2020年天津高二(下)期中数学试卷解析版
率均为 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概
率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 f（x）=|lnx|，
若关于 x 的方程 f（x）+m=g（x）恰
有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ）
A. [0，ln2]
B. （-2-ln2，0） C. （-2-ln2，0] D. [0，2+ln2）
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1.【答案】C
答案和解析
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】解：某学校高一、高二年级共有 1800 人， 设该校高一年级学生共有 a 人， 现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有 42 人，
则
，
解得 a=840． ∴该校高一年级学生共有 840 人． 故选：C． 设该校高一年级学生共有 a 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项 调查．样本中高一年级学生有 42 人，由此列出方程能求出该校高一年级学生数． 本题考查该校高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题．
13. 函数 f（x）=ex-3x+2 的单调增区间为______．
14. 已知函数 f（x）=ax+lnx，若 f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值
范围为______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
15. 已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组
有 2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出．
（1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；
（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．
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16. 某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的
概率均为 ，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ， ．若一天内同一车间的机
器都不发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台 机器发生故障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元． （1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列； （2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决 策依据，你认为哪个车间停产比较合理．
19. 已知椭圆 C：
的左右焦点分别 F1（-c，0），F2（c，0），过 F2
作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，满足
．
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（I）求椭圆 C 的离心率． （II）M，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶 点），直线 MP，NP 分别与 x 轴相较于 R，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR|•|OQ|=8， 求椭圆 C 的方程．
A. 频率分布直方图中 a 的值为 0.040 B. 样本数据低于 130 分的频率为 0.3 C. 总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分 D. 总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
5. 若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B 两位同学至少有一人站在两
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
9. 从区间（-2，3）内任选一个数 m，则方程 mx2+y2=1 表示的是双曲线的概率为______
．
10. 一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n=10（m≥n），从这批排球中每次随机
取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX=2.1，从这批排球中随
5
（ ）
A.
B.
C.
D. 0
4. 某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生 中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成 绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130， 140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）
机一次取两个，则至少有一个次品的概率 p=______
11. 已知直线 y=2x-1 与曲线 y=ln（x+a）相切，则 a 的值为______．
12. 某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，
已知数据落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为
______．
2. 函数 f（x）=3x2+lnx-2x 的极值点的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无数个
3. 某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，
由表中数据求得 y 关于 x 的回归方程为
，则在这些样本中任取一点，
该点落在回归直线下方的概率为
x
3
5
7
9
y
1
2
4
端的概率是
A.
B.
C.
D.
6. 函数 f（x）=
的图象可能是（ ）
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A.
B.
C.
D.
7. 重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛 ，A，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1. 某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本
进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有（ ）
A. 420 人
B. 480 人
C. 840 人
D. 960 人
17. 已知函数
在点（1，f（1））处的切线方程是 y=bx+5．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）求函数 f（x）在
上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．
18. 设函数 f（x）=xekx（k≠0）， （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）设 g（x）=x2-2bx+4，当 k=1 时，若对任意 x1∈R，存在 x2∈[1，2]，使 f（x1） ≥g（x2），求实数 b 取值范围．
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。
2019-2020学年天津市河东区高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市河东区高二下学期期中数学试题一、单选题1．若复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，则b 的值为（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．2-【答案】A【解析】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，求解即可得答案．【详解】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，即2b =．故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1 【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可．【详解】 ()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++Q 是纯虚数，10 10m m -=⎧∴⎨+≠⎩，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．下列式子错误的是（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．(cos )sin x x '=C ．2(2ln )x x '=D ．()x x e e --'=-【解析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，(sin )cos x x '=，正确；对于B ，(cos )sin x x '=-，错误；对于C ，2(2)lnx x '=，正确； 对于D ，()x x e e--'=-，正确；故选：B ．【点睛】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，则0x 的值为（ ） A ．12e + B ．32 C ．1 D ．34【答案】B【解析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值．【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 故选：B ．【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题． 5．若复数z 满足z （i-1）=2i （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】z （i-1）=2i （i 为虚数单位），∴-z （1-i ）（1+i ）=2i （1+i ），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i ．则z =1+i ．故选A ．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．6．复数43i z i +=，则(z = ) A ．5B ．4C ．5D ．25 【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．【详解】解：z ()24343i i i i i++===-（﹣3+4i ）＝3﹣4i ， ∴|z |223(4)=+-=5，故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 8．已知函数π()()sin cos 6f x f x x '=+，则π()6f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1- 【答案】D【解析】求函数的导数，即可得到结论．【详解】()()sin cos 6f x f x x π='+Q ， ()()cos sin 6f x f x x π∴'='-， 令6x π=，则1()()cos sin ()666662f f f πππππ'='-='-，则()2)6f π'==-，则()2)sin cos f x x x =-+，则1()2)sin cos 2)16662f πππ=-++=-⨯=-， 故选：D ．【点睛】 本题主要考查函数值的计算，利用导数求出()6f π'的值是解决本题的关键． 9．设()f x 是定义在［－1，1］上的可导函数，()00f =，且()22f x x '=+，则不等式()()120f a f a +->的解集为A ．[]0,1B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)0,1 【答案】D【解析】由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】因为()22f x x '=+，所以()()32,?003x f x x m f =++=又，因此()323x f x x =+，为[]11-，上的奇函数和增函数，()()()()()1201221f a f a f a f a f a +->⇒>--=-，则1111210121a a a a a -≤≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪>-⎩，，，故选D ．【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题10．已知i 为虚数单位，则复数2021i =_______.【答案】i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案.【详解】20214505()i i i i ==g ；故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i 的性质，是基础题． 11．设1262,618z i z i =--=-，其中i 为虚数单位.若12z z z =+，则z 在复平面上对应点的坐标为_______.【答案】(0,20)-．【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】126261820z z z i i i =+=--+-=-，则z 在复平面上对应点的坐标为(0,20)-．故答案为：(0,20)-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数sin y x =在区间π[0,]6，ππ[,]32上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______.【答案】12k k >.【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．【详解】当[0x ∈，]6π时，平均变化率1sin sin 0366k πππ-==， 当[3x π∈，]2π时，平均变化率2sin sin 2323k ππππ-==-， 12k k >，故答案为：12k k >.【点睛】 应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率()()y f x x f x x x+-=V V V V ，属于基础题． 13．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2(0,)e. 【解析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()x x g x e=在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()x x g x e =在R 上有2个交点， 22()x x g x e -'=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e =， 而20x x e >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e ．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 14．函数2()ln f x x x =+的图象在点(1,(1))f 处切线方程为_____．【答案】320x y --=【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1处的导数，再求出f （1），利用直线方程的点斜式得答案．【详解】由2()ln f x x x =+，得'1()2f x x x=+， 则'(1)3f =，又(1)1f =，所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.故答案为：320x y --=【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题．15．若函数()()2f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________．【答案】2【解析】求导函数可得22()34f x x ax a '=-+，所以2(2)1280f a a =-+='，解得2a = 或6a =，当2a =时，2()384(2)(32)f x x x x x ==-'-+-，函数在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x =-=--'+，函数在2x =处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以2a =.三、解答题16．已知复数(12a z i i i=++为虚数单位）． （1）若z R ∈，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围．【答案】（1）12z =；（2）502a <<． 【解析】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若z R ∈，即可求z ；（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a 的取值范围．【详解】（1）(12)25212(12)(12)555a a i a ai a a z i i i i i i i ---=+=+=+=++-+， 若z R ∈，则5205a -=，得52a =，此时12z =； （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限， 则05a >且5205a ->， 得052a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即502a <<， 即a 的取值范围是502a <<． 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．17．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x = （2）cos(21).x y x+= 【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'= 【解析】(1)求积的导数，[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+.(2)求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+g .【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x x x =+ 22log (3)ln 2x x x =+. (2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x ''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=. 【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.18．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值.