梅森素数
梅森素数--美丽的贝壳
梅森素数--美丽的贝壳⼀、价值五万美元的素数2000年4⽉6⽇，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特⽡拉(Nayan Hajratwala)先⽣得到了⼀笔五万美元的数学奖⾦，因为他找到了迄今为⽌已知的最⼤素数，这是⼀个梅森素数：2^6972593-1。
这也是我们知道的第⼀个位数超过⼀百万位的素数。
精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的⼗进制形式的话，它共有两百零九万⼋千九百六⼗位数字，如果把它以这个形式写下来，⼤约需要150到200篇本⽂的篇幅。
可是哈吉拉特⽡拉先⽣并不是⼀个数学家，他甚⾄很可能对寻找素数的数学理论⼀⽆所知——虽然这使他赢得了这笔奖⾦。
他所做的⼀切，就是从互联⽹上下载了⼀个程序。
这个程序在他不使⽤他的奔腾II350型计算机时悄悄地运⾏。
在经过111天的计算后，上⾯所说的这个素数被发现了。
⼆、梅森素数我们把⼀个⼤于1的⾃然数叫作素数，如果只有1和它本⾝可以整除它。
如果⼀个⽐1⼤的⾃然数不是素数，我们就叫它合数。
1既不是素数，也不是合数。
⽐如说，你很容易就可以验证7是⼀个素数；⽽15是⼀个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。
根据定义，2是⼀个素数，它是唯⼀的偶素数。
早在公元前三百年的古希腊时代，伟⼤的数学家欧⼏⾥德就证明了存在着⽆穷多个素数。
关于素数，有许多既简单⼜美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。
其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何⼀个⼤于6的偶数，都能表⽰为两个奇素数之和。
还有孪⽣素数问题。
象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪⽣素数。
孪⽣素数问题是说：是不是有⽆穷多对孪⽣素数？这⾥要顺便提⼀下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决⽅法将⼀定是极其复杂的，需要最先进的数学⼯具。
如果你不是狂妄到认为⼏百甚⾄⼏千年来所有在这些问题上耗费了⽆数聪明才智的数学家（有许多是⾮常伟⼤的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图⽤初等⽅法去解决这些问题，徒费时间和精⼒。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
【ZZ】梅森素数列表
【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。
第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。
第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。
第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。
1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。
第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。
第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。
第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。
第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。
第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。
梅森公式的特征式
梅森公式的特征式
梅森公式是一种用于生成素数的公式，其特征式是一个非常重要的概念。
特征式是指当一个多项式的系数都是整数时，该多项式的所有根都是整数的情况。
梅森公式的特征式是一个二次多项式，即：
x^2 - 2x - p = 0
其中，p是一个素数。
如果这个二次多项式的根是整数，那么p 就是一个梅森素数。
梅森公式的特征式可以通过对其进行配方法得到，具体如下：
x^2 - 2x - p = 0
x^2 - 2x + 1 - 1 - p = 0
(x - 1)^2 - p = 1
(x - 1)^2 = p + 1
通过这个特征式，我们可以判断一个素数是否为梅森素数。
如果一个素数p满足x^2 = p + 1的整数解，那么p就是一个梅森素数。
梅森公式的特征式不仅在素数研究中有重要应用，而且在密码学和计算机科学中也有广泛应用。
因此，研究和理解梅森公式的特征式是非常有意义的。
- 1 -。
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题
梅森公式是指一种特定的数学公式，它涉及到指数和素数的关系。
这种公式通常用于解决与素数分布和性质相关的问题。
以下是一个梅森公式的经典例题：
1.验证2^3-1是否是梅森素数。
解答：根据梅森公式的定义，首先需要验证指数p是否为素数。
在本例中，p=3是一个素数。
然后计算2^3-1=7，7也是一个素数。
因此，2^3-1满足梅森公式的条件，是梅森素数。
2.计算2^5-1。
解答：首先验证指数p=5是否为素数，5是一个素数。
然后计算2^5-1=31，31也是一个素数。
因此，2^5-1满足梅森公式的条件，也是一个梅森素数。
这些是使用梅森公式的一些经典例题。
使用梅森公式可以帮助我们更好地理解素数的性质和分布，以及它们在数学和密码学等领域的应用。
最新梅森素数：千年不休的探寻之旅-word文档
梅森素数：千年不休的探寻之旅还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7......”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256......”十多年来，个人计算机内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127......嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前......别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜......你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23......的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：象5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，则这个数就叫做完美数。
很容易找到，6＝1＋2＋3是第一个完美数，28＝1＋2＋4＋7＋14则是第二个完美数。
梅森素数——精选推荐
梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
可能你还是不太了解，那就再详细点。
了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
梅森素数
众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
貌似简单探究极难梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。
1952年，美国数学家拉婓尔•鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。
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梅森素数
