梅森素数与完全数
梅森素数与完全数
(本文已在《中小学数学》（初中版2015年11期) 上发表
湖北省潜江市江汉油田教育实业集团教科院 舒云水 433124
人教版五年级下册数学课本介绍了完全数，人类寻找这48个完全数是经过了一个漫长艰难的过程，本文将作一个介绍﹒
寻找完全数与寻找梅森素数是联糸在一起的，下面先谈梅森素数的寻找历史﹒
1. 梅森素数
梅森（1588—1648）是法国数学家，自然哲学家和宗教家﹒他在1644年提出了梅森素数﹒梅森的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义﹒将形如)1,(12MnNnnn的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数，梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误﹒他说，对p=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257, PM是素数，而p<257的其它素数对应的PM都是合数﹒梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓﹒到了1947年有了台式计算机后，人们才能检查他的结论，发现他犯了五个错误，25767MM，不是素数，而1078961M,,MM是素数﹒
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大﹒它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算﹒1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了1231(即2147483647)是第8个梅森素数﹒这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数﹒欧拉证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已！
1867年以来，人们已经知道67M是合数，但对它的因数一无所知﹒1903年10月在美国数学会举行的一次会上，数学家科尔提交一篇论文《大数的因子分解》﹒轮到科尔报告时，他走到黑板前，一言未发便作起2的方幂的演算，直到2的67次幂，从所得结果减去1，然后默默无言地在黑板的空白处写下两个数相乘：
193707721761838257287﹒
两个计算结果完全一样﹒之后，他只字未吐又回到自己的座位上，会场爆发了热烈的掌声！这短短几分钟的报告却花了科尔3年的全部星期天﹒
在手工计算的时代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数，它们是PM，其中
p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127﹒ 计算机发明出来后，人们借助电子计算机去寻找梅森素数，从1952年后到1996年5月为止，陆续发现了22梅森素数，其中
p=521(1952), 607（1952），1279（1952），2203（1952），2281（1952），3217（1957），4253（1961），4423（1961），9689（1963），9941（1963），11213（1963），19937（1971），21701（1978），23209（1979），44497（1979），86243（1983），110503（1988），132049（1983），216091（1985），756839（1992），859433（1994），1257787（1996）﹒括号里的数字为发现的年份﹒
上面最后一个梅森素数1257787M是1996年5月美国威斯康星州克雷研究所发现的，1257787M是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数﹒该所的计算机专家史洛温斯基一共发现了7个梅森素数，他因此被人们称为“素数大王”﹒
使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了﹒1996年初美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页下供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，GIMPS项目实施以来，利用该项目已经发现了14个梅森素数，到目前为止现在一共发现了48个梅森素数，1996年11月以后发现的梅森素数都是利用该项目发现的，世界上已有180个国家和地区近27万人参加了这一项目，并动用了74万多台计算机联网来进行网络分布式计算﹒下面按发现时间顺序给出这14个梅森素数，括号里的数字是发现时间﹒
P=1398269（1996-11-13）,2976221(1997-08-24),3021377(1998-01-27),6972593(1999-06-01),13466917(2001-11-14),20996011(2003-11-17),24036583(2004-05-15),25964951(2005-02-18),30402457(2005-12-15)，32582657（2006-09-04），43112609（2008-08-23），37156667（2008-09-06），42643801（2009-04-12）,57885161（2013-01-25）﹒