【答案】21a b =⎧⎨=⎩【解析】当2x =时，代入切线方程，62ln 2242ln 2y =-++=-+， 即()242ln 2f =-+，并且()223a f bx x'=-=-，联立方程求,a b 的值. 【详解】 P Q 在32ln 22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-， ()2ln242ln24f a b ∴=-=-，又因为P 处的切线斜率为3-，()'2a f x bx x=-， ()'2432a fb ∴=-=-， ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩. 【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.19．已知函数2()1x f x e x =--.（1）若函数()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，求函数()g x 的单调区间； （2）若不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）()g x 的单调减区间为：()0,1，单调增区间为：()1,+∞；（2）k>-1【解析】（1）由题可得21()x e x g x x--= 求导得()22(1)1()()()(0)xx e x xf x f x g x x x x ''----==>， 令()1x t x e x =--，由()1xt x e x =--的单调性得()g x 的单调性． （2）不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，则2min 112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭ 设21()12x h x e x x =+--，求()h x 的最小值，从而求k 的取值范围． 【详解】 （1）因为2()1()x f x e x g x x x--==. 所以()22(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x ''----==>. 设()1x t x e x =--，则()10xt x e '=->，即()t x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增.（2）因为x R ∃∈，()21()32202f x x x k +--≤. 所以2min112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭. 设21()12x h x e x x =+--，则()1x h x e x '=+-. 由于()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=.所以当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，则()h x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增.所以min ()(0)0h x h ==.综上，k 的取值范围是[0,)+∞.【点睛】本题考查利用导函数解不等式（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目． 20．已知函数f （x ）＝lnx ()12a x x --+．（1）若a ＝4，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，1]内单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若x 1、x 2∈R +，且x 1≤x 2，求证：（lnx 1﹣lnx 2）（x 1+2x 2）≤3（x 1﹣x 2）．【答案】（1）见解析；（2）3a ≤；（3）见解析【解析】(1)将a =4代入f (x )求出f (x )的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)根据条件将问题转化为434a x x ++„在(0,1]上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2x x x ln x x x -+„成立问题,令12(0,1)x t x =∈,即3(1)02t lnt t --+„成立,再利用函数的单调性证明即可.【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,22213(43)4()(2)(2)a x a x f x x x x x +-+'=-=++, 所以4a =时,2284()(2)x x f x x x -+'=+, 由()0f x '>,解得04x <<-4x >+由()0f x '<,解得44x -<+,故()f x在(0,4-和(4+,)+∞上单调递增,在(4-4+上单调递减.(2)由(1)得22(43)4()(2)x a x f x x x +-+'=+, 若函数()f x 在区间(0,1]递增,则有2(43)40x a x +-+…在(0,1]上恒成立,即434a x x ++„在(0,1]上恒成立成立,所以只需min434a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭„, 因为函数44y x x =++在1x =时取得最小值9,所以min 4349a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭„, 所以a 的取值范围为](,3-∞.(3)当12x x =时,不等式显然成立,当12x x ≠时,因为1x ,2x R +∈,所以要原不等式成立, 只需11122121223(1)3()22x x x x x ln x x x x x --=++„成立即可, 令12(0,1)x t x =∈,则3(1)02t lnt t --+„, 由(2)可知函数()f x 在(0,1]递增,所以()(1)0f x f ≤=, 所以3(1)02t lnt t --+„成立, 所以(lnx 1﹣lnx 2)(x 1+2x 2)≤3(x 1﹣x 2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.。
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含解析)
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．对变量x ,y 有观测数据，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据,得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．设，则“且”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4．的展开式中，系数最大的项是( )项B.第n 项C.第项D.第n 项与第项5．已知随机变量X 服从正态分布，且，则( )A.0.6B.0.3C.0.2D.0.16．设X 为随机变量，，若随机变量X 的数学期望，则等于( ){}1,2,3,4U ={}1,2A ={},32B =()U A B ð{}1,3,4{}3,4{}3{}4(),i i x y ()1,2,,10= i (),i i u v ()1,2,,10i = ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥()2*1()n x n +∈N 1+1n +1n +()22,N σ()40.8P X <=()02P X <<=1,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭()2E X =()2P X =7．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-40 B.-20 C.20 D.409．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二、填空题10．的展开式中的系数为________.11．命题,的否定是________.12．已知，则________.13．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则________.14．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种________.15．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第，则小李第二天去乙家餐厅的概率为________.三、解答题16．（1）证明：组合数性质；（2）计算：（用数字作答）.17．已知集合，若()|P A B =512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭822x y :p x ∀∈R 210x +>7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1357a a a a +++=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}20,,a a b +20242024a b +=()1*1C C C ,m m n n n m n π-+=+∈N 2222234100C C C C ++++ {}23100A x x x =--≤（1），，求实数m 的范围；（2），，求实数m 的范围；（3），，求实数m 的范围.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x 吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(参考数值：)19．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.（1）根据以上数据填写列联表；关系？参考公式：B A ⊆{}121B x m x m =+≤≤-A B ⊆{}621B x m x m =-≤≤-B A ={}621B x m x m =-≤≤-ˆybx a =+ˆb=ˆy =-3 2.543546 4.566.53242526286⨯+⨯+⨯+⨯=+++=22⨯2K =参考数据：，，，.20．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)求X 的数学期望E(X).2( 2.072)0.15P K ≥=2( 2.706)0.10P K ≥=2( 3.841)0.05P K ≥=()2 5.0240.025P K ≥=参考答案1．答案：D解析：易知，则，故选：D.2．答案：C解析：变量x 与中y 随x 增大而减小，为负相关；u 与v 中，u 随v 的增大而增大，为正相关.3．答案：A解析：试题分析：若且，则，，所以，即；若，则如满足条件，但不满足且.所以“且”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．答案：C解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.5．答案：B解析：由题意，随机变量X 服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以，故选B.6．答案：A解析：因为，得，即.所以故选A 7．答案：A解析：由题意可知{}1,2,3A B = {}()4U A B = ð2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥224x y +≥()()2*1x n n +∈N 1r +1r +21n +1n +22,N σ（）2x =(4)0.8P X <=(0)(4)1(4)0.2P X P X P X ≤=≥=-<=1(02)(0)0.50.20.32P X P X <<=-≤=-=()123E X n ==6n =16,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2426112C 133P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2265211C C C P B +==()26211C C AB ==所以故选：A.8．答案：D解析：令得.故原式=.的通项，由得,对应的常数项，由得,对应的常数项，故所求的常数项为40，故选D 9．答案：B解析：由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有，组成无重复数字的三位数共有，因此组成有重复数字的三位数共有.10．答案：70解析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知.令，解得，的展开式中的系数为.11．答案：,或,解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题,的否定是：,故答案为：,12．答案：-1094解析：令，则，，()()()|P AB P A B P B ==1x =1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭521552155C (2)()C (1)2r r r r rr r r T x x x ----+=-=-521r -=2r =80=521r -=-3r =80=-91010900⨯⨯=998648⨯⨯=900648252-=822x y 1r +()811882222188C 1C rrr rr r r r r r T xy x y x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭822r r -+-=4r =∴822x y ()4481C 70-=0x ∃∈R 2010x +≤x ∃∈R 210x +≤:p x ∀∈R 210x +>0x ∃∈R 2010x +≤0x ∃∈R 2010x +≤()7270127()12f x x a a x a x a x =-++++= 0127(1)1a a a a f ++++==- 701273(1)32187a a a a f a -++--==-=所以.故答案为：-109413．答案：1解析：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1.14．答案：60解析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.解析：设“第1天去甲餐厅用餐“，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，根据题意得，则则由全概率公式得：，即1357(1)(1)10942f f a a a a --==-+++,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,0,a a b +a ≠0=0b =21a =1a =1a =-1a ={1,0,1}{1,1,0}1a =-0b =202420241a b +=34A 24=1234C A 36⨯=1A =1B =2A =2B =1122()()()()P A P B P A P B ====()21|A A =()21|P A B =21(|)P B A =()()()21211|P A B A B P B ==()214152P A B =⨯=()()()2112225|12P A B P B A P A ===()22|B A =21222121222()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+212113()252510P B =⨯+⨯=16．答案：（1）证明见解析；（2）166650解析：（1）证明：；（2）＝.17．答案：（1）；（2）（3）不存在满足题意的实数m解析：（1）；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数m 的取值范围为.（2）由得：，解得：，即实数m 的取值范围为.（3），，方程组无解，不存在满足题意的实数m .18．答案：（1）见解析；（2）；()()1!!!!(1)!C 1!C m m n n n n m n m m n m -+---++=()()()()()!1!1!!1!!1!!1!n n m n n m m n mm n m m n m m n m -+-++=+=-+-+-+()()11!!(1)C !(1)!!1!m n n n n m n m m n m +++===-+-+3223102222223223410044041300C C C C C C C C C C C =+++=+++++++ 22323310010010515100C C 10110099C C C 16665032C ⨯⨯==+++==+=⨯ (],3-∞[]3,4{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤B =∅B A ⊆121m m +>-2m <B ≠∅B A ⊆12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23m ≤≤(],3-∞A B ⊆62126521m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪≤-⎩34m ≤≤[]3,4A B = 62215m m -=-⎧∴⎨-=⎩∴ˆ0.70.35yx =+（3）19.65吨解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得，，，，回归方程的系数为，，所求线性回归方程为；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为（吨，吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤.19．答案：（1）答案见解析；（2）有关系解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：1(3456) 4.54x =⨯+++=1(2.534 4.5) 3.54y =⨯+++=4222221345686ii x==+++=∑413 2.543546 4.566.5iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∴266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 4.5ˆ0.35a =-⨯=∴ˆ0.70.35yx =+0.71000.3570.35⨯+=)9070.3519.65∴-=22⨯由（1）中的的列联表，可得，所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10.20．答案：(Ⅰ)见解析；解析：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6.故，所求X 的分布列为22⨯()220.10226943 2.7641 2.7061210139K K ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯3539C (3)C P X ===215439C C (4)C X ===125439C C (5)C P X ===3439C (6)C P X ===()51051345642211421E X ⨯+⨯+⨯+⨯==。
2020年天津市高二(下)期中数学试卷解析版
16. 定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足
的解集为______． 三、解答题（本大题共 2 小题，共 24.0 分） 17. 已知函数 f（x）=ex（ex-a）-a2x．
（3）证明：1+ + +…+ ＞ln（n+1）+
（n≥1）．
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1.【答案】B
答案和解析
【解析】【分析】 本题主要考查复数模长的计算，属于基础题． 根据复数相等求出 x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】 解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi，
4.【答案】C
【解析】【分析】 考查导数的定义，属于基础题. 根据导数的定义可将原式变成：
即可. 【解答】
解：
故选 C.
