梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)
【ZZ】梅森素数列表
【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。
第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。
第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。
第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。
1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。
第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。
第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。
第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。
第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。
第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。
大素数新纪录
大素数新纪录作者：胡作玄来源：《百科知识》2008年第24期2008年8、9月，也就是刀世瞩目的奥运会和残奥会期间，另一个领域也就是数学领域的世界纪录被刷新，美国人和德国人分别发现了当前已知的最大素数——第45个和第46个梅森素数。
让我们来解释一下什么是梅森素数。
素数这个概念大家都知道，也就是一个正整数，除了1和它本身之外，没有其他因子的数。
现在我们规定1不是素数。
因此，最小的素数是2，它是惟一的偶素数，其他的素数均为奇数。
这样10以下的素数有4个，它们是：2，3，5，7；100以下的素数有25个。
大部分正整数不是素数，我们称为合数，它们总可以分解成为素数的乘积，也说是它们有除1和数本身之外的因子。
例如21=3×7，91＝7×13，显然，在一定范围之内，合数要比素数多得多，不过，欧几里得早已证明素数有无穷多。
虽然任何素数之后肯定还有素数，可是人们并不知道一个给定的数是不是素数。
理论上讲，只要你有足够的时间和精力就可以完成，也就是对于整数Ⅳ，用小于或等于根号N的素数去除它，如果都除不尽，那Ⅳ就是素数。
这事看起来容易做起来难。
如果Ⅳ不大，如Ⅳ只有10位，也许可以用5位以内的素数一个一个去除，看看是否除得尽。
可是如果Ⅳ为100位，就根本办不到了，因为我们还不知道50位以内的素数到底有多少，实际上至今25位以内的素数有哪些，我们也不清楚。
因此，要想摘取最大素数的桂冠，还得另觅他途。
找一种特殊形式的素数，这就是梅森素数。
梅森是位教士，是科学的组织者，他那时——17世纪上半世纪，没有科学期刊，每个人的工作通过书信传到他那里，然后，他再传给别人，这样大家都可以分享最新的知识。
梅森自己也对数学有极大兴趣，他发现：如果2p-1是素数，则p一定是素数，因此后来人们就手把2p-1型的素数，称为梅森素数，常常简记为Mp。
但是，这定理反过来是否对呢?也就是：如果p是素数，2p-1是否素数?梅森试了试最小的素数，当p=2，3，5，7时，2p-1分别等于3，7，31，127，恰巧都是素数，于是他猜想p=13，17，19，31，67，127，257时，2 p—l也是素数。
史上最大的素数刚刚被找到,来感受下它的长度
史上最大的素数刚刚被找到，来感受下它的长度宇宙中素数的最大记录被刷新了，这个被命名为M77232917的最大素数，共23,249,425位，比目前的第二大素数多了将近100万位。
仅仅是记录这个数的纯文本文件，在电脑占有的内存超过23M。
如果一个人打算挑战手写这个数，一天写1000位，从今天开始算，需要写到2081年。
幸运的是，有一个简单的方法可以表述这个数：2^77,232,917-1。
也就是说，这个新素数是2的次方的次方的次方…(重复77,232,917次)然后减1。
在素数中，有一类数是2的n次幂减1，这类数叫梅森素数（Mersenne prime）。
最小的梅森素数是3（2^2-1），次小的梅森素数是31（2^5-1）。
感受一下这个数有多长而这个迄今最大的梅森素数，是在2017年12月底由全球合作项目“互联网梅森素数搜索”（GIMPS）发现的。
一位现年51岁，住在田纳西州的电气工程师Jonathan Pace在自己的电脑上发现了这个数，他参与GIMPS项目已有14年。
GIMPS在1月3号的官方声明中称，另外4位参与GIMPS 的人用了4种不同的算法，花了六天的时间来验证这个素数。
据田纳西大学的数学家Chris Caldwell个人网站上的信息称，梅森素数的命名源自法国教士马林·梅森（1588-1648）。
梅森提出，当n<=257, 且仅当n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257时, (2^n-1)是素数，马林·梅森在现代软件解决素数问题的曙光出现前，一个教士能提出这样的理论已是很了不起（事实上他和数学家费马是好朋友）。
在1536年，这个理论有了不起的进步之处。
此前人们认为，当n为素数时，2的n次幂减1会是素数。
不过，梅森的理论也存在错误之处。
梅森理论里的最大数，即2^257-1，其实并不是素数。
而且梅森漏掉了几个数：2^61-1, 2^89-1和2^107-1, 尽管后两个数直到20世纪初才被发现。
梅森素数的分布规律
梅森素数的分布规律梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是素数。
梅森素数的分布规律一直是数学家们研究的热点之一。
在这篇文章中，我们将探讨梅森素数的分布规律以及其背后的数学原理。
我们需要了解梅森素数的特点。
梅森素数的形式非常特殊，只有当p是素数时才有可能是梅森素数。
因此，梅森素数的数量非常有限。
目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1。
这个数字有24,862,048位，是目前已知的最大素数。
那么，梅森素数的分布规律是什么呢？数学家们发现，梅森素数的数量并不是随机分布的，而是呈现出一定的规律性。
具体来说，梅森素数的数量随着p的增大而减少。
这个规律被称为梅森素数定理。
梅森素数定理的数学表达式为：如果2^p-1是素数，那么p也必须是素数。
这个定理的证明非常复杂，需要运用到数论、代数学等多个数学分支的知识。