其中最大的梅森素数是第个57885161M，它是2013年1月25日，由美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现的，该素数是一个17425170位数，如果用5号字将这个数连续打印下来，它的长度可超过65公里﹒
库珀博士是搜索梅森素数的老手了，还有两个梅森素数也是他和他的团队一起发现的，一个是2005年12月15日发现的30402457M，另一个是2006年9月4日发现的32582657M，它们分别是人类发现的第43过和第44个梅森素数﹒按照相关奖金赞助者的新规定，第48个梅森素数的发现者获得3000美元的梅森素数发现奖﹒这个素数也成为目前人类所知道的最大的素数﹒
梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值﹒它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅里叶变换的应用﹒
探索梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展﹒而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术﹒另外，探索梅森素数的方法还可以用来测试计算机硬件运算是否正确﹒
素数有无穷多个，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这未解之谜，正是科学追求的目标﹒可以相信梅森素数这颗数海明珠正以独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究﹒
2. 完全数
如果一个自然数等于除它自身之外的各个正因数之和，则这个数叫完全数﹒例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，6和28都是完全数﹒完全数是被古人视为瑞祥的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数：6，28，496，8128﹒最小的完全数是6，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻﹒
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找﹒它很久以来一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字﹒从第四个完全数8128到第五个完全数33550336的发现经过了一千多年，真可谓“千年等一回” ﹒第五个完全数在1456年由一位无名氏给出﹒
第六、第七个完全数在1588年由Cataldi发现，第八个完全数由欧拉在1772年发现的，前文已提到﹒
完全数的发现与梅森素数有关，这里不得不提两位伟大的数学家欧几里得和欧拉的贡献﹒早在二千多年前，欧几里得证明了：如果)1(12kk是素数，则)12(21kkn是一个完全数﹒后来，欧拉又证明了，所有的偶完全数一定只有这种形式，把这两个结论并在一起，得出下面定理﹒
定理 如果PM是素数，那么)12(2)1(211ppppMM是一个偶完全数，而且除这些以外，再没有其它的偶完全数﹒
这个定理说明，是否有无穷多个偶完全数的问题归结为是否有无穷多个梅森素数，由前文知目前只知道48个梅森素数，所以目前只知道48个偶完全数﹒是否存在奇完全数？这是一个没有解决的问题，等待人们去研究﹒
完全数有许多有趣的性质：
⑴它们都能写成连续自然数之和
例如：6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+…+30+31﹒
⑵每个都是调和数
它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数﹒
例如：111121236，111111212471428﹒
⑶可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和﹒
例如：332813，33334961357，3333812813515﹒
⑷都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和
例如：12622，23428222，678910111281282222222，
12132433550336222﹒
⑸完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾﹒ ⑹位数字相加直到变成个位数则一定是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1﹒（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
参考文献
[1]张顺燕﹒数学的源与流[M]﹒北京：高等教育出版社﹒2001
[2]孙宏安﹒第48个梅森素数﹒中学数学教学参考，2013,4（上旬）
梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)
梅森数之谜：MM127是素数吗？
周平源
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当Mp=2p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数: c1=M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。前4个数 c1=M2，c2=M3，c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：