=3f′（1），根据 f′（1）的值求解
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5.【答案】A
【解析】【分析】 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于 基础题． 求导，令 f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令 f′（x）＜0，求得函数的单调递 减区间，则当 x=e 时，函数有极大值． 【解答】
B. （-1，3）
C. （1，+∞）
D. （-∞，-3）
3. 已知 f（x）=x2+3xf'（1），则 f'（2）=（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
天津市复兴中学2019~2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020年度第二学期高二期中考试（数学）一、选择题（共8小题；共32分）1.设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|16}C x x =∈-≤≤R ，则()A B C ⋃⋂=（ ） A. {2} B. {1,2,4} C. {1,2,4,6} D. {|15}x x ∈-≤≤R【答案】C 【解析】 【分析】计算{}1,2,4,6A B =U ，再计算交集得到答案.【详解】集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|16}C x R x =∈-≤≤， 则{}1,2,4,6A B =U ，{}()1,2,4,6A B C =U I . 故选：C .【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A. ()2f x = B. 12()log f x x =C. ()f x x =-D. ()||f x x =-【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的单调性和奇偶性得到答案. 【详解】A. ()2f x =，函数为偶函数，排除；B. 12()log f x x =，函数定义域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；C. ()f x x =-，函数为奇函数，减函数，满足；D. ()||f x x =-，函数为偶函数，排除； 故选：C .【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<<B. 660.70.7log 7log 6<<C. 60.76log 6log 70.7<< D. 60.760.7log 6log 7<<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】66log 7log 61>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；60.76log 60.77log ∴<<．故选A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题. 4.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( ) A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件5.要得到函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ） A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】.化简得到sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据平移法则得到答案. 【详解】sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到函数sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：B .【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用.6.函数(()cos 1)f x x x =的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC.3π2D.12π 【答案】A 【解析】 【分析】将函数化简为()f x ＝Asin （ωx+ϕ）的形式，再由周期公式计算即可．【详解】由()(1)cos cos 2sin 6f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，得最小正周期为T ＝221ππ= ， 故选A ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简和最小正周期的求法．属于基础题．7.方程lg 23x x +=的解所在区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B 【解析】 【分析】取()lg 23f x x x =+-，则函数单调递增，根据零点存在定理计算得到答案.【详解】取()lg 23f x x x =+-，则函数单调递增，()110f =-<，()2lg 210f =+>， 故函数在()1,2上有唯一零点，即lg 23x x +=的解所在区间为(1,2).故选：B .【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8.已知0x >，0y >，且213x y+=，若23(2)2x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,2][4,)-∞-⋃+∞ B. (,4][2,)-∞-+∞U C (2,4)-D. (4,2)-【答案】D 【解析】 【分析】化简得到213(2)(2)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式得到最小值为8，解不等式得到答案.【详解】2143(2)(2)448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当4y x x y =，即43x =，23y =时等号成立，故282m m >+，解得42m -<<. 故选：D .【点睛】本题考查了均值不等式求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题（共5小题；共20分）9.计算21iz i==-___________，||z =____________. 【答案】 (1). 1i -+(2).【解析】 分析】 化简得到211iz i i==-+-，再计算共轭复数模得到答案. 【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，故1z i =--，故z = 故答案为：1i -+.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力..10.求值cos330︒=______.【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos330cos30︒=︒，从而得到求解的值. 【详解】()cos330cos 36030cos302︒=︒-︒=︒=【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ． 11.已知4sin 5α=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45- 【解析】由诱导公式知4cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故填45-. 12.已知22sin sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________. 【答案】(1). (2). 1【解析】 【分析】化简得到22sin sin 2214x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】22sin sin 21cos 2sin 2214x x x x x π⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，故A =，1b =.；1.【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.已知函数(2)5,1()31,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=+⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围为________.【答案】1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质得到203102531a a a a -<⎧⎪+>⎨⎪-+≥+⎩，解得答案. 【详解】函数(2)5,1()31,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=+⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的减函数，故203102531a a a a -<⎧⎪+>⎨⎪-+≥+⎩，解得113a -<≤.故答案为：1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了分段函数单调性，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.三、解答题（共4小题；共48分）14.已知4cos 5α=-，α为第三象限角. （1）求sin α，tan α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3sin 5α=-，3tan 4α=；（2【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系计算得到答案. （2）计算7cos 225α=，24sin 225α=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】（1）4cos 5α=-，α为第三象限角，故3sin 5α==-，3tan 4α=.（2）27cos 212sin 25αα=-=，24sin 22sin cos 25ααα==，)cos 2cos 2sin 242πααα⎛⎫-=+=⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，和差公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.已知集合{}|2mA x x =>，{|444}B x x =-<-<.（1）当0m =时，求A B U ，A B I ； （2）若A B ⊆R ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}0A B x x ⋃=>，{}18A B x x ⋂=<<；（2）[)3,m ∈+∞ 【解析】 【分析】（1）计算{}08B x x =<<，再计算交集和并集得到答案.（2）计算(][),08,R C B =-∞+∞U ，根据题意得到28m ≥，解得答案. 【详解】（1）{}|1A x x =>，{}{|444}08B x x x x =-<-<=<<， 故{}0A B x x ⋃=>，{}18A B x x ⋂=<<.（2）{}{|444}08B x x x x =-<-<=<<，故(][),08,R C B =-∞+∞U ，R A C B ⊆，故28m ≥，解得3m ≥，即[)3,m ∈+∞.【点睛】本题考查了集合混合运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力.16.函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos g x f x x =+，将()g x 化简为sin()A x b ωϕ++形式，并求()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值与最大值.【答案】（1）2T π=，()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为2，的【解析】 【分析】（1）根据图像得到2T π=，1ω=，1A =，6π=ϕ，得到答案. （2）()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得到最值. 【详解】（1）根据图像：4233T ππ=-=π，2T π=，故22T ππω==，1ω=，1A =， ()sin()f x x ϕ=+，sin 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2,6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，满足题意，故6π=ϕ，()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）3()()cos sin cos cos 623g x f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()min 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()max 6f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解析式，三角函数最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17.已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点(0,2)，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74（1）求()f x 的解析式；（2）当[2,]x m m ∈-，m ∈R 时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）； （3）若函数()()F x f x ax =-在(0,3)上只有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()21724f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）()2min2171,242713,422373,242m m f x m m m ⎧⎛⎫++<-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎛⎫-+>⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩；（3）143a ≥【解析】 【分析】（1）设()21724f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入点坐标得到答案.（2）讨论12m <-，1322m -≤≤，32m >三种情况，分别计算得到答案.（3）化简得到21a x x=++，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】（1）设()21724f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数过(0,2)，代入解得1a =，故()21724f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）当12m <-时，函数在[2,]m m -上单调递减，故()()2min1724f x f m m ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭；当1322m -≤≤时，1[2,]2m m -∈-，故()min 1724f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 当32m >时，函数在[2,]m m -上单调递增，故()()2min37224f x f m m ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭；故()2min2171,242713,422373,242m m f x m m m ⎧⎛⎫++<-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎛⎫-+>⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩.（3）()()0F x f x ax =-=，即22x x ax ++=，21a x x=++，()0,3x ∈ 画出函数21y x x =++的图像，当3x =时，143y =，如图所示： 根据图像知：143a ≥.【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数最值，根据零点个数求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。
