【40套试卷合集】广东广雅中学2019-2020学年数学高二上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，的一个通项公式是（ ）A ．12n- B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+-D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯所以其通项公式是：(1)2nn-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n n a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a =故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12- B ．12C． D．2【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A =0,sin 0A A π<<∴≠,则1cos sin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ）A ．1l ，2l 都平行于同一个平面B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面 【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2/分B ．2海里/分C 3海里/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B =∠∠，即120sin 2102sin 22AB BAC BCA⨯⋅∠===∠1022=海里/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题. 8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF=，，2BC BF=，且AFBF>，则此抛物线的方程为（ ） A ．2yx = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BNFB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒所以60AFM ∠=︒ 又4AF=，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2p A +由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=cos AD BE AD BE θ===⎛⋅⋅2a =该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()xx ax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件. 其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(xx ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=， 所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=得到22221AF F F =，即有2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==， 所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB B C AC===，解得56C π=(舍)，6C π=故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【答案】1-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题. 16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________．【答案】1-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos 3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴=3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =， 即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a =所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n =【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A .（1）求A ； （2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π= （2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 24S bc A bc == 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+- 又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以24S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题. 19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x y m m -=--表示双曲线； 命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可； (2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->， 即m 的取值范围是12m <或4m >（2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立， 则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤ 1m ∴<或14m <≤【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB=，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k =，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+，又AFFB=，故()02,0B x +令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-，()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k -+=21D x k ∴=，2D y k =，212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD中，AB =BC =E 、P分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）15【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角 'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ∆中，由35DC AB ==，152DP =，2235PC DP DC =-=以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则(5,25AE =，3535,PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭即35355250AE PD ⋅=-⨯+⨯= AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '⋂=，,OD OP '⊂平面POD ' AE ∴⊥平面POD 'D P '⊂平面POD '，AE D P '∴⊥；（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到23D OP π'∠=.在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -， (11,1,3D Q '=--，(2,4,0)EC =-，(1,3ED '=-， 设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =，由24030n EC x y n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'， 取1y =，得32,1,3n ⎛=- ⎝⎭. l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,n D Q n D Q n D Q '⋅'=='⋅【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22．已知椭圆22:236C x y +=.（1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长e =（2）TM TP >，证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =，TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y 则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+，此时()114,PM x y =-，()224,PN x y =-，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+-- ()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k k k k -++=-++++ ()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦ 22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部. 所以TM TP >， 综上所述，TMTP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
广东省阳江市广雅中学2020年高二数学文模拟试卷含解析
广东省阳江市广雅中学2020年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是A. B. C. D.参考答案：D2. 用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数”,正确的假设为（）Ａ．都是奇数Ｂ．都是偶数Ｃ．中至少有两个偶数Ｄ．中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D3. 命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，参考答案：D4. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，需做加法与乘法的次数和是（）A．12 B．11 C．10 D．9参考答案：A 5. 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，10，25 B．20，15，15 C．10，10，30 D．10，20，20参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为800×=20，600×=15，600×=15，故选B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6. 已知等比数列{a n}的公比，则的值为（）A. 2B. 8C.D. 1参考答案：C【分析】利用等比数列的公比,可得，可得解.【详解】因为等比数列的公比,所以,故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,属于基础题.7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.参考答案：B略8. 已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】直接根据G是CD的中点，可得（），从而可以计算化简计算得出结果．【解答】解：因为G是CD的中点；∴（），∴+（+）==．故选：C．9. 下列说法正确的是（）A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．归纳推理得到的结论一定是正确的D．合情推理得到的结论不一定正确参考答案：D【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．【解答】解：合情推理包含归纳推理和类比推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：D10. 下列命题正确的是A. “”是“”的必要不充分条件B. 命题“若，则”的否命题为“若则”C. 若为假命题，则均为假命题D. 对于命题：，使得，则：均有参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积等于．参考答案：12. 下面算法的输出的结果是（1） (2） (3）参考答案：（1）2006 (2） 9 (3）813. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y 得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=1∴目标函数z=x﹣2y的最大值是1．故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14. 过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，若弦中点为，则．参考答案：15. 以下属于基本算法语句的是。