1.在MM127 的数值规模上（位数超过1038），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。第一例：梅森素数（Mersenne prime）。公元前就知道前4个梅森数M2，M3，M5，M7都是素数因而人们曾猜测对于每个素数p相应的梅森数Mp都是素数，但因为雷吉乌斯在1536年发现M11是合数这个猜想就被否定了。第二例：双梅森素数（double Mersenne prime）。由于已知前4个双梅森数MM2，MM3，MM5，MM7都是素数因而人们曾猜测对于每个梅森素数Mp相应的双梅森数MMp都是素数，但在1976年Wilfrid Keller发现MM13存在因子后这个猜想也被否定了（至今已经知道双梅森数MM17，MM19，MM31也都有已知因子，正在寻找MM61的因子。在此发现MM31存在因子有特殊意义，因为这个梅森合数MM31的数值已经远远大于最大已知梅森素数M43112609的数值）。第三例也是最著名的例子：费马素数（Fermat prime）。法国大数学家费马（Fermat）在发现前5个费马数Fn=2^2^n+1（n=0,1,2,3,4）都是素数后便猜想每个费马数都是素数但没有给出证明。在费马提出这个猜想60年后，瑞士大数学家欧拉（Euler）于1732年证明第6个费马数可分解为F5=4294967297=641×6700417（现在已有几十种方法可以证明这个结果），从而否定了费马的这个猜想。费马一生中提出过许多重要的猜想，但只有这一个猜想没有成功。鉴于这类先例，数学家David G. Wells 2005年在其专著Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Mathematics（素数：数学中最神秘的图案）中讲述到卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）时评论道，“如同许多这类猜想一样，在这里一个合数项也可能会非常快地出现。”因为每个卡特兰-梅森数实际上都是梅森数，在卡特兰-梅森数序列中前一个梅森数总是后一个梅森数的指数，所以如果出现一个卡特兰-梅森合数，那么以下的所有卡特兰-梅森数都是合数。在梅森数的素性研究中，这是早已证明无疑的。于是，第5个卡特兰-梅森数c5=MM127是素数还是合数就显得至关重要。如果MM127是合数，卡特兰-梅森猜想就此最终破解。但如果MM127是素数，卡特兰-梅森猜想仍然是一个悬案，因为接下来的任务是需要判断第6个卡特兰-梅森数c6=MMM127是素数还是合数。由于c6=MMM127是个巨大的天文数字，要对它的素性作出判断难于登天。这就意味着，如果MM127真是素数，那么卡特兰-梅森猜想可能成为千古悬案，除非卡特兰-梅森猜想本身得到证明是成立还是不成立。我们应当注意到，上述早期猜想的破解都是依靠实证合数的出现，而对卡特兰-梅森猜想而言，要找到MM127的因子有待于遥远的未来。是否存在一些理论上的启示现在就可能帮助我们判断MM127是不是合数呢？
魅力无穷的梅森素数
魅力无穷的梅森素数
——香港科技大学 方程
2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh
Findley)用一台装有2.4GHZ奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大的梅森素数。该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
梅森素数的由来
马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。
梅森公式_精品文档
梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为
数论常用知识
数论常用知识
数论，作为数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和它们之间的关系。虽然它看似抽象和深奥，但实际上在许多领域都有着广泛的应用，从密码学、计算机科学到物理学等。接下来，让我们一起走进数论的世界，了解一些常用的知识。
首先，我们来谈谈整除性。整除是数论中最基本的概念之一。如果一个整数 a 除以另一个整数 b（b 不为 0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。比如，6 能被 3 整除，因为
6÷3 ＝ 2，没有余数。整除有很多性质，例如如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c；如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜
（mb ＋ nc)。
质数和合数也是数论中的重要概念。质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。例如 2、3、5、7 等都是质数。合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。比如 4、6、8、9 等。质数在数论中有着特殊的地位，任何一个大于 1 的整数都可以唯一地分解成质数的乘积，这就是著名的算术基本定理。
