对梅森素数分布规律的一种猜想
梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)
梅森数之谜：MM127是素数吗？周平源E-mail:************************当Mp=2p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。
虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。
如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。
这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。
这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数:c1=M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。
它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。
前4个数c1=M2，c2=M3，c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。
一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：1.在MM127 的数值规模上（位数超过1038），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。
第一例：梅森素数（Mersenne prime）。
小学数学数学故事梅森素数：千年不休的探寻之旅2
梅森素数：千年不休的探寻之旅(2)那些手扛肩挑的年头手算笔录的时代，每前进一步，都显得特别艰难。
1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明白M31的确是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为其次个在发觉者名单上留名的人。
让人惊羡的是，这是在他双目失明的状况下，靠心算完成的。
这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。
法国大数学家拉普拉斯（place）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的探讨供应了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明白M61也是素数–这是梅森漏掉了的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发觉。
还记得梅森预料的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢……M67的证明又是一个精彩的故事。
1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。
他先是专注地在黑板上算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个算式结果完全相同！换句话说，他胜利地把267－1分解为两个素数相乘的形式，从而证明白M67是个合数。
报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了数学史上的佳话。
阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。
记者新奇地问他是怎样得到这么精彩的发觉的，柯尔回答“三年里的全部星期天”。
他后来当选为美国数学协会的会长，去世后，该协会特地设立了“柯尔奖”，用于嘉奖作出杰出贡献的数学家。
1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年头人们才知道它有3个素因子）。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
迈尔森定理
迈尔森定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：迈尔森定理(Mersenne's Theorem)是一条数论定理，它描述了一类形如2^n-1的数是否为素数的情况。
该定理由17世纪法国神父梅森尼(Marin Mersenne)在他的著作中首次提出，并因此而得名。
梅森尼定理在数学中起着重要的作用，它不仅可以帮助人们判断某些特定形式的数是否为素数，还可以辅助解决一些现实生活中的问题。
迈尔森定理的表述很简单，即形如2^n-1的数若为素数，则n必须也是素数。
这个定理的原理是基于素数的定义，即只能被1和自身整除的数。
通过对2^n-1的形式进行分析，可以得出该结论。
根据迈尔森定理，如果我们要判断一个形如2^n-1的数是否为素数，只需要先确定n是否为素数，然后再进行进一步的测试即可。
在数论领域中，迈尔森定理已经被广泛应用于素数的研究和验证领域。
由于素数在密码学、计算机科学等领域具有重要的作用，因此迈尔森定理的研究也成为了学者们关注的焦点之一。
在现代密码学中，大素数的生成和素数测试是非常关键的一步，而迈尔森定理正好为这些工作提供了一个有效的判断方法。
迈尔森定理的重要性不仅在于其理论上的价值，还在于它对于实际问题的帮助。
在寻找梅森素数(Mersenne primes)这一领域中，迈尔森定理也发挥了积极的作用。
梅森素数是一类形如2^p-1的素数，其中p为素数。
由于迈尔森定理的存在，研究人员可以更有效地寻找这类特殊素数，并通过进一步的分析来应用到实际问题中。
在数学的发展历史中，迈尔森定理也曾经引发过一些争议和挑战。
一些数学家曾尝试寻找迈尔森定理的反例，即找到一个n是素数，但2^n-1却不是素数的情况。
至今为止，并没有发现这样的例子，迈尔森定理仍然被认为是成立的。
第二篇示例：迈尔森定理，又称为美尔森定理，是一种用来描述数字的分布规律的定理。
该定理由德国数学家迈尔森在19世纪初提出，被广泛应用于统计学、金融学、生物学等领域。
与Mersensy数相关的若干性质
与Merseny 数相关的若干性质中图文号0156.2摘要：形如12-p 的自然数称作Merseny 数，至今只发现四十几个是素数，而数值却是越来越离奇地增大。
此类数中的素数只有有限个还是有无穷多个？始终是个谜。
本文通过分析若干实例，以及勾股数和完全数的性质与Merseny 数的关系，得到与12-p 相关的一些性质。
或许是研究Merseny 素数的无穷性的一个途径。
前32个Merseny 素数的p 值：2；3；5；7；13；17；19；31；61；89；107；127；521；607；1279；2203；2281；3217；4253；4423；9689；9941；11231；19937；21701；23209；44497；86243；132091；216091；（110503）；796839.关键词：梅森数，性质1，12-p 的素因子全形如12+kp 。
]1[2，21p -=)12)(12(21++p k p k 21q q =，称（1q ,2q ）为21p-的“因子对”。
式中1k ，2k 奇偶异性；且1k ≡2k （mod3）证：)12)(12(1221++=-p k p k p1)2(22121+++=p k k p k k ，21211212k k p k k pp ++=-- （1）上式等号左边是奇数，1k ，2k 必奇偶异性。
另：3︱121--p ，知3︱21212k k p k k ++（2）若3︱1k ，显然3︱1211212k p k k pp +---，必有3︱)3(mod ,122k k k ≡即.另：若)3(mod 2),3(mod 121≡≡k k 而。
则3︱21k k +。
由3︱k p k k +2121+2k 应有3︱21k k 。
但这与假设)3(mod 2),3(mod 121≡≡k k 矛盾。
故知)3(mod 21k k ≡。