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x≤0，x2≥0”的否定是()A. ∀x≤0，x2≥0B. ∀x≤0，x2<0C. ∃x>0，x2>0D. ∃x<0，x2≤02.双曲线x210−y210=1的焦距为()A. 3√2B. 4√5C. 3√3D. 4√33.在数列{a n}中，a1=1，a n=1+(−1)na n−1(n≥2)，则a5等于()A. 32B. 53C. 85D. 234.在△ABC中，若c=2，a=√3，∠A=π6，则sinC=()A. √33B. √32C. 13D. √225.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为4√33，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. √62D. √67.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线C:x216−y248=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点，F1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，若|PF1|=10，则|OQ|=()A. 10B. 1或9C. 1D. 99.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10. 已知直线y =kx +3与椭圆x 216+y 24=1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A. (√54,+∞) B. (−∞,−√54) C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞) D. (−√54,√54)11. 等差数列{a n }中，已知a 7>0，a 3+a 9<0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为( )A. S 4B. S 5C. S 6D. S 712. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P.若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为4，则椭圆的方程为______ ．14. 设a >0，b >0，且a +b =1，则1a +1b +1ab 的最小值为______ ．15. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A 处测得公路北侧有一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =________m ．16. 已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．19. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y =x +3，求|MF|+|NF|的值；(2)若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|MN|．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n =S n +1(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点肘(−a,0)到直线xa+yb=1的距离d=8√217．(1)求C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与C相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于P，Q两点，O为坐标，求△OPQ面积的取值范围．原点，若直线OA，OB的斜率之积为−34-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题． 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x ≤0，使得x 2≥0”的否定是∀x ≤0，x 2<0． 故选B ．2.答案：B解析：解：双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，∴c 2=a 2+b 2=20． ∴c =2√5， ∴2c =4√5．双曲线的焦距为：4√5． 故选：B ． 双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，求出c ，从而得到焦距2c ． 本题考查双曲线的简单性质，确定c 是关键．3.答案：D解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出前5项即可． 解：数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a2=1+1=2，a3=1+−12=12，a4=1+112=3，a5=1+−13=23．故选：D．4.答案：A解析：解：在△ABC中，由于：c=2，a=√3，∠A=π6，利用正弦定理：asinA =csinC，解得：sinC=2⋅1 2√3=√33，故选：A．直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：C解析：本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，即可求解．解：由P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，即−2=−p2，则p=4，故抛物线的焦点坐标为：(2,0)，故选：C．6.答案：B解析：本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 求出双曲线的渐近线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可． 解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为bx −ay =0，则：{bx −ay =0x 24+y 2=1, 消去y 可得：x =√a 2+4b 2，y =√a 2+4b 2， 一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，可得：4a 2+4b 2a 2+4b 2=(2√33)2=43，可得2a 2=b 2=c 2−a 2，解得e =ca =√3． 故选：B ．7.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆， 则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2,即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立， 当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立， 故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8，c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8， 因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)， P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点， 所以|OQ|=12|PF 2|=9． 故选：D ．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题． 解：在△ABC 中，∵cos 2A2=1+cosA 2=b+c 2c=b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ， ∴sinAcosC =0， ∵sinA >0， ∴cosC =0，C =π2， ∴△ABC 的形状是直角三角形， 故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0， 当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点．故选C ．11.答案：C解析：利用等差数列通面公式推导出a 6<0.a 7>0，由此能求出{a n }的前n 项和S n 的最小值．本题考查数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 9<0，∴a 3+a 9=2a 6<0， 即a 6<0.又a 7>0，∴{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 故选：C ．12.答案：D解析：本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 设P(x,y)，通过联立直线PF 2的方程、直线PF 1的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 解：如图，设P(x,y)，根据题意可得F 1(−c,0)、F 2(c,0)，双曲线的渐近线为y=bax，直线PF2的方程为y=ba(x−c)，①即直线PF1的方程为y=−ab(x+c)，②又点P(x,y)在双曲线上，∴x2a2−y2b2=1，③联立①③，得x=a2+c22c，联立①②，得x=b2−a2a2+b2×c=b2−a2c，∴a2+c22c =b2−a2c，即a2+a2+b2=2b2−2a2，∴b2=4a2，∴e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√5a2a2=√5．故选D．13.答案：x216+y24=1解析：解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为4，即有b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解得a=4，c=2√3，则椭圆方程为x216+y24=1．故答案为：x216+y24=1．由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解方程可得a=4，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要椭圆的离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．14.答案：8解析：解：∵a>0，b>0，且a+b=1，则1a+1b+1ab=2ab≥2(a+b2)2=8，当且仅当a=b=12时取等号．故答案为：8．a>0，b>0，且a+b=1，可得1a +1b+1ab=2ab，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：50√6解析：解：由题意可知∠BAC=30°，∠ABC=180°−75°=105°，AB=300，∠CBD=30°，在△ABC中，由三角形的内角和定理可知∠ACB=45°，由正弦定理得：，即√22=BC12，解得BC=150√2．在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC =√33，∴CD=√33BC=50√6．故答案为50√6．在△ABC中根据正弦定理计算BC，在△BCD中，根据锐角三角函数的定义计算CD．本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题．16.答案：x−y=0解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，y1+y2=4，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=1×(x−2)即x−y=0．故答案为：x−y=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．17.答案：解：对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7，∵“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，∴p假q真，由{x<−2或x>6−3≤x≤7，得−3≤x<−2或6<x≤7，∴实数x的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．当B=⌀时，2−m>2+m，解得m<0，当B≠⌀时，∴{2−m≤2+m2−m≤−22+m≥6，得m≥4，∴实数m的取值范围为(−∞,0)∪[4，+∞)．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7.由“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，可得p假q真，解出即可．(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，由于q是p的充分不必要条件，可得B⊊A.分类讨论：当B=⌀时，当B≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a =5 cm ，b =8 cm ，c =7 cm 或a =8 cm ，b =5 cm ，c =7 cm ．解析：由已知及三角形面积公式可求ab =40，结合a +b =13，可得a ，b 的值，利用余弦定理可求c ，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8y y =x +3，整理得y 2−14y +9=0，则y 1+y 2=14， 因为M ，N 在抛物线上，所以|MF|+|NF|=y 1+2+y 2+2=18； (2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ， 联立{x 2=8y y =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，则x 1+x 2=16，x 1x 2=−8t ， 由Δ=162+32t >0可求出t >−8，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点N 为线段MP 的中点，所以x 1=2x 2， 从而可求出x 1=323，x 2=163，此时−8t =5129，t =−649>−8，计算可知|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=16√53．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8yy =x +3，整理得y 2−14y +9=0，利用韦达定理和抛物线的定义求解；(2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ，联立{x 2=8yy =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，利用韦达定理，结合MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1=2x 2，由弦长公式求解|MN|． 20.答案：解：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1=1．n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：2a n −2a n−1=a n ，可得a n =2a n−1.. 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n =2n−1．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1．∴数列{b n }的前n 项和T n =3×1+5×2+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1． 2T n =3×2+5×22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ， ∴−T n =3+2×(2+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=1+2×2n −12−1−(2n +1)⋅2n ，可得：T n =(2n −1)⋅2n +1．解析：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1.n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：a n =2a n−1..利用等比数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)由e =12，得c =12a ，又b 2=a 2−c 2，所以b =√32−a ．由左顶点M(−a,0)到直线xa +yb =1，即bx +ay −ab =0的距离d =8√217， 得√a 2+b 2=8√217，即√a 2+b2=8√217， 把b =√32−a 代入上式，解得a =4，所以b =2√3，c =2．所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线AB 的方程y =kx +m(k ≠0)与椭圆方程联立，得{x 216+y 212=1,y =kx +m,即(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 则Δ=48(16k 2+12−m 2). 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−483+4k 2．因为k OA⋅k OB=−34⇒34x1x2+y1y2=0．所以(34+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．所以4m2−483+4k2(34+k2)−8k2m23+4k2+m2=0．整理得m2=8k2+6，此时Δ>0，又点P(−mk,0)，Q(0,m)，所以S▵OPQ=12⋅|m|⋅|mk|=12⋅m2|k|=4k2+3|k|=4|k|+3|k|≥4√3，(当且仅当k2=34，取“=”)综上所述，△OPQ面积的取值范围是[4√3,+∞)．解析：本题主要考查直线与椭圆位置关系，椭圆综合应用题，属困难题．(1)根据左顶点(−a,0)到直线xa+yb=1距离公式得√a2+b2=8√217，把b=√32−a代入上式即可求得椭圆方程；(2)直线l与椭圆联立，用k把△OPQ面积表示出来，然后利用基本不等式即可求得面积的范围．。
广东省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试题及答案
（1）当 a = 3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围；
（2）当 a 0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
18.
