广西桂林市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(含解析)
桂林市2019-2020学年度上学期高二期末质量检测分析报告
桂林市2019-2020学年度上学期高二期末质量检测分析桂林市教育科学研究所桂林市2019-2020学年度上学期高二年级期末质量检测科目共9科：语文、数学、英语、物理（理科）、化学（理科）、生物（理科）、地理（文科）、历史（文科）、政治（文科）。
参考学校近60所（其中示范性高中19所，普通高中和职业技校40余所），参考学生27778人（文科10058人，理科17720人）。
本期质量检测阅卷继续采取全市统一网上阅卷形式。
经过精心组织，细致安排，严格监控阅卷过程，确保了有效数据信息的准确获取，为质量分析提供了科学依据。
现根据统计数据和阅卷情况分析报告如下。
一、试题命制高二期考是非毕业年级的阶段性诊断考试，目的在于检查学生一个阶段以来通过学习，其学科素养所达到标准的程度。
本套试题的命制遵循各学科课程标准和目前使用的教材，参照近三年高考命题改革方向，立足基础知识、基本技能、基本方法、基本学科思想，突出主干内容和学科核心素养的考查；力图引导各科教学由注重学科知识转化为学科应用能力的培养和提升。
全套试题由我市各学科优秀骨干教师和市教科所教研员共同命制、审改、校定。
各科均按高考科目赋分标准进行命制，从实际考试反馈情况来看，全套试题的长度、难度、题型结构等基本合理，考查内容注重学科知识与学科核心素养、学生生活实际及社会热点的融合联系，加强了对学生发现问题、分析问题和运用所学解决实际问题的能力考查；全套试卷难易适中；各科卷面文字、图表、赋分值及答题卡设计均校对准确无误，没有出现科学性错误和技术性问题，试卷的效度、信度及无纸化阅卷质量均符合市级统一检测的规范要求。
二、全市考试平均分1 / 25对比上届（2018年秋季学期）期考成绩，本届期考文、理科总分平均分略高，分别提升了8分、9.51分，反映本次期考难度控制比较适当。
其中，文科语文、文科英语、历史相对稳定，而文科数学偏易、地理偏难；理科语文、数学稍易，而英语稍难，物理、化学、生物相对稳定。
广西桂林市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
桂林市2019~2020学年度上学期期未质量检测高二年级数学（理科）一、选择题：1.下列各点中，在二元一次不等式10x y -+<所表示的平面区域内的是（ ） A. ()0,0 B. ()0,1C. ()0,2D. ()2,0【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次不等式,代入各个点的坐标,即可判断是否在不等式表示的平面区域内.【详解】对于A,将()0,0代入不等式10x y -+<可得10<不成立,所以()0,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以A 错误;对于B,将()0,1代入不等式10x y -+<可得00<不成立,所以()0,1不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以B 错误;对于C,将()0,2代入不等式10x y -+<可得10-<成立,所以()0,2在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以C 正确;对于D,将()2,0代入不等式10x y -+<可得30<不成立,所以()2,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以D 错误;综上可知,C 表示的点在不等式10x y -+<表示的区域内 故选:C【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域与点的关系,属于基础题. 2.等差数列{}n a 中，126a a +=，238a a +=，则{}n a 的公差为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得方程组,求得公差.【详解】等差数列{}n a 中,126a a +=,238a a +=,由通项公式可得1111628a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩ 解得1d = 故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单计算,属于基础题. 3.若x y >，a ∈R ，则下列不等式正确的是（ ） A. x a y a +>+B. a x a y ->-C. ax ay >D.a ax y> 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质,可判断四个选项即可. 【详解】x y >,a R ∈对于A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立”,可知A 正确; 对于B,若x y >,则x y -<-,则a x a y -<-成立,所以B 错误; 对于C,若x y >,当0a >时,ax ay >;当0a ≤时ax ay ≤,所以C 错误; 对于D,若x y >,当0a =时不等式不成立,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题. 4.命题p ：x ∀∈R ，2210x x -+>，则p ⌝为（ ）A. 0x ∃∈R ，200210x x -+>B. x ∀∈R ，2210x x -+<C. 0x ∃∈R ，200210x x -+≤D. x ∀∈R ，2210x x -+≤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词命题的否定,可得结果. 【详解】命题p ：x ∀∈R ,2210x x -+>由全称命题的否定可知,p ⌝为0x ∃∈R ,200210x x -+≤故选:C【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题. 5.命题“若1x =，则22x <”的否命题是（ ） A. “若22x <，则1x =” B. “若21x ≥，则1x ≠” C. “若1x =，则22x >” D. “若1x ≠，则22x ≥” 【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题的定义,可得选项. 【详解】命题“若1x =,则22x <”根据否命题定义,可知其否命题为: “若1x ≠,则22x ≥” 故选:D【点睛】本题考查了命题及其否命题的写法,属于基础题.6.抛物线24y x =上一点P 到其焦点的距离为5．则点P 的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得点P 的横坐标. 详解】抛物线24y x = 则准线方程1x =-因为P 到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5 所以P 点的横坐标为4 故选:C【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题. 7.“1x <-是21x >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为1x <-，必要21x >，若21x >，则1x <- 或1x > ，即1x <-不一定成立，所以 “1x <-是21x >”成立的充分不必要条件，故选A.8.已知ABC V的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ））A. 4-B.4C.3D. 3-【答案】A 【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a）2a ）∵2a a >>）∴2a 所对的角为最大角，设为θ）则根据余弦定理得222cos 4θ==-） 本题选择A 选项.9.若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可． 【详解】解：画出可行域（如图），z ＝x ﹣2y ⇒y 12=x 12-z ， 由图可知，当直线l 经过点A （0，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max ＝0﹣2×（﹣1）＝2． 故选C ．【点睛】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．10.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()4232a a a =+，则74S S 等于（ ） A.74B.145C. 7D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质,2314a a a a +=+.结合等差数列前n项和公式可得()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+即可代入求值.【详解】公差不为零的等差数列{}n a 中,()4232a a a =+ 由等差数列性质可知2314a a a a +=+则()4142a a a =+由等差数列前n 项和公式可知()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+所以()()()147441414727722a a S a S a a a a ⨯+===++ 故选:C【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,属于基础题.11.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45，则AF =（ ） A.52B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形,结合BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45,可得45DB DA =.由抛物线定义即可求得AF . 【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:过A 作AN 垂直准线并交准线于N,过B 作BM 垂直于准线并交准线于M. 由抛物线定义可知,2BF =,则2BM BF == 因为BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45则45DB DA =所以在DBM ∆与DAN ∆中,45DB BM DA AN == 由2BM =,代入可得52AN =根据抛物线定义可得52AF AN == 故选:A【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题.12.第一象限内的点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线1l ：b y x a =上，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，12PF PF ⊥，2PF 平行于另一条渐近线2l ，则双曲线的离心率是（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由P 在渐近线1l 上可设出P 点坐标.结合2PF 平行于另一条渐近线2l 可求得2cm =,代入求得P 点坐标.再根据12PF PF ⊥,结合两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系即可求得离心率. 【详解】根据题意,画出几何图形如下图所示:因为P 在渐近线1l :b y x a =上,设,bm P m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 、2F 为双曲线的左、右焦点,所以()1,0F c -,()2,0F c由2PF 平行于另一条渐近线2l 则2PF bmb a k mc a ==--,化简可得2cm = 所以,22c bc P a ⎛⎫⎪⎝⎭因为12PF PF ⊥ 则121PF PF k k ⨯=-所以()212bc b aca c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭--,化简可得223b a =在双曲线中满足222b c a =- 所以224c a =即2c e a ===故选:B【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,渐近线方程的应用,两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题．13.若三个正数1，b ，16成等比数列，则b =______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比中项定义,可求得b 的值. 【详解】三个正数1,b ,16成等比数列 由等比中项定义可得2116b =⨯ 解得4b =± 由题正数4b = 故答案为: 4【点睛】本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题.14.ABC ∆中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，已知4a =，b =45A =o ，则sin B 等于______． 【答案】12【解析】 【分析】根据正弦定理,可直接求得sin B . 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=代入可得4sin sin 45B=o可得4512sin 442B ===o故答案为:12【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题. 15.若不等书11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】构造基本不等式,即可求得a 的最大值. 