【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5
例1 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通
项公式． 项公式． 1 1 1 1 (1) ， ， ， ； 2×4 3×5 4×6 5×7 × × × × (2)－3,7，－ ，－15,31； － ，－ ； (3)2,6,2,6.
【解】 (1)均是分式且分子均为 1，分母均是两 均是分式且分子均为 ， 因数的积， 因数的积，第一个因数是项数加上 1，第二个因 ， 数比第一个因数大 ， 数比第一个因数大 2， 1 . ∴an＝ )(n＋ ) (n＋1)( ＋3) ＋ )(
2，n是奇数 ， 是奇数 . an＝4＋(－1) ·2 或 an＝ ＋－ ， 是偶数 6，n是偶数
n
n
2．公式法 ． 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、 符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比 数列的通项公式表示它． 数列的通项公式表示它．
知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同， 可以采用不同的方法求数列的通项公式， 可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方 法有如下几种： 法有如下几种： 1．观察归纳法 ． 观察归纳法就是观察数列特征， 观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的 构成规律，横向看各项之间的关系， 构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项 与项数n的内在联系， 与项数 的内在联系，从而归纳出数列的通项公 的内在联系 式．
例8
设数列{a 为等比数列 为等比数列， 设数列 n}为等比数列，Tn＝na1＋(n－ －
1)a2＋…＋2an－1＋an，且T1＝1，T2＝4. ＋ ， － (1)求数列 n}的首项和公比； 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比； 求数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{T 的通项公式 的通项公式． 求数列
【解】 (1)设等比数列 n}的公比为 q， 设等比数列{a 的公比为 ， 设等比数列 ∵Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an， － T1＝1， a1＝1， ， ， 由 得 ， ， T2＝4， 2a1＋a2＝4，
a1＝1， ， ∴q＝2. ＝ ∴ ， a2＝2，
故首项 a1＝1，公比 q＝2. ， ＝ (2)由(1)知 a1＝1，q＝2， 由 知 ， ＝ ， ∴an＝a1×qn－1＝2n－1. ∴Tn＝n×1＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，① × ＋ － × ＋ × 2Tn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋1×2n， × ＋ － × × × ② ＝－n＋ ＋ 由②－①得 Tn＝－ ＋2＋22＋…＋2n－1＋2n 2－2×2n － × ＝－n＋ ＝－n＋ ＝－(n＋ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋2n＋1－2＝－ ＋2)＋2n＋ ＝－ 1－2 －
an＋1 n＋2 ＋ 例4 已知 a1＝1， ， a ＝ n ，求 an. n a2 a3 an 【解】 当 n≥2 时，an＝a1· · ·…· ≥ … a1 a2 an － 1 n＋1 ＋ 3 4 5 ＝1× × × ×…× × 1 2 3 n－1 － n(n＋1) ( ＋ ) . ＝ 2 也适合上式． 而 a1＝1 也适合上式． 1 故{an}的通项公式 an＝ n(n＋1)． 的通项公式 ＋ ． 2
3．利用 an 与 Sn 的关系 ． 项和关系式有两种形式： 前 n 项和关系式有两种形式：一种是 Sn 与 n 的关 系 式 ， 记 为 Sn ＝ f(n) ， 它 可 由 公 式 an ＝
S1 Sn－Sn－1
(n＝1) ＝ ) 直接求出通项 an， 但要注意 n (n≥2) ≥ )
＝1 与 n≥2 两种情况能否统一；另一种是 Sn 与 ≥ 两种情况能否统一； an 的关系式，记为 f(an，Sn)＝0，求它的通项公式 的关系式， ＝ ， an
例3
已知数列{a 满足关系式 满足关系式lg(1＋a1＋a2＋… 已知数列 n}满足关系式 ＋ 由题意知lg(Sn＋1)＝n， 由题意知 ＝ ，
的通项公式． ＋an)＝n(n∈N*)，求数列 n}的通项公式． ＝ ∈ ，求数列{a 的通项公式 【解】 ∴Sn＝10n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝9. ＝ 时
1
.