但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理。
例如，当p=2时，2^p-1=3，是一个素数。
当p=3时，2^p-1=7，也是一个素数。
但是当p=4时，2^p-1=15，不是一个素数。
因此，梅森素数定理成立。
梅森素数的分布规律不仅仅是一个数学问题，它还涉及到计算机科学、密码学等多个领域。
梅森素数被广泛应用于随机数生成、加密算法等方面。
因为梅森素数的数量非常有限，而且它们的位数非常大，因此可以用来生成高质量的随机数，保证加密算法的安全性。
梅森素数的分布规律是一个非常有趣的数学问题。
通过研究梅森素数的分布规律，我们可以深入了解素数的性质，同时也可以应用到计算机科学、密码学等多个领域。
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。
素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。
今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。
完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。
如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。
•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。
最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。
然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。
我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。
再做些铺垫。
梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。
我们知道这不是真的。
例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。
•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。
换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。
正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。
我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。
梅森素数2
j =0; break;/* 找到一个因子则可退出循环 */ } else j = 1; } if ( j ) printf (" p 为%d 时是梅森素数 \n" , p) ; else printf (" p 为%d 时不是梅森素数 \n" , p) ; }
[4] 张四保. 梅森素数研究综述 [J] . 科技导报，2008，26 (18)：88-92.
[5] 高全泉.“大互联网梅森素数寻求 (GIMPS)”研究计划进展 [J] . 数学的实践与认识，2005，35 (10)：166-171.
[6] Xiong Wei, Zhang Jingwei, He You. Multisensor Joint Proba－ bilistic Data Association Algorithm Based on S_D As -sign－ ment [J] .Tsinghua Univ (Sci & Tech) , 2005,45 (4) :452455.
SOFTWARE DEVELOPMENT AND DESIGN
软件开发与设计
梅森素数
刘建波，陈杰，王硕
（东北大学秦皇岛分校电子信息系，秦皇岛 066004）
摘 要： 梅森素数是数论研究中的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。介绍了梅森素数的相关定 义、定理、算法和意义，并讨论了有待解决的相关问题。 关键词： 素数；梅森素数；数论；C 语言；GIMPS
以下所有算法均采用 C 语言编写，大家只要学过编程都 能看懂，即使是初学者也能感受到利用简单程序解决世界著 名问题的乐趣，增加对编程的兴趣。由于操作数比较大，对 于较大的数可能会产生溢出。
江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查语文试题(含答案)
常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查语文试卷2024年4月24日注意事项：1.答题前，考生务必将含有自己姓名、学号信息的条形码粘贴在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，统一上交答题卡。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成下面小题。
①自发明相机以来，世界上便盛行一种特别的英雄主义：视域的英雄主义。
摄影打开一种全新的自由职业活动模式——允许每个人展示某种独特、热忱的感受力。
摄影师们出门去作文化、阶级和科学考察，寻找夺人心魄的影像。
不管花费多大的耐性和忍受多大的不适，他们都要以这种积极的、渴求吸取的、评价性的、不计酬劳的视域形式，来诱捕世界。
阿尔弗雷德·施蒂格利茨自豪地报告说，在1893年2月20日，他曾在一场暴风雪中站立三小时，“等待恰当时刻”,拍摄他那张著名的照片《第五大街，冬天》。
这种追求，已成为大众心目中摄影师的商标。
到20世纪20年代，摄影师已像飞行员和人类学家一样，成为现代英雄。
大众报纸的读者被邀请去与“我们的摄影师”一道，作“发现之旅”,参观各种新领域，诸如“从上面看世界”“放大镜下的世界”“每日之美”“未见过的宇宙”“光的奇迹”“机器之美”以及可在“街上找到”的画面。
②日常生活的神化，以及只有相机才能揭示的那种美——眼睛完全看不到或通常不能孤立起来看的物质世界的一角，譬如从飞机上俯瞰——这些是摄影师的主要征服目标。
有一阵子，特写似乎是摄影最具独创性的观看方法。
摄影师发现随着他们更窄小地裁切现实，便出现了宏大的形式。
在19世纪40年代初，多才多艺、心灵手巧的福克斯·塔尔博特不仅制作传统绘画中常见题材的照片，而且把相机对准贝壳、蝴蝶翅膀，对准他书房里两排书的一部分。
梅森与梅森素数
数.