【详解】令()11f x x x =+- 变形可得()1111f x x x =+-+-,()1,x ∈+∞由基本不等式可得()111131f x x x =+-+≥=- 当且仅当111x x =--,即2x =时取等号 而11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立 所以3a ≤即a 的最大值为3 故答案为:3【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,利用基本不等式求参数的最值,属于基础题.16.如图，1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆交于其中一点P ，与y 轴交于M点，且22F P PM =u u u u v u u u u v.直线1F P 与12F MF ∠的外角平分线交于Q 点，则MPQ ∆的周长为_____．【答案】3 【解析】 分析】由题意先得12P F F n 与PQM n 相似，由22F P PM=u u u u v u u u u v确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果. 【详解】由题意可得1221OM OM F PF QPM F F ∠∠∠=∠=，，MQ 是12F MF ∠的外角平分线，所以12PF F PQM ∠=∠，所以12P ~PQM F F n n ，又22F P PM =u u u u v u u u u v ，所以12121P 2MQ PQ PM F F F PF ===， 又由椭圆的方程22143x y +=可得：121242PF PF F F +==，， 所以MPQ ∆的周长为()1212132MQ PQ PM PF PF F F ++=++=. 故答案为3 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.设命题p ：()()320m m +-<，命题q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实根.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）32m -<<（2）(][)3,12,3-U【解析】【【分析】（1）解一元二次不等式,即可求得当p 为真命题时m 的取值范围;（2）先求得命题q 为真命题时m 的取值范围.由p q ∧为假命题,p q ∨为真命题可知p ,q 两命题一真一假.分类讨论,即可求得m 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时,()()320m m +-<解不等式可得32m -<<；（2）当q 为真命题时,由()2162160m ∆=--<, 可得13m <<,∵p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,∴p ,q 两命题一真一假,∴3213m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或或3231m m m -<<⎧⎨≥≤⎩或, 解得23m ≤<或31m -<≤,∴m 的取值范围是(][)3,12,3-U .【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.18.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元【解析】【分析】设出底面长为x ,宽为y ,根据总容积求得x 与y 的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于x 的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为x m ,宽为y m ,水池总造价为z 元,容积为3200m 1,可得31200xy =,因此400xy =,根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有()()2001502323200900z xy x y xy x y =+⨯+⨯=++,由基本不等式及不等式性质,可得()8000090080000900z x y =++≥+⨯,即80000900116000z ≥+⨯=,当且仅当20x y ==时,等号成立.所以,将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.19.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和记为n S ，121n n a S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a （2）n T 2312n n n ++-= 【解析】【分析】（1）利用递推公式及1n n n a S S -=-,可证明数列{}n a 为等比数列,求得首项后,即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）将1n a +代入{}n b 中求得数列{}n b .可知{}n n a b +为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得121n n a S +=+,121n n a S -=+（2n ≥）,两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=（2n ≥）,13n n a a +=又∵21121213a S a =+=+=,213a a =, ∴13n na a +=（n *∈N ）, ∴{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列,∴13-=n n a .（2）由（1）可知13-=n n a则13n n a +=所以313log log 3n n n b a n +===,所以13n n n a b n -+=+为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得()()()()01213132333n n T n -=++++++++L()()01213333123n n -=+++++++++L L()113132n n n +-=+- 2312n n n ++-=. 【点睛】本题考查了递推公式及1n n n a S S -=-的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n 项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.20.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a C c A +=．（1）求A ；（2）若a =，sin B C =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）34A π=（2）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理,将边转化为角,即可求得角A .（2）根据正弦定理与余弦定理,可求得,b c .再由三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由正弦定理及已知得sin sin sin cos 0A C C A +=,∵0C π<<,∴sin 0C ≠,∴sin cos 0A A +=,∴tan 1A =-,∵0A π<<,∴34A π=； （2sin B C =,c =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2215222b b b ⎛=+-⨯- ⎝⎭,即23b =,解得b =c = ∴13sin 22ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,属于基础题.21.数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2312233412222n nn n S a a a a a a a a +=+++⋯+，对n *∈N 都有1n n n a S ma ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21n n a =-（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用递推公式及累加法,结合首项即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式,并进行化简变形,由裂项法求和得n S .代入不等式后,分离参数,结合数列的单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（1）由12n n n a a +-=及11a =,有()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-211222n -=+++⋯+21n =-∴21n n a =-,（2）因为()()()()()()1111121212211212121212121n n n n n n n n n n n n a a +++++---===-------, ∴2231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11121n +=--,又因为对任意的n *∈N ,都有1n n n a S ma ≥+,210n n a =->, ∴1n nm S a ≤-, ∴11112121n n m +≤----恒成立, 只需1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭, ∵数列11112121n n +⎧⎫--⎨⎬--⎩⎭是递增数列, ∴当1n =时,13m ≤-, ∴m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了累加法求数列通项公式,裂项求和法的应用,根据数列单调性求参数的取值范围,属于中档题. 22.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点1F1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，在y 轴上是否存在点()0,M t ，使得MA MB =，且2AB =，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，0,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】【分析】（1）由题意可得,,a b c 的关系,解方程组求得,,a b c ,即可得椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与椭圆方程,用韦达定理表示出12x x +,12x x ,利用弦长公式表示出2AB =.化简后用k 表示出m ,再通过判别式判断出k 的取值范围. 设出AB 中点()00,D x y 的坐标,由点斜式表示出直线MD 的方程,并令0x =求得t 的表达式及取值范围即可.【详解】（1）依题意椭圆的焦距等于短轴的长,椭圆的右顶点到左焦点1F1可得2221b c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得1a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩, 所以所求椭圆方程为2212x y +=； （2）设()11,A x y ,()22,B x y , 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得()()222124210k x mkx m +++-=,()()()2222221681218210m k k m k m ∆=-+-=+->, ∵122412mk x x k -+=+,()21222112m x x k-=+, 假设存在点()0,M t 满足题意,AB =2==, 化简整理得()2221221k m k +=+, 此时()()222221282182121k k m k k ⎡⎤+⎢⎥∆=+-=+-+⎢⎥⎣⎦()()2218211021k k ⎡⎤⎢⎥=+->+⎢⎥⎣⎦恒成立, 所以R k ∈且0k ≠,设AB 中点()00,D x y , 则12022212x x km x k +==-+,0212m y k =+, 由MA MB =,则()0,M t 在线段AB 的中垂线上.因为0k ≠,直线MD 的方程为22121212m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭, 令0x =,则212m t k-=+, ∴()()()2222221212112m t k k k ==+++,∵0k ≠,∴20k >,∴()()221211kk ++>, ∴2102t <<,∴02t -<<或02t <<, 综上,存在t ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U 满足题意.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,弦长公式及直线过定点的问题综合应用,属于难题.。
广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末考试质量检测数学(理)试题 Word版含解析