ABC 的内角
A，B
，C
的对边分别为 a ， b
， c ，已知 b
=
2a
，
c2 a2
=1+ 4
3 sin C .
（1）求 C ；
（2）若 c = 2 7 ，求 ABC 的面积.
6
4
（）
A. 2 3
B. 3 6 2
C. 3 3
D. 2 6
5. 已知点 P (−2, 4) 在抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. (0, 2)
B. (0, 4)
C. (2,0)
D. (4,0)
6. 已知双曲线 x2 − y2 = 1 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1的焦点相同，则 m = （ ）
广东省 2019～202分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 5，选修 2—1.
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的.
m2
4
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
1
7. “ −1 m 3 ”是“方程 x2 + y2 = 1表示椭圆”的（ ） m+1 7−m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
高二上学期期末考试广雅,执信,二中联考
2019~2020学年广东省广州市执信中学高二上学期期末化学试卷（广雅中学、执信、二中三校联考）可能用到的相对原子质量: H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Cl-35.5 Al-27 V-51 Fe- 56 Cu-64一、.选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题意)1.下列有关研究化学反应原理的叙述中，正确的是( )A.利用原电池的工作原理可将任何放热反应的化学能转化为电能B.研究化学反应速率与化学平衡，有利于指导实际生产中达到多,快,好，省”的生产效率C.研究表明升高温度能提高反应的活化能，增大活化分子发生有效碰撞的机会，加快反应速D.通过改变反应条件，能使同一反应消耗相同量的物质而放出更多的热，提高化学能的利用2.化学与生产、生活、社会密切相关。
下列有关说法中错误的是( )A. NH4C1与ZnCl2溶液可作焊接金属中的除锈剂B.用NaHCO3与Al2(SO4)3两种溶液可作泡沫灭火剂C.明矾水解时产生具有吸附性的Al(OH)3胶体粒子,可以用于饮用水的杀菌消毒D.纯碱可用于生产普通玻璃，日常生活中也可用热的纯碱溶液来除去物品表面的油污3.下列利用相关数据作出的推理或判断-定正确的是( )A.利用给变数据判断反应能否自发进行B.利用反应热数据判断反应速率的大小C.利用平衡常数判断反应进行的程度大小D.利用反应的活化能数据判断反应热的大小4.下列实验操作和现象能获得相应实验结论的是5. 下列有关实验现象或结论的描述中，正确的是( )A.用湿润的pH试纸测氨水的pH值，测定值偏小B.测定中和反应的反应热时，将碱快速倒入酸中混合,所测温度值偏高C.将饱和FeCl3 溶液滴入沸水生成红褐色Fe(OH)3胶体，冷却后得到黄色FeCl3 溶液D.用盐酸标准溶液滴定未知浓度的NaOH溶液时，若滴定前滴定管内有气泡，终点读数时无6.已知热化学方程式2SO2(g) + O2(g)⇌2SO3(g) AH=-Q kJ/mol (Q> 0)，则下列说法正确的是( )A.降低温度,平衡正向移动,方程式中的Q值增大B.若该反应后放热Q kJ,则此过程中有2 mol SO2(g)被氧化C.将2mol SO3(g)置于-密闭容器中充分反应，需吸收Q kJ的热量D.2mol SO2、1 molO2分子中的键能总和大于2 mol SO3分子中的键能7.氨氮废水中的氮元素多以NH4+和NH3 . H20的形式存在,在-定条件下，NH4+经过两步反应被氧化成NO3- (第二步是快反应)，两步反应的能量变化示意图如下:下列说法合理的是( )A.该反应的催化剂是NO2-B.1 mol NH4+全部氧化成NO3-吸收的热量为346 kJC.可以通过测定废水的pH变化来判断氮元素的去除效果D.升高温度，两步反应速率均加快，温度越高越有利于废水中的氮元素转化8. 一定温度下，密闭容器中进行反应:2SO2(g) + O2(g)⇌2SO3(g) AH<0。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
3
6
故选：D.
2.
数列 1 ， 1 57
，1 9
，
1 11
，……的通项公式可能是
an
（）
(1)n
A.
3n 2
(1)n1
B.
2n 3
(1)n
C.
2n 3
(1)n1
D.
3n 2
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母 5, 7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为
因此 F 的轨迹方程是 y2 x2 1 （ y 1）. 48
故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 x, y ，根据题意列出关于 x, y 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 x, y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
1 2n 1
2n 2n 1
，即有
Sn
nan1 ．
故选：ABD．
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别为棱 BC、CC1、BB1 的中点，则下列
选项中正确的是（）
A. 点 A 到直线 EF 的距离为 3 2 2
C.
