、生产率水平、能源流），使这一组合达到最优。
显然，在现实生活中，如果相关的函数（例如，费用函数或生产函数）关于决策变量是线性的，那么模型（1.1）就能够合理的描述现实生活中的问题。
如果现实中不是这样的，比如，因为产品的边际成本（边际成本指的是每一单位新增生产的产品（或者购买的产品）带来到总成本的增量）的增长或边际报酬的减少，我们就需要更一般的形式来建立问题的模型，如下：⎪⎭⎪⎬⎫⊂∈=≤.,...,1,0)(..)(min 0n i IR X x m i x g t s x g （1.3） 形式如（1.3）的问题就是一个数学规划问题。
这里的集合X 以及函数m i IR IR g n i ,...,0,:=→可以理解为是在建模过程中给出的。
在许多模型建立过程中（如问题(1.1)和(1.3)），若系数i ij j b a c ,,或函数i g （和集合X ）分别为给定值，这是不合理的。
比如说，在水电发电站，流入发电站蓄水池的流水量，及运输网络中各个节点的需求量等等的因素，在建模的过程中，通常都作为不确定的参数。
在一个生产问题中，未来的生产率，用概率分布来描述是最好的。
但在建模过程中，这些参数真实值的不确定性，并不能用他们的平均值或别的估计值来消除（即真实值与平均值/估计值存在偏差）。
就是说，在考虑实际情况的时候，问题（1.1）、（1.3）的模型，可能并不适合来解决更实际的问题。
在这一章我们着重并尽可能的阐明，对于实际生活中的决策问题，需要扩大建模范围的必要性。
在数学规划中引入随机性是很自然的事情。
在模型中的系数i ij j b a c ,,常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。
由于各种不确定性因素的影响，这些参数经常出现波动。
例如，市场上对某种商品的需求量一般无法精确的预知，只能作出大致的预测，某种产品的生产成本往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化，这些变化与波动，在许多场合可以用一定的概率分布去描述。
因此，在数学规划中引入随机变量，能够使模型更加符合实际情况，从而是的决策更加合理。
例1 某化工厂生产过程中需要A ，B 两种化学成分，现有甲、乙两种原材料可供选用。
其中原料甲中化学成分A 的单位含量为10/a ，B 的单位含量为3/a ；原料乙中化学成分A 的单位含量为10/1，B 的单位含量为3/1。
根据生产要求，化学成分A 的总含量不得少于10/7个单位，化学成分A 的总含量不得少于3/4个单位。
甲、乙两种原料的价格相同，问如何采购原料，使得即满足生产要求，又是的成本最低？ 显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。
根据题意，设原料甲的采购数量为1x ，原料乙的采购数量为2x ，容易得到如下线性模型：21)(m in x x X f +=,047212121≥≥≥+≥+x x x bx x ax （1.4） 于是只要知道a 和b 的值，立即可以求得最优解。
但是，如果由于某种原因，原料甲中化学成分A 、B 的单位含量不稳定，其中T b a ),(=ξ是矩形}131,41{≤≤≤≤y x 内的均匀分布随机向量，则问题（1.4）就成为随机线性规划问题了。
由于引入了随机量，随机规划问题的分析与求解比普通数学规划问题要复杂大多。
在处理随机规划问题时，人们最容易想到的方法也许是将模型中的随机变量用它们的期望值来代，从而得到确定性的数学规划模型，再去求解。
事实上，过去许多确定性数学规划正是这样建立起来的，但是应当指出，这种处理方法在实际问题中并不总可行的。
为了说明这一点，我们不妨用此方法试解例1中的问题。
容易求得TT b a E E )3/2,2/5(]),[()(==ξ， （1.5） 将此值代入问题（1.4），得到确定线性规划模型如下：21)(m in x x X f += 0,0432725212121≥≥≥+≥+x x x x x x （1.6）可以求得此问题的唯一最优解为T T x x X )11/32,11/18(),(*2*1*==， （1.7）于是以此*X 作为原随机线性规划问题（1.4）的最优解。
可是，由于问题（1.4）中的T b a ),(是随机向量，我们自然希望知道，上述*X 是问题（1.4）的最优解这一事件的概率有多大？是问题（1.4）的可行解这一事件的概率有多大？然而，我们发现，4/1}3/2,2/5),{(}4,7),{(*2*1*2*1=≥≥=≥+≥+b a b a P x bx x ax b a P T T ， （1.8） 也即，*X 对问题（1.4）是可行解以0.75的概率是不可能的，只有0.25的可能性，这个解显然是不可用的。
这个例子说明，用上述方法处理随机规划问题时应当十分谨慎。
随机规划问题可以大致分为两种类型：被动型和主动型。
被动型即所谓“等待且看到（wait and see ）”模型，即决策者等待着观察问题中随机变量的实现，然后适当地利用这些实现的信息作出决策，分布问题即属于此种类型。
主动型即所谓“这里且现在（here and now ）”模型，决策者必须在没有机变量的实现的信息的情况下就作出决策，二阶段问题和机会约束规划均属于这种类型。
2、 分布问题分布问题的提法例1 设某工厂生产几种产品，需要用m 种原料。