桂林市2019~2020学年度下学期期末质量检测高二年级 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1. 23A =（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接根据排列数公式计算即可得答案.【详解】解：根据排列数公式()()()121mn A n n n n m =---+得：23326A =⨯=.故选：B.【点睛】本题考查排列数公式的计算，是基础题. 2. i （1+i ）=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i （1+i ）=i-1． 故选A ．【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础. 3. 函数()ln f x x =的导数是（ ） A. x B.1xC. ln xD. x e【答案】B 【解析】 【分析】根据导数公式直接计算即可得答案. 【详解】解：因为()1ln 'x x=， 所以()1'f x x=. 故选：B.【点睛】本题考查导数的公式，是基础题. 4.212xdx =⎰（ ）A. 3B. 2C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】直接利用微积分基本定理求解即可．【详解】222112|413xdx x ==-=⎰． 故选：A ．【点睛】本题考查微积分基本定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 5. 5(12)x +的展开式中的常数项为（ ） A. -1 B. 1C. 92D. 93【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，可得展开式的常数项．【详解】5(12)x +的展开式的通项为155(2)2r r r r rr T C x C x +==， 当0r =时，可得5(12)x +的展开式中的常数项为00521C =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题6. 用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ）A. a b <B. a b ≤C. a b >D. a b ≥【答案】B 【解析】 【分析】直接利用命题的否定，写出假设即可．【详解】用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时， 假设就是命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定， 命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定是：a b ． 故选：B ．【点睛】本题考查反证法的定义以及命题的否定，基本知识的考查． 7. 关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A. 没有最小值，有最大值 B. 有最小值，没有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 没有最小值，也没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】 利用()'fx 研究函数()f x 的最值.【详解】依题意()'2310f x x =+>，所以()f x 在R 上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题. 8. 已知随机变量X 的分布列是则a b +=（ ） A.23B.32C. 1D.34【解析】 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=. 故选：A.【点睛】本题考查分布列的性质，是基础题. 9. 已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（ ）A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C.【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( )A 5-B.5C. 5- D.5【解析】 【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【详解】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1 n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则()110n =-，，， ∴10cos ,5n BE n BE n BE⋅==⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．11. 根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ）A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先在5名男干部中任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，先在5名男干部中任选1人，有155C =种选法， 再从6名女干部中选出2人，有2615C =种选法，则有51575⨯=种不同的选法； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e <的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【详解】构造函数()()x f x g x e=，根据()()f x f x '>可知()0g x '<，得到()g x 在R 上单调递减；根据()()002f g e==，可将所求不等式转化为()()0g x g <，根据函数单调性可得到解集.【解答】令()()x f x g x e =，则()()()()()20x x x xf x e f x e f x f xg x e e ''--'==< ()g x ∴在R 上单调递减 ()02f = ()()002f g e∴== 则不等式()2xf x e >可化为()2xf x e<等价于()2g x <，即()()0g x g < 0x ∴> 即所求不等式的解集为：()0,∞+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数()()xf xg x e =，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则z =__________.【解析】 【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.【详解】解：根据复数模的计算公式得：z =【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题. 14. 已知()12P B A =，3()10P AB =，则()P A =__________. 【答案】35【解析】 【分析】直接根据条件概率公式计算即可得答案. 【详解】解：根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =和已知条件()12P B A =，3()10P AB =， 所以()()()3310152P AB P A P B A ===. 故答案为：35【点睛】本题考查条件概率公式的应用，是基础题.15. 经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221x y a b+=上一点()00,x y 的切线方程为______. 【答案】00221x x y ya b+= 【解析】 【分析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点()00,M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 和y 分别用()00,M x y 的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. 故答案为:00221x x y ya b+=.【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．16. 函数()cos f x x x =-在区间[0,]π上的最大值为__________. 【答案】1π+ 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，[0x ∈，]π，利用导数研究函数()f x 的单调性，根据单调性可得结果． 【详解】数()cos f x x x =-， ()1sin f x x '=+， [0x ∈，]π，()0f x ∴'>，当[0x ∈，]π时，函数()f x 单调递增；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大值为：()1f ππ=+．故答案为：1π+．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说眀、证明过程及演算步骤.17. 在91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，求： （1）含x 的项； （2）含3x 的项的系数.【答案】（1）126x ；（2）84-. 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，令x 的指数为1，求得参数的值，代入通项可求得结果；（2）写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，进而可求得展开式中含3x 的项的系数.【详解】（1）91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()99219911rr r rr r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎝⋅⋅⋅⋅⎪⎭， 令921r -=，得4r =，所以含x 的项为()4491126C x x -=⋅；（2）由（1），令923r -=，得3r =，所以含3x 的项的系数为()339184C ⋅-=-.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项或指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知函数1()ln 2f x x x ax =++在(1, (1))f 处的切线方程为2210x y --=. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）0a =；（2）减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求导得()1f x lnx a '=++，利用f '（1）1=，列出关于a 的方程，解之即可． （2）由（1）可知，()1(0)f x lnx x '=+>，令()0f x '=，则1=x e，然后根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系判断即可得解．【详解】（1）1()2f x xlnx ax =++，()1f x lnx a '∴=++， ()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程为2210x y --=，f '∴（1）1=，即011a ++=，解得0a =．（2）由（1）可知，1()2f x xlnx =+，()1(0)f x lnx x '∴=+>， 当1(0,)∈x e时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x e ∈,)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(e ,)+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 19. 在数列{}n a 中，已知11a =，112nn na a a +=+.（1）计算2a ，3 a ，4a ；（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）213a =，315a =，417a =；（2）121n a n =-，证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用()*11112nn na a a n N a +==∈+，，n 分别取234，，可求出234,,a a a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式；（2）根据计算结果猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式，用数学归纳法证明①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立；②假设n k =成立，利用()*112n n n a a n N a +=∈+，可证得当1n k =+时猜想也成立，故可得结论.【详解】（1）∵111,(1,2,3,)12nn a a a n a+===⋅⋅⋅+， ∴1211123a a a ==+，同理可得：315a =，417a =. （2）由（1）计算结果猜想121n a n =-， 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立，②假设当()*1n k k N=+∈时，猜想成立，即：121kak =-. 则当()*1n k k N =+∈时，111121212212(1)1121k k k a k a a k k k +-====+++-+-，所以，当1n k =+时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何*n N ∈都成立.【点睛】本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题． 20. 在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，E 为PD 中点.