南师附中10月考数学卷+解析
江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校24-25学年七年级上学期10月月考数学试卷(解析版)
江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2024-2025学年七年级上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）1. 2的相反数是（ ）A. -2B. +2C. 12D. -2 【答案】A【分析】根据绝对值相同，符号相反的两个数，叫做相反数可知，2的相反数是−2【详解】2的相反数是−2故答案选A【点睛】考查相反数的定义2. 我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是A. 6.75×103吨B. 67.5×103吨C. 6.75×104吨D. 6.75×105吨 【答案】C【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×104．故选C ．3. 下列各数中，与2-3相等的是（ ）A. 32-B. ()32−C. ()23−D. ()23−− 【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方计算法则算出2-3的值，然后分别算出四个选项的值即可得到答案．【详解】解：293=−-，A 、382=−-，故此选项不符合题意；B 、()32=8−−，故此选项不符合题意；C 、()23=9−，故此选项不符合题意；D 、()2=93−−−，故此选项符合题意．故选：D ．4. 下列说法正确的个数有：（ ）①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零；③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有1±；A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数的定义．根据相关定义逐个判断即可．【详解】解：①相反数是它本身的数是0，故①正确，符合题意；②零除以除零外的任何一个数都为零，故②不正确，不符合题意；③绝对值是它本身的数是0和正数，故③不正确，不符合题意；④倒数等于本身的数有1±，故④正确，符合题意；综上：正确的有①④，共2个，故选：C ．5. -a 、b 两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ）A. a ＞0，b ＜0B. a ＜bC. a a =−，b b =−D. a ＞b【答案】C【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置确定a ，b 的符号，及绝对值的大小，即可求解．【详解】根据数轴得到0b a <<−，且b a >，∴0b a a <<<−，A 、0a <，0b <，故该选项错误；B 、b a <，故该选项错误；C 、a a =−，b b =−，故该选项正确；D 、b a >，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，数轴上的数右边的数总是大于左边的数的特点．6. “强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下44×网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（ ）A. 强B. 国C. 有D. 我【答案】B 【分析】本题考查了“数独”填字游戏，主要使用了：①唯一候选数法；②唯一数法；③排除法；④摒除法等技巧．解题的关键是综合运用这些技巧来填字．【详解】根据题意★处应填的汉字是“国”．如下图．故选：B ．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）7. 如果收入200元记作+200元，那么支出150元，记作_____元．【答案】-150【详解】试题分析：在一对具有相反意义的量中，规定其中一个是正，则另一个是负，所以是-150 考点：正数 负数点评：解题关键是理解正和负的相对性．8. 化简：()4−+=______ 【答案】4−【分析】根据相反数的化简多重符号内容进行解答即可．【详解】解：()44−+=−，故答案为：4−．【点睛】本题考查了相反数的化简多重符号，正确理解()4−+是指4−的相反数是解题的关键．9. 比较大小：23−_____67−．（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先求两数绝对值，再比较两数绝对值大小即可得出答案． 【详解】解：∵2233−=，6677−= 又∵2637<， ∴2637−>−， 故答案为：>．【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数大于零，零大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．10. 计算2﹣（﹣3）×4的结果是_____．【答案】14【分析】原式先计算乘法运算，再计算减法运算即可求出值．【详解】原式=2﹣（﹣12）=2+12=14．故答案为14．11. 一个数为﹣5，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为__．【答案】4．【详解】试题解析：∵-5的相反数为5，∴5+4=9，∴这两数的和为-5+9=4． 12. 在4311,(5),0, 1.212112111,(23)3−−−+−−−，这6个有理数中，非负有理数为____________． 【答案】1(5),03−−+−， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数乘方运算，求一个数的绝对值，根据非负有理数为正有理数和0，进行解答即可．【详解】解：411−=−，()55−−=，1133+−=，()3231−=−， ∴在4311,(5),0, 1.212112111,(23)3−−−+−−−，这6个有理数中，非负有理数为： 1(5),03−−+−，． 故答案为：1(5),03−−+−，． 13. 在﹣0.4217中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是_____．【答案】2【详解】解：可能是﹣0.3217，﹣0.4317，﹣0.4237，﹣0.4213，∵|﹣0.4317|＞|﹣0.4237|＞|﹣0.4213|＞|﹣0.3217|，∴﹣0.4317最小，即被替换的数字是2．故答案为：2．14. 若,a b 互为相反数,,c d 互为倒数，则()20242a b cd +−=____________． 【答案】2−【分析】本题考查了相反数和倒数，求代数式的值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数．