电场线高斯定理
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
电场的高斯定理
电场的高斯定理电场是物质之间相互作用的重要表现形式，它在日常生活中随处可见。
为了更好地理解和描述电场的性质，科学家们提出了众多的定理和公式。
其中，以德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的“高斯定理”被广泛应用于电场研究中。
1. 高斯定理的基本概念高斯定理描述了电场的性质与其产生的电荷分布之间的关系。
它表明，通过一个闭合曲面的电场通量与该曲面内所包含的电荷量成正比，与曲面形状和大小无关。
具体而言，高斯定理可表达为以下公式：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示通过闭合曲面的电场通量，Q表示该曲面内所包含的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 电场通量电场通量指的是电场线穿过一个给定曲面的总量。
在高斯定理中，通过曲面的电场通量是一个重要的参数，它可以用来描述电场的分布情况和强度。
通过一个平面曲面的电场通量可以计算为：Φ = E*A*cosθ其中，E表示电场强度，A表示曲面的面积，θ表示电场线和垂直于曲面的单位法向量之间的夹角。
3. 电场与电荷分布的关系根据高斯定理，电场通量与曲面内的电荷量成正比。
这意味着，电场线越密集、电荷量越大的区域，通过给定曲面的电场通量也越大。
通过运用高斯定理，我们可以通过测量电场通量来确定电荷的分布情况。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场研究中有着广泛的应用。
它常用于计算对称分布的电场强度、导体中的电荷分布以及电偶极子等问题。
4.1 计算对称分布的电场强度高斯定理在计算对称分布的电场强度时十分有用。
例如，对于球对称分布的电荷体系，可以选择一个以电荷球中心为原点的球面作为曲面，此时根据高斯定理可以得到球对称电荷体系内的电场强度分布。
4.2 导体中的电荷分布导体中的电荷分布也是高斯定理的重要应用之一。
由于导体内部不存在电场，因此电场线必定从导体表面垂直于表面出射。
通过选取合适的高斯曲面，可以很容易地计算出导体表面上的电荷分布情况。
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
大学物理高斯定理课堂PPT
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q0
E0
.
25
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
ql
E
2 0r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r1
0
R
r
.
26
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小 相等。
.
1
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
.S
S
q •
S
电场线
S'
q+
r
10
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定
律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的
高斯定律
dS E S2
0
e
q 4 0
d
S
0
S1
+
高斯定理
1 当点电荷在球心时
q e E dS
S
2
3
q 任一闭合曲面S包围该电荷 e E dS 0 S 闭合曲面S不包围该电荷 e E dS 0
0
Er 关系曲线
r
R
2
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为,球 内外的电容率均为 。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r 的高斯面
D dS D 4 r 2 q D
S
4 r 2
q
r
R
4 a.rR时，高斯面内电荷 q d V r 3 3
+
+
q
+ +
+
+ 荷，
+ + D 0，E＝ 0 R r + + rR时，高斯面包围电荷q， + + + + q D q D ，E＝ +++ + 4 r 4 r
D
0 r 2 2 0 r 0 r
q 0
+
+ +
+
q
E q 40 R 2
四. 高斯定理的应用
利用高斯定理，可以计算一些带电体在空间的电场强度分布。但要 求带电体的电荷分布具有较高的空间对称性。（为什么？）
s
D dS q
高斯定理
1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
第6章 静电场(2)高斯定理
0
q
S内
高斯面S上积分
S内一切电荷代数和
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？
2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φ e 有贡献 ？ （1）通过闭合曲面的总电通量只决定于它所包围的电荷，闭合曲面外部的电 荷对总电通量无贡献．
s
（2）虽然电场强度通量只与面内电荷有关，但高斯面上的电场强度是由全部 电荷（既包括闭合曲面内又包括闭合曲面外的电荷）共同产生的总电场强度，并 非只由闭合曲面内的电荷所产生。
四. 高斯定理应用
具有某种对称性的电场，可应用高斯定理求解静电场的场强分布。
1 用高斯定理直接求场强的条件： Φe E dS S
0
q
S内
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对称性），使得高斯 面上的 E 为一常数，且 E 与d S 夹角 为一常数（为0、 2 或 ）这样E 才能由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
与球心相距r , 当 R a r R b 时， 该点的电场 强度的大小为： (D)
1 4
0
(A)
Qa Qb r
2
1
(B)
4
0
Qa Qb r
2
1
(C)
4
(
0
Qa r
2Qb Rb2来自1)(D)
4
0
Qa r
2
解：作半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理
Qa 2 E d S 4 r E
E dS
S
EdS
S
E 4π r
2
1
0
S内
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S E
S
太原理工大学物理系
Es Es 2Es S 0
无限大均匀带正（负）电平面的场强
E
EE
E
太原理工大学物理系
两个无限大均匀带电平板，带电量为等量异号， 其场强的分布情况
E 2 0
E
2 0
E 0
E 0
太原理工大学物理系
例4 求均匀带电长直圆柱面电场的空间分布。
设沿轴线方向，单位长度上的电荷为
合面
S1 ,求S通2 ,过S各3 ,闭合面的电通量 .
