排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

特殊优先法列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。

弄清要“完成什么样的事件”是前提。

三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。

A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为5256A A＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

（3）．不全相邻排除法，排除处理例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：533235332372A A A A A--=222232或3A A A例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。

例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有55A种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有55323210AA A=例8．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

那么安排这6项工程的不同排法种数是。

（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有22525A A+⨯＝30种不同排法。

解二：6!4!=30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A）210个B）300个C）464个D）600个解：155513002A A=故选（B）4、多元问题，分类法例10．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种共有600种不同的选派方案．例11：设集合{}1,2,3,4,5I=。

选择I的两个非空子集A 和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种 B．49种 C．48种 D．47种总计有49种，选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有AA．10种B．20种C．36种D．52种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。

例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。

（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（B ）A）6种B）9种C）11种D）23种说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。

例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。

（答：78种） 说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。

6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A ） 5388C CB ）153288A C C C ）3588A A D ）88A 解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 88A 种座法。

∴选（D ） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理） 例18．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B.例19． 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)【解析】两老一新时, 有112322C 12C A ⨯=种排法；两新一老时, 有123233C C 36A ⨯=种排法,即共有48种排法. 【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 B （A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。

排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。

8、部分符合条件淘汰法例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ D ）A ）150种B ）147种C ）144种D ）141种解：10个点取4个点共有 410C 种取法，其中面ABC 内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有44106463141C C ---= 选D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。

9．分组问题与分配问题①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。

有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。

上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有39C 种分法，再取3个不第二组，有36C 种分法，剩下3个为第三组，有33C 种分法，由于三组之间没有顺序，故有33396333C C C A 种分法。

（2）同（1），共有234974C C C 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以33A 。

练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？②分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。

例23。

有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。

上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有29C 种；再让乙选，有37C 种；剩下的给丙，有44C 种，共有234974C C C 种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有23439743...C C C A 种不同的分法。

例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有14C 种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有3316C C 种，前4次测试中的顺序有44A 种，由分步计数原理即得：14C （3316C C ）44A ＝576。

【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练习：1。

3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？22264290C C C = 2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？3331107414!3!C C C C ⨯ 例25 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436C A ⋅=，二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有3424A =， 共有1234C A ⋅+34A =60， 故选 （D ）10．隔板法：隔板法及其应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。

见下例：例26。

求方程x+y+z=10的正整数解的个数。

(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z 之值（如图）○○○ ○○○ ○○○○则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为2936C = 个。