程修改计算固体力学第四章
0 N i y N i x
x e e y D B S xy
应力： S e
y
单元刚度阵和有限元方程 3(k)
Pi 为作用于单元边界上的外力
F2y,,u2y
2 F2x,,u2x F1y,,u1y
F1x c2 cs c 2 cs u1x F 2 cs s 2 u1 y 1 y EF cs s 2 2 F L c cs c cs 2 x u2 x 2 2 F cs s cs s 2y u2 y c cos , s sin F kU, k称为单元刚度矩阵
1
1
v1 v2 v 3
2(j) 1(i)
1 y 2 1 x 3
u1 u1 u2 N1 x, y N 2 x, y N 3 x, y u2 u u 3 3
i 1
n
1 T T T T 代入, a = a B D B d a f N d a p N ds a Sp 2 a 0
B D B d a f N d p N ds
§4.2 结构的离散化
网格剖分：前处理
如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格
网格的全自动生成；网格剖分和有限元分析程序的连结；网格剖分能力需 要和有限元程序的单元库相协调；边界变动问题（大变形，优化，流固耦 合界面）的网格生成； 网格剖分和造型程序的连结； 结构化网格：映射法; 微分方程法；模板法；四分叉树，八分叉树法；非 结构化网格;Denauly三角化； 等几何有限元;边界元;无网格法;
应变： x x y 0 xy y
0 u y v x
x 0 y
B
0 N e y x
y1 y2 y3
1
3(k)
u1 u2 u 3
1 1 x1 2 1 x2 1 x 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
y1 y2 y3
§4.3 单元分析
3(k) 单元内任一点位移： u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ...
v 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ...
2(j) 1(i) 线性插值—平面 对节点1： u1 1 2 x1 3 y1
T T T Sp
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法 v3 f3y 3 u3 v2 f1y v1 u1 1 f1x f2y u2 f2x
f3x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
U V
1 T T T D d f u d p uds S p 2
n
0
令
u( x, y, z ) ai i ( x, y, z) N a,
i 1
( x, y, z ) u( x, y, z ) ai i ( x, y, z) B a
v1 1 2 x1 3 y1
对节点2： u2 1 2 x2 3 y2
v2 1 2 x2 3 y2
u3 u1
对节点3： u3 1 2 x3 3 y3
v3 1 2 x3 3 y3
u2
3节点三角形单元： u 1 2 x 3 y v 1 2 x 3 y
e 单元刚度阵 K
概括起来：
v3 f3y u3 3 f3x v2 f1y v1 u1 f2y u2
基本问题：给定一个三角形单元和作用在角点 上的六个力，求六个角点的位移。或者是要求 三角形三个角点发生指定的位移，在三角形三 个角点如何加力？
x B 0 y
0 N1 0 y x
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 B1 N3
B2
B3
Bi
应变： B e 应力：
N i x 0 N i y
3
1 i j 0 i j
u3=1 u1=1 u2=1
(2)
N x, y 1
i 1 i
N1(x,y)
u x , y N 1 d v x , y 0 0 N2 1 0 N1 0 N3 2 0 N2
2
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
U V 令
1 T T D d p uds, 为三角形, S p为三个顶点 S p 2
n i 1
u( x, y, z ) ai i ( x, y , z ) N a, ( x , y , z ) B a
1
或 F1x,,u1x 由节点的平衡方程就可求得节点位移；
这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的 单元刚度矩阵适当地组装得到。
第四章 弹性力学问题的有限元法
§4.1 有限元法的基本思想
4.1.2 平面应力问题的有限元基本思想和瑞雷－里兹法
将结构剖分为单元，假定单元之间只在节点上 连结起来。 将每个单元的节点力Ｆ和节点位移Ｕ联系起来， Ｆ＝ＫＵ，其中，Ｕ称为单元刚度矩阵； 由每个节点的平衡，可得到节点位移满足的线 性代数方程组，求解该方程组得到节点位移。 有了节点位移可以确定单元的应变、应力
u1 1 x1 u2 1 x2 u 1 x 3 3
1 1 x1 2 1 x2 1 x 3 3
u x, y 1 x
y1 1 y2 2 y3 3
代入, a 0
B D B d a
T
Sp
p N ds
T
希望a是三个顶点的六个位移组成的向量
§4.2 结构的离散化
网格剖分：前处理
如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格
网格剖分的质量：边长比；非凹性;
网格的协调性(一致性);在网格中任何一个节点必须是所有相邻单元的有限 元节点.