素数也叫质数，是只能被自己和 1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。
2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减1”的形式，这里n 也是一个素数。
此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数，Mn=2n-1。
1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特网梅森素数大搜索”计划。
该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第37、38 和39 个梅森素数都是用这种方法找到的。
美国一家基金会还专门设立了
10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。
14年来，人们通
过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。
目前世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了这一项目，并动用了37万多台计算机联网来进行网格计算，以寻找新的梅森素数。
该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒400万亿次。
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
1 2 3 1 古代古人
2 3 7 1 古代古人
3 5 31 2 古代古人
4 7 127 3 古代古人
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
5 13 8191 4 1456年无名氏
6 1
7 131071 6 1588年Cataldi
7 19 524287 6 1588年Cataldi
8 31 2147483647 10 1772年欧拉
9 61 2305843009213693951 19 1883年Pervushin
10 89 618970019…44956211127 1911年Powers
11 107 162259276…010******** 1914年Powers
12 127 170141183…88410572739 1876年卢卡斯
13 521 686479766…115057151157 1952年1月30日Robinson
14 607 531137992…0317******** 1952年1月30日Robinson
15 1,279 104079321…168729087386 1952年6月25日Robinson
16 2,203 147597991…697771007664 1952年10月7日Robinson
17 2,281 446087557…132836351687 1952年10月9日Robinson
18 3,217 259117086…909315071969 1957年9月8日Riesel
19 4,253 190797007…3504849911,281 1961年11月3日Hurwitz
20 4,423 285542542…6085806071,332 1961年11月3日Hurwitz
21 9,689 478220278…2257541112,917 1963年5月11日Gillies
22 9,941 346088282…7894635512,993 1963年5月16日Gillies
23 11,213 281411201…6963921913,376 1963年6月2日Gillies
24 19,937 431542479…9680414716,002 1971年3月4日布莱恩特·塔克曼
25 21,701 448679166…5118827516,533 1978年10月30日Noll & Nickel
26 23,209 402874115…7792645116,987 1979年2月9日Noll
27 44,497 854509824…01122867113,395 1979年4月8日Nelson & Slowinski
28 86,243 536927995…43343820725,962 1982年9月25日Slowinski
29 110,503 521928313…46551500733,265 1988年1月28日Colquitt & Welsh
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
30 132,049 512740276…730061311 39,751 1983年9月20日Slowinski
31 216,091 746093103…81552844765,050 1985年9月6日Slowinski
32 756,839 174135906…544677887227,832 1992年2月19日Slowinski & Gage
33 859,433 129498125…500142591258,716 1994年1月10日Slowinski & Gage
34 1,257,787 412245773…0893********,632 1996年9月3日Slowinski & Gage
35 1,398,269 814717564…451315711420,921 1996年11月13日GIMPS/Joel Armengaud
36 2,976,221 623340076…729201151895,932 1997年8月24日GIMPS/Gordon Spence
37 3,021,377 127411683…024*********,526 1998年1月27日GIMPS/Roland Clarkson
38 6,972,593 437075744…9241937912,098,960 1999年6月1日GIMPS/Nayan Hajratwala
39 13,466,917 924947738…2562590714,053,946 2001年11月14日GIMPS/Michael Cameron
40 20,996,011 125976895…8556820476,320,430 2003年11月17日GIMPS/Michael Shafer
41 24,036,583 299410429…7339694077,235,733 2004年5月15日GIMPS/Josh Findley
42 25,964,951 122164630…5770772477,816,230 2005年2月18日GIMPS/Martin Nowak
43 30,402,457 315416475…6529438719,152,052 2005年12月15日GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
44 32,582,657 124575026…0539678719,808,358 2006年9月4日GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
45 37,156,667 202254406…30822092711,185,272 2008年9月6日GIMPS/Hans-Michael Elvenich
46 42,643,801 169873516…56231475112,837,064 2009年4月12日GIMPS/Odd M. Strindmo
47 43,112,609 316470269…69715251112,978,189 2008年8月23日GIMPS/Edson Smith
注：现在还不知道在第39个梅森素数（M13,466,917）和第47个（M43,112,609）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前通常用*标出。