根据题意得出0,1a b cd +==，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵,a b 互为相反数,,c d 互为倒数，∴0,1a b cd +==， ∴()2024220240212a b cd +−=×−×=−， 故答案为：2−．15. 如果m 是一个负数，那么①()m −−，②1m −，③1m −，④||m m +，⑤2m −这5个数中，一定是负数的数是____________．（填序号）【答案】①③⑤【分析】本题考查了绝对值的定义，以及有理数运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识，直接利用绝对值的定义结合有理数的相关运算法则，逐项判断，即可解题．【详解】解：m 是一个负数，m −是一个正数，则①()m m −−=负数，②()11m m −=+−为正数，③1m −为负数，④||0m m m m +=−=既不是正数，也不是负数，⑤2m −为负数，所以一定是负数的数是①③⑤，故答案为：①③⑤．16. 幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将﹣2，﹣4，﹣6，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x +y 的值为 ________．【答案】﹣10或5【分析】由于八个数的和是126，横、竖的和也是6，由此列等式可得结论．【详解】解：设小圈上的数为c ，大圈上的数为d ，∵﹣2+（﹣4）+（﹣6）+0+3+5+7+9＝12，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是6，横、竖的和也是6，∴则0+c +5+3＝6，得c ＝﹣2，﹣2+7+5+y ＝6，得y ＝﹣4，x +（﹣4）+7+d ＝6，得x +d ＝3，∵当x ＝﹣6时，d ＝9，则x +y ＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，当x ＝9时，d ＝﹣6，则x +y ＝9+（﹣4）＝5．故答案为：﹣10或5．【点睛】本题主要考查了有理数的加减，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键在于能够根据题意得到两个圈的和是6，横、竖的和也是6．三、解答题（本大题共8小题，共68分）17. 计算：（1）12(18)−−；为（2）24(3)5(2)6×−−×−+；（3）137(36)249−+−×− ；（4）()421(10.5)(3)23 −+−÷−×−− ．【答案】（1）30 （2）52（3）19 （4）16【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．（1）根据有理数减法运算法则进行计算即可；（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：12(18)121830−−=+=；【小问2详解】解：24(3)5(2)6×−−×−+49106=×++36106=++52=；【小问3详解】 解：137(36)249−+−×−()()()137363636249=−×−+×−−×−182728=−+19=；【小问4详解】解：()421(10.5)(3)23 −+−÷−×−−()1112923 =−+×−×− ()1176 =−+−×− 761=−+ 16=． 18. 若5,3a b ==，若a b a b +=+，求b 的a 次方的值． 【答案】243±【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的意义，求出,a b 的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵5,3a b ==， ∴5,3a b =±=±， ∵0a b a b +=+≥，∴5,3a b ==±，∴53243a b ==或()53243a b =−=． 19. 对有理数a ，b 规定新运算“⊗”：2a b ab ⊗+，如2(1)2(1)20⊗−=×−+=．（1）计算：()45⊗−，()54−⊗；（2）交换律在这种新运算中成立吗?如果成立，请用字母表示，如果不成立，请举例说明（3）结合律在这种新运算中不成立，请举例说明．【答案】（1）18−，18−（2）成立，a b b a ⊗=⊗（3）见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，以及新定义．解题的关键在于定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．（1）根据题干运算法则和有理数加减乘除混合运算法则计算，即可解题；（2）由（1）可知，交换律在这种新运算中成立，利用字母表示即可；（3）举出例子()452 ⊗−⊗ 与()452 ⊗−⊗ ，分别求出它们的结果，比较大小即可求解（例子有理即可，不唯一）．【小问1详解】解：()()4545220218⊗−=×−+=−+=−； ()()5454220218−⊗=−×+=−+=−； 【小问2详解】解：由（1）可知，交换律在这种新运算中成立，2a b ab ⊗+，2b a ab ⊗+，即a b b a ⊗=⊗；【小问3详解】解：()452 ⊗−⊗ 与()452⊗−⊗ ， ()452 ⊗−⊗()4522 =×−+⊗182=−⊗1822=−×+362=−+34=−；()452 ⊗−⊗()4522 =⊗−×+()48=⊗−()482=×−+322=−+30=−；3430−≠− ，∴结合律在这种新运算中不成立．20. 如图是一个“数值转换机”（箭头是指某数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．（1）当小明输入4，7这两个数时，两次输出的结果依次为________，________；（2）当输入的数为________时（写出2个），其输出结果为0；（3）这个“数值转换机”不可能输出________数．（4）若输出的结果是2，小明输入的正整数是________．（用含自然数n 的式子表示）． 【答案】（1）1；2 （2）0、5（3）负 （4）52n +【分析】（1）分别将4、7代入数值转换机，按程序计算即可得出结果；（2）令输出结果为0，通过逆向运算，即可求解；（3）根据一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，可知输出结果不可能是负数；（4）根据所给程序图，结合小明输入的数字为正整数，即可求解．【小问1详解】解：当输入的数字为4时，42>，得到()451+−=−，12−<，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；当输入数字为7时，72 ，得到()752+−=， 得到相反数为2−，绝对值为2，输出结果为2；因此当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为1，2．