N2(x,y)
0 N1 3 0 N3 0 N1 N2 0 0 N2
N3(x,y)
N3 0
0 1 2 N3 3
ui i vi
位移：
d N e
同理：
v x, y N1 x, y N 2 x , y
形函数
v1 N 3 x , y v 2 v 3
a1 a2 a3
（插值函数）
1 a1 b1 x c1 y 其中： 2 1 N 2 x, y a2 b2 x c2 y 2 1 N 3 x, y a3 b3 x c3 y 2 N1 x, y
f i 为作用于单元内部的外力
Pi
2(j) 1(i)
U V 0
fi
x
U W 0
Ue
1 T D d e 2 单元刚度阵的物理意义： 作用在单元节点上的力： T 节点位移为单位位移时， 1 T e e e e e B D B e d R K 2 需要加载节点上的力 T 1 T 1 e T e e B D B d e e e e U 2 2 K
贴体网格;准确描述边界;对结构的宏观量,如刚度、频率等，局部网格和边 界有误差造成的影响不大，但对应力计算，特别是应力集中附近，如果网 格不能准确描述边界，误差可以是非常严重的。对流体力学的流场计算， 边界描述的误差也很大。 网格的疏密直接影响到计算结果的精度；网格和计算精度的后验估计;
为了在提高计算精度的同时又限制计算量过大的增长，网格过渡(graded mesh)是必须的;实现网格过渡对平面问题三角形单元和空间问题的四面体 单元比较容易，但对平面问题四边形单元及空间问题的六面体单元就很不 容易。基于有限元计算误差的后验估计的网格自适应技术(adaptive mesh);
§4.1 有限元法的基本思节点平衡方程 求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未 知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件 应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点 的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 P
如何将结构剖分为单元？如何得到单元刚度矩阵？ 如何将单元刚度矩阵拼装为结构刚度矩阵？如何将 作用在结构上的力转化为节点力？如何求解得到的 线性代数方程组？如何在有了节点位移后求得应变、 应力？
最小总势能原理，在满足位移边界条件的所有位移中，真实 的位移使系统的总势能取驻值（极小值）。
对于线性问题：
x2 x3 x3 x1 x1 x2
y2 y3 y3 y1 y1 y2
b1 b1 b1
1 y2 1 y3 1 y3 1 y1 1 y1 1 y2
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固体力学的数值计算方法研究
固体力学的数值计算方法研究第一章：引言固体力学是一门研究物体在外力作用下破坏和变形规律的学科。
它在工程领域中扮演着至关重要的角色，例如在研究汽车、飞机、建筑物等结构的性能、设计和优化中。
在固体力学的研究中，数值计算方法已经成为一种非常重要的工具。
数值计算方法能够帮助研究者获取更精确的研究结果，并且加快了研究速度，提高了效率。
因此，在固体力学研究中，数值计算方法的研究也越来越受到重视。
第二章：数值计算方法的基础在固体力学的数值计算中，其基础主要有以下三个方面：数值逼近、数值积分和初值问题。
2.1 数值逼近数值逼近是指用有限的次数的运算来求出某个函数的近似值。
在固体力学研究中，经常需要求出物体在受力作用下的变形和应力状态，而这些求解都离不开函数的逼近。
常见的逼近方法有拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
2.2 数值积分数值积分是指通过有限次数的运算来求出定积分的近似值。
在固体力学研究中，经常需要求解应力分布或变形分布的总量，而这些求解又都离不开定积分。
常见的积分方法有梯形积分、辛普森积分、高斯积分等。
2.3 初值问题初值问题是指为了求解微分方程而需要知道初始条件的问题。
在固体力学研究中，经常需要用微分方程来描述物体受力作用下的变形和应力分布情况。
因此，初值问题也是固体力学数值计算的基础之一。
第三章：固体力学数值计算方法的发展固体力学数值计算方法主要是在计算机技术不断发展的过程中得到了快速发展。
在计算机技术尚不完善的早期，固体力学研究者只能采用一些基本的数学方法和手算的方式来处理问题。
不过，随着计算机技术的不断提升，人们开始尝试更加复杂的数值计算方法。
3.1 有限元法有限元法是一种在固体力学领域广泛使用的数值计算方法。
它能够将物体划分成一个个小的有限元，然后利用相应的数学方法对每一个有限元进行分析。
与其他数值计算方法相比，有限元法具有更高的计算精度和更广泛的适用范围。