q
Φe1
E dS
S1
0
q
q
Φe2 0
Φe3
q
0
S1
S2 S3
太原理工大学物理系
6)如S上各点 E ，0则
该表述正确吗？
7)如
SE dS， 则0 S上各点此话对否？举例说明之。E0
S
S
••
•
+q -q
q
太原理工大学物理系
高斯定理应用举例 例1 均匀带电球面，半径R，所带电荷量为q，求
S
E
电通量 Φe ES
(2)均匀电场， S是平面， 与电场线不垂直
n
电通量 Φe ES cos Φe E S
S
E
太原理工大学物理系
(3) S是任意曲面，E是非均匀电场把S分成无
限多dS
E 通过dS的通量
dS E
dΦe E dS
通过整个曲面的电通量
Φe dΦe s E cosdS
Φe s E dS
对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。
Φe
E dS
S
E cosdS
S
太原理工大学物理系
S 为封闭曲面
电场线穿出处
1
π 2
,
dΦe1 0
电场线穿入处
E
E2
2
2
π 2
,
dΦe2 0
dS 2
dS1
1 E1
通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场 线的净根数。
Φe SE cosdS
太原理工大学物理系
三、高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通 量和场源电荷之间的关系.
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等
于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以
.
0
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
太原理工大学物理系
四 高斯定理的证明 证明方法： 从特殊到一般
（1）若矢量场的通量处处为零, 则称该矢量场无 源，反之该矢量场有源。 （2）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无 旋，反之该矢量场有旋。
静电场是矢量场，通过讨论静电场的通量和环 流得到静电场的性质.
太原理工大学物理系
二 电场强度通量
定义：通过某面积S的电通量等于通过S的电场线 的条数。
(1)均匀电场， S是平面， 且与电场线垂直
场强在球面上的值有一个突变
太原理工大学物理系
例2 均匀带电球体，半径为R，总电量为q ,求电 场的分布。
解：由于电荷分布具有球对
称性，场强分布也具有球对 称性。高斯面选择为球面。
o
要求出球外p点的场强，选取以O为球心，r>R为 半径的球面S作为高斯面。
通过高斯面的电通量
太原理工大学物理系
因p点在球面外
o
若p 点在球面内时，高斯面包含的电荷量
太原理工大学物理系
R
RR
太原理工大学物理系
例3 求无限大均匀带电平面外的电场分布，设电
荷面密度为。
解：由对称性，任意场点p的场强 的方向垂直于带 电平面。
平面两侧距平面等远点
处的场强大小一样。
E
作一个圆柱形闭合面。
S
E
E dS
s
左E dS 右E dS 侧E dS
1 n
Φe
E dS
S
0
qi
i 1
高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律
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讨论
1） q<0，E<0，电力线进入闭合曲面，负电荷为
静电场的尾闾。
2） q>0 ， E>0，电力线穿出闭合曲面，正电荷
为静电场的源头。
结论：静电场为有源场。
库仑定律只适用于静电场，高斯定理适用于 静止电荷和静电场，也适用于运动电荷和变化的 电磁场。
1 点电荷q 被任意球面包围
设q >0，场具有球对称性
高 斯
dS E
q+
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2 点电荷q被任意曲面包围
推广到任意形状的闭合曲面s。
电场线不会中断， 通过S面的电通量与通过球面 电通量是相同的。
通过包围q的任意闭合 曲面的电场强度通量
也都等于q /0.
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3 闭合曲面不包围点电荷
§6-3 电场线 高斯定理
电场是物质存在的一种形式，由带电体所激 发.电场是矢量场,为了形象描述电场引入电力线.
一.电力线是在电场中画的曲线
规定：表示电场方向： 曲线上每一点的切向为该点的场强方向.
EA
EB
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表示场强大小： 电力线的疏密程度表示场强的大小.
电力线的性质 1）电力线起于正电荷(或无限远处)，终于负电
荷(或无限远处)。 2）两条电力线不会相交. 3）静电场电场线不闭合.
太原理工大学物理系
说明： 电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化 的方法。
太原理工大学物理系
太原理工大学物理系
矢量场的宏观特征表现为：矢量场“源” 及 “旋”，它是矢量固有性质的反映。
在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：
解:对称性分析,电场分布具有柱轴对称性
z
p点在圆柱体外（r>R） 过p点做的柱形闭合面
++ ++
E
上下两个底面的通量为零 侧面上各点场强的大小相等
+
r+
+ +
h
SE
dS
E
dS
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思考
1) 高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
s 2) 哪些电荷对闭合曲面 的 Φ有e贡献 ？
3)将 q从2 A移到B，点P电场强度是否变化？
s 4)穿过高斯面 的 Φ有e否变化？
q2 A P* q1
q2 B s
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5) 在点电荷 和q 的静q电场中，做如下的三个闭
电场的分布。
解：电场分布具有球对称性，则与带电球面距离相 同的空间各点的场强大小均相同。
为了利用高斯定理求出空 间任一点的场强，过球面 外任一点P1，取半径r与带 电球面同心的球面作为高 斯面.
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过球面内一点作一同心球面 通过高斯面的电通量
qi 0
0
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均匀带电球面的场强分布
点电荷q在闭合曲面S外时，电场线从一侧穿入S
面，从另一侧穿出S 面，从闭合面穿出的电场线
的净数目等于零。
s
s2
s1
q
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4 多个点电荷被任意闭合曲面包围 设带电体系由n个点电荷组成 其中 k个在闭合面内
n-k个在闭合面外
q k 1
qk2
q1
q2
q3
qk
高斯面S
太原理工大学物理系
由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为