三棱锥
A1
-AEF
的体积为
2 3
【答案】ACD
D. 过点 A 且平分△ABC 面积的直线与边 BC 相交于点 D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断 A，求出相应的直线方程判断 BC，求出边 BC 中点坐标判断 D．
【详解】直线 BC 的斜率为 k 7 3 2 ，而直线 3x 2 y 1 0 的斜率为 3 ，两直线不平行，A 错；
【20套精选试卷合集】广东广雅中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}4,3,2,1=A ,集合{}6,5,4,3=B ,集合B A C ⋂=，则集合C 的真子集．．．的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的个数是（ ）①2z = ②1z i =- ； ③的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 命题“[]1,0∈∀m ，21≥+xx ”的否定形式是（ ） A. []1,0∈∀m ，21<+x x B. []1,0∈∃m ，21≥+xx C. ()()+∞∞-∈∃,00, m ,21≥+x x D. []1,0∈∃m ，21<+xx 4．已知ABC ∆中，=A 6π，=B 4π，a 1=，则b 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．25．在区间（0，4）上任取一实数x ，则22<x 的概率是（ ） A ．43B ．21 C ．31 D ．416. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是（ ）A ． 0B ． 3-C ．23D ．3 7.{}n a 是公差不为0的等差数列，满足27262524a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A ．10-B ．5-C ．0D ．58.已知()222,03,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()2f a =，则a 的取值为（ ）A ．2B ． -1或2 C. 1±或2 D ．1或29.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与圆()()11322=-+-y x 相切，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 5C.3 D.210. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球3面上，则该球面的表面 积为（ ） A ． 4πB ．283πC ．443πD ． 20π11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()3m od 211≡．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．21B ．22C ．23D ．2412.若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、已知平面向量→a =（k ，3），→b =（1，4），若→→⊥b a ，则实数k ＝ .14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为22243，则C = .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->++--≤⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3234311,2log 22x x x x x x f ，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0．10 0．05 0．025 0．010 0k2．7063．8415．0246．63518.（本题满分12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥C 1﹣ABC 的体积． 19.（本题满分12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （Ⅰ）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34πθ=． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()13++-=x x x f ，()a a x x x g -+-+=1.（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 一、选择题二、填空题13. ____-12_________ 14. _____6π_____________ 15.______91_________ 16. ______[]1-8-，___________ 三、解答题17．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题设，，…（2分）即（1+d ）2=1+3d ，解得d=0或d=1…（4分） 又∵d ≠0，∴d=1，可以求得a n =n…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，=（1+2+3+…+n ）+（2+22+ (2)）=…（12分）18.解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为4035，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为87； （Ⅱ）()22401412684038412020221811K ⋅⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. 19.证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分） 又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABC=AC …（4分） 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，题号 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CC DADBCBABCC积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840∴A 1O ⊥平面ABC …（6分）（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离…（8分） 由（Ⅰ）知A 1O ⊥平面ABC 且，…（9分）∴三棱锥C 1﹣ABC 的体积：…（12分）20.解：（Ⅰ）设圆心5(,0)()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）． ·················· 2分 所以圆C 的标准方程为224x y +=． ···················· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ··· 5分 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ··········· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，2222224,(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩， ················ 7分 故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， ····················· 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)2(1)()2020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ············ 12 21.解：(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . ····················· （4分） (2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e eh h e e ⋅=+-+-=-， 由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立. （12分）22.解（1）∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 圆C 的普通方程为22220x y x y ++-=， ∴22cos 2sin 0ρρθρθ+-=， ∴圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）消去t 后得1y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ-=.（2）当34πθ=时，3||sin()44OP ππ=-=，∴点P的极坐标为3)4π，||2OQ ==，所以点Q的极坐标为3)4π，故线段PQ， 23.解：（1）()22,34,1322,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩，当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥，当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{}|24x x x ≤-≥或.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立， ∴3x x a a -++≥-恒成立，又3333x x a x x a a a -++≥---=--=+， ∴3a a +≥-，解得32a ≥-，3,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，不等式()()f x g x ≥恒成立.高考模拟数学试卷数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e2．设复数11iz i-=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos47cos73︒︒-︒︒的结果为（ ） A.21 B. 33C.22D.23 4. 61()x x-展开式中的常数项为( )A. -20B. 20C. -15D.155. 三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A.720B.144C.36D.126.曲线()sin f x x =，()cos f x x =与直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为（ ）A ．20(sin cos )x x dx π-⎰ B ．402(sin cos )x x dx π-⎰C ．424cos +sin xdx xdx πππ⎰⎰ D ．402(cos sin )x x dx π-⎰7. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为（ ） A. ,3πωπϕ==B. 2,3πωπϕ==C. ,6πωπϕ==D. 2,6πωπϕ==8．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x +=-，且]1,0[∈x 时，7()8f x x =-，则方程1)21()(||-=x x f 在区间[3,3]-零点的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 10．如图是用模拟方法估计椭圆1422=+y x 面积的程序框图，S 表示估计 的结果，则图中空白处应 该填入（ ） A ．250NS = B ．125NS =C ．250MS =D ．125M S =11．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ） A.4[,3]5 B.4(0,][3,)5+∞ C.4[,5]5D.4(0,][5,)5+∞ 12．等腰Rt △ACB ,2AB =,2ACB π∠=．以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点，BD CD ⊥，CH AD ⊥于点H ,M 为AB 中点，则当三棱锥C HAM -的体积最大时，CD 的长为 ( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13．已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =， 则cos C 的值为 .14．如图，格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线开始0,0,1M N i ===产生0~2之间的两个随机数分别赋值给i i y x ,1422≤+i i y x 是否1+=i i1+=M M 1+=N N 2000>i否是输出S 结束画出了某多面体的三视图，则该多面体的体15．