（1）求证：//PB 平面ACE ； （2）求二面角A BE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）105- 【解析】 【分析】(1)由中位线可知//OE BP ，结合线面平行判定即可证明//PB 平面ACE ；(2)以A 为原点构建空间直角坐标系，写出对应点的坐标并求出面ABE 、面BCE 的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系求它们的夹角的余弦值【详解】（1）证明:连接AC 、BD ，AC BD O = ，连接EO∵在BPD △中，BO OD =，PE ED = ∴//OE BP又∵BP ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ∴//BP 平面ACE（2）由题，易知PA ，AD ，AB 两两互相垂直，2PA AD == 故可建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B ，有(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，(0,2,0)CB =-，(2,1,1)CE =--设(,,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量，有020y z x +=⎧⎨=⎩令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-同理若(,,)n x y z =是平面BCE 的一个法向量，有2020y x y z -=⎧⎨--+=⎩令1x =，2z =，得(1,0,2)n = 则10cos ,||5|,|25m n m n m n ⋅〈〉===⨯∴由图知，二面角A BE C --(钝角)的余弦值为10-【点睛】本题考查了线面平行的判定证明平行，利用空间向量求二面角的余弦值，由题意构建空间坐标系并根据二面角所在的两个面确定各点坐标，可得面的法向量，进而求二面角的余弦值21. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=， ()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=，ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22. 已知函数()ln 2()f x m x x m =-∈R . （1）当6m =时，试确定()f x 的零点的个数；（2）若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求证：2m ≤. 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导函数的符号得到()f x 的单调性和极大值、计算1()f e，2()f e 的符号，由零点存在定理，即可判断零点个数；（2）由题意可得[(1)]2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设(1)y ln x x =+-，求得导数和单调性，得到2(1)(1)x x e m ln x x+-<+-对任意的0x >恒成立，再由此不等式的右边与2作差比较，再求出m 的范围．【详解】（1）当6m =时，知()6ln 2(0)f x x x x =->，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∵当03x <<时，()0f x '>；当3x >，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∴()f x 在区间()0,3是单调递增，在区间(3,)+∞单调递减. ∴max ()(3)6ln 360f x f ==->. 又∵1260f e e⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()221220f e e =-<. ∵()f x 在区间1,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在区间()23,e 各有1个零点.综上，函数()f x 零点的个数为2.（2）函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即为ln(1)2(1)2xm x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即有()(ln(1))21xm x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设ln(1)y x x =+-，1111x y x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减， 可得ln(1)0y x x =+-<，则()21ln(1)x x e m x x+-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立.由()211ln(1)22ln(1)ln(1)x x x e x e x xx x x x+-+--++-=⋅+-+-， 设()1ln(1)(0)xg x x e x x x =+--++>，1()21xg x e x '=--+，21()(1)x g x e x ''=-+，由()y g x ''=在0x >递减，即有()0g x ''<，可得()y g x '=在0x >递减，即有()0g x '<，可得()g x 在0x >递减，可得()0g x <，而ln(1)0x x +-<，可得1ln(1)20ln(1)x x e x xx x+--++⋅>+-. 则由()212ln(1)x x e x x+->+-，所以2m ≤.【点睛】本题考查函数的零点个数和函数恒成立问题解法，零点存在定理和分离参数法、以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于难题．。
2019学年广西桂林市高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年广西桂林市高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 抛物线y 2 =﹣4x的焦点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，﹣2）2. 命题“若x=1，则x 2 ﹣1=0”的否命题是（）A．若x=1，则x 2 ﹣1≠0 B．若x≠1，则x 2 ﹣1=0C．若x≠1，则x 2 ﹣1≠0 D．若x 2 ﹣1≠0，则x≠13. 在△ ABC 中，若AB=4，BC=5，B=60°，则AC=（）A． B． C． D．4. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（） A．y=±x B． C． D．5. 已知a，b，c为实数，则a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a+c＞b+c B．ac 2 ＞bc 2 C．|a|＞|b| D．6. 已知F是抛物线x 2 =8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A．4 B．5 C．6 D．77. 已知数列{a n }满足a n+1 =2a n （n ∈ N*），其前n项和为S n ，则 =（） A． B． C． D．8. 在△ ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ ABC 的形状为（）A．直角三角形 ________ B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45° ，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10 B．10 C．10 D．1010. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a 3 、a 9 、P与Q的大小关系是（）A．a 3 ＞P＞Q＞a 9 B．a 3 ＞Q＞P＞a 9 C．a 9 ＞P＞a 3 ＞Q D．P＞Q＞a 3 ＞a 911. 设M是圆P：（x+5） 2 +y 2 =36上一动点，点Q的坐标为（5，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹方程为（）A． B． C． D．12. 若不等式a 2 +b 2 +2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数λ的取值范围是（）A． B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，3）二、填空题13. 已知△ ABC 中，a=1，C=45°，S △ ABC =2，则b=_________ ．14. “若1≤x≤2，则m﹣1≤x≤m+1”的逆否命题为真命题，则m的取值范围是___________ ．15. 在等差数列{a n }中，a 1 =﹣9，S 3 =S 7 ，则当前n项和S n 最小时，n=___________ ．16. 已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_________ ．三、解答题17. 已知{a n }为公比q＞1的等比数列，，求{a n }的通项式a n 及前n项和S n ．18. 在锐角△ ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c= ，且S △ ABC = ，求a+b的值．19. 本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20. 已知命题p：“不等式x 2 ﹣mx+m+3＞0的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“p ∨ q” 为真，“p ∧ q”为假，求实数m的取值范围．21. 设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）设数列{b n }满足 =1﹣，n ∈ N * ，求{b n }的前n项和T n ．22. 如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B 两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△ GFD 的面积为S 1 ，△ OED （O为原点）的面积为S 2 ，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
广西桂林市龙胜中学2019_2020学年高二数学上学期段考试题理(无答案)
广西桂林市龙胜中学2019-2020学年高二数学上学期段考试题理（无答案）一、单选题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上）。
1．如果，那么下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.2．在等差数列中，若，则（）A. B.0 C.6 D.83．已知集合，，则（）A. B. C. D.4．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．75．不等式的解集是（）A．B． C． D．6．在数列中，，，，则（）A.6B.7C.8D.97．数列的前项和，则等于（）A.11B.15C.17D.208．在公差不为0的等差数列中，满足，则（）A.-1B.0C.1D.29．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.410．数列满足=，则数列的前项和为（）A．B．C．D．11．在中，，，角的角平分线，则（）A．B．C．D．12．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝3，c＝7，C=60°，则边长b＝_________. 14．的内角，，所对的边分别为，，，且，则______.15．在等比数列中，，，则公比________.16．已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为__________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
共70分)17．（本小题满分10分）求下列不等式的解集：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；18．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）求，并求当取何值时有最小值.19．（本小题满分12分）如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.20．（本小题满分12分）已知数列，，，.（1）求证：是等比数列；（2）设（），求数列的前项和.21．（本小题满分12分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）设，的面积为，求的值.22．（本小题满分12分）已知等比数列的首项，前项和满足.（1）求实数的值及通项公式；（2）设，求数列的前项和，并证明：.参考答案一．C ＡＤＢ ＤＣＡＣ ＢＢＤＡ 13．8 14．2 15.2±=q 16．17．(1).(2).(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤， 所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.18．（1）a n =2n –9；（2）最小值为-16 【详解】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得得a 1=–7，d =2， 所以{a n }的通项公式为a n =2n –9； （2）由（1）得， 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16. 19．（1）；（2）详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．20．（1）见解析（2）【详解】（1）依题意，，所以，是首项为2、公比为2的等比数列.（2）由（1）得：，，数列的前项和为. 21．（1）（2）【详解】（1）由正弦定理可得：，即（2）设的面积为，则由得：，解得：由余弦定理得：22．(1), ;(2)见解析.【详解】（1）当时，，得，又由及，得因为等比数列，故有，解得，由，所以，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）①②①-②得：所以，又，故令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以。