伟大的瑞士 数 学家 欧拉 已 经证 明了 所有 的 偶
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梅森数之谜：MM127是素数吗？周平源E-mail:************************当Mp=2p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。
虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。
如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。
这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。
这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数:c1=M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。
它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。
前4个数c1=M2，c2=M3，c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。
一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：1.在MM127 的数值规模上（位数超过1038），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。
第一例：梅森素数（Mersenne prime）。
公元前就知道前4个梅森数M2，M3，M5，M7都是素数因而人们曾猜测对于每个素数p相应的梅森数Mp都是素数，但因为雷吉乌斯在1536年发现M11是合数这个猜想就被否定了。
第二例：双梅森素数（double Mersenne prime）。
由于已知前4个双梅森数MM2，MM3，MM5，MM7都是素数因而人们曾猜测对于每个梅森素数Mp 相应的双梅森数MMp都是素数，但在1976年Wilfrid Keller发现MM13存在因子后这个猜想也被否定了（至今已经知道双梅森数MM17，MM19，MM31也都有已知因子，正在寻找MM61的因子。
在此发现MM31存在因子有特殊意义，因为这个梅森合数MM31的数值已经远远大于最大已知梅森素数M43112609的数值）。
第三例也是最著名的例子：费马素数（Fermat prime）。
法国大数学家费马（Fermat）在发现前5个费马数Fn=2^2^n+1（n=0,1,2,3,4）都是素数后便猜想每个费马数都是素数但没有给出证明。
在费马提出这个猜想60年后，瑞士大数学家欧拉（Euler）于1732年证明第6个费马数可分解为F5=4294967297=641×6700417（现在已有几十种方法可以证明这个结果），从而否定了费马的这个猜想。
费马一生中提出过许多重要的猜想，但只有这一个猜想没有成功。
鉴于这类先例，数学家David G. Wells 2005年在其专著Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Mathematics （素数：数学中最神秘的图案）中讲述到卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）时评论道，“如同许多这类猜想一样，在这里一个合数项也可能会非常快地出现。
”因为每个卡特兰-梅森数实际上都是梅森数，在卡特兰-梅森数序列中前一个梅森数总是后一个梅森数的指数，所以如果出现一个卡特兰-梅森合数，那么以下的所有卡特兰-梅森数都是合数。
在梅森数的素性研究中，这是早已证明无疑的。
于是，第5个卡特兰-梅森数c5=MM127是素数还是合数就显得至关重要。
如果MM127是合数，卡特兰-梅森猜想就此最终破解。
但如果MM127是素数，卡特兰-梅森猜想仍然是一个悬案，因为接下来的任务是需要判断第6个卡特兰-梅森数c6=MMM127是素数还是合数。
由于c6=MMM127是个巨大的天文数字，要对它的素性作出判断难于登天。
这就意味着，如果MM127真是素数，那么卡特兰-梅森猜想可能成为千古悬案，除非卡特兰-梅森猜想本身得到证明是成立还是不成立。
我们应当注意到，上述早期猜想的破解都是依靠实证合数的出现，而对卡特兰-梅森猜想而言，要找到MM127的因子有待于遥远的未来。
是否存在一些理论上的启示现在就可能帮助我们判断MM127是不是合数呢？首先可以想到的是，把每一个已知梅森素数分别作为首项都可以推出一个相应的卡特兰-梅森数的无穷列。
原始的卡特兰-梅森数是以M2为首项推出的数列，由于 M3， M7， M127已被包含其中，因此分别以M3， M7， M127 作为首项而推出的相应的卡特兰-梅森数列与以M2为首项推出的卡特兰-梅森数列等效，它们会出现相同结果。
新的卡特兰-梅森数列可以分别从M5，M13，M17，M19，M31等作为首项推出。
由M5为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M5,MM5，MMM5，MMMM5，MMMMM5，….它的第一项M5是素数，第二项MM5=M31是素数，但第三项MMM5=MM31是已知合数因而以下所有项均是合数。
由M13为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M13,MM13，MMM13，MMMM13，MMMMM13，….它的第一项M13是素数，第二项MM13是已知合数因而以下所有项均是合数。