【小问2详解】解：由所给程序图可知，输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可）时，其输出结果为0；【小问3详解】解：一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，因此这个“数值转换机”不可能输出负数；【小问4详解】解：由所给程序图可知，当输入数字为52n +（n 为自然数）时，输出的结果是2，因此小明输入的正整数为52n +．【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，涉及有理数的加法、倒数、绝对值、相反数等知识点，看懂所给的程序流程图是解题的关键．21. 阅读理解根据下列各式，回答问题：①221129209×=−；②221228208×=−；③1327×=________； ④221426206×=−；⑤221525205×=−；⑥221624204×=−；⑦1723×=________； ⑧221822202×=−；⑨221921201×−；⑩222020200×=−；（1）把③式写成22“（ ）-（ ）”的形式． （2）把⑦式写成22“（ ）-（ ）”的形式． （3）若乘积的两个因数分别是m 和(,n m n 为正数且)m n <，请直接写出m 与n 的积．【答案】（1）22207−（2）22203−（3）2222m n m n mn n ++ =−−【解析】【分析】本题主要考查了数字规律探索，用字母表示规律，解题的关键是根据已知给出的等式总结得出一般规律．（1）根据题目中给出的等式得出规律进行解答即可；（2）根据题目中给出的等式得出规律进行解答即可；（3）根据题干中的等式总结一般规律：两个因数的乘积等于两个数平均数的平方减去较大的数与平均数之差的平方，用m 、n 表示出此规律即可．【小问1详解】解：根据题目中等式可知：③221327207×=−；【小问2详解】解：根据题目中等式可知：⑦221723203×=−；【小问3详解】解：根据题干中等式可知：等式右边为左边两个数平均数的平方减去较大的数与平均数之差的平方，∴当乘积的两个因数分别是m 和(,n m n 为正数且)m n <时，2222m n m n mn n ++ =−−． 22. 现有5张卡片写着不同的数，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数只能用一次）：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是_________；差的最小值为_________；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最大，这2张卡片是______；则商的最大值为______；（3）从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数的乘积最小，这3张卡片是_______；则乘积的最小值为_______；（4）从中取出乘积为较大负数的4张卡片，使这4张卡片上的数的运算结果为24．写出3个不同的算式，分别为_________，_________，_________．【答案】（1）6−，5；11−（2）6−，1−；6（3）6−，2，5；60− （4）()()()312624−×−×−−=；()()()316224−−−×−×= ；()()312624−−−+×−= 【解析】【分析】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．（1）根据图中卡片上的数字，结合有理数减法运算法则，列式进行计算即可；（2）根据图中卡片上的数字，结合有理数除法运算法则，列式进行计算即可；（3）根据图中卡片上的数字，结合有理数乘法运算法则，列式进行计算即可；（4）根据乘积为较大负数的4张卡片为6−、1−、3−、2，然后根据有理数四则混合运算法则，写出等式即可．小问1详解】解：这五个数中，最小的两个数是6−，最大的数是5，因此从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是6−，5，差的最小值为−−=−6511； 【小问2详解】解： 取出6−和1−，相除得()()616−÷−=． 所以商的最大值为6；【小问3详解】解：取出6−，2，5，则乘积的最大值为()62560−××=−． 【小问4详解】解：从中取出乘积为较大负数的4张卡片为6−、1−、3−、2，则：()()()312624−×−×−−=， ()()()316224−−−×−×=， ()()312624−−−+×−=． 23. 对于有理数,,,,x y a t 若||||x a y a t −+−=，则称x 和y 关于a 的“友谊数”为t ，例如，|21||31|3−+−=，则2和3关于1的“友谊数”为3．（1）1−和5关于4的“友谊数”为_________；（2）若2k 和1关于3的“友谊数”为4，求k 的值；（3）若0x 和1x 关于1的“友谊数”为11,x 和2x 关于2的“友谊数”为21,x 和3x 关于3的“友谊数”为1001,,x 和101x 关于101的“友谊数”为1, ；①01x x +的最大值为_________；②123100x x x x ++++ 的最小值为_________．【答案】（1）6 （2）52k =或12k = （3）①3；②5050【解析】【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可；（2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可；【（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可．小问1详解】解：1−和5关于4的“友谊数”为：1454516−−+−=+=；【小问2详解】解：∵2k 和1关于3的“友谊数”为4， ∴23134k −+−=， ∴232k −=， ∴232k −=±， 解得：52k =或12k =； 【小问3详解】解：①∵0x 和1x 关于1的“友谊数”为1， ∴01111x x −+−=， ∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴002x ≤≤，102x ≤≤，∴当0x ，1x 均在12x ≤≤上时，01x x +取最大值，且最大值为3； ②由题意可知：12221x x −+−=， ∴1213,13x x ≤≤≤≤，∴当1x ，2x 均在12x ≤≤上时，12x x +取最小值，且最小值123+=；34441x x −+−=，∵3435,35x x ≤≤≤≤∴当3x ，4x 均在34x ≤≤上时，34x x +的最小值为347+=； 同理，56661x x −+−=，56x x +的最小值为5611+=；【78881x x −+−=，78x x +的最小值7815+=；99100100401x x −+−=，99100x x +的最小值99100199+=；∴123100x x x x +++…+最小值为： ()31995037111519950502+×++++…+==．