2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定与性质课时作业理.docx
2019高三数学北师大版理科一轮课件：8-5 直线、平面垂
-13知识梳理 考点自测
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又CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM. 又CD∩BD=D,∴AM⊥平面BCD,即点A在平面BCD上的射影M位于 边BC上时,直线AB与直线CD垂直,故②正确; ③若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD, 从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD 上,这是不可能的,排除③. 故答案为②.
性质 定理
-6知识梳理 考点自测
直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任 意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个 平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平 面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三 个平面.
图形语言
符号语言
l ⊥a l⊥b a⋂b = O ⇒l⊥α a ⫋α b ⫋α
-3知识梳理 考点自测
文字语言 性 质 如果两条直线同垂直于一个平 定 面,那么这两条直线 平行 理
图形语言 符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a
∥b
-4知识梳理 考点自测
2.直线与平面的夹角 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫该直线与此平 π 面的夹角,角的范围是 0, . 2 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作 垂直于 棱的两条射线,这两射线所成的角叫二面角 的平面角. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 直二面角 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就 说这两个平面互相垂直.
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质课件文
角度 2：证明线线垂直 (2017·全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E
为棱 CD 的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC [思路引导] 每个选项都涉及直线 A1E，而其它直线均为面对
如：已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈α，A∉l，直线 AB
∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，
不一定成立的是(D)
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
提示：如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥
l⇒AB∥β，只有 D 不一定成立．
第
八
立体几何
章
第五节
直线、平面垂直的判定与性质
高考概览 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证 明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定 理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[小题速练] 1．下列结论错误的是( ) A．直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直，则 l⊥α B．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂 直于这个平面 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
[解析] 若 α 内无数条直线是平行的，则 l 与 α 不一定垂直．故 A 错．
所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°， 所以 B1F⊥FD.因为 AD∩FD＝D，所以 B1F⊥平面 ADF. 解法二：在 Rt△B1BD 中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以 B1D ＝ BD2＋BB21＝ 10. 在 Rt△B1C1F 中，B1C1＝2，C1F＝1，所以 B1F＝ B1C21＋C1F2 ＝ 5. 在 Rt△DCF 中，CF＝2，CD＝1，所以 DF＝ CD2＋CF2＝ 5. 显然 DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以 B1F⊥FD.∵ AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面 ADF.
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第5讲直线平面垂直的判定与性质
＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M
到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段
BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA，求三棱 锥 Q-ABP 的体积.
图 8-5-3
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
∵BC＝2，∴CC1＝2 2.
则该长方体的体积为 22×2 2＝8 2.
(1)如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.正确. (2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面α 内. (3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交、 l∥α. 答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 自主练习 1.如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC； ②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是 __________.
【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定 理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往 往结合平面几何知识.
(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的 证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的 证明有时需要利用平面几何条件.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.
由(1)B1C1⊥平面 A1AMN，
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质教案 理(含解析)
【第5讲直线、平面垂直的判定及性质】之小船创作基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定定理(2)直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理(2)平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是( )A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、垂直或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n答案B解析对于A，m可以在β内，故A错误；对于C，n 可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错误．4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC答案C解析解法一：如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错误．故选C.解法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0，0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，∴A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，12，－1，DC 1→＝(0,1,1)，BD →＝(－1，－1，0)，BC 1→＝(－1,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，∴A 1E →·DC 1→≠0，A 1E →·BD →≠0，A 1E →·BC 1→＝0，A 1E →·AC →≠0，∴A 1E ⊥BC 1.故选C.5．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线CA 上D ．△ABC 内部 答案 A解析 ∵CA ⊥AB ，CA ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴CA ⊥平面ABC 1.∴平面ABC ⊥平面ABC 1.∴过C 1作垂直于平面ABC 的直线在平面ABC 1内．∴H ∈AB .6．(2019·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案3解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的判断例1 (1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是( )A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面α斜交或平行的直线，故选A.(2)(2019·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA 垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ) A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案D解析依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN 与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC 与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC ⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，D 正确．故选D.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．2善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了.3要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.即时训练 1.(2018·北京东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案B解析因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D 错误．故选B.2．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AH ⊥平面EFHB ．AG ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF答案 A解析 由平面图形得AH ⊥HE ，AH ⊥HF ，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面HEF ，故选A.考向二 直线与平面垂直的判定与性质角度1 利用线线垂直证明线面垂直例2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解 ①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，AC ∩OB ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH⊥OM，垂足为H.又由①可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.在△OCM中根据余弦定理可求得OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM ＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.①求证：BD⊥平面A1ACC1；②若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A－BCB1的体积．解①证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，∵E为AB1的中点，∴D为AC的中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，又∵A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1.②由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由①知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴VA －BCB 1＝VB 1－ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12× 1＝16.角度2 利用线面垂直证明线线垂直例3 (1)(2019·四川模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将△DAE 向上折起，D 变为D ′，且平面D ′AE ⊥平面ABCE .①求证：AD ′⊥EB ；②求点E 到平面ABD ′的距离．解 ①证明：∵AE ＝BE ＝22，AB ＝4， ∴AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AE ⊥EB .取AE 的中点M ，连接MD ′，则AD ′＝D ′E ＝2⇒MD ′⊥AE ，∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ，MD ′⊂平面D ′AE ， ∴MD ′⊥平面ABCE ，∴MD ′⊥BE ，AE ∩D ′E ＝M ， 从而EB ⊥平面AD ′E ，∴AD ′⊥EB .②由①知MD ′⊥平面ABCE ，且MD ′＝2，S △AEB ＝4， 易知BM ＝10，BD ′＝23，AD ′＝2，AB ＝4，S △ABD ′＝2 3.设点E 到平面ABD ′的距离为d ，由V E －ABD ′＝V D ′－ABE ，得13×23d ＝13×2×4，∴d＝26 3.(2) (2019·江苏模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：①MN∥平面ABB1A1；②AN⊥A1B.证明①取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PM∥BC，且PM＝12 BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1.因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N且PM＝B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.②因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.又因为∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，而AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面垂直的性质.即时训练3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN ⊥AD，∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P －NBM ＝V M －PNB ＝23V C －PNB ＝23×13×32×2＝23.4．(2017·全国卷Ⅲ) 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．解 (1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，又BD ⊂平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.考向三 面面垂直的判定与性质例4 (1)(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．①证明：平面AMD ⊥平面BMC ；②在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．解 ①证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . ②当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD .证明如下：连接AC 交BD 于O .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点，所以MC ∥OP . 又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD .(2)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.①证明：平面PAC⊥平面PCE；②若∠ABC＝60°，求三棱锥P－ACE的体积．解①证明：如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OF∥PA，且OF＝12 PA.因为DE∥PA，且DE＝12 PA，所以OF∥DE，且OF＝DE，所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.②解法一：因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.所以S△PAC＝12PA×AC＝2.因为EF⊥平面PAC，所以EF是三棱锥E－PAC的高．易知EF＝DO＝BO＝3，所以三棱锥P－ACE的体积V三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥E －PAC ＝13S △PAC ×EF ＝13×2×3＝233. 解法二：因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ACD 为等边三角形．取AD 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AD ，且CM ＝ 3. 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CM ，又PA ∩AD ＝A ， 所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C －PAE 的高． 易知S △PAE ＝2，所以三棱锥P －ACE 的体积V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥C －PAE ＝13S △PAE ×CM ＝13×2×3＝233.触类旁通在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.即时训练 5.(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1. 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.。
19届高考数学一轮复习第八章立体几何8.5直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教B版
考点 3
平行与垂直的综合问题(多考向)
考向一 平行与垂直关系的证明
例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F 在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么?
-6知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
(2)平面与平面垂直的判定定理及性质定理:
文字语言 判 定 定 理 性 质 定 理 如果一个平面过另一个 平面的一条 垂线 ,则 两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直 于它们 交线 的直线 垂直于另一个平面 图形语言 符号语言
l⊥ α l⊂β
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论:
文字语言 判 如果一条直线与平面内的 定 两条相交直线 垂直, 定 则这条直线与这个平面垂直 理 推 如果在两条平行直线中,有一 论 条垂直于平面,那么另一条直 1 线也 垂直于 这个平面 推 如果两条直线垂直于同一个平 论 面,那么这两条直线平行 2
-15考点1 考点2 考点3
(2)解 因为 BF⊥平面 ACK,所以∠BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角. 在 Rt△BFD 中,BF=√3,DF= , 得 cos∠BDF=
√21
3 2
7
,
√21
所以,直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为
7
.
-16考点1 考点2 考点3
解题心得1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是 利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条 垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明 线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的 高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的 圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度, 经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质课件文
教材研读
总纲目录
1.直线与平面垂直 2.直线与平面所成的角
3.二面角的有关概念 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
考点突破
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
考点二 面面垂直的判定与性质
考点三 平行与垂直的综合问题
教材研读
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 直线l与平面α内的① 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面α互相 垂直.
又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
方法技巧 (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直 的性质. (2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于 线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思想.
1-1 (2016北京丰台一模)已知在△ABC中,∠B=90°,D,E分别为边BC, AC的中点,将△CDE沿DE翻折后,使之成为四棱锥C'-ABDE(如图). (1)求证:DE⊥平面BC'D; (2)设平面C'DE∩平面ABC'=l,求证:AB∥l;
∵ S C =' D F =C ' F , 1
S BDF F B λ
∴S△C'DF= λ
0
,
2
.
3.二面角的有Βιβλιοθήκη 概念(1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分 别作 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角.
4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
⑧⑨⇒ a∥ab b
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第八章 立体几何 直线、平面垂直的判定与性质
§8.5 直线、平面垂直的判定与性质考纲展示►1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直（1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：答案:(1）任意一条(2)两条相交直线a，b⊂αa∩b＝O l⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α（1）[教材习题改编]下列命题中不正确的是（)A．如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A（2）[教材习题改编］如图，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案:4［典题1］（1）［2017·上海六校联考］已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β［答案］C［解析］由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．（2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB ⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.［证明] ①在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC。
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE。
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第5讲直线、平面垂直的判定与性质
知龍训练
1.（2015年浙江）设 a , 0是两个不同的平面，厶/〃是两条不同的直线，且/ u a,
冰=0,（）
A.若/丄0,贝IJ。
丄〃
B.若。
丄0,则/丄刃
C.若1// 0，贝lj a〃0
D.若则l//m
2.（2017年江西南吕二模）已知直线刃，〃与平面ci, 0, 丫满足a丄0, aQ0=/〃,
/?丄Q,刀u y,则下列判断一定正确的是（）
A.m// y, a丄丫
B.刀〃〃，a丄孑
C. B 〃 Y，。
丄丫
D. 〃7 丄刀，Q丄丫
3.如图X8-5-1,在正四面体P-ABC屮，D, E,尸分别是個BC,必的屮点，下面四个结论不成立的是（）
A. BC//平面PDF
B. M丄平面刊去
C.平面/彷'丄平面B4F
D.平面/%於丄平面血农
4.如图X8-5-2,在正方形肋G?中,E, F分别是比和〃的中点，G是肪的中点，现在沿着和力尸及防把正方形折成一个四面体，使屈C,〃三点重合，重合后的点记为〃,
那么，在四面体A-EFII中必有（)
----------------- Q
图X8-5-2
A. AH1HEFH所在平面
B.AG丄\ EFH所在平面
C.胪丄防所在平面
D.%丄△弭矿所在平面
5.如图X8-5-3,在正三棱柱ABC-A^Q中，若AB=2, M = l,则点力到平面的距离为（）
图X8-5-3
A.乎
B.芈Dp
4 2 4 v
6.如图X8-5-4在三棱锥P-ABC屮，已知必丄底面肋C, ABLBQ E,厂分别是线段％〃上的动点，则下列说法错误的是（）。