电场的高斯定理

= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
E
E=
(r3 −R13) 3ε0r2
ρ
，( R1
<r
< R2 )
q 4 πε 0 R22
q 4πε o r 2
(r
>
R2 )
0 R1 R2
r
讨论：
E 的分布图： 连续，无突变。
E
q 4 πε0R22
E
q 4 πε 0R2
R1
+
q2 ε0
+L+
0
=
q内 ε0
同理,对电荷连续分布的带电体,可将它分成许 多电荷元,一样可以证明高斯定律是正确的。
Φ=
说明： （1）高斯定律中的
r E
∫∫
r E
⋅d
r S
=
∑ q i内
ε0
，总电场，是高斯面内、外全
部电荷激发的 ; 而 Σ q内只是对高斯面内的电荷求和。
（2） Φe由 ∑ q内 的值决定，与 q内分布无关；
小结：
1.电力线（电场线）
（1）线上每一点的切向就是该点的电场强度方向 （2）该点处的电力线的密度等于该处场强大小
2.电通量： Φ = ∫∫ Ev ⋅ dsv s
∫∫ ∑ 3.高斯定理：Φ =
r E
⋅d
r S
=
q i内
ε0
定理的表述：真空中的任何静电场内，通过任意封 闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代 数和除以真空介电常数。
∫∫ Φ 选= 球面Er为⋅高dsr斯=面E 4 π r ′2
Φ = qin / ε0
E
=
qin 4πε 0r′2
Or
qin = ?
将球体划分为许多很薄的球壳，取一球壳： dq = ρ 4π r 2dr
∫ ∫ qin＝
r′ 0
ρ 4π r 2dr
=
r′ 0
ρ0(1−
r R
)4π
r2dr
=
4πρ0
(
1 3
dS = E ⋅ 4π r 2
S′
Φ = Q内 = 0 ε0
E=0
r E
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩ 4
0 q π ε 0r 2
rˆ
(内) (外)
如何理解 在 r =R 处,
E 值的不连续：
答：在 r = R 处 E 不连续是 因为忽略了电荷厚度所致。
实际的带电球面总有一定的厚度, 而高斯球面是没有厚度的几何面，
(2) 选择适当的高斯面:
♦ ♦
高高斯斯面面各应部该分通或过∥场点Er 。,或⊥
r E
,
r E
⋅
d
sr
=
⎧ Eds ⎨
♦ 高斯面上待求的场强只有一个值
⎩0
∫ ∫ （可以提出积分号）。 E d s = E d s
典型静电场：
均匀带电球面
0 (r < R)
E=
Q 4πεor2
(r
>
R)
Qr
均匀带电球体 E = 4πε o R 3
Q
4πε or 2
均匀带电无限大平面
E= σ 2ε o
(r ≤ R) (r > R)
无限长均匀带电柱体
E=
λ
2πε or λr
2πε o R 2
(r > R) (r ≤ R)
E= ρ r 3ε 0
线，柱面
4
∫∫ ∫∫∫ 三、高斯定理的微分形式
高斯公式
v A
⋅
v dS
=
Φ
=
∫∫
r E
⋅
d
r S
=
∇
⋅
•
R2 O
q 4 πε0r2
0 R1 R2
r 0R
r
当 q、R2不变时： R1增大，层变薄，R1 < r < R2 区域的曲线变陡； 带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。
当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面 两侧的电场强度发生突变。……有普遍性
例4 ：求电荷线密度为λ 的无限长带电直线的场强分布。
P
R1 rr •
R2 O
S
E
=
q in 4 π ε 0r 2
Q qin
=
4π 3
( r3
−
R13
)ρ
，
E
=
(
r 3 − R13 3ε 0r 2
)
ρ
，
在带电球层内，场强是随着场点 P 与球心O的 距离增大而增大。
♦对 r < R1 : 任取一场点 P, 同理可得
R1
•
rrP
R2 O
E
=
q in 4 π ε0r2
a
——只与起始位置有关，而与路径无关。
• 连续带电体产生的场：
对于静止的连续带电体，可以看作无数的电荷元的集合， 因而它的场强同样具有上述特点
7.3 场强环路定理 电势
一、电场力的功
• 静止点电荷产生的场：
Q
rvb
原点O⊕rra rr
q0 a
b dr v θdr l r
F = q0E
r E
= Qrr 4πε 0 r 3
v F
=
dA
=
r F
⋅
v dl
=
rr
⋅
r dl
=
r
cos
v q0E
=
q0Qrr ⋅
Qq0rv d4lπv ε0 r 3
4πε 0 r 3
ri b
q2•
∫ ∑ q•1
ri
qi•
∑ ∫ ∑ ria
•×
×b
dl •q0
Ei
= q0
iБайду номын сангаас
A= br
b a
r qr0 E
⋅
d
r l
r
r
= q0
a
( E1
b
+
n
E2 r
+
... +En r
)
⋅
d
l
= q0
(
a
Ei ) ⋅ d l
b a
r Ei
⋅
d
r l
i
=
q0
i
qi ( 1 − 1 ) 4πε 0 ria rib
v AdV
∑ q i内
ε0
S
V
V 是曲面S所包围的体积
梯度算符
∇
=
v i
∂
+
v j
∂
+
v k
∂
∂x ∂y ∂z
Φe
=
∫
S
v E
⋅
v dS
=
∫V∇
⋅
v EdV
∫ = Q = 1 ρ d V
ε0 ε0 V
∇
⋅
r E
=
1
ρ
ε0
∇
⋅
r E
=
div
r E
E的散度
高斯定理的微分形式更深刻地反映了静 电场和场源电荷之间的关系
⊕
⊕
R
⊕⊕
dq
⊕
⊕ ⊕
⊕
O
r
⊕
′r ⊕ ⊕ dq′
⊕
P
s
E
0R
r
0 (r < R)
E=
Q 4πε0or
2R(r
>
R)
源球对称
场球对称
r r>R
∫ E
Φ=
r E
⋅
r dS
S
= E ∫S dS = E ⋅ 4π r 2
Φ= Q ε0
Q E = 4πε or 2
r<R
∫ ∫ Φ =
r E
⋅
r dS
=
E
S′
θ dl = rdr
dA = q0Q dr 4πε 0r 2