3.2 边界元法边界元法是一种基于物理量在界面上的积分方程来求解问题的数值计算方法。
固体物理基础(4章 (4)
玻耳兹曼输运方程在晶体的输运理论中处于核心地 位。一旦知道晶体中的各种散射机构，求解出各种外场 作用下的分布函数，就可以解决晶体中的各类输运问题。
第7章 晶体的导电性
7.2 晶体中的散射机制
上面的讨论说明在外加场及温度梯度的作用下，电 子的状态会发生变化。例如在外加电场E的作用下，电子
的状态k将按照dk/dt=-eE/ 的规律变化，导致k空间布里
第7章 晶体的导电性
将其看成是一种碰撞的理由在于这些附加势场相对晶格 的周期性势场来说是一种微扰，通常都在杂质或缺陷附近， 具有局域性的特点，其限度一般在几个晶格常数范围之内， 数量级约为10-7cm。而电子的热运动速度约为107 cm/s，所 以电子与这些局域中心的相互作用时间仅为10-14 s的量级。 在这样短的瞬间导致电子的动量发生显著变化，这相当于 经典粒子的一次碰撞。碰撞的结果是使定向运动电子数目发 生明显变化，故称此为散射。
第7章 晶体的导电性 图7-3 纵声学波引起的能带的起伏
第7章 晶体的导电性
如果材料的能带底位于布里渊区中心，则电子只与 纵声学声子作用。因为高对称性的原因，这种能带底不 受切向力的影响。但对于像锗、硅这类导带底不在布里 渊区中心的半导体，横向晶格振动可以改变远离布里渊 区中心处所对应的能量。所以，电子可与横声学声子作
第7章 晶体的导电性
7.1.2 设晶体的体积为V，则单位倒格子空间体积内包含的
电子状态数为2Vc/(2π) 3。所以， t时刻在相空间(r, k)处附 近的dk dr体积元内的电子数为
dN 2Vc f (r,k,t)dk dr (2π)3
相应的电子浓度为
dN 2
dn
f ( r,k,t )dk dr
k f
dr dt
第7章 晶体的导电性
7.2 晶体中的散射机制
上面的讨论说明在外加场及温度梯度的作用下，电 子的状态会发生变化。例如在外加电场E的作用下，电子
的状态k将按照dk/dt=-eE/ 的规律变化，导致k空间布里
第7章 晶体的导电性
将其看成是一种碰撞的理由在于这些附加势场相对晶格 的周期性势场来说是一种微扰，通常都在杂质或缺陷附近， 具有局域性的特点，其限度一般在几个晶格常数范围之内， 数量级约为10-7cm。而电子的热运动速度约为107 cm/s，所 以电子与这些局域中心的相互作用时间仅为10-14 s的量级。 在这样短的瞬间导致电子的动量发生显著变化，这相当于 经典粒子的一次碰撞。碰撞的结果是使定向运动电子数目发 生明显变化，故称此为散射。
第7章 晶体的导电性 图7-3 纵声学波引起的能带的起伏
第7章 晶体的导电性
如果材料的能带底位于布里渊区中心，则电子只与 纵声学声子作用。因为高对称性的原因，这种能带底不 受切向力的影响。但对于像锗、硅这类导带底不在布里 渊区中心的半导体，横向晶格振动可以改变远离布里渊 区中心处所对应的能量。所以，电子可与横声学声子作
第7章 晶体的导电性
7.1.2 设晶体的体积为V，则单位倒格子空间体积内包含的
电子状态数为2Vc/(2π) 3。所以， t时刻在相空间(r, k)处附 近的dk dr体积元内的电子数为
dN 2Vc f (r,k,t)dk dr (2π)3
相应的电子浓度为
dN 2
dn
f ( r,k,t )dk dr
k f
dr dt
固体力学概论
dw dx
s
p AG
⑦ 关于截面形状系数的讨论
剪切截面系数（又称截面形状系数）有如下几种数值：
①
( xz )z0 s mean
s
max mean
max mean
s
3 2
相当于用中性轴处的最大剪切应变代表梁轴由于横向剪切产生的倾角，是
很粗燥的，它比平均剪应变大50%。
22
23
,
ij ji
31 32 33
Ⅰ 弹性本构关系：线弹性应力~应变关系
胡克定律：线弹性应力~应变关系，应力与应变成正比，比例常数为弹性常数
（杨氏模量）
E
• 广义胡克定律
C ij
ijkl kl
i, j 1,2,3
，
C ijkl 可改写为 Cmn 其中 m, n 1...6
综合基础课综合基础课20052005版版第一章前言第二章基本假设第三章本构关系物理方程第四章基本方程第五章能量原理包括变分原理第六章固体力学中的数值方法研究可变形固体在外界因素载荷温度湿度作用下其内部质点的位移运动位移运动固体的固体的应变和破坏规律应变和破坏规律的学科
固体力学概论
(综合基础课) 2005版
当梁的高长比 h / l 1/ 7 时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪 切。称为Timoshenko梁理论，独立未知变量增加一个，截面转角。 但是,当梁长/高比很大时,平截面所得结果符合工程要求。
Timoshenko梁弯曲（非纯弯）时，须考虑剪切效应，此时横截面仍