广西桂林市2019版高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
广西桂林市2019版高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 命题“∀x∈R，2x2+x﹣1≤0”的否定为（）A . ∀x∈R，2x2+x﹣1≥0B . ∃x0∈R，2x02+x0﹣1＞0C . ∀x∈R，2x2+x﹣1≠0D . ∃x0∈R，2x02+x0﹣1≤02. （2分） (2016高二上·黄陵开学考) 双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）设等比数列中，前n项和为,已知，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·大庆期中) 下列说法中正确的是（）A . 若| |=| |，则、的长度相同，方向相同或相反B . 若向量是向量的相反向量，则| |=| |C . 空间向量的减法满足结合律D . 在四边形ABCD中，一定有 + =5. （2分）,则“x∈A”是“x∈B”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件6. （2分） (2015高二上·安阳期末) 一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A . （x+3）2+y2=4B . （X﹣3）2+y2=1C . （X+ ）2+y2=D . （2x﹣3）2+4y2=17. （2分）已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·万载模拟) 已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则 + =（）A .B . 1C . 2D . 49. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（）A . ﹣2017B . ﹣2016C . ﹣2015D . ﹣201410. （2分） (2017高二上·四川期中) 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017·泉州模拟) 已知椭圆C： =1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A，B，F，则=________．12. （1分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则an=________13. （1分） (2016高二下·临泉开学考) 在ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径是________．14. （1分） (2016高二上·青岛期中) 如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB=5cm，AC=2cm，则B到平面PAC的距离为________．15. （1分） (2017高二下·淄川期末) 已知命题p：x2+4x+3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x=________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， cos＝．（1）求cosB的值；（2）若，b＝2 ，求a和c的值．17. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．18. （10分） (2015高三上·来宾期末) 如图，已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1 ，∠ABC=90°，M是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面AMC1；（2）求平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．19. （15分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和厢期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=p．qx；②f （x）=px2+qx+1；③f（x）=x（x﹣q）2+p（以上三式中p，q均为常数，且q＞l）．（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）；（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=l表示9月1日，…，以此类推）；（3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．20. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知数列{an}前n项和为Sn ，首项为a1 ，且，an ， Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证： + + +…+ ＜．21. （10分）(2017·乌鲁木齐模拟) 椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M，当l的斜率为时，|FM|= ．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2019-2020学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学(理)试题 word版
广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题（考试时间120分钟，满分150分）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1.23A =（ ）A.3B.6C.9D.122.(1)i i +=（ ） A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.函数()ln f x x =的导数是（ ） A.x B.1xC.ln xD.x e4.212xdx =⎰（ ）A.3B.2C.1D.325.5(12)x +的展开式中的常数项为（ ） A.-1B.1C.92D.936.用反证法证明命题“在ABC △中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ） A.a b <B.a b ≤C.a b >D.a b ≥7.关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，有最大值D.没有最小值，也没有最大值8.已知随机变量X 的分布列是（ ）则a b +=（ ）A.23B.32C.1D.349.已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（ ） A.0.84B.0.68C.0.32D.0.1610.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1C C 的中点，则直线BE 与平面1B BD 所成的角的正弦值为（ ）A. C. 11.根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ） A.60种B.70种C.75种D.150种12.已知定义在R 上的函数()y f x =与其导函数()f x '满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e <的解集为（ ）A.(,0)-∞B.(,2)-∞C.(2,)+∞D.(0,)+∞第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则||z =__________. 14.已知1()2P B A =∣，3()10P AB =，则()P A =__________. 15.经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点()00,x y 的切线方程为__________. 16.函数()cos f x x x =-在区间[0,]π上的最大值为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，求：（1）含x 的项； （2）含3x 的项的系数. 18.（本小题满分12分）已知函数1 ()ln2f x x x ax=++在(1,(1))f处的切线方程为2210x y--=.（1）求实数a的值；（2）求()f x的单调区间.19.（本小题满分12分）在数列{}n a中，已知11a=，112nnnaaa+=+.（1）计算2a，3a，4a；（2）根据计算结果猜想出{}n a的通项公式n a，并用数学归纳法证明你的结论.20.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD-中，已知底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且2PA AD==，E为PD中点.（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角A BE C--的余弦值.21.（本小题满分12分）某商店欲购进保质期为两天的某种食品，且每两天购进该食品一次（购进时该食品为刚生产）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元.如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了了解市场的需求情况，经统计该产品在本地区100天的销售量如下表：销售量（份）15 16 17 18 天数20 30 40 10若以样本频率为概率，解决以下问题：（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布与期望；（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，该商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？22.（本小题满分12分）已知函数()ln 2()f x m x x m =-∈R .（1）当6m =时，试确定()f x 的零点的个数；（2）若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意,()0x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.桂林市2019~2020学年度下学期期末质量检测高二年级理科数学参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：14.35 15.00221x x y y a b+= 16.1π+ 三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）9921991(1)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令921r -=，得4r =.所以含x 的项为449(1)126C x x -=.（2）由（1），令923r -=，得3r =.所以含3x 的项的系数为339(1)84C -=-.18.（本小题满分12分） 解：（1）()ln 1f x x a '=++， 据题知，(1)1f '=， ∴11a +=，解之得0a =.（2）由（1）可得：()1ln f x x '=+，当10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '≤ ，∴()f x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '> ，∴()f x 单调递增∴()f x 的单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 19.（本小题满分12分） 解：（1）∵111,(1,2,3,)12n n a a a n a+===⋅⋅⋅+.∴1211123a a a ==+， 同理可得：315a =，417a =. （2）由（1）计算结果猜想121n a n =-. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立，②假设当()*1n k k N =+∈时，猜想成立，即：121k a k =-. 则当()*1n k k N =+∈时，111121212212(1)1121k k k a k a a k k k +-====+++-+-， 所以，当1n k =+时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何*n N ∈都成立. 20.