等差、 等差、等比数列的性质 题型特点：等差、等比数列性质是数列中的基础， 题型特点：等差、等比数列性质是数列中的基础， 试题多以选择题和填空题的形式考查，属于基础题， 试题多以选择题和填空题的形式考查，属于基础题， 难度不大． 难度不大． 知识方法： 等差数列的性质 等差数列的性质： 知识方法：(1)等差数列的性质： d＞0时为递增数列 时为递增数列； d＜0时为递减数列 时为递减数列； ①当d＞0时为递增数列；当d＜0时为递减数列； 当d＝0时为常数列． ＝ 时为常数列． 时为常数列 ②若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an ＋ ＝ ＋ ， ， ， ∈ ， ＝ap＋aq. 在等差数列{a 中 ， 成等 ③在等差数列 n}中，若k1，k2，…，kn，…成等 差数列， 差数列，则ak1，ak2，…，akn，…也成等差数 ， 也成等差 优 化 总 结
专题探究精讲
知识体系网络
专题探究精讲
数列通项公式的求法 题型特点：数列的通项公式是数列的核心内容， 题型特点：数列的通项公式是数列的核心内容， 它如同函数中的解析式一样， 它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研 究其性质等， 究其性质等，而有了数列的通项公式便可研究数 列其它问题，求数列通项公式常见题型为： 列其它问题，求数列通项公式常见题型为：已知 数列的前几项，已知数列的前n项和 项和， 数列的前几项 ， 已知数列的前 项和 ， 已知数列 的递推关系等条件来求数列的通项公式， 的递推关系等条件来求数列的通项公式，题型多 为解答题． 为解答题．
例5 已知数列 n}中 ， a1 ＝ 1， 且 an＋ 1 － an ＝ 3n 已知数列{a 中 ， ＋
的通项公式． －n，求数列 n}的通项公式． ，求数列{a 的通项公式 【解】 由an＋1－an＝3n－n， ， ＋ － － ， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， － － an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， － ， － － … a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1. ， － 个等式两端分别相加， 当n≥2时，以上 －1)个等式两端分别相加，得 时 以上(n－ 个等式两端分别相加 (an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) － ＋ － － ＋ ＋ － － ＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]， ＋ － － ＋ － ＋ ＋ ，
数列求和 题型特点： 题型特点：求数列的和是数列运算的重要内容之 一，数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求 和，特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或 特殊数列就是指等差或等比数列， 非等比数列称为一般数列． 非等比数列称为一般数列．一般多以解答题形式 出现，难度较大． 出现，难度较大．
知识方法：数列求和常用的方法有：①公式法( 知识方法： 数列求和常用的方法有： 公式法 即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解)， 即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解 ， 倒序相加法， 错位相减法， 裂项相消法， ② 倒序相加法 ， ③ 错位相减法 ， ④ 裂项相消法 ， 分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把 ⑤分组转化法 即把数列的每一项分成多个项或把 数列的项重新组合， 数列的项重新组合 ， 使其转化为等差数列或等比 数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解)． 数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解 ．
3(1－3n－1) n(n－1) ( － ( － ) . 即 an－a1＝ － 2 1－3 － 又∵a1＝1， ， n(n－1) 1 ( － ) 1 n ∴an＝ ×3 － － . 2 2 2 也适合上式， 显然 a1＝1 也适合上式， 1 ∴ {an} 的 通 项 公 式 为 an ＝ ×3n － 2
－ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1) 时 － － － ＝9×10n－1. × － 显然， ＝ 时也满足关系式 时也满足关系式9× 显然，n＝1时也满足关系式 ×10n－1. － 综上，an＝9×10n－1(n∈N*)． 综上， × ∈ ．
4．叠加法、叠乘法 ．叠加法、 有些数列，虽然不是等差数列或等比数列， 有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是 它的后项与前项的差或商具有一定的规律性． 它的后项与前项的差或商具有一定的规律性．这 时，可考虑利用叠加或叠乘法，结合等差、等比 可考虑利用叠加或叠乘法，结合等差、 数列的知识解决． 数列的知识解决．
【证明】 证明】 ∵(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0， ＋ ＝ ， ＋
f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)． ＝ ＝ ． ∴(an＋1－an)×10(an－1)＋(an－1)2＝0. × ＋ ＋ 即(an－1)(10an＋1－9an－1)＝0. ＝ ＋
a 又 a1＝2， ， 可知对任意 n∈N＋， n－1≠0， ∈ ≠ ， 9 1 所以 an＋1＝ an＋ . 10 10 9 1 an ＋ － 1 an＋1－1 10 10 9 ∵ ＝ ＝ ， 10 an － 1 an － 1 ∴{an－1}是以 a1－1＝1 为首项， 是以 ＝ 为首项， 9 的等比数列． 公比为 的等比数列． 10
例2
已知数列{a 为无穷数列 为无穷数列， 已知数列 n}为无穷数列，若an－1＋an＋1 － ＋
＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通项 n. 且 ∈ ， ， ，求通项a
【解】 ∵an－1＋an＋1＝2an， 成等差数列． ∴an－1，an，an＋1 成等差数列． * n≥ n∈ 又∵n≥2 且 n∈N ， 数列{a 为等差数列 为等差数列， ∴数列 n}为等差数列， 设首项为 a1，公差为 d， ， a2＝4， a1＝3， ， ， 可得 由 ， ＝ ， a6＝8， d＝1， ∴通项 an＝3＋(n－1)×1＝n＋2. ＋ － × ＝ ＋
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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数 ⇔{an}是等差 通项法： 为常数)⇔ 通项法 ＋ 、 为常数 是等差 数列． 数列． 警示： ＋ 为常数， ∈ 对任意n∈ 警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意 ∈N 为常数 对任意 都要恒成立，不能几项成立便说{a 为等差数 ＋都要恒成立，不能几项成立便说 n}为等差数 列．
3.等差中项 等差中项 在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做 在由三个数 ， ， 组成的等差数列中， 叫做a 组成的等差数列中 叫做 的等差中项． 与b的等差中项．这三个数满足关系式 ＋b＝ 的等差中项 这三个数满足关系式a＋ ＝ ____ 2A.
思考感悟 2．任何两个实数都有等差中项吗？ ．任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：都有等差中项． 提示：都有等差中项．
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 名师点评】 方法有以下几种： 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 定义法： ＋ 为常数， ∈ 定义法 为常数 ⇔ 为等差数列． 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 等差中项法： ＋ 等差中项法 是等差数 ＋ 列．
2．2 等差数列 ． 2． 2．2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， ．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， 深化认识并能运用． 深化认识并能运用．
2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
例2
之间顺次插入三个数a， ， 使这 在－1与7之间顺次插入三个数 ，b，c使这 与 之间顺次插入三个数
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
2．用函数的观点看等比数列的通项公式 ． － 等比数列{a 的通项公式 等比数列 n}的通项公式 an＝a1qn 1， 还可以改写 a1 n 当 ＞ ， ≠ ＝ 为 an＝ q q .当 q＞0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指 a1 n 数函数， 数函数，而 y＝ q ·q 是一个不为 0 的常数与指数 ＝ 函数的积．因此等比数列{a 的图象是函数 ＝ 函数的积．因此等比数列 n}的图象是函数 y＝ a1 x ·q 图象上的一些孤立的点． 图象上的一些孤立的点． q
例3
已知数列{a 满足 满足a 已知数列 n}满足 1＝1，an＋1＝2an＋1. ， ＋
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列； 求证：数列 是等比数列； 求证 是等比数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{a 的通项公式 的通项公式． 求数列 【思路点拨】 思路点拨】 将递推公式变形， 将递推公式变形，然后利用等比 数列的定义判定． 数列的定义判定． 证明： 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 证明 ， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． ＝ ． ， ≠ ， ≠ 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 * 所以 ＝2(n∈N )． ∈ ． an＋1 所以数列{a 是等比数列． 所以数列 n＋1}是等比数列． 是等比数列
2. 4.1 等 比 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．如果一个数列从__________起，每一项与它 ．如果一个数列从 第二项 起 的前一项的差都等于__________， 的前一项的差都等于 同一常数 ，那么这个数列 叫做等差数列． 叫做等差数列． a1＋(n－1)d 是关 － 2．等差数列的通项公式：an＝___________是关 ．等差数列的通项公式： 的一次函数式(或常函数 于n的一次函数式 或常函数 ． 的一次函数式 或常函数)．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5
数列的函数性质 数列是一种特殊的函数， 数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同 样适用于数列问题，不过要注意n∈N*，否则易 样适用于数列问题，不过要注意 ∈ 出现错误． 出现错误．
n2 例3 已知数列 n}的通项公式为 an＝ 2 已知数列{a 的通项公式为 . n ＋1 求证：此数列为递增数列． 求证：此数列为递增数列．
2.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1 1 1 1 1．前5个正整数的倒数排成一列：1，2，3，4，5. 个正整数的倒数排成一列： ， ． 个正整数的倒数排成一列 _____________