是平面，但不再垂直梁中面，与中面有一夹角 。基本未知量变为 两个：w,
36个常数中只有21个独立。这是指最一般的各向异性材料，对 于各类特殊情况，独立材料常数不同。
《固体物理·黄昆》第四章(2)
42一维单原子链晶格具有周期性晶格的振动具有波的形式格波格波的研究先计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程最后求解方程一维无限原子链每个原子质量m平衡时原子间距a原子之间的作用力第n个原子离开平衡位置的位移第n个原子和第n1个原子间的相对位移第n个原子和第n1个原子间的距离平衡位置时两个原子间的互作用势能发生相对位移后相互作用势能常数简谐近似振动很微弱势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力平衡条件原子的运动方程只考虑相邻原子的作用第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程每一个原子运动方程类似方程的数目和原子数相同方程解和振动频率设方程组的解naq第n个原子振动位相因子得到格波的波速波长的函数一维简单晶格中格波的色散关系即振动频谱格波的意义连续介质波波数格波和连续介质波具有完全类似的形式一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动格波方程格波的波形图简谐近似下格波是简谐平面波向上的箭头代表原子沿x轴向右振动向下的箭头代表原子沿x轴向左振动格波波长格波波矢格波相速度不同原子间位相差格波方程相邻原子的位相差相邻原子位相差原子的振动状态相同相邻原子位相差相邻原子的位相差原子的振动完全相同波矢的取值相邻原子的位相差其它区域不能提供新的物理内容玻恩卡门bornkarman周期性边界条件
第一布里渊区的线度
第一布里渊区状态数 —— 第一布里渊区包散关系曲线具有周期性
色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
q a a
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
讨论: 1)格波 —— 长波极限情况:
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
第一布里渊区的线度
第一布里渊区状态数 —— 第一布里渊区包散关系曲线具有周期性
色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
q a a
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
讨论: 1)格波 —— 长波极限情况:
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题
。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为
* 拉各朗日（Lagrange）描述
t
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标 为基本未知数，描述各个量。 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是 单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的 * 欧拉（Eular）描述
t
t 0 ji
T
t 0
S ji
15
计算固体计算力学
各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒：
t
0
0
V
dV
t
t
V
dV
t
0
V
det( 0 t xi , j ) dV
0 det( t xi , j ) 0 t 0 t 0 t t t t （2） 0 Tji t t x j , m mi ， ji 0 0 x j , m 0Tmi t 0 t t t t 0 0 t （3 ） t S x x Smn x x ji 0 j , m 0 i , n 0 0 0 ji t j ,m t i,n mn ， t
其中：
不能求解
uk
--现实位移分量的变分； --应变的变分； --在现实位形内度量的面积载荷 --在现实位形内度量的体积载荷
t
17
计算固体计算力学
第三节 大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三 种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
W ij ij
W
1 Dijkl ij kl 2
固体力学Smf04New