已知双曲线C ：22221y x a b-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．16． 设R a ∈，对于0x ∀>，函数()(1)[ln(1)1]f x ax x =-+-恒为非负数，则a 的取值所组成的集合为 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-=． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ，（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为/cm/cm30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2，D 为11A C 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角A 1－AB 1－D 的大小．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x 轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线30x ++=相切，过点P 的直线与椭圆M 相交于相异两点A 、C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求QA QC ⋅的取值范围．21.（本小题满分12分）D已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-． （Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 有两极值点,()a b a b <，（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：()2e f a -<<-．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上． (Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R) （Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．数学（理科） 参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. D ；5. B ；6.D ；7．C ；8.A ；9．B ；10．D ；11．A ；12．C ． 二．填空题13．14-；14．16；15．2；16．11e ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭. 三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-=，∴1110n n n nn n a a a a a a ++++-=，∴1111n na a +-=， ·························· 3分 111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1n n n a =+-⨯=，1n a n=． ··················· 6分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2nn nn a ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ························································ ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ···················································· ②······························································································· 9分由①-②得121=2+2++22n n n S n +--⨯．∴1=(1)22n n S n +-+． ······························································· 12分法二：令212n n n b n c c +==-，令()2nn c An B =+， ∴11()2()22n n nn n n b c c An A B An B n ++=-=++-+=．∴12A B ==-，． ···································································· 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+． ··································· 12分18．解：（Ⅰ）22⨯列联表如下2分841.302.290110100100)50604050(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关． ······································································································ 4分（Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X 的分布列为242.0153.0205.0=⨯+⨯+，X 的方差为392.0)2415(3.0)2420(5.0)2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DX . ·· 7分乙工艺生产单件产品的利润Y 的分布列为Y 30 20 15 P0.60.10.3Y 的数学期望为5.243.0151.0206.030=⨯+⨯+⨯=EY ，Y 的方差为25.473.0)5.2415(1.0)5.2420(6.0)5.2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DY . ···· 10分答案一：由上述结果可以看出EY EX <，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺. 答案二：由上述结果可以看出DY DX <，即甲工艺波动小，虽然EY EX <，但相差不大，所以以后选择甲工艺. ······························ 12分19．解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,∴1BC ∥平面1AB D ． ········································································ 6分（Ⅱ）过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1， 连结EF ，DE ，在正三角形A 1B 1C 1中， ∵D 是A 1C 1的中点，∴11132B D A B =＝3， ······································ 8分 又在直角三角形AA 1D 中，∵AD ＝AA 21＋A 1D 2＝3，∴AD ＝B 1D ． ∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角． ········································ 10分 可求得32DF =， ∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得32EF =，∴∠DEF ＝π4，即为所求． ·································································· 12分（2）解法（二）（空间向量法）建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，－1,0），B 1（0，1）， C 1），A 1（0，－1），D12-）． 8分 ∴AB 1＝（0，1），B 1D，－32,0）． 设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即20,30.22y x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩． ∴n 1＝（－3，1，－2）． ······························································ 10分 又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC,0,0）， 设n 1与n 2的夹角是θ，则 cosθ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22． 又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角．∴二面角A 1－AB 1－D 的大小是π4． ··························································· 12分20. 解：（Ⅰ）设以1||PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ， ∴1||NF a =，∵12e =，∴2a c =， ∴13NF P π∠=， 1||2PF a =． ····································································· 2分∴2(,0)F c 是以|1PF |为直径的圆的圆心，∵该圆和直线30x ++=相切，∴2c =1,2,c a b ===∴椭圆M 的方程为：22143x y +=． ····························································· 4分 （Ⅱ）设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，法一：设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22143(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得2305k <<． ································· 6分 则22121222243612,4343k k x x x x k k -+==++．直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则22221221121221212272247223()44343==2463643k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++==++--+． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··············································································· 8分2121212124444()()()()(3)(3)3333QA QC x x y y x x k x x ⋅=--+=--+--=2221212416(1)(3)()939k x x k x x k +-++++=2222222361242416(1)(3)9433439k k k k k k k -+⋅-+⋅++++ =222191216235105439361612k k k -+=-++． ···························································· 10分 ∵2305k << ∴205(,)93QA QC ⋅∈-. ················· 12分 法二：设直线方程为3x my =+．由2231.43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得253m >． ················································· 6分 12212218,3415.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则212211212122152(3)(3)24343=3+=18334my my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··············································································· 8分121212124444()()()()3333QA QC x x y y my my y y ⋅=--+=+++=21212525(1)()39m y y m y y ++++=2221551825(1)()343349m m m m m +⋅+⋅-+++=23520349m -+．································ 10分∵253m >， ∴205(,)93QA QC ⋅∈-．综上，205(,)93QA QC ⋅∈-． ······················ 12分 21.