2020年天津一中高二(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人2.函数f（x）=3x2+ln x-2x的极值点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 无数个3.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本中任取一点，x3579y1245（）A. B. C. D. 04.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A. 频率分布直方图中a的值为0.040B. 样本数据低于130分的频率为0.3C. 总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D. 总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等5.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站在两端的概率是A. B. C. D.6.函数f（x）=的图象可能是（）A. B.C. D.7.重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=|ln x|，若关于x的方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A. [0，ln2]B. （-2-ln2，0）C. （-2-ln2，0]D. [0，2+ln2）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.从区间（-2，3）内任选一个数m，则方程mx2+y2=1表示的是双曲线的概率为______．10.一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n=10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX=2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p=______11.已知直线y=2x-1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为______．12.某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为______．13.函数f（x）=e x-3x+2的单调增区间为______．14.已知函数f（x）=ax+ln x，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．16.某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．17.已知函数在点（1，f（1））处的切线方程是y=bx+5．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）．18.设函数f（x）=xe kx（k≠0），（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=x2-2bx+4，当k=1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．19.已知椭圆C：的左右焦点分别F1（-c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，满足．（I）求椭圆C的离心率．（II）M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP，NP分别与x轴相较于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=8，求椭圆C的方程．答案和解析1.【答案】C【解析】解：某学校高一、高二年级共有1800人，设该校高一年级学生共有a人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人，则，解得a=840．∴该校高一年级学生共有840人．故选：C．设该校高一年级学生共有a人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人，由此列出方程能求出该校高一年级学生数．本题考查该校高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）=6x+-2=，由于x＞0，g（x）=6x2-2x+1中△=-20＜0，∴g（x）＞0恒成立，故f′（x）＞0恒成立，即f（x）在定义域上单调递增，无极值点．故选：A．先求出导数f′（x），进而判断其单调性，即可得出答案．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值等性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：由表中数据计算=×（3+5+7+9）=6，=×（1+2+4+5）=3，代入y关于x的回归方程中，得a=3-0.7×6=-1.2，所以y关于x的回归方程为=0.7x-1.2，所以表中4个点落在回归直线下方的有（5，2），（9，5）共2个，则所求的概率为p==．故选：B．求出样本中心点，得出回归方程，计算可得4个点中落在回归直线下方的有2个，从而求出概率．本题考查回归方程的求法，考查概率的计算以及样本点的中心，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得a=0.030，故A错误；样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）×10=0.7，故B错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10=0.4，[120，130）的频率为：0.030×10=0.3．∴总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+≈123.3分，故C正确；样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等，故D错误．故选：C．由频率分布直方图得的性质求出a=0.030；样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）×10=0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+≈123.3分；样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等．本题考查频率分布直方图的性质，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五名同学站成一排照相，共有n==120种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：+=84种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n==120种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：+=84种，∴A、B两位同学至少有一人站在两端的概率为p=．故选：C．6.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）可排除B，D答案当x∈（-2，-1）时，sin x＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（-2，-1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．7.【答案】A【解析】解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：P=（）4++=．故选：A．比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：设h（x）=f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）=f（1）+m=ln1+m=m，A点的纵坐标为g（2）=-2，当x=2时，h（2）=ln2+m，g（1）=0，要使方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即-2-ln2＜m≤0，即实数m的取值范围是（-2-ln2，0]，故选：C．设h（x）=f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】【解析】解：当m∈（-2，0）时，方程mx2+y2=1表示的是双曲线，所以所求的概率为P==．故答案为：．根据题意，求出方程mx2+y2=1表示双曲线的条件即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：由题意知，随机变量X～（10，），则方差DX=10××（1-）=2.1，又m≥n，则n≤5，∴解得n=3，∴所求的概率为p=1-=．故答案为：．由题意知随机变量X～（10，），根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值．本题考查离散型随机变量的方差计算问题，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ln2【解析】解：设切点坐标为P（m，ln（m+a）），∵曲线y=ln（x+a），∴y′=，∵直线y=2x-1与曲线y=ln（x+a）相切，∴y′|x=m==2，①又切点P（m，ln（m+a））在切线y=2x-1上，∴ln（m+a）=2m-1，②由①②可得，a=ln2，∴a的值为ln2．故答案为：ln2．设出切点P（m，ln（m+a）），根据导数的几何意义，且切点在切线上，列出关于m 和a的方程组，求解方程组，即可得到a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．12.【答案】27【解析】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为16×0.25=4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）=27．故答案为：27．根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，是基础题．13.【答案】（ln3，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=e x-3x+2，其导数f′（x）=e x-3，若f′（x）=e x-3＞0，变形可得e x＞3，解可得x＞ln3，即函数f（x）的递增区间为（ln3，+∞）；故答案为：（ln3，+∞）根据题意，求出函数的导数f′（x）=e x-3，令f′（x）=e x-3＞0，解可得x＞ln3，由函数的导数与单调性的关系分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，关键是掌握函数的单调性与导数的关系，属于基础题．14.【答案】（-∞，-]【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于简单题．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f′（x）=a+，①a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，不合题意；②a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜-，令f′（x）＜0，解得：x＞-，故f（x）在（0，-）递增，在（-，+∞）递减，故f（x）max=f（-）=-1+ln（-）≤1，解得：a≤-，故答案为：（-∞，-]．15.【答案】解：（1）由题意知，所有的选派方法共有=60种，其中有3名女生的选派方法共有=4种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种．…………（3分）（2）X的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，（8分）∴X的分布列为：X0123P∴E（X）==．…………………………………（10分）【解析】（1）由题意知，所有的选派方法共有=60种，其中有3名女生的选派方法共有=4种，由此能求出选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数．（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查间接法、排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.【答案】解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-）×（1-）×（1-）=，P（ξ=1）=××（1-）×（1-）+（1-）2×=，P（ξ=2）=××（1-）×+（）2×（1-）=，P（ξ=3）=××=，ξ的分布列为ξ0123P（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=••，（k=0，1，2，3），∴E（X）=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）-3×P（η=3）=2×+1×+0-3×=；设乙车间获得的利润为Y，由（1）得E（Y）=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）-3×P（ξ=3）=2×+1×+0-3×=；∵E（X）＜E（Y），∴甲车间停产比较合理．【解析】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了数学期望的计算问题，是中档题．（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得利润为X，得η～B（3，），求出甲、乙的期望值，比较即可得出结论．17.【答案】解：（1）因为，，………（1分）则f'（1）=1-a，f（1）=2a，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-2a=（1-a）（x-1），…………（2分）（直线y=bx+5过（1，f（1））点，则f（1）=b+5=2a）由题意得，即a=2，b=-1．………………………………………（4分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），……（5分）∵，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，∴在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7分）故f（x）在上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9分）∴f（x）在上的最小值为f（2）=3+ln2．………………………（10分）又，，且．∴f（x）在上的最大值为．………………………（11分）综上，f（x）在上的最大值为2e+1，最小值为3+ln2．……………（12分）【解析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1）f′（x）=（1+kx）e kx，因为f（0）=0，且f′（0）=1，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．（4分）（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，当k＞0时，x＞-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增；当k＜0时，x＜-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减．（8分）（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，即存在x∈[1，2]，使g（x）=x2-2bx+4≤-，即2b≥x+，即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥2+．（14分）【解析】（1）f′（x）=（1+kx）e kx，由f（0）=0，且f′（0）=1，能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．19.【答案】解：（Ⅰ）设A点的横坐标为c，代入椭圆方程得，y=±b=±，解得，∴，又b2=a2-c2=ac，由e=可得e2+e-1=0，解得；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，-b），P（x0，y0），可得b2x02+a2y02=a2b2，则直线MP的方程为，令y=0得到R点的横坐标为，同理可得直线NP的方程为，令y=0得到Q点的横坐标为，∴，而e==，可得c2=6，b2=2，所以椭圆的方程为．【解析】（Ⅰ）设A点的横坐标为c，代入椭圆方程求得y，即有，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，解方程可得e；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，-b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得MP的方程和NP的方程，令y=0，可得R，Q的坐标，由条件可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