2．函数的基本表示方法有________、_______和 ．函数的基本表示方法有 解析法 、 列表法 和 图象法 _________. 3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}； ．集合的列举法的一般形式为 ， ， ， ， ； 集合的元素具有_________、 互异性 、 无序性 ． 集合的元素具有 确定性 、_______、_______．
(2)按项的变化趋势分类 按项的变化趋势分类 类别 递增 数列 递减 数列 常数 列 摆动 数列 含义 从第2项起 每一项都____它的前一项 项起， 从第 项起，每一项都大于 它的前一项 的数列 项起， 从第2项起 每一项都____它的前一项 从第2项起，每一项都____它的前一项 小于 的数列 各项_____的数列 各项 相等 的数列 从第2项起，有些项 大于 它的前一项 它的前一项， 从第 项起，有些项_____它的前一项， 项起 有些项小于它的前一项的数列
课堂互动讲练
考点突破 用观察法求数列的通项公式 根据数列的前几项写出它的一个通项公式， 根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键 在于观察、分析数列的前几项的特征， 在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列 的构成规律．为了发现数列的构成规律， 的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序 标在相应的项上， 号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第 ， 标在相应的项上 这样便于突出第n 与项数n的关系 即突出a 如何用n表示 的关系， 表示． 项an与项数 的关系，即突出 n如何用 表示．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5
【点评】 点评】
利用等差数列的定义巧设未知量， 利用等差数列的定义巧设未知量，
从而简化计算．一般地有如下规律： 从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数 的项数n为奇数时 列{an}的项数 为奇数时，可设中间一项为 ， 的项数 为奇数时，可设中间一项为a， 再用公差为d向两边分别设项： a－2d， 再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a 向两边分别设项 －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项 ， ， ＋ ， ＋ ， 时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为 可设中间两项为 － ， ＋ ， 2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a 向两边分别设项： 向两边分别设项 － ， － ， ＋ ， 这样可减少计算量． ＋3d，…，这样可减少计算量． ，
第二课时
课前自主学案 第 二 课 时
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知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1． 等差数列的定义 ： 如果一个数列从第 项 ． 等差数列的定义： 如果一个数列从第2项 起 ， 每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数， 那么这个数列叫做等差数列， 常数 ， 那么这个数列叫做等差数列 ， 这个常 数叫做等差数列的_____，通常用字母 表示 表示. 数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母d表示 － 2．等差数列的通项公式： _______________. ．等差数列的通项公式： an＝a1＋(n－1)d
64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. ＝ × 15 15 法二：因为 为等差数列， 法二：因为{an}为等差数列， 为等差数列 所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，其 也成等差数列， 为其第四项， 公差为 d，a15 为首项，则 a60 为其第四项， ， 为首项， ， ＝ 所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4. 所以 a75＝a60＋d⇒a75＝24. ⇒
人教A版高中数学必修五课件第2章2.3
(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最 大．
方法感悟
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加 法． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an， Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外 两个量．
前
Hale Waihona Puke n 项知能优化训练
和
课前自主学案
温故夯基
1．上一节刚学过等差数列的性质，即满足 a_n＋__1－__a_n_＝__d_(_常__数__)_(n_∈__N__*)_的数列就是等差数列． 2．等差数列的通项公式是 ___a_n＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d_(_n_∈__N__*)__，其中d是等差数列的 _公__差__． 3．等差数列有一个性质：对于m，n，q，p∈N*， 若m＋n＝p＋q，则_a_m__＋__a_n＝__a_p_＋__a_q_. __
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2．3 等差数列的前n项和
学习目标
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实 际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn 的关系，能够由其中的三个求另外的两个．
2.3
等
课前自主学案
差
数
列 的
课堂互动讲练
n＝1， n＞1，n∈N*.