同余也是数论中常见的概念。如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和 b 对模 m 同余，记作 a ≡ b （mod m)。同余有着很多重要的性质和应用。例如，如果 a ≡ b （mod m)，c ≡ d （mod m)，那么 a ＋ c ≡ b ＋ d （mod m)，a c ≡ b d （mod m)，ac ≡
bd （mod m)。
接下来是最大公约数和最小公倍数。两个或多个整数共有约数中最大的一个称为最大公约数，记作 （a, b)。例如，（12, 18) ＝ 6。两个或多个整数公有的倍数中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b。比如，12, 18 ＝ 36。最大公约数和最小公倍数之间有着密切的关系，即两个数的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积，即 a × b ＝ （a,
用故事激发学生学习数学的兴趣
ＣＥＰＥ中国电力教育 ２Ｏ０９年６月上总第１３８期
用故事激发学生学习数学的兴趣
刘 畅 史小飞
摘要：在数学教学中’激发学生的学习兴趣，提高课堂的学习效率和学习的主动性是提高教学质量的重要保证。把故事引入数学教学， 可以激发学生学习的兴趣，引入与教学内容有关的历史人物的事迹来感染学生，能实现教书育人，培养学生热爱科学、崇尚真理的品质。 关键词：学习兴趣；引入故事；梅森素数；完全数；亲和数 作者简介：刘畅（１９７１－），女，吉林梨树人，吉林省四平市铁西区第二实验小学，小教高级，主要研究方向：小学教育。（吉林吉林 １５６０００）史小飞（１９７０－），女，吉林梨树人，湖南科技学院图书馆，助理馆员，主要研究方向：教育管理。（湖南永州４２５１００） 基金项目：本文系２００８年湖南省教育厅教学改革研究项目（湘教通【２００８］２６３号文件立项中２０１号项目）的研究成果。
兴趣是推动学习的一种最实际最有效的内部动力，直接影 响学习效果。【１ 对于培养学生的学习兴趣有很多的研究。例如： 建立和谐融洽的师生关系，理论联系实际，激发学生创新思维， 采取分层次教学，及时反馈，正确评价，使学生主动快乐地学 习。嘲以精彩的导入激发学生兴趣，以多媒体教学手段激发学生 兴趣，以丰富多彩的课堂活动激发学生兴趣。 开放内容引起兴 趣，重视操作激发兴趣，巧设练习增添兴趣，编写习题发展兴趣。 ０ 让学生动手，激发学生发现知识规律的兴趣；引导学生参与， 激发学习新知识的兴趣；引导学生不断总结解题规律，激发学 生的创造性思维；引导学生进行课堂小结，提高学生学习数学 的热情。 建立良好的师生关系，培养学生的学习兴趣；挖掘 数学知识的趣味性，激发学生的学习兴趣；选取实际生活实例， 激发学生的学习兴趣；通过“数”与“形”结合，激发学生的学 习兴趣。圈热爱学生是培养其学习兴趣的首要条件；充分挖掘 数学自身的魅力；调动学生的积极性是学好数学的关键；开阔 视野，引发兴趣，导入新课。吲历史性的素材对他们有着天然的 吸引力，将数学史融人课堂可以很好地活跃课堂气氛。 在课 堂引入故事能够提高学生的学习积极性，同时激发了学生学习 的兴趣。如能有效地将故事应用于数学教学之中，则必然能使 数学教学脱去僵硬的外衣，显露出生机，洋溢着情趣，充满 着智慧，使学生徜徉在浓郁的人文氛围中。 在教学中，教师必 须认识到在传授给学生知识的同时，要培养学生各方面的素质， 要注意智商和情商的双重培养。本文主要讨论故事在数学教学 中的作用，在课堂上引入故事可以激发学生的学习兴趣，下面 给出几个具体的例子。 一 在素数教学中引入梅森素数的故事 介绍目前互联网上通过网络利用全世界的个人电脑资源进 行互联网梅森素数大搜捕的行动，人类迄今只找到４７个梅森 素数。２００６年９月１３日发现了第４４个梅森素数，时隔近两年 的时间，２００８年的８月２３日，加州大学洛杉矶分校数学系发现 了第４５个梅森素数，在２００８年９月６日发现了第４６个梅森素 数，其中第４５个梅森素数比第４６个要大，是目前发现最大的， 这个数字的位数为１２９７８１８９，超过一千万位。这里面的梅森素 数的排位是以时间顺序进行排位的，而不是大小的顺序。第４５
梅森公式中的特征式
- 1 - 梅森公式中的特征式
梅森公式是一类素数的公式表达式，由法国数学家梅森提出。其中的特征式是指在梅森公式中的一个参数，用来判断素数的个数。
具体来说，梅森公式的一般形式为2^n-1，其中n为自然数，若2^n-1为素数，则称2^n-1为梅森素数。而特征式则是指n值为多少时，2^n-1成为梅森素数。
目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1，共有24,862,048位。而对于特征式，已知的最大值是n=82589933。
研究梅森公式和特征式的意义在于探索素数的规律和性质，以及推动密码学和计算机科学等领域的发展。同时，也需要注意到梅森公式并不是求解素数的唯一方法，仍需进一步研究和发展其他方法。
《角谷猜想》、《梅森素数》数理逻辑发源地_2的n次方系统分支解析
《角谷猜想》、《梅森素数》数理逻辑发源地:2的n次方系统分支解析
创建时间：2015年8月5日(星期三) 下午3:30 | 分类：日记 | 天气：
修改时间：2016年5月8日(星期天) 下午4:38
数论:2的n次方系统分支解析
《角谷猜想》、
《周氏猜测》、
《梅森素数》、
《完全数》等
数理逻辑发源地
2的n次方系统图
（产生包含偶数系统和奇数系统，梅森素数系统、周氐猜测系统、角谷猜想系统、完全数系统）
作者 照片