（本小题满分12分）解：（1）证明:连接AC 、BD ，ACBD O = ，连接EO∵在BPD △中，BO OD =，PE ED =， ∴OE BP ∥，又∵BP 平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴BP ∥平面ACE .（2）据题易知PA ，AD ，AB 两两互相垂直， 故可建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B ，设(,,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量， 又(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，∴020y z x +=⎧⎨=⎩，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-. 同理(1,0,2)n =是平面BCE 的一个法向量， 则10cos ,||25m n m n m n ⋅〈〉===⨯‖∴二面角A BE C --的余弦值为10. 21.（本小题满分12分）解：（1）根据题意可得30,31,32,33,34,35,36ξ=，则111(30)5525P ξ==⨯=，133(31)251025P ξ==⨯⨯=， 12331(32)25510104P ξ==⨯⨯+⨯=，11327(33)2251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=， 312211(34)210105550P ξ==⨯⨯+⨯=，212(35)251025P ξ==⨯⨯=， 111(36)1010100P ξ==⨯=， 故ξ得分布列如下：ξ30 31 32 33 34 35 36p125325 14 725 1150225 1100()3031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当购进32份时，利润为2131324(3148)(30416)252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ =107.52+13.92+4.16=125.6，当购进33份，利润为59131334(3248)(31416)(30424)10042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ =77.88+30+12.96+3.84=124.68， 125.6>124.68故，当购进32份时，利润更高. 22.（本小题满分12分）（1）当6m =时，知()6ln 2(0)f x x x x =->，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∵当03x <<时，()0f x '>；当3x >，则62(3)()2x f x x x-'=-=，∴()f x 在区间()0,3是单调递增，在区间(3,)+∞单调递减. ∴max ()(3)6ln 360f x f ==->. 又∵1260f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()221220f e e =-<. ∵()f x 在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭，在区间()23,e 各有1个零点. 综上，函数()f x 零点的个数为2.（2）函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即为ln(1)2(1)2xm x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即有()(ln(1))21x m x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设ln(1)y x x =+-，1111xy x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减， 可得ln(1)0y x x =+-<，则()21ln(1)x x e m x x+-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立.由()211ln(1)22ln(1)ln(1)x x x e x e x xx x x x+-+--++-=⋅+-+-，设()1ln(1)(0)xg x x e x x x =+--++>，1()21x g x e x '=--+，21()(1)x g x e x ''=-+， 由()y g x ''=在0x >递减，即有()0g x ''<，可得()y g x '=在0x >递减， 即有()0g x '<，可得()g x 在0x >递减，可得()0g x <，而ln(1)0x x +-<，可得1ln(1)20ln(1)x x e x xx x+--++⋅>+-. 则由()212ln(1)x x e x x+->+-，有2m ≤.即m 的范围是(,2]-∞.。
2019-2020学年广西桂林市高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广西桂林市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．A＝（）A．3B．6C．9D．122．i（1+i）＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．函数f（x）＝lnx的导数是（）A．x B．C．lnx D．e x4．2xdx＝（）A．3B．2C．1D．5．（1+2x）5的展开式中的常数项为（）A．﹣1B．1C．29D．396．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b7．关于函数f（x）＝x3+x，下列说法正确的是（）A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值D．没有最小值，也没有最大值8．已知随机变量X的分布列是X123P a b 则a+b＝（）A．B．C．1D．9．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ≤4）＝0.68，则P（ξ≤2）＝（）A．0.84B．0.68C．0.32D．0.1610．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．11．根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（）A．60种B．70种C．75种D．150 种12．定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知i是虚数单位，复数z＝2+i，则|z|＝．14．已知P（B|A）＝，P（AB）＝，则P（A）＝．15．经过圆x2+y2＝1上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝1，则由此类比可知：经过椭圆＝1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程为．16．函数f（x）＝x﹣cos x在区间[0，π]上的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．在（x﹣）9展开式中，求：（1）含x的项；（2）含x3的项的系数．18．已知函数f（x）＝xlnx+ax+的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝．（1）计算a2，a3，a4；（2）根据计算结果猜想出{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的结论．20．在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E为PD中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．21．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：销售量（份）15161718天数20304010（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？22．已知函数f（x）＝mlnx﹣2x（m∈R）．（1）当m＝6时，试确定f（x）的零点的个数；（2）若不等式f（x+1）＞mx﹣2e x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．A＝（）A．3B．6C．9D．12【分析】直接利用排列数公式求解即可．解：A＝3×2＝6．故选：B．2．i（1+i）＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】利用复数的原式性质即可得出．解：原式＝i﹣1．故选：A．3．函数f（x）＝lnx的导数是（）A．x B．C．lnx D．e x【分析】进行基本初等函数的求导即可．解：．故选：B．4．2xdx＝（）A．3B．2C．1D．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可．解：2xdx＝＝4﹣1＝3．故选：A．5．（1+2x）5的展开式中的常数项为（）A．﹣1B．1C．29D．39【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，可得展开式的常数项．解：（1+2x）5的展开式的通项为T r+1＝（2x）r＝x r，当r＝0时，可得（1+2x）5的展开式中的常数项为＝1．故选：B．6．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b【分析】直接利用命题的否定，写出经过即可．解：由题意可知：命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是：a≤b．故选：B．7．关于函数f（x）＝x3+x，下列说法正确的是（）A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值D．没有最小值，也没有最大值【分析】求出导数判断函数的单调性，即可得到结论．解：∵f（x）＝x3+x，x∈R，f′（x）＝3x2+1，由f′（x）＞0，函数是R上的增函数，所以没有最小值，也没有最大值，故选：D．8．已知随机变量X的分布列是X123P a b 则a+b＝（）A．B．C．1D．【分析】由随机变量X的分布列的性质直接求解．解：由随机变量X的分布列的性质得：＝1，解得a+b＝．故选：A．9．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ≤4）＝0.68，则P（ξ≤2）＝（）A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16【分析】由已知得到正态分布曲线的对称轴，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴正态分布曲线的对称轴为x＝3，又P（ξ≤4）＝0.68，∴P（ξ≤2）＝P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝1﹣0.68＝0.32．故选：C．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面B1BD所成角的正弦值．解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）．∴＝（﹣2，﹣2，0），＝（0，0，2），＝（﹣2，0，1）．设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z）．∵⊥，⊥，∴，令y＝1，则＝（﹣1，1，0）．∴cos＜n，＞＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ＝|cos＜n，＞|＝．故选：B．11．根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（）A．60种B．70种C．75种D．150 种【分析】根据题意，先在5名男干部任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先在5名男干部任选1人，有C51＝5种选法，再从6名女干部中选出2人，有C62＝15种选法，则有5×15＝75种不同的选法；故选：C．12．定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）【分析】构造函数g（x）＝，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x 的范围．【解答】设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f（x）＞f′（x），∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，则不等式等价于g（x）＜g（0），∵函数g（x）单调递减．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知i是虚数单位，复数z＝2+i，则|z|＝．【分析】直接利用复数模的计算公式求解．解：∵z＝2+i，|z|＝．故答案为：．14．已知P（B|A）＝，P（AB）＝，则P（A）＝．【分析】由条件概率得P（A）＝，由此能求出结果．解：∵P（B|A）＝，P（AB）＝，∴P（A）＝＝＝．故答案为：．15．经过圆x2+y2＝1上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝1，则由此类比可知：经过椭圆＝1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程为．