解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ································································ 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ··········· 4分 （Ⅱ）若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x =有两不等实根． ·························· 6分令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x -'=当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增扣2分）． ················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈ 设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分 解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()x h x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ······················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分解：（Ⅰ）证明,AC BD ABC BCD =∴∠=∠． ··············································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ······················ 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ·································································· 7分 ∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3． ······································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ，曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． ·················································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为2222222=-． ·················· 5分 （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ························································ 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得554=ρ， θ不妨取锐角55arcsin， 所以)55arcsin ,558(P ． ····································································· 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2()14().2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩∴0)(≥x f 的解为{}42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分 （Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。
【40套试卷合集】广东广雅中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案命题：冯淑萍本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意：请将试题答在答题卡上，答在试卷上无效！第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.) 1.)613sin(π-的值是（ ） A.23 B. 23- C. 21 D. 21-2.已知集合M={}{},25|,,32|2≤≤-=∈-+=x x N R x x x y y 集合则)(N C M R 等于（ ）A.[)+∞-,4B. ),2()5,(+∞--∞C. ),2(+∞D. ∅3.已知点A （1，1），B(4,2)和向量),,2(λ=a 若a //, 则实数λ的值为（ ） A. 32-B.23C.32D.23-4.函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ） A. (－1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (1，e)5. 若幂函数222)33(--+-=m mx m m y 的图像不过原点，则实数m 的取值范围为（ ） A.21≤≤-mB.2=m 或 1=mC.2=mD.1=m6. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6(),2()6(,5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 函数122+=x xy 的值域是（ ）A. (0,1)B. (]1,0C. ()+∞,0D. [)+∞,08. 已知3log 3log 22+=a ，3log 9log 22-=b ，2log 3=c 则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c b a <=B. c b a >=C. c b a <<D. c b a >>9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A>0,2,0πϕω<>）的图像如图所示，为了得到x x g 3sin )(=的图像，则只要将）x f (的图像（ ）A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度 10. 若函数)0(1>-+=a m a y x 的图像经过第一、三和四象限，则（ ）A. a >1B. 0< a <1且m>0C. a >1 且m<0D. 0< a <111.已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则)(+⋅（ ）A. 有最大值，为8B. 是定值6C. 有最小值，为2D. 与P 点的位置有关12. 若函数）x f (为奇函数，且在()+∞,0上是减函数，又 03(=）f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A. (－3,3)B. )3,0()3,( --∞C. ),3()0,3(+∞-D.),3()3,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知2tan =α，则=+-ααααcos sin cos sin __________.14. 若向量b a ,满足,1==b a 且,23)(=⋅+b b a 则向量b a ,的夹角为__________.15. 若函数(]1-)32(log )(221，在∞+-=ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．16. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当时，32≤≤x x x f =）(,则=-)211(f __________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
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2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．一、本题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项． 1．已知命题0,:221100≤++++∈∃--n n n na x a x a x R x p ，则（ ）A ．0,:2211≤++++∈∀⌝--n n n n a x a x a x R x pB ．0,:221100>++++∈∃⌝--n n n na x a x a x R x pC ．0,:2211>++++∈∀⌝--n n n n a x a x a x R x pD ．0,:221100≥++++∈∃⌝--n n n na x a x a x R x p2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则该抛物线的方程为 A ．28y x =- B ．28y x = C ．24y x =- D ．24y x =3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，使a ⊥b 成立的x 与使//a b 成立的x 分别为A ．10,63- B ．10,63-C ．106,3- D ．106,3-4．设,a b 为实数，则“0a b >>” 是“11a b< ”的（ ）条件 A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要条件 D .既不充分又不必要 5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3C π=，326a c ==，则b 的值为( )ABC．－1 D ．16．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前项和，若1322a a a =⋅ ，且4a 与72a 的等差中项为45，则=5S A ．35 B ．33 C ．31 D ．297．ABC ∆ABC ∆形状是（ ） A ． 正三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形或直角三角形 D . 等腰直角三角形 8．过曲线21x y x+=（0x >）上横坐标为1的点的切线方程为 A .310x y +-= B . 350x y +-= C .10x y -+= D . 10x y --= 9．{}n a ，{}n b 均为等差数列，前n 项和分别为11113741n n n n a S n S T b n T +==+,且,则A ．2221B ．1C ．89D ．141710．如图，在四面体OABC 中，G 是底面ABC ∆的重心，则等于A .++B .111222OA OB OC ++ C .111236OA OB OC ++ D .111333OA OB OC ++ 11．设函数2()sin 2f x x =，则)('x f 等于A ．2cos4x -B ．2sin 4x -C ．2cos4xD ．2sin 4x12．已知(11)A t t t --，，，(2)B t t ，，，则AB 的最小值为（ ） ABCD ．11513．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“,,a b c R ∈，若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题；④“若3≠+b a ，则1≠a 或2≠b ”的否命题．上述命题中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在棱1BB 上，且1BD =，则AD 与平面11ACC A 所成的角的正弦值为( )ABCD15．我们常用以下方法求形如)()(x g x f y =的函数的导数：先两边同取自然对数得)(ln )(ln x f x g y =，再两边同时求导得到)(')(1)()(ln )('1'x f x f x g x f x g y y ⋅⋅+=⋅，于是得到)](')(1)()(ln )('[)(')(x f x f x g x f x g x f y x g ⋅⋅+=﹒运用此方法求得函数x x y 1=的一个单调递增区间是A.（e ，4）B.（4，6） C ．（0，e ） D.（2，4） 16．设的一条渐近线的倾斜角为,离心率为,则的最小值为( )A .B .C .D .第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案纸中横线上.17．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三边，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么这个三角形的最大角等于 ；18．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是“ ”1(0,0)a b =>>C19．已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则= ；20．