u 速度矢量和加速度矢量：v − v0 = Q ⋅ (v − v0 ) − Q ⋅ω0 ⋅ (x − x0 ) + ω0 ⋅ (x − x0 ) 定义位移的一次本构导数 v(K) = (v − v0 ) − ω0 ⋅ (u − u0 )
对于加速度，定义位移的二次本构导数：
w(K) = w − w0 − 2ω0 ⋅ (v − v0 ) − (ω&0 − ω0 ⋅ω0 )⋅ (x − x0 )
《固体力学基础》
3 固体材料的本构关系
l 前面讨论了运动与变形、应力与平衡，还没有涉及固体材料。占有同样空间域的 不同固体，在同样的载荷作用下产生的变形是很不一样的。必须建立描述材料特 性的本构关系，才能构成完备的定解方程组。
l 要建立描述材料特性的本构关系，必须遵循一系列的基本原理，其中包括热力学 基本定律。先由力学原理建立本构关系的数学框架，再由实验确定本构关系中的 材料常数。
σ*
=
s& −
r& T
+
1 ρ0
∇0
⋅
Q T
≥
0
( ) ρ0Tσ *
=
ρ0 E
&+ Ts& − e&
−1 T
Q ⋅ ∇0T
≥
0
ρ0Tσ *
=
S
:
E&
+
ρ0 (Ts& − e&) −
1 T
Q ⋅ ∇0T
≥
0
( ) ρ0Tσ * = ρ0 E & − sT& − f&
−
1 T
Q
⋅ ∇0T
≥
0
对于可逆过程，上述式中的大于等于号均取等号。
对于加速度，定义位移的二次本构导数：
w(K) = w − w0 − 2ω0 ⋅ (v − v0 ) − (ω&0 − ω0 ⋅ω0 )⋅ (x − x0 )
《固体力学基础》
3 固体材料的本构关系
l 前面讨论了运动与变形、应力与平衡，还没有涉及固体材料。占有同样空间域的 不同固体，在同样的载荷作用下产生的变形是很不一样的。必须建立描述材料特 性的本构关系，才能构成完备的定解方程组。
l 要建立描述材料特性的本构关系，必须遵循一系列的基本原理，其中包括热力学 基本定律。先由力学原理建立本构关系的数学框架，再由实验确定本构关系中的 材料常数。
σ*
=
s& −
r& T
+
1 ρ0
∇0
⋅
Q T
≥
0
( ) ρ0Tσ *
=
ρ0 E
&+ Ts& − e&
−1 T
Q ⋅ ∇0T
≥
0
ρ0Tσ *
=
S
:
E&
+
ρ0 (Ts& − e&) −
1 T
Q ⋅ ∇0T
≥
0
( ) ρ0Tσ * = ρ0 E & − sT& − f&
−
1 T
Q
⋅ ∇0T
≥
0
对于可逆过程，上述式中的大于等于号均取等号。
《固体物理·黄昆》第四章(1)教学提纲
简正振动 —— 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算 正则动量算符
系统薛定谔方程
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
谐振子方程:
系统能量本征值 系统本征态函数
能量本征值
本征态函数
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数
《固体物理·黄昆》第四章(1)
简谐近似 —— 势能函数只保留到位移的二次项，用于处理小 振动问题；
研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体 第n个原子的平衡位置
偏离平衡位置的位移矢量
原子的位置 3个方向上的分量
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 vi ( t )
N下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
取
平衡位置
系统的势能函数
—— 不计高阶项
系统的势能函数 系统的动能函数 系统的哈密顿量 为了消除势能项中的交叉项:
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
系统的哈密顿量
拉格朗日函数 正则动量
系统的哈密顿量
正则方程
正则动量
—— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解:
计算固体力学(有限元以及无网格方法)全套教学【121P】PPT课件
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
将位移试函数代入上式，并求偏导数，得
xxyy222111 (((bcciiiuuviii
bjuj cjvj cjuj
bmum) cmvm) cmum)(bivi
bjvj
bmvm)
第二章 平面弹性力学的有限元法
反映了单元的位移形态，称为形函数
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x
三角形单元
同理有 vN iv i N jvj N m v m N kv k