又：(212=-q q p k k )12-，由)3(mod 21k k ≡知)6(mod 12p q q ≡。
论Mersenne素数分布规律的一个猜想
２ ０ １ ３年 ９月
广 东工 业大 学学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ３
Ｓ ｅ ｐ ｔ ｅ ｍｂ ｅ ｒ ２ ０ ３
１ 问题 的提 出
素 数也 叫质数 ， 是 只能 被 １和 自身整 除 的 正整
且 仅 当 整 除 Ｓ （ Ｐ一１ ） ， 其中Ｓ （ ｎ ） 由Ｓ （ ｎ＋１ ）＝ Ｓ （ ｎ ） 一 ２， Ｓ （ １ ）＝ ４递 归 定 义 ． 迄今为止， 人类 仅 发现 ４ ７个 Ｍ ｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ素数 ； 值 的 一提 的 是 ， 在 所 发现 的４ ７个 Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｎ ｅ素 数 中 ， 只确 定 前 ４ １个 素 数 的
数， 如 ２、 ３ 、 ５ 、 ７ 、 １ １等 等． ２ ３ ０ ０年 前 ， 古 希 腊 数 学 家 欧几里 得证 明 了素 数 有 无穷 多个 ， 并 提 出一 些 素数 可写成 “ ２ 一１ ” （ 其 中指 数 Ｐ也 是 素 数 ） 的形 式． 这 种 特殊 形式 的 素数 具 有 独 特 的性 质 和 无穷 的魅 力 ， 千百年 来一 直吸 引着众 多 的数学 家和无 数 的业 余数
ｒ ｅｃ ｔ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ ｐ ｉ ｒ ｍ ｅ ； ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｒ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ；ｉ ｎ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｃ ｏ ｎ ｊ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ
摘要 ： Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数的分布规律是数论研究 中的一大难题． 从 已被 发现 的 Ｍ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数情 况 出发 ， 通过 数据分析 指 出了一个有关 Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数分布猜想 的错误性 ． 关键词 ： Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ 素数 ； Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ 素数分 布规律 ； 错误猜想
实验二 素数问题
练习九 在二维坐标面上标出点列 ( n, π ( n)), n = 1,2,L, N ,(取 不同的 N ,如1000,10000等).也可以用折线将点连 起来.观察 π (n) 趋于无穷的趋势,将它同 y = x , y = x 比较,你会有什们结论?类似地观察点列 ( n, π ( n) / n) 和 ( n, π ( n) / n ) 以及 ( n, π ( n) /( n / Log( n))) .你能据此猜 测趋于无穷的极限的阶吗?
Mersenne素数是极其稀少的.借助大型计算机, 截止96年11月,数学家仅发现了34个Mersenne素数. 它们对应的 n是：
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203, 2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701, 23209,44497,86243,123049,216091,756839,859433, 1257787,1398269.
早在十七十八世纪，数学家Fermat和Ruler等 就研究过这类公式．1640年Fermat在给Mersenne 的信中指出，对所有的整数 n, Fn = 2 2 + 1 永远是素数. 的确F0 = 3, F1 = 5, F2 = 7, F3 = 257, F4 = 65537 ,都是素数. 然而,1732年,大数学家Ruler指出,F5 = 4294967297 不是素数,他并且找到了F5 的因子分解.此后,人们分 别证明了 F6 与 F7都是合数,并得到了它们的素因子分 解．实际上，有人猜测 Fn 当 n > 4时都是合数.
进一步的问题 关于素数,存在许许多多富有挑战性的问题,吸 引众多的数学家及业余爱好者．下面我们介绍几个 供有兴趣的同学参阅. Goldbach猜想 Bertrand猜想 大整数的素因子分解 完全数 孪生素数 青一色数的素性
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题【实用版】目录1.世界近代三大数学难题2.世界七大数学难题3.其他著名数学难题4.几何尺规作图问题5.蜂窝猜想正文数学是一门充满挑战和神秘的学科，自古以来，人们一直在探索数学的奥秘。
在世界数学史上，有许多著名的数学难题一直困扰着数学家们。
本文将介绍一些世界上著名的数学难题，包括世界近代三大数学难题、世界七大数学难题以及其他著名数学难题。
首先，我们来了解一下世界近代三大数学难题。
这三大数学难题分别是：费尔马大定理、四色问题和哥德巴赫猜想。
费尔马大定理是法国数学家费尔马在 17 世纪提出的，他猜想对于任何大于 2 的整数 n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这个猜想直到 1994 年才被英国数学家怀尔斯证明。
四色问题则是关于地图染色的问题，数学家们一直在探讨是否存在一种方法，能够用四种或更少的颜色为任何地图上的区域染色，使得相邻的区域颜色不同。
哥德巴赫猜想则是关于质数的猜想，哥德巴赫猜想认为，任何一个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。
接下来，我们来看看世界七大数学难题。
这些难题分别是：P（多项式时间）问题对 NP（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间）问题、霍奇 (Hodge) 猜想、庞加莱 (Poincare) 猜想、黎曼(Riemann) 假设、杨米尔斯 (Yang-Mills) 存在性和质量缺口、纳维叶斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性以及贝赫 (Birch) 和斯维讷通戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想。
这些难题都具有很高的难度，目前还没有被解决。
除了上述著名的数学难题外，还有许多其他著名的数学难题有待破解，例如：Abc 猜想、考拉兹猜想、周氏猜测（梅森素数分布猜测）、阿廷猜想（新梅森猜想）、哥德巴赫猜想、孪素数猜想、克拉梅尔猜想、哈代李特尔伍德第二猜想以及六空间理论等。
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第15卷第4期1999年8月
商丘师专学报
JOU RNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGE
Vol.15No.4
August,1999
学术争鸣
对梅森素数分布规律的一种猜想
岑 成 德
(中山大学管理学院,广东广州,510275)
摘 要 提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想:梅森素数的指数p的二阶差分序列每10项中都有6项非负值与4项负值.
关键词 素数 梅森素数 猜想 二阶差分
中图分类号 O156 1
形如2p-1(p为素数)的数称为梅森数,记为M p;M p中的素数称为梅森素数(Mersenne prime),近半世纪以来,人们所发现的已知最大素数都是梅森素数,研究梅森素数的分布规律,无疑对寻找新的梅森素数及探索是否存在无穷多的梅森素数都具有十分重要的意义.而梅森素数的分布极不规则,使得寻找其分布规律成为一个难题.
笔者通过大量的观察、分析及试验,对梅森素数的分布规律提出了一种猜想.
表1 已发现梅森素数的指数p及一阶差分 p与二阶差分 p2
位次p p 2p 位次p p 2p
12-- 204423170-866
231- 21968952665096
3521 229941252-5014
4720 231121312721020
51364 241993787247452
6174-2 25217011764-6960
7192-2 26232091508-256
8311210 27444972128819780
9613018 28862434174620458
108928-2 2911050324260-17486
1110718-10 3013204921546-2714
12127202 312160918404262496
135******** 32756839540748456706
1460786-308 33859433102594-438154
151279672586 341257787398354295760
162203924252 351398269140482-257872
17228178-846 36*297622115779521437470
183217936858 37*302137745156-1532796
1942531036100
*关于M2976221和M3021377的说明:虽然所有小于3402900的p值都已被至少检查一次,未发现其他梅森素数;
但需要检查两次才能确认其位次.
收稿日期:1999-02-29
表1列出了迄今已发现的所有梅森素数的指数p 及其一阶差分 p 与二阶差分 2p.其中前35个p 值所对应的M p 已被证明依次位于梅森素数的第1至第35位.由于第一、第二个p 值不存在相应的二阶差分,故二阶差分的首项对应于p 值的第三项.
由表1可看出,将二阶差分数列{ 2
p n }从首项开始依次划分为10项一组,则每组中都有6项为非负值、4项为负值.这一结论对已确认梅森素数位次的相应项都正确.因此,提出如下猜想.
猜想1 梅森素数的指数p 所形成数列的二阶差分数列{ 2p n }具有如下性质:如果从首项开始按10项一组来划分,则每组中恰有6项非负值和4项负值.
二阶差分反映 加速度 .由猜想1可见,梅森素数并非 步伐 越来越快地向上,而是以 每十步中快六步慢四步 的方式行进.
奇妙的是本猜想中涉及的3个数字!!!4(负值项数)、6(非负值项数)和10(每组项数)各除以2(梅森素数的底数)之后,恰好是最初的3个素数,也恰是梅森素数的指数p 的最初3个:2、3和5.
如果表1中最后两个梅森素数的位次得到证实,则我们可根据猜想1得到第38~42位梅森素数的分布状况.由于第33~37位梅森素数所对应的二阶差分已有3个负值,故第38~42位所对应的二阶差分仅有一个负值,即这5个梅森素数的指数p 中仅有一个与前一个p 的差小于前2个p 值之差.就是说,5个p 中有4个是 加速 向上的.
最后要说明的是,根据猜想1对已确定位次的梅森素数都成立这一事实,我们不能完全排除存在巧合的可能性.但笔者经计算得到这种巧合发生的概率仅为0 86%.
参 考 文 献
[1] 周海中.关于M p 素数.科技导报(粤版).1991(1、2):8~11[2] 王元.谈谈素数.上海:上海教育出版社.1978
[3] 孙琦,旷京华.素数判定与大数分解.沈阳:辽宁教育出版社,1987
A GUESS AT THE DISTRIBUTION OF MERSENNE PRIMES
Cen Chengde
(Depar tment M anagement,Zhongshan U niversity ,GuangZhao G uang Don,510275)
Abstract The paper presents a guess at the distribution of M ersenne primes:From the 3rd M ersenne prime,there are 6non negative values and 4negative values under every ten terms of a 2nd
order difference sequence of index es ps of the Mersenne Primes.
Key words prime;mersenne prime;guess;2nd order difference
117
第4期 岑成德:对梅森素数分布规律的一种猜想。