【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．24. 【问题背景】七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：()()()()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为1−；小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：()()1,3,5,7,9,11,2,4,6,8,10,12，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了；（1）小薇、小娟同学的办法是否可行？如果可行，请你写出一种添加的结果；如果不可行，请说明理由；【拓展延伸】（2）在1，2，3，4，…，2026，2027共2027个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2034，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由．【答案】（1）小微的方法可行，小娟的方法不可行，理由见解析；（2）能，理由见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．（1）根据小薇的法，适当添加正负号，即可解答；根据几个偶数的和不可能等于奇数，即可判断小娟的方法．（2）根据题意得出一共有1013个偶数，1014个奇数，偶数个奇数的和是偶数，偶数个偶数的和是偶数，的且偶数+偶数=偶数，将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为()()()()1,2,3,4,5,6,7,8……()2021,2022，()2023,2024，()2025,2026，使其中503组结果为1−，剩下510组 结果为1，即可解得．【详解】解：（1）小薇：()()()()()()1234567891011120−+−++−+−++−+−+=， ∴小微的方法可行，小娟：∵2468101242+++++=，∴要是6个偶数和为0，则要使其中一部分偶数和为21，∵偶数的和仍未偶数，∴小娟的方法不可行；（2）在1，2，3，4，…，2026，2027中，一共有1013个偶数，1014个奇数， ∵偶数个奇数的和是奇数，偶数个偶数的和是偶数，且偶数+偶数=偶数，∴能它们的和为2034，将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为()()()()1,2,3,4,5,6,7,8……()2021,2022，()2023,2024，()2025,2026，使其中503组结果1−，剩下510组 结果为1，则这2027个数的和为150320272034−×++=．为。
2023-2024学年度第一学期南京七年级数学10月份月考模拟训练试卷(原卷+答案解析)
2023-2024学年度第一学期南京七年级数学10月份月考模拟训练试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1.中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章， 在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出100元记作100−元，那么80+元表示（ ）A ．支出80元B ．收入80元C ．支出20元D ．收入20元2．如图，如果点A 表示的数为﹣2，那么点B 表示的数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．3D ．43．港珠澳大桥全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为（ ）A ．35.510×B ．35510×C ．45.510×D ．55.510×4．如果0a b +>，且0ab <，那么（ ）A ．0a >，0b >B ．a<0，0b <C ．a ，b 异号，且正数的绝对值大D ．a ，b 异号，且负数的绝对值大5．如果||a a =，那么a 是（ ）A ．0B ．0和1C ．正数D ．非负数（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥时差/时 13− 7− 1+ 14−如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（ ）A ．9月10日21时B ．9月12日4时C ．9月11日4时D ．9月11日2时7．茜茜做了以下4道计算题：①()202012020−=−；②111236−+=；③()011−−=−；④11122 ÷−=− ， 请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）A ．1题B ．2题C ．3题D ．4题8．若a 、b 为有理数，a<0，0b >，且a b >，那么a ，b ，a −，b −的大小关系是（ ）A ．b a b a −<<<−B ．b b a a <−<<−C ．a b b a <−<<−D ．a b b a <<−<−8．计算3的正数次幂，30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，… 观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．910．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件:10a =，211a a =−+，322a a =−+，433a a =−+，．．．，依次类推，则a 2020的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．-2019D ．-2020二、填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）11．比较大小：49．（填“>”、“=”或“<”） 12．给出下面一列数：1，1，1−，0，1，1，1−，0，……则第2016个数是 ．13．数轴上的A 点与表示2−的点距离3个单位长度，则A 点表示的数为 ．14．已知a ，b 为有理数，且|1||2013|0a b ++−=，则b a = ． 15.某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃， 则这天夜间的温度是 ℃16．