已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x (0)a b >>的两个焦点，若该椭圆与圆2222x y c +=有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．(本小题满分10分)已知函数()(2)()f x x x m =-+-（其中2m >-），()22xg x =-﹒ （Ⅰ）若命题“2log ()1g x ≤”是真命题，求x 的取值范围；（Ⅱ）设命题p ：(1,)x ∀∈+∞，()0f x <或()0g x <，若p ⌝是假命题，求m 的取值范围﹒22． (本小题满分10分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A OBCD -中，底面OBCD 是边长为1的菱形．．，45OBC ∠=， AO ⊥底面OBCD ，2OA =，M 为OA 的中点．（Ⅰ）求异面直线OB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求平面AOB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．24．（本小题满分12分）已知抛物线C 22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过)0,4(M 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若21=，求直线l 的方程﹒ 25．（本小题满分13分） 已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值；MDBOA (第23题（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性；（Ⅲ）若()f x 在R 上是单调递增函数，求c 的取值范围.26．(本小题满分13分)已知点A （0，2-），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的斜率为k 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求k 的值﹒19.2-20.221.解析：（Ⅰ）命题“2log ()1g x ≤”是真命题，即 不等式()2log 1g x ≤成立即()22log log 2g x ≤其等价于220222x x⎧->⎨-≤⎩ …………………3分 解得12x <≤，…………………4分故所求x 的取值范围是{|12}x x <≤；…………………5分 （Ⅱ）因为p ⌝是假命题，则p 为真命题，…………………6分 而当x ＞1时，()22xg x =-＞0，…………………7分 又p 是真命题，则1x >时，f(x)<0，所以(1)(12)(1)0f m =-+-≤，即1m ≤；…………………9分 （或据(2)()0x x m -+-<解集得出）故所求m 的取值范围为{|21}m m -<≤﹒…………………10分 22.解：（Ⅰ）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即12nn a a -= ……………………2分 ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=， ……………………3分21n n S =-， 33217S =-=，设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=- ……………………5分（Ⅱ）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ……………………6分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ ……………………8分 ()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤< ……………………10分 23.解：作OP ⊥CD 于点P ，分别以OB 、OP 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系，则O(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，22，0)，D(－22，22，0)，A(0，0，2)，M(0，0，1)． …………3分（Ⅰ）OB ＝(1，0，0)，MD →＝(－22，22,－1)，则cos ＜OB ，MD →＞＝－12，故OB 与MD 所成角为π3． …………………6分（Ⅱ）AP ＝(0，22，－2)，AD ＝(－22，22，－2)， 设平面ACD 法向量n ＝(x ，y ，z)，则n·AP ＝0，n·AD ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，4，2)． ……………………9分易得平面AOB 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，……………………10分 cos ＜n ，m ＞＝223， ……………………11分 故平面AOB 与平面ACD 所成二面角的平面角余弦值为223．………………12分24.解：（Ⅰ）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p，……………………1分 所以088,22p p PQ QF x p p==+=+，……………………3分 由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p=2. ……………………5分 所以C 的方程为24y x =.……………………6分（Ⅱ）设211(,)4y A y ，222(,)4y B y 由21=，得2212121(4,)(4,)424y y y y --=-+ 所以212y y =-， ①……………………8分 设直线l 的方程：4x my =+，与抛物线方程联立，244y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 得24160y my --=， 所以1212164y y y y m =-⎧⎨+=⎩ ② ……………………10分由①②联立，解得1y =-，2y =2m =﹒或1y =2y =-，m = 故所求直线l的方程为280x -=或280x +-=﹒………………12分25.解：（Ⅰ）对()f x 求导得()2222x xf x ae be c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()2220x x a b e e --+=，……………………2分 因220xx ee -+>，所以a b =又()0224f a b c c '=+-=-，即224a b +=……………………4分 故1,1a b ==. ……………………5分 （Ⅱ）当3c =时，()223xx f x ee x -=--，那么()22223x x f x e e -'=+-……………………6分又22224x x e e -+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 所以()4310f x '≥-=>……………………8分 故()f x 在R 上为增函数. ……………………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知()2222x xf x e e c -'=+-，要使()f x 在R 上是单调递增函数，只需()0f x '≥在R 上恒成立，即2222xx c ee -≤+恒成立， ……………………11分由（Ⅱ）知，22224xx ee -+≥，当且仅当0x =时等号成立.所以4c ≤，故所求c 的取值范围为(,4]-∞. ……………………13分26.解2(c,0)=3F c c （I ）设，由条件知，222a=2, b 1.c a c a ==-=又所以…………………………………4分 22 1.4x E y +=故的方程为 ……………………………………5分1122:=2,(,),(,).l y kx P x y Q x y -（II ）由题意，设2221,4x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=223=16(43)0,4k k ∆->>当即时， 1221614k x x k +=+，1221214x x k =+或1,22841k x k ±=+ …… …………8分12241PQ x k O PQ d OPQ =-=+=∆从而又点到直线的距离所以的面积2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分． 1．抛物线281x y =的焦点坐标为（ ） A.（0，161）B.（161，0） C.（0, 4） D.（0, 2）2．下列求导运算正确的是（ ）A.'12)2x x x -=∙（ B. '(3)3x xe e = C. 2'211()2x x xx -=-D.'2cos sin ()cos (cos )x x x x x x -= 3．己知函数32()f x ax bx c =++，其导数'()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是（ ）A. a b c ++B. 84a b c ++C. 32a b +D. c4．已知命题：P ：,cos 1x R x ∀∈≤，则P ⌝为（ ）A. ,cos 1x R x ∃∈≥B. ,cos 1x R x ∀∈≥C. ,cos 1x R x ∃∈>D.,cos 1x R x ∀∈>5．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 3C ． 2D ． 16．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+0302063y y x y x 则目标函数x y g 2-=的最小值是（ ）A ．－7B ．－4C ．1D ．27．如果方程121||22=---m y m x 表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ ）A. 2>mB. 11<<-m 或2>mC. 21<<-mD. 1<m 或2>m 8．已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是（ ） A.22a b am bm >⇒> B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b >>⇒<9．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且10a >.若232S a >,则q 的取值范围是（ ）A ．1(1,0)(0,)2- B ．1(,0)(0,1)2- C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞10.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东400，灯塔B 在观察站C 的南偏东600，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A. 北偏东100B. 北偏西100C. 南偏东10D. 南偏西10011．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 12．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于（ ） A ．41 B ．31 C ．21D ．1二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分．13．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b ＝_____ __.14．设函数()f x 的导数为()f x ',且x f x f xln )1(2)('-=,则)1(f '的值是 .15．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.16．给出下列命题：（1）导数0)(0='x f 是)(x f y =在0x 处取得极值的既不充分也不必要条件； （2）若等比数列的前n 项和k s n n +=2，则必有1-=k ；（3）若xx R x -++∈22,则的最小值为2；（4）函数)(x f y =在],[b a 上必定有最大值、最小值；（5）平面内到定点(3,1)-的距离等于到定直线012=-+y x 的距离的点的轨迹是抛物线. 其中正确命题的序号是 .三、解答题：共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分) 命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题q ：实数x 满足 260x x --≤或2280x x +->，且 q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围.18. （本题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2. （1）求角B 的大小； （2）若b a c =+=134，，求ABC ∆的面积.19．(本题满分12分)已知数列{}n a 的各项均满足31=a ，92=a ，211n n n a a a +-∙=),2(N n n ∈≥(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 的通项公式是133log log 1+⋅=n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有1<n T .20．