【分析】圆的性质中，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x 和y分别用x0和y0替换，在椭圆中也可依此类推．解：圆的性质中，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x和y 分别用x0和y0替换，由类似的性质，在椭圆中得到的切线方程为．故答案为：．16．函数f（x）＝x﹣cos x在区间[0，π]上的最大值为π+1．【分析】求出导函数f′（x），x∈[0，π]．利用导数研究函数f（x）的单调性以及函数的极值即可得出．解：数f（x）＝x﹣cos x，f′（x）＝1+sin x，∵x∈[0，π]，∴f′（x）＞0，当x∈[0，π]时函数f（x）单调递增；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为：f（π）＝π+1．故答案为：π+1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．在（x﹣）9展开式中，求：（1）含x的项；（2）含x3的项的系数．【分析】（1）求出展开式的通项公式，令x的次数等于1进行求解即可．（2）根据展开式的通项公式，令x的次数等于3进行求解即可．解：（1）展开式的通项公式为T k+1＝C x9﹣k（﹣）k＝C（﹣1）k x9﹣2k，由9﹣2k＝1得k＝4，则含x的项为C（﹣1）4x＝126x．（2）由9﹣2k＝3得k＝3，则含x3的项系数为C（﹣1）3＝﹣84．18．已知函数f（x）＝xlnx+ax+的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间．【分析】（1）求导得f'（x）＝lnx+a+1，利用f'（1）＝1，列出关于a的方程，解之即可．（2）由（1）可知，f'（x）＝lnx+1（x＞0），令f'（x）＝0，则x＝，然后根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系判断即可得解．解：（1）∵f（x）＝xlnx+ax+，∴f'（x）＝lnx+a+1，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0，∴f'（1）＝1，即0+a+1＝1，解得a＝0．（2）由（1）可知，f（x）＝xlnx+，∴f'（x）＝lnx+1（x＞0），当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增，故f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝．（1）计算a2，a3，a4；（2）根据计算结果猜想出{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的结论．【分析】（1）由已知数列的首项结合数列递推式求得a2，a3，a4；（2）由（1）中求得的数列的部分项，猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明．解：（1）由a1＝1，a n+1＝，得，，；（2）由（1）计算结果猜想．下面利用数学归纳法证明：①当n＝1时，，猜想成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即．则当n＝k+1（k∈N*）时，＝＝＝，∴当n＝k+1时，猜想成立．综①②所述，猜想对于任意n∈N*都成立．20．在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E为PD中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）证明：连结AC，BD，AC∩BD＝O，连结EO，推导出OE∥BP，由此能证明BP∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值．解：（1）证明：连结AC，BD，AC∩BD＝O，连结EO，∵在△BPD中，BO＝OD，PE＝ED，∴OE∥BP，∵BP⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴BP∥平面ACE．（2）解：∵底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），＝（0，1，1），＝（2，0，0），＝（0，2，0），＝（﹣2，1，1），设＝（x，y，z）是平面ABE的一个法向量，则，取z＝1，得＝（0，﹣1，1），设平面BCE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，2），设二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，由图知θ是钝角，则cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为﹣．21．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：销售量（份）15161718天数20304010（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【分析】（1）计算ξ的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；（2）分别计算两种情况下所获利润的数学期望，得出结论．解：（1）ξ的可能取值有30，31，32，33，34，35，36，其中P（ξ＝30）＝0.2×0.2＝0.04，P（ξ＝31）＝2×0.2×0.3＝0.12，P（ξ＝32）＝0.3×0.3+2×0.2×0.4＝0.25，P（ξ＝33）＝2×0.2×0.1+2×0.3×0.4＝0.28，P（ξ＝34）＝0.4×0.4+2×0.3×0.1＝0.22，P（ξ＝35）＝2×0.4×0.1＝0.08，P（ξ＝36）＝0.1×0.1＝0.01．∴ξ的分布列为：ξ30313233343536P0.040.120.250.280.220.080.01∴E（ξ）＝30×0.04+31×0.12+32×0.25+33×0.28+34×0.22+35×0.08+36×0.01＝32.8．（2）当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X，则X的可能取值有104，116，128，且P（X＝104）＝0.04，P（X＝116）＝0.12，P（X＝128）＝1﹣0.04﹣0.12＝0.84，∴E（X）＝104×0.04+116×0.12+128×0.84＝125.6．当一次性购进33份食品时，设没两天的利润为Y，则Y的可能取值有96，108，120，132．且P（Y＝96）＝0.04，P（Y＝108）＝0.12，P（Y＝120）＝0.25，P（Y＝132）＝1﹣0.04﹣0.12﹣0.25＝0.59，∴E（Y）＝96×0.04+108×0.12+120×0.25+132×0.59＝124.68．∵E（X）＞E（Y），∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大．22．已知函数f（x）＝mlnx﹣2x（m∈R）．（1）当m＝6时，试确定f（x）的零点的个数；（2）若不等式f（x+1）＞mx﹣2e x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）根据条件，得到f（x）的单调性和极大值、计算f（），f（e2）的符号，由零点存在定理，即可判断零点个数；（2）由题意可得m[ln（x+1）﹣x]＞2（x+1﹣e x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，设y＝ln（x+1）﹣x，求得导数和单调性，得到m＜对任意的x＞0恒成立，再由此不等式的右边与2作差比较，再求出m的范围．解：（1）当m＝6时，f（x）＝6lnx﹣2x，则f′（x）＝﹣2＝，当0＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞3时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）的极大值为f（3），且为最大值为f（3）＝6ln3﹣6＞0，又f（）＝﹣6﹣＜0，f（e2）＝12﹣2e2＜0，所以f（x）在（，3），（3，e2）各有一个零点，综上可得f（x）的零点个数为2；（2）不等式f（x+1）＞mx﹣2e x对任意x∈（0，+∞）恒成立，即为mln（x+1）﹣2（x+1）＞mx﹣2e x对任意x∈（0，+∞）恒成立，即为m[ln（x+1）﹣x]＞2（x+1﹣e x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，设y＝ln（x+1）﹣x，则y′＝﹣1＝﹣，x＞0时，y′＜0，函数y递减，可得y＝ln（x+1）﹣x＜0，则m＜对任意的x＞0恒成立，由﹣2＝2•，设g（x）＝x+1﹣e x﹣ln（x+1）+x，x＞0，g′（x）＝2﹣﹣e x，g″（x）＝﹣e x，由y＝g″（x）在（0，+∞）递减，即有g″（x）＜0，可得y＝g′（x）在（0，+∞）递减，则有g′（x）＜0，可得g（x）在（0，+∞）递减，可得g（x）＜0，而ln（x+1）﹣x＜0，所以2•＞0，则由＞2，有m≤2，则m的范围是（﹣∞，2]．。
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2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．下列各点中，在二元次不等式x﹣y+1＜0所表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，0）2．等差数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝8，则{a n}的公差为（）A．0 B．1 C．2 D．33．若x＞y，a∈R，则下列不等式正确的是（）A．x+a＞y+a B．a﹣x＞a﹣y C．ax＞ay D．4．命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02﹣2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣2x0+1≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1≤05．命题“若x＝1，则x2＜2”的否命题是（）A．“若x2＜2，则x＝1”B．“若x2≥1，则x≠1”C．“若x＝1，则x2＞2”D．“若x≠1，则x2≥2”6．抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则P点的横坐标为（）A．3 B．4 C．5 D．67．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为（）A．B．C．D．9．若x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝2（a2+a3），则＝（）A．B．C．7 D．1411．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，B，与C的准线的交点为D．若|BF|＝2，△BDF与△ADF的面积之比为，则|AF|＝（）A．B．C．D．12．第一象限内的点P在双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线l1：上，F1、F2为双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，PF2平行于另一条渐近线l2，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．3二、填空题13．若三个正数1，b，16成等比数列，则b＝．14．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，已知a＝4，，A＝45°，则sin B等于．15．若不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最大值是．16．如图，F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆交于其中一点P，与y轴交于M点，且．直线F1P与∠F1MF2的外角平分线交于Q点，则△MPQ的周长为．三、解答题17．设命题p：（m+3）（m﹣2）＜0，命题q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．某工厂要建造一个长方体无益贮水池，其容积为1200m3，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？19．已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，a n+1＝2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a n+1，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin C+c cos A＝0．（1）求A；（2）若a＝，sin B＝sin C，求△ABC的面积．21．数列{a n}中，a1＝1，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，对n∈N*都有a n S n≥1+a n m恒成立，求实数m的取值范围．