则位移向量可表示为
i,j,m
{ } e 单元节点位移向量
ui
vi
{f
}
u v
Ni
0
0 Ni
求
L(u)0
解 域
u aiui
离 散
i
L'(ui) 0
AXB
各种数值方法
ui u(xi)离散节点的变量值
第一章 科学和工程中的数值方法
1.3 几个简单示例
(a) 开孔板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限元法
第一章 科学和工程中的数值方法
BEM的变形
起重机吊钩
FEM的变形
第一章 科学和工程中的数值方法
2.2 三角形常应变单元
y
3 单元中的应变和应力
{}[B]{}e
由于[B]是常量，单元内各点应变分
量也都是常量，这是由于采用了线性位移 O 函数的缘故，这种单元称为三角形常应变 单元。
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x O
三角形单元
将位移试函数代入上式，并求偏导数，得
xxyy222111 (((bcciiiuuviii
bjuj cjvj cjuj
bmum) cmvm) cmum)(bivi
bjvj
bmvm)
第二章 平面弹性力学的有限元法
反映了单元的位移形态，称为形函数
vm
m (xm, ym)
vi
i(xi , yi ) u i
um vj
uj j(xj , yj )
x
三角形单元
同理有 vN iv i N jvj N m v m N kv k
则位移向量可表示为
i,j,m
{ } e 单元节点位移向量
ui
vi
{f
}
u v
Ni
0
0 Ni
求
L(u)0
解 域
u aiui
离 散
i
L'(ui) 0
AXB
各种数值方法
ui u(xi)离散节点的变量值
第一章 科学和工程中的数值方法
1.3 几个简单示例
(a) 开孔板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限元法
第一章 科学和工程中的数值方法
BEM的变形
起重机吊钩
FEM的变形
第一章 科学和工程中的数值方法
2.2 三角形常应变单元
y
3 单元中的应变和应力
{}[B]{}e
由于[B]是常量，单元内各点应变分
量也都是常量，这是由于采用了线性位移 O 函数的缘故，这种单元称为三角形常应变 单元。
计算固体力学
计算固体力学固体力学是力学的一个分支领域，研究的是固体物质在外力作用下的力学行为和性质。
它是分析和解决工程和物理学中与固体结构、变形、变形机理、强度等相关问题的基础。
固体力学的研究内容包括静力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学和疲劳力学等等。
静力学主要研究物体处于静止状态下受力分布和平衡条件的关系；弹性力学研究固体物体产生变形后能够恢复原状的性质；塑性力学研究固体物体在超过一定限度下，产生不可逆的塑性变形；断裂力学研究的是在材料中出现断裂破裂现象的力学行为；疲劳力学研究的是材料在持续受到循环载荷下发生损伤和失效的行为。
固体力学的基本概念和原理包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。
应力是指单位面积上的力，通常用σ表示，分为正应力和剪应力两种。
应变是指物体在受力作用下产生的相对变形，通常用ε表示，分为线性应变和剪应变两种。
弹性模量是描述材料刚度的属性，是应力与应变之间的比例系数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。
泊松比则是描述材料在受力过程中沿一个方向收缩而在另一个方向伸展的程度。
在固体力学中，有两个重要的定理，即能量原理和最大能原理。
能量原理指出，在稳定状态下，体系的能量应当达到最小值。
这个原理可以用来推导结构的力学行为，比如弹性体的变形及应力分布。
最大能原理则是指在固体的力学行为中，材料的破坏会先出现在应力最大的地方。
固体力学的应用非常广泛。
在工程领域中，它可以用于设计和分析结构的强度、刚度和稳定性等问题，比如建筑、桥梁、飞机等。
在材料科学中，固体力学可以帮助研究材料的力学性质、性能和失效机理等，比如金属、陶瓷、塑料等。
在地球科学领域中，固体力学可以用于研究地壳运动、构造变形、地震等现象。
此外，固体力学还被应用于生物医学领域，研究生物材料的性能和组织工程等。
总之，固体力学是研究固体物质在外力作用下的力学行为和性质的分支学科。
它在工程、物理学、材料科学、地球科学和生物医学等领域中都有重要的应用价值。
通过对固体力学的研究和应用，我们可以更好地理解和解决与固体力学相关的问题，促进科学技术的发展和进步。
计算固体力学(有限元以及无网格方法)
σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi