概率论前言
概率论基础概念讲解
**概率论基础概念讲解****一、引言**概率论是研究随机现象的数学学科，它起源于人们对赌博游戏的分析，随着数学、物理、工程、经济、生物学等学科的发展，概率论的应用已经渗透到各个领域，成为现代数学的重要分支之一。
在概率论中，有一些基础概念必须掌握，本文将对这些基础概念进行详细讲解。
**二、基础概念**1. **随机试验**：随机试验是概率论研究对象的总称。
它是指一个可以在相同条件下重复进行的试验，其结果是不确定的，即每一个基本事件是否出现具有随机性。
例如，掷一枚硬币、抽取扑克牌等。
2. **事件**：随机试验的结果称为事件。
事件可以由一个或多个基本事件组成。
事件可以分为不可能事件、必然事件和随机事件。
不可能事件是一个不可能发生的事件，其概率为0；必然事件是一个一定会发生的事件，其概率为1；随机事件是既可能发生也可能不发生的事件，其概率在0和1之间。
3. **概率**：概率是度量事件发生可能性的量。
设A是一个事件，则A的概率P(A)定义为：P(A) = 事件A发生的次数 / 试验的总次数当试验次数趋于无穷时。
概率具有以下性质：（1）非负性：P(A) ≥ 0；（2）规范性：P(必然事件) = 1，P(不可能事件) = 0；（3）有限可加性：若A和B是两个互斥事件，则P(A + B) = P(A) + P(B)。
4. **条件概率**：设A和B是两个事件，且P(B) > 0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记为P(A|B)，计算公式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示A和B同时发生的概率。
5. **全概率公式**：如果事件B1, B2, ..., Bn是完备事件组，即它们两两互斥且它们的并为全集，则对于任意事件A，有：P(A) = ∑P(Bi)P(A|Bi)，其中i从1到n。
6. **贝叶斯公式**：如果事件B1, B2, ..., Bn是完备事件组，则对于任意事件A和任意Bi，有：P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ∑P(Bj)P(A|Bj)，其中j从1到n。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
《概率论与数理统计》序言第一章
乘法原则：如对象A有m种选法，B有n种
选法，则先选A再选B有m*n种选法 <并且>
例：从甲地到乙地有3种路线，从乙地到丙地有5 种路线，则从甲到丙共有3*5种路线
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
Pnr n(n 1)( n 2) (n r 1)
为什么要学习概率论与数理统计
它是专业课学习的基础 它是科学研究及科学研究可行性检验的工 具 它是我们分析问题和解决问题所思考的方 向
排列组合有关知识复习
加法原则：如对象A有m种选法，B有n种
选法，则对象“A或B”有m+n种选法。 <或者>
例： 从西昌到成都坐火车有3种路线。坐汽车有5 种路线。则某人从西昌到成都有3+5种走法。
事件分为：随机事件，必然事件，不可能事件
随机事件 —— 的子集,记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生 必然事件——全体样本点组成的事件,记为 , 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
（7）对立关系：如A+B=Ω，AB=ф，则称 A与B对立
AB , A B — A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中有且只 有一个发生
概率论与数理统计 前言
《概率论与数理统计》： 以定量的方法研究随机现象的统计规律性.
随机现象的普遍存在
基础理论课的地位：农、林、牧、医、理工 科，管理类等专业的必修课。
二、与专业课学习工作科研密切相关
后续专业课 统计学、 运筹学、信息管理学、管理信息 系统分析与设计、数学实验、数据处理、 灰色系统理论 工作中 广泛应用于几乎遍及所有的科学技术领 域。气象、水文、地震预报、人口控制及 预测、质量管理、生产管理、经济管理
例4是在一定条件下必然 不可能发生的现象
例4 在一个标准大气压力下,20℃的水结冰. 我们把这种在一定条件下, 其结果总是 确定的现象称为确定性现象或必然现象.
另外,在我们所生活的世 界上还充满了不确定性.
随机现象：
例5 用大炮轰击某一确定目标,其结果可能是 击中目标,也可能击不中目标.
例6 在相同条件下,抛一枚质地均匀的硬币, 其结果可能正面向上,也可能反面向上. 例7 在合格品率为98%的产品中任取一件产品, 取到的可能是合格品,也可能是不合格品.
m元 m元 r元 0元
带伞 不带伞
带伞： 0.6×m+0.4×m=m
0.4 0.6 0.4
不带伞： 0.6×r+0.4×0=0.6r
比较：m
0.6r
2. 定量研究的重要性
概率论的飞速发展，是在17世纪微积分学 说建立后。 二战军事上的需要，及二战后社会化大生 产与管理的复杂化，产生了数理统计
概率论与数理统计
管理科学系
一、研究对象
1.随机现象
以定量的方法研究随机现象的统计规律性 是《概率论与数理统计》学科的主要任务. 确定性现象：
例1 在一个标准大气压 力下,水加热到100℃就沸腾.