由M17为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M17,MM17，MMM17，MMMM17，MMMMM17，….它的第一项M17是素数，第二项MM17是已知合数因而以下所有项均是合数。
由M19为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M19,MM19，MMM19，MMMM19，MMMMM19，….它的第一项M19是素数，第二项MM19是已知合数因而以下所有项均是合数。
以M31为首项推出的卡特兰-梅森数列已经被包含在M5为首项推出的卡特兰-梅森数列之中,因此以M31为首项推出的卡特兰-梅森数列与以M5为首项推出的卡特兰-梅森数列等效，它们会出现相同结果。
由此观之，如果M2在所有已知梅森素数中并不占据特殊地位，或者等效地说，M2， M3， M7， M127在所有已知梅森素数中并不分别都占据特殊地位，那么以M2为首项推出的卡特兰-梅森数列与以其它已知梅森素数为首项推出的卡特兰-梅森数列不会出现不同的结果，也就是说原始的卡特兰-梅森数列也会因为出现一个合数而导致以下所有原始卡特兰-梅森数成为合数，最可能的“导火线”就是MM127是合数。
其次，对新梅森猜想（New Mersenne conjecture）的解读也可能对思考这个问题提供一些线索。
1989年Bateman, Selfridge，Wagstaff 在《美国数学月刊》( The American Mathematical Monthly )发表影响广泛的论文The New Mersenne Conjecture（新梅森猜想），提出下面3个表述中如果任何两个表述成立那么另一个也成立：1. p=2k±1 或p=4k±3，在此p为奇正整数，k为正整数。
2. 2p–1是素数（梅森素数）。
3. （2p+1）/3是素数（Wagstaff素数）。
这就是新梅森猜想，已经验证对于所有素数p<12441900这个猜想是成立的。
从这个猜想的验证我们很容易看到，当p≤127时使3个表述都成立的素数p值为3,5,7,13,17,19,31,61,127。
在小于127的素数p值中2，89,107虽然使第2个表述成立但第1个和第3个表述均不成立。
而当p>127时3个表述都成立的情形完全消失，我们看到的情形均为一个表述成立但另外两个表述皆不成立。
它表达的一个基本事实是，当p≤127时，大多数梅森素数的p值都满足表述1，它是梅森素数p值位置的主流。
但是我们已经验证,当p>127时所有的已知梅森素数（直到最大的已知梅森素数M43112609）都不满足表述1。
如果这是一个可信的规律，我们可以进一步猜想，当p>127时不存在任何梅森素数的p值满足表述1，而根据新梅森猜想，当p>127时也不存在任何Wagstaff 素数的p值满足表述1。
如果这个进一步的猜想成立，由于MM127的p值M127满足表述1，所以MM127只能是合数,而根据新梅森猜想，p值为M127的Wagstaff数（MM127+2）/3也只能是合数。
尽管这种可能性非常诱人，但它未经证明，更重要的是它也不是已知的事实，而破解卡特兰-梅森猜想难题的铁证依然是：拿出MM127的一个因子来！在互联网上输入MM127就会找到一个数学论坛专门讨论MM127究竟可能是素数还是合数，各种观点众说纷纭，如火如荼，可圈可点之处甚多，对卡特兰-梅森猜想情有独钟者不妨一阅，至少在拓展思路上定有斩获。
如果最终证实MM127的确含有一个因子，那么卡特兰-梅森猜想之谜不仅就此破解而且卡特兰-梅森猜想将成为数学家盖伊（Richard Guy）1988年在《美国数学月刊》发表论文提出的“强小数规律”（Strong law of small numbers）的新例证。
盖伊强小数规律的原文表述为“There are not enough small numbers to meet the many demands made of them.”它的原意是“数学涉猎太广，小数不够用了。
”可理解为在一定的小数范围内出现的看起来非常有规律的数学现象可能只是巧合，这些数学规律在更大的范围将不复存在。
盖伊在这篇论文中列举了纯数学领域中35个证据确凿的巧合例证以支持他的论断，并幽默地说“强小数规律是数学家的敌人：当你发现一个数学规律后，你怎么知道它是不是真的呢？”强小数规律的存在已经使数学家在对待小数范围内出现的有规律的数学现象时持谨慎态度，在未经证明的情况下不会轻易相信发生在小数范围的数学规律也会出现在大数情形。
看起来强小数规律正在考验许多小数范围内出现的数学规律，而著名的卡特兰-梅森猜想正在接受这种严峻的考验。
References1.Mersenne prime in The On-Line Wikipedia.2.Fermat number in The On-Line Wikipedia.3.Double Mersenne number in The On-Line Wikipedia and The On-LineWolfram MathWorld.4.New Mersenne Prime Conjecture in The On-Line Wolfram MathWorld.5.Mersenne Primes: History, Theorems and Lists in The On-Line Prime Pages.6.Strong law of small numbers in The On-Line Wolfram MathWorld.。