2020年天津市高二(下)期中数学试卷解析版
（1）求 a，b 的值； （2）若函数 f（x）在区间[-2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
16. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD 垂 直于底面 ABCD，AD=PD=2，
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18. 已知函数 f（x）=
（a≥0），f′（x）为函数 f（x）的导函数．
（Ⅰ）设函数 f（x）的图象与 x 轴交点为 A，曲线 y=f（x）在 A 点处的切线方程是 y=3x-3，求 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 g（x）=e-ax•f′（x），求函数 g（x）的单调区间．
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13. 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f（2）等于______． 14. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC=90°，
AB=AC=AA1=1，已知 G 和 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点， D 和 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点） ，若 DG⊥EF，则线段 DF 长度的取值范围为______．
对于 C，（ ）′= （ ）′= × × = ，C 正确；
对于 D，（3x）′=3xln3，D 错误； 故选：C． 根据题意，依次分析选项，验证其导数计算是否正确，综合即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设切点 P 的坐标为（x，y），由题意得 y′=2x， ∵切线与直线 2x-y+1=0 平行， ∴切线的斜率 k=2=2x，解得 x=1， 把 x=1 代入 y=x2，得 y=1，故 P（1，1） 故选：B． 先设出 P 的坐标和求出函数的导数，根据条件求出切线的斜率，根据导数的几何意义求 出横坐标，再代入函数的解析式求出纵坐标． 本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲
2023-2024学年天津市武清区高二下学期期中数学试题(含解析)
2023-2024学年天津市武清区高二下册期中数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A ．()33ln xx x'=B ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()21log ln 2x x '=D ．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算逐个计算即可．【详解】对于A 选项，()33ln 3x x '=，故A 选项错误；对于B 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 选项错误；对于C 选项，()21log ln 2x x '=，故C 选项正确；对于D 选项，2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故D 选项错误；故选：C2．已知函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】构造新函数3()31h x x x =-+并利用导数求得其极值，再利用函数()f x 的零点即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像的交点横坐标，进而求得实数m 的取值范围.【详解】令3()31h x x x =-+，则2()33h x x '=-，由()0h x '>得，1x >或1x <-；由()0h x '<得，11x -<<，则当1x >或1x <-时3()31h x x x =-+单调递增；当11x -<<时3()31h x x x =-+单调递减.则=1x -时()h x 取得极大值(1)3h -=；1x =时()h x 取得极小值(1)1h =-.函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像有3个不同的交点，则实数m 的取值范围是(1,3)-故选：A3．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在区间()1,1-上单调递增B ．()f x 在区间()2,0-上单调递增C ．1-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【正确答案】D【分析】由图象可确定()f x '在不同区间内的正负，由此可得()f x 单调性，结合极值点定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，()0f x '<，()f x \在()2,0-上单调递减，B 错误；对于C ，()f x 在()2,0-上单调递减，1x ∴=-不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，()0f x '<；()f x \在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，2x ∴=是()f x 的极大值点，D 正确.故选：D.4．若函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．[2,)-+∞【正确答案】D【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】()2ln 1a f x x x =+-，则2222()a x a f x x x x +'=+=由函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，可得2222()0a x a f x x x x +'=+=≥在区间(1,)+∞上恒成立，即2a x ≥-在区间(1,)+∞上恒成立，又由(1,)x ∈+∞，可得2(,2)x -∈-∞-，则2a ≥-故选：D5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，且(1)0f =则()0f x >的解集为（）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)-⋃+∞【正确答案】D【分析】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，根据()f x 的奇偶性得出()g x 为偶函数和(0)0g =，根据(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<得出()g x 在定义域内的单调性，由(1)0f =得出(1)g 和(1)g -的值，画出简图，分类讨论即可得出()0f x >的解集．【详解】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，则()()()g x f x xf x +''=，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()g x x f x xf x g x -=-⋅-==，且(0)0f =，所以()g x 是R 上的偶函数，(0)0(0)0g f =⨯=，因为当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<，所以()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为(1)0f =，所以(1)0f -=，所以(1)1(1)0g f =⨯=，(1)1(1)0g f -=-⨯-=，画出()g x 的简图，如图所示，当0x >，()0f x >时，()()0g x xf x =>，则1x >，当0x <，()0f x >时，()()0g x xf x =<，则10x -<<，当0x =，()0f x =，不合题意，综上所述，()0f x >时，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故选：D6．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=.当01x <<时，0'<y ，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0'>y ，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞ ，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如果自然数n 是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n 叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（）A ．20B ．21C ．25D ．26【正确答案】B【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可．【详解】当十位是0时，百位可选1，个位可选0和1，共2个，当十位是1时，百位可选1和2，个位可选0，1和2，共236⨯=个，当十位是2时，百位可选1，2和3，个位可选1，2和3，共339⨯=个，当十位是3时，百位可选2和3，个位可选2和3，共224⨯=个，综上所述，共269421+++=个，故选：B ．8．已知函数211,0()e ,0xx x f x x -⎧+≥=⎨<⎩，点M 、N 是函数()y f x =图像上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan MON ∠的取值范围是（）A ．22e 20,2e 1⎛⎫+ -⎝⎭B ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥-⎝⎦C ．22e 20,2e 1⎛⎫+ +⎝⎭D ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥+⎝⎦【正确答案】B【分析】作出函数()f x 的图形，求出过原点且与函数()f x 的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，数形结合可得出tan MON ∠的取值范围．【详解】当0x <时，1()x f x e -=，则1()0x f x e -'=-<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()(0)f x f e >=，当0x ≥时，2()1f x x =+，作出函数()f x 的图像，如图所示，设过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为1y k x =，设切点为211(,1)x x +，斜率111()2k f x x '==，所以切线方程为：2111(1)2()y x x x x -+=-，将原点坐标代入切线方程可得，2111(1)2()x x x -+=-，即211x =，解得11x =，所以过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为2y x =，设过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2y k x =，设切点为()212,e xx -，斜率212x k e -=-，所以切线方程为：22112()x x y ee x x ---=--，将原点坐标代入切线方程可得，22112()x x ee x ---=--，即21x =-，所以过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2e y x =-，设直线2y x =与2e y x =-的夹角为θ，设直线2y x =的倾斜角为α，直线2e y x =-的倾斜角为β，则()2222tan tan e 2e 2tan tan 1tan tan 1(e )22e 1βαθβαβα---+=-===++-⨯-，结合图形可知，22e 20tan 2e 1MON ∠+<≤-，故选：B ．二、填空题9．设a 为实数，函数32()(3)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，若()f x '是偶函数，则=a ___________．【正确答案】3【分析】求出()f x '，根据()f x '是偶函数即可得出a 的值．【详解】因为32()(3)f x x a x x α=+-+，所以2()32(3)f x x a x a '=+-+，又因为()f x '是偶函数，所以()f x '是关于y 轴对称的二次函数，所以2(3)06a --=，解得3a =，故3．10．若函数2()ln 2x f x x =-在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】1(,1)2【分析】首先求出()f x 的定义域和极值点，由题意得极值点在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎝⎭内，且0m >，得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，所以0112m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得112m <<，故1(,1)2．11．若函数()ln f x x x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为M ，最小值为N ，则实数M N -=__________．