第j 种产品对第i 种原料的单位需要量为ij a ，第i 种原料的拥有量为i b ，第j 种产品的单位利润为j c ，试问如何安排各产品的生产量j x （),...,1n j =），以使的在现有条件下利润最大？容易列出这个问题的线性规划模型为∑==nj j j x c X f 1)(maxnj x m i b x a j i n j j ij,...,1,0,...,1,1=≥=≤∑= （1.9）进一步考虑后，发现上述模型中的系数ij a 总存在误差，故认为ij a 是服从正态分布的随机变量；而单位利润系数j c 亦可能随市场价格波动而变化，此外原料拥有量i b 也可能因运输、保管等原因而发生短缺。
于是，上述系数均可视为随机变量，记为)(w a ij ，j c )(w ，)(w b i ，Ω∈w （n j m i ,...,1;,...,1==）。
为了合理安排生产，显然希望知道，在各种可能的情况下，)(max X f 的值是什么，也即希望知道)(max X f 的分布如何，或者希望知道)(max X f 的数学期望是多少。
也就是说，对于每个样本Ω∈w 求解一个线性规划问题∑==nj j j x w c X f 1)()(maxnj x m i w b x w a j i n j j ij,...,1,0,...,1),()(1=≥==∑= ， （1.10）然后再求)(max X f 的分布。
这就是本节将要讨论的分部问题。
一般地，所谓分布问题就是对于每个样本Ω∈w 求解一个线性规划问题X w C w )(min )(=ξ)()(≥=X w b X w A ， （1.11）并求)(w ξ的分布函数或其他概率特征。
上述问题中，)(w A 为随机矩阵，)(w b 和)(w c 分别随机向量。
显然为使上述分布问题在数学上有意义，首先要求)(w ξ必须是一个随机变量，即)(w ξ是概率空间),,(P P Ω上的Borel 可测函数。
对此有如下定理。
定理 1在上述分部问题中，最优目标函数值)(w ξ是一个随机变量，并且适当选择后可以找到该问题的一个最优解)(*w X 为随机向量。
随着w 的变化，问题（7.9）的最优目标函数值)(w ξ可能有限，也可能为无穷大。
如果)(w ξ取∞+活∞-的概率大于0，则)(w ξ的数学期望及其它概率特征均不存在，从而该问题在许多情况下将无实际意义。
因此，我们感兴趣的是：1))(:(=+∞<<-∞w w P ξ的情况，此时问题的最优值称为无缺陷的分布。
对于分部问题可以像对待普通线性规划那样按照参数规划的思路来讨论和求解，比如单纯形法、灵敏度分析等。
3、 期望值模型在期望约束下，使得目标函数的期望值达到最优的数学规划称为期望值模型。
期望值模型是数学规划中常见的形式之一，如期望费用极小化，期望值模型极大化问题等等。
首先考虑报童问题。
报童需要每天提前到邮局定购报纸并确定所定购的报纸数量x 分，每份价格为c 元。
已经知道每份报纸的售价为a 元。
如果报童没有卖完当天的报纸，则回收中心以极低的价格b 元回收报纸。
假设每天报纸的需求量为ξ，若ξ>x ，则每天报纸的剩余量为ξ-x ，否则为0。
这样报童的受益为⎩⎨⎧>-+-≤-=ξξξξx b a x c b x x c a x f ,)()(,)(),( ， （1.12） 在实际问题中，报童的需求量ξ通常是随机变量，从而导致效益函数),(ξx f 也是随机变量。
既然不能准确地预测出订购x 份报纸的实际收益，一个自然的方法就是考虑期望收益⎰⎰+∞-+-+-=xx d x c a d b a x c b x f E ξξφξξφξξ)()()(])()[()],([0， （3.2）其中E 表示期望值算子，)(ξφ表示需求量ξ的概率密度函数。
报童问题就是寻找最优的定购数量x 使期望收益)],([ξx f E 达到最大值，这是一个典型的期望值模型。
（1）期望算子假设t 维随机向量ξ的概率密度函数为)(ξφ，则随机向量ξ的期望值定义为⎰=tR d E ξξξφξ)(][， （1.13） 通常也称其为均值设f 为定义在t R 上的实函数，则)(ξf 是一个随机变量，其期望值))((ξf E 可以通过下式来计算：⎰=t R d f f E ξξφξξ)()()]([， （1.14）期望值算子有如下的基本性质：若b a +=ξη，其中a 和b 是常数，则b aE E +=][][ξη， （1.15）更一般的情况，设n ξξξ,...,,21是n 个随机变量，且期望值][i E ξ（n i ,...,2,1=）存在，则有][...][][]...[2121n n E E E E ξξξξξξ+++=+++， （1.16）设n ξξξ,...,,21是n 个相互独立的随机变量，且期望值][i E ξ（n i ,...,2,1=）存在，则有][]...[].[]....[2121n n E E E E ξξξξξξ=， （1.17）（2）期望值模型单目标期望值模型的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===≤qk X h E p j X g E t s X f E k j ,...,2,1,0)],([,...,2,1,0)],([.)],([max ξξξ， （1.18） 其中X 是一个n 维决策向量，ξ是一个t 维随机向量，其概率密度函数为)(ξφ，),(ξX f 是目标函数，),(ξX g j 和),(ξX h k 是随机约束函数，p j ,...,2,1=，q k ,...,2,1=由于⎰=t R d X f X f E ξξφξξ)(),()],([⎰=t Rj j d X g X g E ξξφξξ)(),()],([，p j ,...,2,1= （1.19） ⎰=t Rk k d X h X h E ξξφξξ)(),()],([，q k ,...,2,1= 一个可行解*X 是期望模型最优解，如果对于任意的可行解X ，有 )],([)],([*ξξX f E X f E ≥成立。