例2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋12n，求这 个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如 果是，它的首项与公差分别是多少？
【思路点拨】 由 an＝SS1n，－nS＝n－11，n≥2 求 an.
【解】 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an与Sn－1＝a1＋ a2＋…＋an－1(n≥2)，可知当n≥2时， an＝Sn－Sn－1
方法感悟
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加 法． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an， Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外 两个量．
前
Hale Waihona Puke n 项知能优化训练
和
课前自主学案
温故夯基
1．上一节刚学过等差数列的性质，即满足 a_n＋__1－__a_n_＝__d_(_常__数__)_(n_∈__N__*)_的数列就是等差数列． 2．等差数列的通项公式是 ___a_n＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d_(_n_∈__N__*)__，其中d是等差数列的 _公__差__． 3．等差数列有一个性质：对于m，n，q，p∈N*， 若m＋n＝p＋q，则_a_m__＋__a_n＝__a_p_＋__a_q_. __
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（金戈铁骑 整理制作）
2．3 等差数列的前n项和
学习目标
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实 际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn 的关系，能够由其中的三个求另外的两个．
2.3
等
课前自主学案
差
数
列 的
课堂互动讲练
n＝1， n＞1，n∈N*.
例2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋12n，求这 个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如 果是，它的首项与公差分别是多少？
【思路点拨】 由 an＝SS1n，－nS＝n－11，n≥2 求 an.
【解】 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an与Sn－1＝a1＋ a2＋…＋an－1(n≥2)，可知当n≥2时， an＝Sn－Sn－1
新版高中数学人教A版必修5课件：第二章数列 2本章整合
专题三
专题四
(3)解∵an+1= ���������2��� + 2������������, ∴ ������������ + 1 = ������������(������������ + 2).
1 11 1
∴ ������������+1 = 2 ������������ - ������������ + 2 ,
=2
1 ������1
-
1 ������2
+
1 ������2
-
1 ������3
+
…
+
1 ������������
-
1 ������������+1
=2
1 ������1
-
1 ������������+1
.
∵an= 32������-1 − 1, ������1 = 2, ������������ + 1 = 32������ − 1,
∴Sn=1−
2 32������
.
-1
又
Tn=
32������ -1,
∴
������������
2
∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.①
∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
①-②,得 Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
2(1-2������) = 1-2 − ������ × 2������ + 1 = 2������ + 1 − ������ × 2������ + 1 − 2.
【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5
3．理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系． ．理解等比数列前 项和公式与函数的关系． a1(1－qn) － a1 a1 n a1 Sn ＝ q ， 设 a＝ ＝ － ＝ ，则 1－q － 1－q 1－q － － 1－q － Sn＝a－aqn，Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 － 的积， 则数列为等比数列． 的积，即若 Sn＝a－aqn，则数列为等比数列． － 4．等比数列 n}前 n 项和 Sn(Sn≠0)，前 n 项积 ．等比数列{a 前 ， T2n T3n Tn， Sn， 2n－Sn， 3n－S2n， 和 Tn， ， ， S S 则 … … Tn T2n 都成等比数列． 都成等比数列．
∴n－1＝5，即 n＝6. － ＝ ， ＝
7 63 (2)已知 S6≠2S3，则 q≠1，又∵S3＝ ，S6＝ ， 已知 ≠ ， 2 2
a1(1－q3) 7 － ＝ 2 1－q － 即 6 － a1(1－q ) 63 1－q ＝ 2 －
① ②
②÷①得 1＋q3＝9，∴q＝2. ① ＋ ， ＝ 1 将 q＝2 代入①，可求得 a1＝ ， ＝ 代入① 2 n－1 n－2 因此 an＝a1q ＝2 .