【正确答案】2ln 21-【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()ln f x x x x =-，所以()ln f x x '=，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0f x '<，(]1,2x ∈时()0f x '>，所以()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增，所以函数在1x =处取得极小值，又111111ln 2222222f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()22ln 22f =-，()11f =-，因为()311115312ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2ln 32ln e2222222⎛⎫----=-++=-=-> ⎝⎭，所以()max 2ln 22f x =-，()()min 11f x f ==-，所以2ln 22M =-，1N =-，则2ln 2212ln 21M N -+=-=-.故2ln 21-12．若函数()ln 2f x x x =--在区间()()*,1N k k k +∈上有零点，则实数k =__________．【正确答案】3【分析】先利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数()f x 的零点所在区间，进而确定k 的值.【详解】由()()ln 20f x x x x =-->，得()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，则1x >；令()0f x '<，则01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，而函数()f x 的极小值为()110f =-<，又22110e ef ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,1上存在唯一零点1x ，此时0k =（舍去）；因为()31ln 30f =-<，()42ln 40f =->，所以函数()f x 在()3,4上存在唯一零点2x ，此时3k =.综上所述，3k =.故3.13．已知函数e ()xf x a x=-，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为____________．【正确答案】(,1]-∞【分析】由当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，得出()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，则()0g x '≥，其中,()0x ∈+∞，由e x a ≥即可得出实数a 的取值范围．【详解】因为当210x x >>时，()()12210f x f x x x -<恒成立，两边同乘以12x x ，得()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()x g x e a '=-，其中,()0x ∈+∞，所以()0g x '≥，即e x a ≥，因为,()0x ∈+∞时，e (1,)x ∈+∞，所以1a ≤，故(,1]-∞．14．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【正确答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案3343C A 24⋅=（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案1424C A 48⋅=（种），则不同的种植方案共有244872+=（种）.故72三、解答题15．编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上．(1)每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？(2)每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？(3)每位座位恰好坐一位同学，求编号1,2的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？【正确答案】(1)6(2)9(3)12【分析】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余2人不一致，即可得答案；（2）考虑第一位同学先选，再分类考虑余下同学的选法，由分类和分步计数原理可求得答案;（3）考虑编号1,2的两位同学先选座位，再考虑其余两人选座位，由分步计数原理可得答案.【详解】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余两人的不一致，只有一种坐法，故坐法种数为24C 16⨯=；（2）不妨第一位同学先选座位，有3种选法，如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位同学编号相同的座位，则其余两人只有1种坐法；如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编号的座位，有2种选法，其余2人只有1种坐法，故共有的坐法种数为3(12)9⨯+=；（3）编号1,2的两位同学必须相邻，可以坐编号为1,2或2,3或3,4的座位，两人内部全排列，其余两人在余下的位置上随便选座位，有22A 2=种坐法，故共有的坐法种数为22223A A 12=.16．已知函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈．(1)若曲线在点(0,(0))f 处切线与直线0x y +=平行，求a 的值；(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =；(2)10ea <<【分析】（1）先求得函数()f x 的导数，列出关于a 的方程，解之即可求得a 的值；（2）先将函数()f x 有两个零点转化为方程e x xa =有二根，再构造函数()xx h x e =，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a 的取值范围．【详解】（1）由()e ,R x f x x a a =-⋅∈，可得()1e x f x a '=-⋅，则(0)1f a '=-，则11a -=-，解之得2a =.（2）由函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈有两个零点，可得方程e xxa =有二根，令()x x h x e=，则()21()x x xx e xe x h x e e --'==由()0h x '>，可得1x <；由()0h x '<，可得1x >，则当1x <时()h x 单调递增；当1x >时()h x 单调递减，则当1x =时()h x 时，()h x 取得极大值1(1)eh =，又(0)0h =，且当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远大于y x =趋向于正无穷的速率，所以()xxh x e =趋向于0，则由方程e xxa =有二根，可得10e a <<17．已知函数()ln (1),R f x x a x a =+-∈．(1)当12a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当1x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)3ln 202x y -+-=(2)[0,)+∞【分析】（1）利用导数运算法则求出()f x '，进而求出(2)f '和(2)f ，再利用导数的几何意义即可求出切线方程；（2）方法一：由当1x >时，()0f x >得出当1x >时，ln 1x a x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，判断出()0g x '<，再根据当x →+∞，()0g x →，即可得出实数a 的取值范围；方法二：先求出()f x '，再分别讨论0a =，0a >和a<0时()f x 的情况，即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）当12a =时，1()ln (1)2f x x x =+-，则11()2f x x '=+，1(2)ln 22f =+，所以11(2)122f '=+=，所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为：1(ln 2)22y x -+=-，即3ln 202x y -+-=．（2）方法一：参数分离因为当1x >时，()0f x >，所以ln (1)0x a x +->，即1x >时，ln 1xa x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，则2211(1)ln 1ln (1))(1()x x xx x g x x x ----=--'=，设1()1ln h x x x=--，(1,)x ∈+∞，因为当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以1()1ln h x x x=--在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，因为当x →+∞，ln 1)0(xx x g →-=，所以0a -≤，即0a ≥，所以当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．方法二：分类讨论11()ax f x a x x+'=+=，①当0a =时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；②当0a >时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当11a-≤，即1a ≤-时，()0f x '<，即()f x 在(1,)+∞单调递减，所以()(1)0f x f <=，不符合题意，当11a->，即10a -<<时，在1(1,)x a ∈-时，()0f x '>，则()f x 在1(1,)a-单调递增，在1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，则()f x 在1(,)a -+∞单调递减，所以1()()ln()1f x f a a a≤-=----，设()ln()1m a a a =----，(1,0)a ∈-，所以当(1,0)a ∈-时，()0m a '>，则()m a 在(1,0)-上单调递增，所以()(1)0m a m >-=，所以()0f x ≤，不合题意，综上所述，当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．18．已知函数2()1,R ex ax f x a =-∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 的极大值为5，求a 的值．【正确答案】(1)答案见解析(2)2e -【分析】（1）求出导数得()()2e xax x f x -'=，分0a >、a<0、0a =讨论得出单调性.（2）结合（1）中结论得到函数的极大值点，再代入计算可得.【详解】（1）因为2()1ex ax f x =-，x ∈R ，且()()()2222e e e e x x x x ax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②当a<0时，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．③当0a =时()0f x '=，()f x 为常数函数，不具有单调性；综上所述：当0a >时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当a<0时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增；当0a =时，()f x 为常数函数，不具有单调性.（2）由（1）可得当0a >时()f x 在0x =处取得极大值，但()01f =，不符合题意；当a<0时()f x 在2x =处取得极大值，所以()222215ea f ⨯=-=，解得2e a =-，符合题意，综上可得2e a =-.19．已知函数()()222e (1)x f x x a x =-++.(1)若0a =，（i ）求()f x 的极值.（ii ）设()()()f m f n m n =≠，证明.3m n +<(2)证明：当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且()02332e ef x -<<-.【正确答案】(1)（i ）()f x 的极小值为()31e ,2f x -无极大值；（ii ）证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求导，结合函数的单调性求得极值；（ii ）由题分析得33,222m n <<<，设()()()33,,22g x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，结合()g x 的单调性可得()0g x >，进而得()0g n >即()()3f m f n >-，利用()f x 单调性即可证得结论；（2）利用导数可得()f x '在R 单调递增，()2140,15e 02e f a f -'⎛⎫-=-+>-=-< ⎪⎝⎭'，则011,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，从而当()()0,,0x x f x '∈-∞<，()()0,,0x x f x ∈+∞>'，可证得当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；由()00f x '=得()()020023e 12x x a x -+=-，从而得()02200031e 22x f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()2231e 22t t t t ϕ⎛⎫=--+ ⎝⎭，利用()t ϕ单调性可证得()02332e ef x -<<-.【详解】（1）（i ）若()()20,2e x a f x x ==-，则()()223e x f x x -'=，由()0f x '=，得32x =.当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>.()f x \的单调递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为()331e ,22f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭无极大值.（ii ）由（i ）可知，()f x 的极值点为()3,2f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当32x <时，()0f x <，又()20f =，不妨设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则33,222m n <<<，设()()()()()262332e 1e ,,22x xg x f x f x x x x -⎛⎫=--=---∈ ⎪⎝⎭，则()()()26223e e x x g x x -=--'.设()2623e e ,,22x xh x x -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()302h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.32,2302x x <<∴-> ，则()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()302g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，32,()02n g n <<∴> 即()()()()()()330,3f m f n f n f n f m f n --=-->∴>-.33,2,31,22n n ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又()3,,2m f x ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，3m n ∴<-，即3m n +<.（2）()()()223e 21x f x x a x =-++'，记()()p x f x '=，()()244e 2xp x x a =-+'，记()()()()2,421e xx p x q x q x '=-'=，当12x =时，()0q x '=，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈-∞< ⎝'⎪⎭在1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 单调递减，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈+∞> ⎝'⎪⎭在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()1e,22e 02a p x p a ⎛≥''⎫≥∴=-≥ ⎪⎝⎭，()p x ∴在R 单调递增，即()f x '在R 单调递增，()12144e 0,15e 02e f a a f --⎛⎫-=-+=-+>-=-''< ⎪⎝⎭，011,2x ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，当()()()0,,0,x x f x f x ∈-∞<'在()0,x x ∈-∞单调递减，当()()()0,,0,x x f x f x ∞'∈+>在()0,x x ∈+∞单调递增，所以当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()()()()0202000023e 23e21012xx x f x x a x a x -=-++=∴+=-' ()()()00222200000312e 1e 22x x f x x a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ 令()()222231115e ,1,,2e 222416t t t t t t t t ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+∈--∴=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦' ，()11,,02t t ϕ⎛⎫∈--∴< '⎪⎝⎭ ()t ϕ∴在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()()231312e 2e t ϕϕϕ⎛⎫∴-=-<<-=- ⎪⎝⎭即()02332e e f x -<<-.方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．。
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足z3−i =i ，则z −=( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i2. 已知曲线f(x)=(x +alnx)e x 在点(1,e)处的切线经过坐标原点，则a =( )A. −eB. −2C. −1D. e −23. 若函数，则下列结论正确的是( )A.B.C. 是偶函数D.是奇函数4. 按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为( )A. 108B. 128C. 148D. 1685. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f′(x)<1(x ∈R)，则不等式f(x)<x +1的解集为( )A. (1,+∞)B. (−∞,−1)C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6. 函数上有最小值，实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−1,2)C.D.7. 设f(x)={x 3,x ∈[0,1]3−2x,x ∈[1,3]，则∫ 02f(x)dx =( )A. 14B. 13C. 34D. 18. 若函数在区间内有一个零点，则实数的取值可以是( )A. B. C. ．D.二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 已知复数z =−12−√32i ，则1z +|z|的共轭复数是______．10. 已知函数，则的极大值为 ．11. 已知函数在(0,3)内递增，则实数的取值范围是_________12. 如图，点A 的坐标为(1,0)，函数y =ax 2过点C(2,4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．13. 函数y =(x +1)e 2x 的最小值是______． 14. 一同学在电脑中打出如下若干分圈：…若将此若干个圈依次规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是______ ． 15. 函数f(x)=x ⋅e x 的单调递减区间为______ ．16. 设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)=−f(x)，g(x)满足g(x +2)=g(x)，且当x ∈(0,2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2，若在区间[0,11]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 设n ∈N ∗,f(n)=1+1√2+1√3+⋯+1√n ，试比较f(n)与√n +1的大小并证明．18.已知函数f(x)=ax3+x．(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，函数g(x)=f′(x)(x2+px+q)(其中f′(x)为函数f(x)的导数)的图象关于直线x=1对称，求函数g(x)的最大值．(a>0)．19.已知函数f(x)=9xax2+1(1)若直线y=−x+2a为曲线f(x)的切线，求a的值；,2]，且x1+x2+⋯+x100=100，若不等式m≥f(x1)+(2)当a=2时，设x1,x2,…,x100∈[12f(x2)+⋯+f(x100)，求m的最小值．20.已知函数f(x)=alnx+−1，a≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥b(x−1)在[，+∞)上恒成立，其中a、b为实数，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D=i，解析：解：∵z3−i∴z=i(3−i)=1+3i，∴z−=1−3i，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：解：由f(x)=(x+alnx)e x，+x+alnx)e x，得f′(x)=(1+ax∴f′(1)=(a+2)e，=(2+a)e，由题知e−01−0解得：a=−1．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查两点求斜率公式的应用，是中档题．3.答案：C解析：因为，所以，若，只有，才有单调增，故A，B错误，当时，是偶函数，因此C对，D不对．故正确选项为C．4.答案：A解析：解：第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+(3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，∴第6个图形中包含的点的个数为：a6=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)+(3+6×4)+(3+6×5)=3×6+6(1+2+3+4+5)=108．故选：A．第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+ (3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，由此利用等差数列求和公式能求出第6个图形中包含的点的个数．本题考查第6个图形中包含的点的个数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数求解，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−x−1，g′(x)=f′(x)−1<0，从而可得g(x)的单调性，结合f(1)=2，可求得g(1)=1，然后求出不等式的解集即可．解：令g(x)=f(x)−x−1，∵f′(x)<1(x∈R)，∴g′(x)=f′(x)−1<0，∴g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又f(1)=2，∴g(1)=f(1)−1−1=0，∴不等式f(x)<x +1的解集⇔g(x)=f(x)−x −1<0=g(1)的解集， 即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)−x −1在R 上单调递减， ∴x >1，即x ∈(1,+∞)． 故选A ．6.答案：D解析：试题分析：由题f′(x)=3−3x 2，令f′(x)>0解得−1<x <1；令f′(x)<0解得x <−1或x >1，由此得函数在(−∞,−1)上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数故函数在x =−1处取到极小值−2，判断知此极小值必是区间(a 2−12,a)上的最小值.∴a 2−12<−1<a ，解得−1<a <，又当x =2时，f(2)=−2，故有a ≤2，综上知a ∈(−1,2]，故选D ．考点：用导数研究函数的最值7.答案：A解析：解：∫f 20(x)dx =∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx =∫(10x 3)dx +∫(213−2x)dx=14x 4|01+(3x −x 2)|12 =14+6−4−3+1=14． 故选：A分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx ，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：A解析：试题分析：在区间内有一个零点，即方程在区间内有一个根，即函数与在内有一个公共点．如图，当直线经过点时，此时在内无公共点，但当该直线绕着原点逆时针旋转时，则在区间内有公共点，故只需此直线的斜率小于即可.故，故A中可取到．考点：函数的零点，函数的图象．9.答案：12−√32i解析：解：∵z=−12−√32i，∴1z+|z|=z−|z|2+|z|=−12+√32i+1=12+√32i，∴1z +|z|的共轭复数是12−√32i．故答案为：12−√32i．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：对函数求导得，令，得，所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以的极大值为．考点：导数的应用．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于函数，由于在(0,3)内递增，故可知导数恒大于等于零，即可知，故可知答案为考点：函数单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。
2019-2020学年天津市和平区高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年天津市和平区高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知空间向量m⃗⃗⃗ =(3,1,3)，n ⃗ =(−1,λ,−1)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数λ=( ) A. −13B. −3C. 13D. 62. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ B. 12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ C. −12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ D. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗3. 在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A. OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 4. 函数f(x)=3x −4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A. 12B. −1C. 0D. 15. 下列函数求导数，正确的个数是( )①(e 2x )′=e 2x ；②[(x 2+3)8]′=8(x 2+3)⋅2x③(ln2x)′=2x ； ④(a 2x )′=2a 2x−1．A. 0B. 1C. 2D. 36. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温．则这7名教师不同的安排方法有( )A. 15种B. 18种C. 31种D. 45种7. 某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，物理不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )A. 240B. 384C. 480D. 5048. 已知定义在R 上的函数y =xf′(x)的图象(如图所示)与x 轴分别交于原点、点(−2,0)和点(2,0)，若−3和3是函数f(x)的两个零点，则不等式f(x)>0的解集( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−∞,−3)∪(0,2)D. (−3,0)∪(3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知曲线y =e x 在点P(x 0,f(x 0))处的切线为y =x +a ，则a =______． 10. 在(x +2x )5的二项展开式中，x 3的系数是______(用数字作答)． 11. 已知函数f(x)=sinxsinx+cosx ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(π4)=______．12. 若函数f(x)=lnx +ax 在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）13. 已知f(x)=(x −1√x 3)n ，f(x)的展开式的各二项式系数的和等于128，(Ⅰ)求n 的值；(Ⅱ)求f(x)的展开式中的有理项；(Ⅲ)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项．14. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB =2，点E ，M ，N 分别是线段BC ，AE ，CD 1的中点． (Ⅰ)求证：MN//平面ADD 1A 1；(Ⅱ)在线段A1D1上有一点P，若二面角P−AE−D的余弦值为2√21，求点D1到平面21PAE的距离．15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2√2，SC=SB=√3．(Ⅰ)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值；(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点P，使SP⊥SC？若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由．16.已知函数f(x)=−12x3+14x2−x，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数g(x)=−12x3+14x2−f(x)−ln(x+a)的极小值为0，a>0．(i)求a的值；(ii)若对于任意的x∈[0,+∞)，有g(x)≤kx2成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴可设k m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，∴{−1=3kλ=k −1=3k ， 解得λ=k =−13． 故选：A ．由m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，可设k m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，可得{−1=3kλ=k −1=3k，解出即可得出． 本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c⃗ +12(a ⃗ +b ⃗ )， 故选：B ．利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在C 中，由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于A ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得1−1−1=−1≠1，不能得出M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得15+13+12≠1，所以M 、A 、B 、C 四点不共面； 对于D ，由OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，其系数和不为1，所以M 、A 、B 、C 四点不共面． 故选：C ．利用空间向量基本定理进行验证，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是共面向量，从而可得M 、A 、B 、C 四点共面．本题考查了空间向量基本定理，也考查了分析问题、解决问题的能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：函数f(x)=3x −4x 3的导数为f′(x)=3−12x 2=3(1−4x 2)， 由f′(x)=0，可得x =12(−12舍去)， f(x)在[0,12)递增，(12,1)递减，可得f(x)在x =12处取得极大值，且为最大值1． 故选：D ．求出函数的导数，求得极值点和单调区间，可得极大值且为最大值，计算即可得到所求值．本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：①(e 2x )′=2e 2x ；故①错误 ②[(x 2+3)8]′=8(x 2+3)7⋅2x ，故②错误， ③(ln2x)′=1x ，故③错误， ④(a 2x )′=2a 2x lna ，故④错误， 故正确的个数是0个， 故选：A ．根据导数的运算法则和复合函数求导法则求导则判断即可． 本题考查了导数的运算法则和复合函数求导法则，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵3人巡视商户，另外4人测量出入人员体温的安排方法有C 73种，又巡视商户的3人中没有男教师的安排方法有C 43种，∴不同的安排方法有C 73−C 43=31种．故选：C ．利用排除法计算出结果．本题主要考查排列、组合的基础知识，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意知生物课排的位置有如下两种情况：①生物课排在第四节课，有A55=120种排法；②生物课不排在第四节课，有C41⋅C41⋅A44=384种排法，综合①②有120+384=504种排法．故选：D．根据生物课排的位置进行分类，再利用乘法原理计算出结果．本题主要考查排列、组合中的两大原理的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题设图象可知，当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,−2)，(0,2)单调递减，在(−2,0)，(2,+∞)单调递增，又−3和3是函数f(x)的两个零点，∴f(x)>0的解集是(−∞,−3)∪(3,+∞)．故选：B．先根据所给函数图象分析出f(x)在(−∞,−2)，(0,2)单调递减，在(−2,0)，(2,+∞)单调递增，再结合−3和3是函数f(x)的两个零点，即可得解．本题主要考查函数图象的运用，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：由已知得y′=e x，因为切线为y=x+a，所以e x0=1，故x0=0，所以切点为(0,1)．将(0,1)代入y=x+a得，a=1．故答案为：1．先求出函数的导数，然后令导数等于切线的斜率1，求出切点的横坐标，可得切点，进本题考查导数的几何意义，利用“切点处的导数等于切线的斜率”列方程是本题的思路，属于基础题．10.【答案】10【解析】解：因为其通项为：T r+1=c5r x5−r⋅(2x)r=2r⋅c5r⋅x5−2r．令5−2r=3得r=1，所以：x3的系数为21×c51=10．故答案为：10．利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r+1项，令x的指数为3得解．本题考查二项展开式的通项公式．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．11.【答案】12【解析】解：∵f′(x)=(sinx)′(sinx+cosx)−sinx(sinx+cosx)′(sinx+cosx)2=1(sinx+cosx)2，所以f′(π4)=(√22+√22)=12．故答案为：12．先对函数f(x)求导数，然后将x=π4代入即可．本题考查导数运算及三角函数的恒等变换，属于基础题．12.【答案】[−1,+∞)【解析】【分析】函数在(0,1)上递增，则导数在(0,1)上大于等于0恒成立，由此构造f′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解即可．本题考查导数的综合应用．已知函数的单调性求范围时，将问题转化为导函数的最值问题．同时考查学生利用转化思想解决问题的能力以及数学运算能力．属于基础题．解：由已知f′(x)=1x +a ≥0在(0,1)恒成立， 只需a ≥−1x 在(0,1)恒成立， 显然y =−1x 在(0,1)上是增函数， 故−1x <−1， 所以a ≥−1．故答案为：[−1,+∞)．13.【答案】解：(Ⅰ)∵已知f(x)=(x −1√x 3)n ，f(x)的展开式的各二项式系数的和等于2n =128，∴n =7．(Ⅱ)求f(x)的展开式中的通项公式为T r+1=C 7r ⋅(−1)r ⋅x 7−4r3，令7−4r 3为整数，可得r =0，3，6，故展开式的有理项为T 1=7x 7，T 4=−35x 3，T 7=35x 53．(Ⅲ)第r +1项的系数为 C 7r⋅(−1)r ，当该系数最大时，r 为偶数，且 C 7r 最大，此时，r =4，故f(x)的展开式中系数最大的项为第五项T 5=35x 53；当该系数最小时，r 为奇数，且 C 7r 最大，此时，r =3，故f(x)的展开式中系数最小的项为第4项T 4=−35x 3．【解析】(Ⅰ)由题意利用二项式系数的性质求得n 的值．(Ⅱ)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得f(x)的展开式中的有理项．(Ⅲ)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)，D 1(0,0,1)， ∵E ，M ，N 分别是BC ，AE ，CD 1的中点，则E(12,2,0)，M(34,1,0)，N(0,1,12)， 平面ADD 1A 1的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0,12)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，∵MN ⊄平面ADD 1A 1，∴MN//平面ADD 1A 1． (Ⅱ)解：设点P(x P ,0,1)，其中，x P ∈[0,1]，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x P −1,0,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,0)， 设平面PAE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x P −1)x +z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +2y =0，取y =1，得n ⃗ =(4,1,4−4x P )， 平面AED 的一个法向量为p ⃗ =(0,0,1)， 由二面角P −AE −D 的余弦值为2√2121，可得|cos <n ⃗ ，p ⃗ >|=2√2121，∴P √16+1+(4−4x P )2×1=2√2121，化简，得68x P 2−136x P +51=0，解得x P =12或x p =5134，∵x P ∈[0,1]，∴x P =12，∴P(12,0,1)，∴n ⃗ =(4,1,2)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,0,0)， ∴点D 1到平面PAE 的距离ℎ=|D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√16+1+4=2√2121．【解析】(Ⅰ)以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN//平面ADD 1A 1．(Ⅱ)求出平面PAE 的法向量，平面AED 的一个法向量，由二面角P −AE −D 的余弦值为2√2121，求出P(12,0,1)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,0,0)，利用向量法能求出点D 1到平面PAE 的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】解：(Ⅰ)取BC 的中点E ，连接SE ，∵SC =SB ，∴SE ⊥BC ，且SE =1，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD =BC ，SE ⊂平面SBC ， ∴SE ⊥平面ABCD ，连接AC ，在△ABC 中，由余弦定理可知AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC ， =4+8−2×2×2√2×√22=4，得AC =AB =2．可得AC ⊥AB ，连接AE ，可知AE ⊥BC ，且AE =√2．如图，以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则：S(0,0,1)，A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,−√2,0)，D(√2,−2√2,0)． AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0)． 设平面SAB 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +z =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +√2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1,√2)；又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2√2,−1)， ∴cos <SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|SD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2−2√2−√2√11×2=−√2211． 设直线SD 与平面SAB 所成角为θ，则sinθ=|cos <>SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ |=√2211． ∴直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值为√2211；(Ⅱ)设线段AB 上的点P(x P ,y P ,z P )，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]． 则(x P −√2,y P ,z P )=λ(−√2,√2,0)，解得P(√2−√2λ,√2λ,0)， SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−√2λ,√2λ,−1)，SC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,−1)， 要使SP ⊥SC ，则SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−2λ+1=0，得λ=12， 此时|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． 故线段AB 的中点P 满足SP ⊥SC ，此时AP 的长为1．【解析】(Ⅰ)取BC 的中点E ，连接SE ，可得SE ⊥BC ，且SE =1，由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE ⊥平面ABCD ，在△ABC 中，由余弦定理求得AC =AB =2，得到AC ⊥AB ，连接AE ，可知AE ⊥BC ，且AE =√2.如图，以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面SAB 的法向量与SD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值；(Ⅱ)设线段AB 上的点P(x P ,y P ,z P )，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，由此求得P 的坐标，得到SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−√2λ,√2λ,−1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,−1)，再由SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得λ=12，得到|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，故线段AB 的中点P 满足SP ⊥SC ，此时AP 的长为1．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由已知得f′(x)=−32x 2+12x −1，令f′(x)=0，方程3x 2−x +2=0无实数解，可知对任意x ∈R 都有f′(x)<0，所以函数f(x)的单调减区间为(−∞,+∞)． (Ⅱ)由已知化简得g(x)=x −ln(x +a)，x >−a ． (i)g′(x)=1−1x+a =x+a−1x+a，令g′(x)=0，解得x =1−a >−a ．当x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：故极小值g(1−a)=1−a −ln(1−a +a)=1−a.因为极小值为0，所以a =1． (ii)设ℎ(x)=g(x)−kx 2=x −ln(x +1)−kx 2，根据题意，对任意的x ∈[0,+∞)，有ℎ(x)≤0成立，可得ℎ′(x)=xx+1−2kx =−2kx 2+(1−2k)xx+1．由(i)可知，当x ≥0时，g(x)在x =0处取得最小值0，又因为g(x)在(0,+∞)上递增，所以当x >0时，g(x)>0．若k ≤0，则当x >0时，ℎ(x)>0，不符题意，舍去．故必有k >0． 令ℎ′(x)=0，解得x 1=0, x 2=1−2k 2k=12k−1>−1．下面根据x 2与定义域(0,+∞)的关系进行讨论：①当x 2≤0，即k ≥12时，ℎ′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，因此ℎ(x)在[0,+∞)上递减，从而当x ∈[0,+∞)时，总有ℎ(x)≤ℎ(0)=0，故k ≥12符合题意； ②当x 2>0，即0<k <12时，可知对任意的x ∈(0,1−2k 2k )，ℎ′(x)>0恒成立，因此ℎ(x)在[0,1−2k2k )内递增．因为ℎ(0)=0，所以当x∈(0,1−2k2k)时，ℎ(x)>0.不合题意．综上，k的取值范围是[12,+∞).【解析】(Ⅰ)先求出导数，然后直接判断导数的符号即可；(Ⅱ)(i)根据极小值为0，列方程可求出a的值；(ii)构造函数ℎ(x)=g(x)−kx2，证明ℎ(x)max≤0成立，然后研究函数ℎ(x)的单调性，求最值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式的恒成立问题，同时考查学生运用转化思想、函数与方程思想解决问题的意识，同时考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．。