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点F1的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C交于A、B两点，在y轴上是否存在点M（0，t），使得|MA|＝|MB|，且|AB|＝2，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，有县只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各点中，在二元次不等式x﹣y+1＜0所表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，0）【分析】将点的坐标代入不等式进行验证即可解：当x＝0，y＝2时，0﹣2+1＝﹣1＜0，即点C（0，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：C．2．等差数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝8，则{a n}的公差为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由已知结合等差数列的通项公式性质即可求解．解：∵a1+a2＝6，∴a2+a3＝a1+a2+2d＝6+2d＝8，则d＝1故选：B．3．若x＞y，a∈R，则下列不等式正确的是（）A．x+a＞y+a B．a﹣x＞a﹣y C．ax＞ay D．【分析】根据不等式的基本性质可判断A的真假，取特殊值可排除BCD．解：∵x＞y，a∈R，∴x+a＞y+a，故A正确；根据x＞y，a∈R，取x＝1，y＝﹣1，a＝0可排除BCD．故选：A．4．命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02﹣2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣2x0+1≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1≤0【分析】据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0∈R，x02﹣2x0+1≤0，故选：C．5．命题“若x＝1，则x2＜2”的否命题是（）A．“若x2＜2，则x＝1”B．“若x2≥1，则x≠1”C．“若x＝1，则x2＞2”D．“若x≠1，则x2≥2”【分析】由四种命题的写法知，“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，写出即可．解：命题“若x＝1，则x2＜2”的否命题是“若x≠1，则x2≥2”．故选：D．6．抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则P点的横坐标为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|MF|＝5，则M到准线的距离也为5，即点M的横坐标x+，将p的值代入，进而求出x．解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|＝5＝x+，∴x＝4，故选：B．7．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．8．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设△ABC的三边为a，，2a，由三角形中大边对大角的规律可知，2a所对的角必定是最大的，设为角α，由余弦定理即可求出结果．解：设△ABC的三边为a，，2a，由三角形中大边对大角的规律可知，2a所对的角必定是最大的，设为角α，因此由余弦定理可得：cosα＝，故选：D．9．若x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣2y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：画出可行域（如图），z＝x﹣2y⇒y＝x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，﹣1）时，z最大，且最大值为z max＝0﹣2×（﹣1）＝2．故选：D．10．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝2（a2+a3），则＝（）A．B．C．7 D．14【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解：∵a4＝2（a2+a3），∴a4＝2（a1+a4），则＝＝＝7．故选：C．11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，B，与C 的准线的交点为D．若|BF|＝2，△BDF与△ADF的面积之比为，则|AF|＝（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出AB：BD，转化求解即可．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，B，与C的准线的交点为D．若|BF|＝2，△BDF与△ADF的面积之比为，可得：＝，即＝，所以AF＝．故选：A．12．第一象限内的点P在双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线l1：上，F1、F2为双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，PF2平行于另一条渐近线l2，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．3【分析】利用已知条件求出P的坐标，求出PF2的斜率，通过PF2平行于另一条渐近线l2，即可求解双曲线的离心率．解：第一象限内的点P在双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线l1：上，F1、F2为双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，可得P（a，b），PF2的斜率：＝PF2平行于另一条渐近线l2，可得，所以2a＝c，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：B．二、填空题：本大题共4小题．13．若三个正数1，b，16成等比数列，则b＝ 4 ．【分析】a，b的等比中项G＝．解：∵三个正数1，b，16成等比数列，∴b＝＝4．故答案为：4．14．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，已知a＝4，，A＝45°，则sin B等于．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．解：∵a＝4，，A＝45°，∴由正弦定理，可得sin B＝＝＝．故答案为：．15．若不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最大值是 3 ．【分析】由题意可得在x＞1的最小值，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求a的最大值．解：不等式对x∈（1，+∞）恒成立，即为在x＞1的最小值，而x+＝（x﹣1）++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时，取得等号，可得a≤3，即a的最大值为3．故答案为：3．16．如图，F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆交于其中一点P，与y轴交于M点，且．直线F1P与∠F1MF2的外角平分线交于Q点，则△MPQ的周长为 3 ．【分析】先证明MQ⊥y轴，得出△MPQ∽△F2PF1，并计算出△F1PF2的周长，利用相似比可求出△MPQ的周长．解：易得a＝2，c＝1，△PF1F2的周长为2a+2c＝6，由于MQ为∠F1MF2的外角平分线，且y轴为∠F1MF2的角平分线，所以，∠OMQ＝∠OMF2+∠QMF2＝，所以，MQ⊥y轴，所以，MQ∥x轴，易得△MPQ∽△F2PF1，设△MPQ的周长为m，则，所以，m＝3．因此，△MPQ的周长为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．设命题p：（m+3）（m﹣2）＜0，命题q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）由已知得等价不等式，解之即可；（2）由已知得p、q两命题一真一假，得等价不等式组，解之即可．解：（1）当p为真命题时，﹣3＜m＜2；（2）当q为真命题时，由△＝16（m﹣2）2﹣16＜0，可得：1＜m＜3，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q两命题一真一假，所以或，解得2≤m＜3或﹣3＜m≤1，∴m的取值范围是（﹣3，1]∪[2，3）．18．某工厂要建造一个长方体无益贮水池，其容积为1200m3，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【分析】利用已知条件求出函数的解析式，利用基本不等式转化求解即可．解：设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，根据题意，有z＝200xy+150（2×3x+2×3y）＝200xy+900（x+y），容积为200m31，可得3xy＝1200，因此xy＝400，由基本不等式及不等式性质，可得，即，当且仅当x＝y＝20时，等号成立．所以，将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元．19．已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，a n+1＝2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a n+1，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用a n+1＝2S n+1，a n＝2S n﹣1+1（n≥2）两式相减推出{a n}是以3为公比的等比数列．然后求解通项公式；（2）化简，得到，利用拆项法求解数列的和即可．解：（1）由题意得a n+1＝2S n+1，a n＝2S n﹣1+1（n≥2）两式相减得a n+1﹣a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝2a n⇒a n+1＝3a n（n≥2），所以当n≥2时，{a n}是以3为公比的等比数列．因为，所以，，{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以得．（2），所以，T n＝（30+1）+（31+2）+（32+3）+…+（3n﹣2+n﹣1）+（3n﹣1+n）＝（30+31+32+…+3n﹣2+3n﹣1）+（1+2+3+…+（n﹣1）+n）＝＝．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin C+c cos A＝0．（1）求A；（2）若a＝，sin B＝sin C，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理及已知得sin A sin C+sin C cos A＝0，求出tan A＝﹣1，所以0＜A＜π，所以；（2）由正弦定理得，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得，即b2＝3，解得，，所以．解：（1）由正弦定理及已知得sin A sin C+sin C cos A＝0，∵0＜C＜π，∴sin C≠0，∴sin A+cos A＝0，∴tan A＝﹣1，∵0＜A＜π，∴；（2）∵，∴由正弦定理得，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得，即b2＝3，解得，，∴．21．数列{a n}中，a1＝1，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，对n∈N*都有a n S n≥1+a n m恒成立，求实数m的取值范围．【分析】本题第（1）题根据递推式的特点可运用累加法求出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果对一般项代入计算并裂项，再计算S n时相消可得关于n的表达式，根据题意对n∈N*都有a n S n≥1+a n m恒成立，可等价转化为对任意的n∈N*恒成立，即对任意的n∈N*恒成立．构造数列，根据数列的单调性可得最小值，即可求得实数m的取值范围．解：（1）依题意，由及a1＝1，可得．∴，n∈N*．（2）由（1）知，，∴＝，又∵对任意的n∈N*，都有a n S n≥1+a n m恒成立，而＞0．∴对任意的n∈N*恒成立，即对任意的n∈N*恒成立．∵数列是单调递增数列，∴当n＝1时，数列取最小值为﹣．∴，∴实数m的取值范围是．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点F1的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C交于A、B两点，在y轴上是否存在点M（0，t），使得|MA|＝|MB|，且|AB|＝2，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式表示出|AB|，求得m，再利用△＞0，及中点坐标公式求得t的表达式，根据k的取值范围，即可求得实数t的取值范围．解：（1）依题意：，解得，所以椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣1）＝0，△＝16m2k2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）＝8（2k2+1﹣m2）＞0，∵，，假设存在点M（0，t）满足题意，，，化简整理得，此时＝恒成立，所以k∈R且k≠0，设AB中点D（x0，y0），则，，由|MA|＝|MB|，则M（0，t）在线段AB的中垂线上．因为k≠0，直线MD的方程为：，令x＝0，则，所以，因为k≠0，所以k2＞0，所以（1+2k2）（k2+1）＞1，因为，所以或，综上，存在满足题意．。