微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念 1、极限的定义（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当)(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 或)(∞→→n A a n 。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f 。

（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以A 为极限，记为A x f ax =→)(lim 或)()(a x A x f →→。

（4）左右极限：)(lim )0(0x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0x f a f a x def-→=-，分别称)0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f ax →存在⇔)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。

问题：（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？ （3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。

（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。

特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小； 3）极限与无穷小的关系： （3）无穷小的层次关系 1）定义： 2）性质： 设ββαα''~,~，且αβ''lim存在，则αβαβ''=lim lim ； βα~的充分必要条件是)(ααβo +=。

（4）当0→x 时常见的等价无穷小：1）)1ln(~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x e x x x x x x+-；2）222~cos 1,2~cos 1x ax x x a --； 3）ax x a~1)1(-+。

（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。

问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设γβα,,都是无穷小，且)(),(αγαβo o ==，是否一定有γβ~？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。

（二）极限的性质 1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。

（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。

2）函数极限的局部有界性： （3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零； 2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。

（4）列与子列极限极限的关系：2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。

定理2 夹逼定理（数列及函数）： 重要极限：（1）1sin lim 0=→xx x ； （2）e =∆+∆→∆10)1(lim ； （3）a x a x x ln 1lim0=-→。

3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质 注解： 问题：（1）若}{n a 有界，n n a ∞→lim 是否一定存在？（2）若A a n n =∞→lim ，当n m >时，是否一定有||||A a A a n m -<-？举例说明。

（3）若)]()(lim[x g x f +存在，)(lim x f 及)(lim x g 是否存在？若)]()(lim[x g x f +及)(lim x g 存在，是否一定有)(lim x f 存在？（4）若)0(0)(<>x f ，且A x f =)(lim ，是否一定有)0(0<>A ？举例说明。

二、连续与间断（一）基本概念 1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义 （2）函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 （1）第一类间断点： （2）第二类间断点。

（二）闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理（1）最值型介值定理： （2）端点型介值定理：注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。

问题：（1）设)(),(x g x f 都在a x =处间断，则)(,)()(),()(),()(2x f x g x f x g x f x g x f ⋅±是否一定在a x =处间断？（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分一、填空题1、______)21ln(1lim 20=+-→x x e x x 。

2、设)0(~22332→-+x ax x b ，则______,==b a 。

3、______arcsin tan sin lim20=-→xx xx x 。

4、设2)](1ln[lim 20=+→x x f x ，则______)(lim 20=→xx f x 。

5、设A ax bx f a x =--→)(lim ，则______lim)(=--→a x e e a x f a x 。

6、)0,0,0______()(lim 1>>>=++∞→c b a c b a nnnnn 。

7、)0______(])2(1[lim 12≥=++∞→x x x n n nn 。

8、______)tan 11(lim 20=-→xx x x 。

9、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,12sin )(2x a x xe x xf ax 在点0=x 处连续，则______=a 。

二、解答题1、判别函数)1ln()(2++=x x x f 的奇偶性，并求其反函数。

2、求下列极限：（1）2010102000)25()23()12(lim ++-∞→x x x x 。

（2）)1ln()13ln(lim 102++++∞→x x x x 。

（3）)0(2cos 2cos 2cos lim 20≠→x xx x n x 。

（4）)0,0()2(lim 10>>+→b a b a x x x x 。

（5）2)1(cos lim x x x∞→。

（6）x x x x 10)cos sin 2(lim +→。

（7）______3)3ln()ln(lim 3220=-+-+→xe x xx e x x x 。

（8）π1sin lim 2+∞→n n 。

（9）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； （10）()xx x cos 1120sin 1lim -→+。

（11）310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→； （12）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→。

3、证明数列333,,33,3++++ 极限存在，并求其极限。

4、设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

5、设n a a a ,,,21 为常数，)1ln()21ln()1ln()(21nx a x a x a x f n ++++++= 。

且|||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a 。

6、求极限)2211(lim 222nn nn n n ++++++∞→ 。

7、设],[)(b a C x f ∈，)1](,[n i b a x i ≤≤∈，)1(0n i k i ≤≤>且121=+++n k k k ，证明：存在],[b a ∈ξ，使得)()()(11n n x f k x f k f ++= ξ。

第二讲 导数与微分一、导数的基本概念设)(x f y =在a x =的邻域内有定义，)()(a f x a f y -∆+=∆，若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称函数)(x f y =在点a x =可导，极限称为函数)(x f y =在a x =处的导数，记为)(a f '。

注解： （1）若x y x ∆∆+→∆0lim存在，称此极限为函数)(x f 在a x =处的右导数，记为)(a f +'，若xyx ∆∆-→∆0lim存在，称此极限为函数)(x f 在a x =处的左导数，记为)(a f -'，函数)(x f 在a x =处可导的充分必要条件是)(a f +'与)(a f -'都存在且相等。

（2）导数的等价定义x y a f x ∆∆='→∆0lim)(，ax a f x f a f a x --='→)()(lim )(。

注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。

问题：（1）设)(a f '存在，问hh a f h a f h )2()3(lim 0--+→是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。

（2）设h h a f h a f h )()2(lim--+→存在，问)(a f '是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。

（3）设)1ln()0(cosh)1(lim2h f f h +--→存在，)0(f '是否存在？说明理由。

（4）设na f n a f n /1)()1(lim -+∞→存在，)(a f +'是否存在？说明理由。

（5）设)(x f 在a x =处可导，问)(x f '是否在a x =处连续？ （6）)(x f 在a x =处可导，是否有)(x f 在a x =的邻域内连续？ （7）是否存在只有一个可导点的函数？二、求导工具（一）求导基本公式1、0)(='C （常数函数导数公式）；2、1)(-='a aaxx ，特殊情形21)1(,21)(x xx x -='='（幂函数导数公式）；3、a a a xx ln )(='，特殊情形xx e e =')(（指数函数导数公式）；4、a x x a ln 1)(log ='，特殊情形xx 1)(ln ='（对数函数导数公式）； 5、（三角函数导数公式）：1）x x cos )(sin ='； 2）x x sin )(cos -='； 3）x x 2sec )(tan ='； 4）x x 2csc )(cot -='； 5）x x x tan sec )(sec ='； 6）x x x cot csc )(csc -='； 7）x x 2sin )(sin 2='； 8）x x 2sin )(cos 2-='； 9）x x x 2cos )cos (sin ='。