可判断数列{b 的类型 的类型． ＝2an可判断数列 n}的类型．
【解 】
(1)设等差数列 n}的公差为 d， 设等差数列{a 的公差为 ， 设等差数列
a1＋d＝9， ＝ ， 依题意得方程组 ＝ ， a1＋4d＝21，
解得 a1＝5，d＝4. ， ＝ 所以{a 的通项公式为 ＋ 所以 n}的通项公式为 an＝4n＋1.
等比数列的综合应用
例3
已知等差数列{a ， 已知等差数列 n}，a2＝9，a5＝21. ，
(1)求{an}的通项公式； 求 的通项公式； 的通项公式 (2)令bn＝2an，求数列 n}的前 项和 n. 令 求数列{b 的前 项和S 的前n项和 【思路点拨】 思路点拨】 首先求出a 首先求出 1和d，再计算 n，由bn ，再计算a
【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1知能优化训练 新人教A版必修5
1．在等比数列{a n }中a 1＝8，q ＝12，a n ＝12，则S n 等于( )A ．31 B.312C ．8D ．15 答案：B2．数列12，14，18，…的前10项和等于( )A.11024B.511512C.10231024D.1512 答案：C3．在等比数列{a n }中，q ＝12，S 5＝2，则a 1等于________．答案：32314．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，求数列{a n }的前4项之和．解：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9a 5＝243，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝9a 1q 4＝243，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3q ＝3. 所以S 4＝a 1－q 41－q ＝－341－3＝120.一、选择题1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( ) A.218 B ．－218 C.178 D ．－178解析：选A.设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝－2，a 1q 7＝16，解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝a 1－q 61－q ＝218.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2解析：选A.S 5＝a 1－q51－q，∴44＝a 1[1－－5]1－－，∴a 1＝4，故选A.3．(2010年高考浙江卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( ) A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D.由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1＋25a 1－22＝－11. 4．1＋2＋2＋22＋…＋128的值是( ) A ．128＋64 2 B ．128－64 2 C ．255＋127 2 D ．255－127 2 答案：C5．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n ＋m (n ∈N *)，则实数m 的取值为( )A ．－32B ．－1C ．－3D ．一切实数解析：选C.a 1＝S 1＝32＋m ，又a 1＋a 2＝34＋m ，所以a 2＝－34.又a 1＋a 2＋a 3＝38＋m ，所以a 3＝－38.所以a 22＝a 1a 3，即916＝(32＋m )(－38)，解得m ＝－3. 6．(2010年高考天津卷)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C.若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1－q 31－q ＝a 1－q 61－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－125]1－12＝3116. 二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________. 解析：设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1.∴S 6＝1－q 61－q ＝－q 31－q .∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3.答案：38．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．解析：S 8－S 4＝q 4·S 4＝24·10＝160，S 8＝170. 答案：1709．等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.解析：∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1， ∴q 2＋q －6＝0.又∵q >0，∴q ＝2.∴S 4＝a 1－q 41－q ＝12－241－2＝152.答案：152三、解答题10．在等比数列{a n }中，a 3＝－12，前3项和S 3＝－9，求公比q . 解：法一：由已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1·q 2＝－12， ①S 3＝a 1＋q ＋q 2＝－9. ② ②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝34，即q 2＋4q ＋4＝0. 所以q ＝－2.法二：a 3，a 2，a 1成等比数列且公比为1q.所以S 3＝a 3＋a 2＋a 1＝a 3[1－1q 3]1－1q＝－q 3－q 2q －＝－9.所以q 2＋4q ＋4＝0，即(q ＋2)2＝0. 所以q ＝－2.11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]．12．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设该等比数列有2n 项，则奇数项有n 项，偶数项有n 项，设公比为q ，由等比数列性质可得S 偶S 奇＝17085＝2＝q .又∵S 奇＋S 偶＝a 1－q 2n1－q＝255，a 1＝1，∴2n ＝8.∴此数列的公比为2，项数为8.。