2016.5.7.于092省道50KM处留影
作者: 中国数论研究者
乐平 林登发 (经济师)
邮箱:2208831455@
2015.8.9一2016.5.8。
一 、 数论前言
2的n次方数理模式和素数融合在一起，会产生很多奇葩数理逻辑，是诸名莫名其妙的数学难题发源地。
①《角谷猜想解析》3X+1就是当遇到奇数时产生数列效果。例如: 当2^2时: 2^2= 4=3x1+1，
2^4时: 2^4=16 =3X5+1 ，
2^6时 : 2^6= 64=3x31+1，
2^8时: 2^8=256=3×85+1，
2^10时:2^10=1024=3x341+1，
……
这个奇数数列:
1，5，31，85，341……
就是隐藏的奇数系统。
② 周海中的周氏猜测公式 :
最完美的数
2、最完美的数
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到:
数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14 接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了: 若2n-1是素数,则数(2n-1)2 是完全数.
两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为2n-1的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.
1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.
6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+...+31=31*32/2 ....
2n-1(2n-1)=1+2+3+...+(2n-1)=(2n-1)2n/2
2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),
22(23-1)=28=13+33
24(25-1)=496=13+33+53+73
26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 .... 2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3
3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如:
1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....
4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.
梅森素数 周氏猜想
梅森素数 周氏猜想
梅森素数，又称梅森质数，是指形如2^P - 1的素数，其中P是一个质数。这类素数因为其特殊的形式，一直以来都引起数学家们的兴趣和研究。
而周氏猜想，则是关于梅森素数的一个猜想。该猜想由华人数学家周民和一起提出，他们认为对于所有的梅森素数，它们所对应的指数P中一定存在一个素数q，使得P能够被q整除。
这个猜想在数学界引起了广泛的讨论和研究。虽然一些特殊情况下的验证已经得到了证明，但要找到一般情况下的证明，仍然是一个具有挑战性的问题。目前，这个猜想仍然待证，尚未取得一般性的突破。
对于梅森素数与周氏猜想的研究，不仅仅涉及到数论和代数等纯数学领域，还有计算机科学和密码学等应用领域。特别是在密码学中，梅森素数的性质被广泛应用于构建安全的加密算法。
总之，梅森素数和周氏猜想是数学界一个有趣而重要的问题，其研究涉及多个领域，并具有理论和实际应用的意义。数学家们将继续努力，寻找更深入的理解和证明。
完全数
1 完全数
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完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496、8128。
目录
[隐藏]
1 完全数的发现
2 历史
3 奇妙性质
4 奇完全数
o 4.1 奇完全数的部分条件
o 4.2 Touchard定理
5 参考
6 参见
7 外部链接
[编辑] 完全数的发现
古希腊数学家欧几里得是通过 2n−1(2n − 1) 的表达式发现头四个完全数的。
当 n = 2: 21(22 − 1) = 6
当 n = 3: 22(23 − 1) = 28
当 n = 5: 24(25 − 1) = 496
当 n = 7: 26(27 − 1) = 8128
一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2n − 1(2n − 1)，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。
其中2n − 1是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2n − 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。 2 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在1018以下的自然数中奇完全数是不存在的。
首十个完全数是：
1. 6
2. 28
3.
496
4. 8128
5.
33550336 (8位)
6. 8589869056 (10位)