（本题满分12分）据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y （万元）可以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.（1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系；（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润； （3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？21.（本题满分12分）设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f ，若函数)(x f 在1=x 处与直线21-=y 相切， (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数],1[)(e ex f 在上的最大值.22．（本题满分14分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、BABO ∆（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）作与AB 平行的直线l 交椭圆于P 、Q两点，PQ =，求直线l 的方程.数学试题(文B) 评分标准 选择题答案：DBBCC ABCBB BD填空题答案：13.2 14.2ln 15.62 16.（1）（2） 解答题评分标准：17．解：设A ＝{x|x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)}＝{x|3a ＜x ＜a}，…………………………2分 B ＝{x|x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＜0} ＝{x|x 2－x －6＜0}∪{x|x 2＋2x －8＞0}＝{x|－2≤x ≤3}∪{x|x ＜－4或x ＞2}＝{x|x ＜－4或x ≥－2}. ……………………4分 因为 q 是p 的必要不充分条件，所以 q q P ,⇒推不出p ，由B A ⊂得 …………………………6分320a a -⎧⎨⎩≥<或40a a -⎧⎨⎩≤< …………………………10分 即－23≤a ＜0或a ≤－4. …………………………12分18．解：（1）法一：由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得………………………2分 a R A b R B c R C ===222sin sin sin ，， 将上式代入已知…cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C =-+=-+22得… …………4分 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++= 即20sin cos sin()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵sin cos A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴B =23π.……………6分 法二：由余弦定理相应得分 （2）将b a c B =+==13423，，π代入定理b a c ac B 2222=+-cos 得 …8分 b a c ac ac B 2222=+--()cos ， …………………………9分 ∴131621123=--=ac ac ()，∴ ∴S ac B ABC △==12343sin . …………………………12分 19.(1)解 由已知得 数列}{n a 是等比数列． …………………………2分 因为a 1＝3，92=a ∴a n ＝3n. …………………………5分(2)证明 ∵b n ＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1. …………………………7分∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1. …………………………12分 20.解：（Ⅰ）()5.17152+-=x a y （0,≠∈a R a ） …………………………2分将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得101=a …………………3分 ()5.17151012+-=∴x y （ 2510≤≤x ） …………………………4分 （Ⅱ）设最大利润为()x Q 则()⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=4031016.16.12x x x y x x Q ………6分 ()9.12231012+--=x ()2510≤≤x 因为[]25,1023∈=x ，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元……8分（Ⅲ）13401023401014031012=-⋅≥-+=+-=xx x x x x x x y ……………………10分当且仅当xx 4010=，即[]25,1020∈=x 时上式“=”成立. ………………………11分 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. ………………12分 21. 解：（1）'()2af x bx x=-函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切 '(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………5分(2)22111()ln ,'()2x f x x x f x x x x-=-=-= …………………………7分当1x e e≤≤时，令'()0f x >得11x e <<；令'()0f x <，得1;x e <<1(),1f x e ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭在上单调递增，在（1，e ）上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==-……12分22.解：由题设知：512c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又222a b c =+，将,5c b a ==代入，得到：222205a a a+=，即425a =，所以25a =，24b = 故椭圆方程为22154x y +=， …………………………4分焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）， …………………………5分（2）由（1）知((0,2)A B ，PQ AB k k ∴==∴设直线l的方程为y x b =+， …………………………7分由22154y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2285200x b ++-=， …………………………9分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则212125208b x x x x -+=⋅=， …………………………10分1212121)(1()y y x x x x ∴----，…………………………11分 221221)()(||y y x x PQ -+-=∴=2===解之，245b=（验证判别式为正），所以直线l的方程为y=14分2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案一、 选择题 （每小题5分，共50分） 二、填空题（每题4分共20分） 13．4π14．若a≤b ，则2a ≤2b －1 15．1 16．5 三、解答题：（本大题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．解：假设三个方程：22224430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根，则2122221(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或 ，得312a -<<- 3,12a a ∴≤-≥-或18．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. …………2分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以该家具的月利润 f(x)＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋－2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x<6. …………5分 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．…………7分 于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. …………11分答：当销售价格为4万元时，该家具的月利润最大，最大值等于42万元. …………12分 19．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac. 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a.①由|MN|＝5|F 1N|得|DF 1|＝2|F 1N|. 设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.20．解 以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为…………3分 （2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n 即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a ba 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为.313212||1=-+==n h …………7分 （3）设平面1D EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b D 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x -=依题意：()23522233cos2=+-⇒==x π∴3321+=x （不合，舍去），33-22=x .∴33-2=AE 时，二面角1D EC D --的大小为6π.…………12分21．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x .…………3分（2）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ，①136272221+-=k k x x .②…………5分 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x .④. 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . …………9分 （3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x . 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以λ-=.…………12分22．解：(1)由题设易知f(x)＝lnx ，∴g(x)＝lnx ＋xa，g(x)的定义域为(0，＋∞)， 且g′(x)＝221xax x a x -=-.∵a<0，∴g′(x)>0， 故g(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．…………3分 (2)①若1≤a ，则x-a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立， 此时g(x)在[1，e]上为增函数， ∴g(x)min ＝g(1)＝a ＝32>1 (舍去)．②若e a ≥，则x-a≤0，则g′(x)≤0在[1，e]上恒成立， 此时g(x)在[1，e]上为减函数，∴g(x)min ＝g(e)＝1+a e ＝32，∴a ＝e2<e (舍去)．③若1<a<e ，令g′(x)＝0得x ＝a ，当1<x<a 时，g′(x)<0，∴f(x)在(1，a)上为减函数；当a<x<e 时，g′(x)>0，∴f(x)在(a ，e)上为增函数， ∴g(x)min ＝g(a)＝lna ＋1＝32，∴a ＝ e.综上所述，a ＝ e.…………8分(3) 令函数 )0 ln )1()(>--=x x x x h （xx x x h 111)(' -=-=则 1>x 时，0)(' >x h ，又在1=x 处连续，[)∞+∈∴，x 1时，为增函数，()0111,111=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴>+h x h x ，即：011ln 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x整理得：()1ln ln 1+>+x x x又当1≥a 时，有()()1ln ln 1g +>+≥x x xx ，命题得证。