前言 概率论发展简史
稍后一些时候，辛钦研究了平稳过程的相关理论 (1934)。所有这些关于随机过程的研究，都是基于分 析方法，即将概率问题化为微分方程或泛函分析等问 题来解决。从1938年开始，莱维系统深入地研究了布 朗运动，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的 直觉性，将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过
小”及某种程度的对称性(即近似于正态分布)。
大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律 性的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中 某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是 概率论中的随机过程。例如，某一电话交换台从一确
定时刻起到其后的每一时刻为止所收到的呼唤次数便
是一随机过程。又如，微小粒子在液体中因受周围分
继拉普拉斯以后,概率论的中心研究课题是推广和
改进伯努利大数律及棣莫弗－拉普拉斯极限定理。在
这方面，俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步， 1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独 立随机变量序列的大数律。次年，又建立了有关各阶 绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理； 但其证明不严格，后来由马尔可夫于1898年补证。
20世纪初完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论
以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率 论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概 率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究， 发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测
度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的
深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。
逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了
迅速的发展。 目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立 增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅 和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率 （用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率 问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，
概率论说课稿
概率论说课稿一、说教材《概率论》是高中数学课程中非常重要的一部分，它不仅关系到学生数学思维能力的培养，还与日常生活息息相关。
本文在课文中的作用主要有以下几点：1.地位：概率论作为数学中的一个独立分支，具有很高的地位。
它是研究随机现象规律性的学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维、创新意识等方面具有重要意义。
2.主要内容：本文主要介绍了概率的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
其中包括随机事件、概率的古典定义、概率的统计定义、条件概率、独立事件的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等。
3.作用：通过学习概率论，使学生能够了解随机现象的规律性，掌握概率的基本概念和计算方法，培养解决实际问题的能力，提高数学素养。
4.与其他章节的联系：概率论与排列组合、数列、函数等章节有着密切的联系。
例如，排列组合的知识可以为概率的计算提供理论基础；而概率论在统计学、经济学、生物学等领域有着广泛的应用。
5.在实际生活中的应用：概率论在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、保险、投资、医学、气象等领域的决策分析，都离不开概率论的知识。
二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1.理解并掌握概率的基本概念，如随机事件、样本空间、概率等。
2.掌握概率的计算方法，如古典概率、条件概率、独立事件的概率等。
3.能够运用概率论的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.培养逻辑思维、抽象思维和创新意识。
5.了解概率论在各个领域的应用，提高数学素养。
三、说教学重难点1.重点：概率的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
2.难点：（1）概率的统计定义，特别是理解概率的频率解释。
（2）条件概率的计算，尤其是如何运用全概率公式和贝叶斯公式。
（3）解决实际问题时，如何将问题转化为概率模型，并运用所学知识进行求解。
在教学过程中，要注重对重点知识的讲解，同时针对难点进行详细的剖析和讲解，确保学生能够掌握概率论的核心内容。
四、说教法为了使学生更好地理解和掌握概率论的知识，我采用了以下几种教学方法，并在教学过程中突出以下亮点：1. 启发法：- 通过设置具有启发性的问题，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
概率论第一讲
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能 取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值 的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数 整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条 件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概 有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公 式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和 贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率 （定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质 质 质质 质 质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对 对 对(实则 设 有 P·每)()于 于 于=数A有 限 满一 1,任 任 任);，BP可 足个是 意 一 一记B加 下0事两 事 事两 为列性 件事 件 件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若 有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).
概率基本定理
概率基本定理1. 前言概率学是数学中的重要分支，它研究随机现象的规律和特征。
在日常生活和科学研究中，概率论的应用非常广泛。
在概率论中，基本定理是最重要的定理之一，本文将介绍概率基本定理的含义和应用。
2. 概率的定义在概率论中，我们通常用“事件”的概念来描述我们感兴趣的随机现象。
在统计学中，将一个随机现象称为试验，试验的每个可能结果称为样本点。
事件是由样本点形成的一个集合。
概率的定义是指事件发生的可能性的大小。
概率通常用0到1之间的数字来表示，其值越接近于1，表示事件发生的可能性越大。
3. 概率基本定理在概率论中，概率基本定理是指两个条件概率之积等于一个边缘概率的概率规律。
数学形式如下：P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)其中P(A)和P(B)表示两个事件发生的概率，P(A|B)和P(B|A)分别表示在另一个事件发生的条件下，A和B发生的概率。
4. 应用举例我们可以通过一个例子来更加深入地理解概率基本定理。
假设有一个班级，其中有20个男生和10个女生。
我们从中随机选择了一个学生。
我们设事件A为选择一名男孩，事件B为选择一名女孩。
现在我们可以用概率基本定理来求得两个事件发生的概率。
P(A) = 20/30 = 0.67P(B) = 10/30 = 0.33假设我们已经选择了一个男孩，现在我们想知道下一个选择是女孩的概率，即事件B在事件A发生的条件下的概率。
我们用P(B|A)来表示这个条件概率。
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (10/30)/(20/30) = 1/2 = 0.5同样的道理，现在我们假设已经选择了一个女孩，现在我们想知道下一个选择是男孩的概率，即事件A在事件B发生的条件下的概率。
我们用P(A|B)来表示这个条件概率。
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (10/30)/(10/30) = 1这个结果也很好理解，因为如果我们已经选择了一个女孩，那么下一个选择只能是男孩，因为班级中的学生都已经被选过了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
刘妍丽主讲
一、课程教材
概率论与数理统计教程， 茆诗松主编， 高等教育出版社
二、主编介绍
茆诗松： 华东师范大学统计系终身教授， 中国统计学 会副理事 魏宗舒： 引入概率统计到中国的先驱之一。84年，与 茆诗松一起，创建了华东师范大学统计学系， 79年，任统计学会干事长。
六、学习方法
课程特点：概念多，公式多，方法多 处理方法：一点一点地吃掉 学习基础：集合论；微积分；排列组合
七、考试
平时成绩：作业、课程练习、提问、考勤 20% 考试成绩：80%
三、参考书
刘婉如，概率与统计，北京：高等教育出版社， 1987
梁之舜，概率论与数理统计，上海：高等教育 出版社，1998 缪铨生，概率与数理统计，上海：华东师范大 学出版社，1996
四、课程重要性
必修课程 考研内容 与经济书课程内容
概率： 随机事件；随机变量（一维，多维）； 大数定律与中心极限定理 统计 研究对象的数字特征—— 统计量；估计（点估计、区间估计）；假设检验 研究对象的相关性—— 回归分析