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x ＝﹣1，则最后输出的结果是 ．17.某公交车原坐有22人，经过站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），则车上还有 人．18.如图，数轴上点A 、B 表示的数分别是a 、b ， 则化简 a －| b |＋ | a - b | 的结果是 ．三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）19．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，－3，2.4，34−，0，－3.14， 29− 正数：{ …} 非负整数：{ …}整数：{ …} 负分数：{ …}20．在数轴上表示下列数，并用“<”号把这些数连接起来．()22−，－132，－1，0，2− 21．计算：(1)8(10)(2)(5)+−+−−−； (2)413917575−+−+ ； (3)()()12733−÷−×； (4)()157362912 −+×−．22.某检修小组从A 地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次－3 +8 －9 +10 +4 －6 －2（1）求收工时距A 地多远？（2）在第________次纪录时距A 地最远．（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，问检修小组工作一天最后回到A地共需汽油费多少元？23.如图，点A、B在数轴上表示的数分别为12−和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．24.已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10。
江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月学情调研测试数学试题(解析版)
南师附中2023—2024高一年级10月学情调研测试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}220A x x x =−−≥，{}1,0,1,2,3B =−，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,0,1,2−C. {}2,3D. {}1,2,3−【答案】D 【解析】【分析】将集合A 进行一元二次不等式化简然后与集合B 取交集即可. 【详解】(][),12,A =−∞−+∞，{}1,0,1,2,3B =−，则{}1,2,3A B =−，故选：D.2. 命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是（ ） A. 2x ∃≤，2280x x +−≤ B. 2x ∀>，2280x x +−> C. 2x ∃≤，2280x x +−> D. 2x ∃>，2280x x +−>【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是：2x ∃≤，2280x x +−≤. 故选：A .3. 已知集合{}20,21,31A a a a =+++，若1A −∈，则实数a ＝（ ）A. －1B. －2C. －3D. －1或－2【答案】B 【解析】【分析】根据1A −∈，便有211a +=−或2311a a ++=−，对于每种情况求出a 的值，代入集合A 中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a 的值． 【详解】1A −∈，211a ∴+=−或2311a a ++=−．①当211a +=−时，1a =−，此时2311a a ++=−，与集合的互异性矛盾，舍去；②当2311a a ++=−时，1a =−或2a =−，2a =−时213a +=−，满足条件，1a =−时，211a +=−，与集合的互异性矛盾，舍去， 综上可知2a =−． 故选：B ．4. 已知：0,0,1,a b a b >>+=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B. ab 有最小值14C.11a b+有最大值4 D.11a b+有最小值14【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得14ab ≤和114a b+≥，即可判断. 【详解】0,0,1a b a b >>+=，2a b ab ∴+≥1ab ≤，可得14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立， ∴ab 有最大值14，故A 正确，B 错误； ()11112224b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即12a b ==时等号成立， ∴11a b+有最小值4，故CD 错误. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 设x ，R y ∈，则“2x y +=”是“1x =且1y =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件概念求解即可.【详解】2x y +=不能推出1x =且1y =，1x y ==能推出2x y +=， 所以2x y +=是1x =且1y =的必要不充分条件. 故选：B6. 已知集合**46x xM x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N N 且，集合24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A. MNB. M N ⊆C. *24x M N x ⋅⎧⎫⎪⎪⋂=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N D. 12xM N x⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】根据4和6最小公倍数为12，得*N 12xM x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，而Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，易得两集合之间关系. 【详解】*N 4x ∈,且*N 6x ∈,*N 12x∴∈,*N 12x M x ⎧⎫∴=∈⎨⎬⎩⎭∣，又Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣， 则集合M 中的元素应为12的正整数倍,集合N 中的元素为24的整数倍,故{12M x x k ==∣,}{}*,24,k N x x k k ∈==∈N Z ∣.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则M N ⋂*24x x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ∣ 故A,B 错误，对D 选项，若12x =−，则此元素既不在集合M 中，也不在集合N 中，故D 错误， 故选：C.7. 已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ab bc >B. 22ab b c >的C. ()()0ab ac b c −−>D. ()()0ac bc a c −−>【答案】C 【解析】【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．【详解】由题意可知0a >，0c <.当0b =时，220ab bc ==，220ab b c ==，则排除A ，B ； 因为b c >，0a >， 所以ab ac >， 所以0ab ac −>. 因为b c >， 所以0b c −>，所以()()0ab ac b c −−>，则C 一定成立； 因为a b >，0c <， 所以ac bc <， 所以0ac bc −<. 因为a c >， 所以0a c −>，所以()()0ac bc a c −−<，则排除D. 故选：C ．8. 已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（ ）A. 3B. 9C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a ，b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭4441529a a b a a ba b a a b a++=+++≥+⋅=++，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立. 故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设{}28150A x x x =−+=，{}10B x ax =−=，若AB B =，则实数a 的值不可以为（ ）A.15B. 0C. 3D.13【答案】C 【解析】【分析】先求出集合{}3,5A =，再结合题目条件，分,B B =∅≠∅两种情况讨论，即可确定实数a 的值. 【详解】由题，得{}{}281503,5A x x x =−+==，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，10ax −=无解，此时B =∅，满足题意； 当0a ≠时，得1x a =，所以13a =或15a =，解得13a =或15a =，综上，实数a 的值可以为110,,35，不可以为3. 故选：C10. 已知集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B ⋂=∅的一个充分不必要条件是（ ） A. 2m ≤− B. 2m <−C. 2m <D. 43m −<<−【答案】BD 【解析】【分析】由A B ⋂=∅可得2m ≤−，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+， 所以A B ⋂=∅等价于11m +≤−即2m ≤−， 对比选项，2m <−、43m −<<−均为A B ⋂=∅充分不必要条件.故选：BD.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.11. 若0a b <<，且0a b +>，则（ ） A.1ab>− B.110a b+> C. a b <D. ()()110a b −−<【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可【详解】A 选项：∵0a b <<，且0a b +>， ∴0b a >−>，可得01ab<−<，即10a b −<<，A 正确；B 选项，110a ba b ab++=<，B 错误； C 选项，0a b <<即a a =−，b b =，由0a b +>可得b a >，C 正确； D 选项，因为当11,32a b =−=，所以()()110a b −−>，D 错误. 故选：AC.12. 下列关于二次函数()221y x =−−的说法正确的是（ ）A. x ∀∈R ，()2211y x =−−≥B. 1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−< C. 1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−= D. 12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−− 【答案】BD 【解析】【分析】由于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1，再根据对特称命题和全称命题的理解，即可判断得出答案.【详解】解：对于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1， 所以x ∀∈R ，()2211y x =−−≥错误，故A 错误；所以1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−<正确，故B 正确； 所以1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−=错误，故C 错误；所以12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−−正确，故D 正确. 故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则A B ⋃=______. 【答案】(]1,2− 【解析】【分析】根据并集运算性质求解即可.【详解】集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则{}|12A B x x =−<≤.故答案为：(]1,2−14. 设A ，B 是两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B −=∈∉且，若{}05A x N x =∈≤≤，{}27100B x x x =−+<，则A B −=______.【答案】{}0,1,2,5 【解析】【分析】先得集合,A B ，再根据A B −的定义求解即可.【详解】因为{}{}N 050,1,2,3,4,5A x x =∈≤≤=，{}()271002,5B x x x =−+<=，由新定义得{}0,1,2,5A B −=， 故答案为：{}0,1,2,5.15. 已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,−+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________. 【答案】()3,0− 【解析】【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由0ax b +>的解集为()3,−+∞， 可得0a >，且方程0ax b +=的解为3−， 所以3ba−=−，则3b a =， 的所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒−<<， 即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0−. 故答案为：()3,0−.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为________． 5 【解析】【详解】试题分析：由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．四、解答题（本大题共4小题.解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =−+−−=． （1）当1a =时，求A B ⋃； （2）若{}3AB =−，求a 的值．【答案】（1）{}3,1,3A B ⋃=−−；（2）3−． 【解析】【分析】(1)求出集合A ，把1a =代入求出集合B ，再利用并集的定义即可求解； (2)由已知可得3B −∈，把3x =−代入集合B 的约束条件求出a ，再验证即可得解. 【详解】（1）依题意，{}{}24303,1A x x x =++==−−，当1a =时，{}{}22301,3B x x x =−−==−，所以{}3,1,3A B ⋃=−−； （2）因为{}3AB =−，则3B −∈，于是得()()2232330a a a −−⨯−+−−=，即2560a a ++=，解得2a =−或3a =−，当2a =−时，{}{}24303,1B x x x =++==−−，则{}3,1AB =−−，不符合题意，当3a =−时，{}{}26903B x xx =++==−，则{}3AB =−，符合题意，综上得，a 的值是3−.18. 已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =−≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a取值范围.【答案】（1）{}24x x −≤<；（2）(,2]−∞ 【解析】【详解】试题分析;（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 试题解析;(1)当3a =，{|47}P x x =≤≤，{|47}R C P x x x ∴=或,(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂−≤≤=−≤<或.（2）①当P φ=时，满足P Q ⊆有21a a +<+1，即0a <的,②当P φ≠时，满足P Q ⊆，则有21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥−⎩，02a ∴≤≤综上①②a 的取值范围为(],2−∞ 19. 若,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=. （1）求xy 的取值范围； （2）求x y +的取值范围.【答案】（1）180xy ≤<；（2）82330x y −≤+<. 【解析】【分析】（1）结合基本不等式整理得()2308xy xy −≥，当且仅当2x y =时取等号，再根据已知的范围即可得答案；（2）由于21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，故只需解2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥并结合已知条件求解即可.【详解】解：（1）因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=， 所以30222xy x y xy −=+≥，当且仅当2x y =时取等号， 整理得：()2308xy xy −≥，解得：18xy ≤或50x ≥， 又因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=，所以030xy <<， 所以180xy ≤<. （2）因为,(0,)x y ∈+∞，21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y +=时取等号，所以2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥，解可得，1822x y ++≥或1822x y ++≤−（舍）， 故823x y +≥−.又因为230x y xy ++=，所以82330x y ≤+<.20. 已知关于x 的函数212y x x =−和22416y x =−.（1）若12y y ≥，求x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()21222y t x t y ≥−−≥（其中02t <≤）的解集[],D m n =，求证：15n m −≤【答案】（1）[]22−,【解析】【分析】（1）转化为232160x x +−≤求解；（2）讨论01t <<，1t =，12t <≤，求解()21222y t x t y ≥−−≥，判断15n m −≤.【小问1详解】12y y ≥可得222416x x x −≥−，即232160x x +−≤， 即()()2380x x −+≤，即823x −≤≤，则22x −≤≤， 则实数x 的取值范围是[]22−,； 【小问2详解】因为()21222y t x t y ≥−−≥，所以12y y ≥，由（1）知[]2,2x ∈−，所以[][],2,2D m n =⊆−（i ）01t <<时，当[0,2]x ∈时，()()()22222212222202x x t y x t x tx t t t x x t −−⎡⎤−=−−−+=−+=−≥⎣⎦， 所以当[0,2]x ∈时，()2122y t x t ≥−−恒成立，当[2,0)x ∈−时，令()()2122g x y t x t =−−⎡⎤−⎣⎦()()222222242x x t x t x t x t =+−−+=+−+()y g x =对称轴21x t =−<−，故()y g x =在[1,0)−上为增函数，又()()221124140g t t t −=+−+=+−<，()200g t =>， 所以存在()01,0x ∈−使得0()0g x =故()0g x ≥的解集为[]0,0x ，所以当[]2,2x ∈−时，()2122y t x t ≥−−的解集为[]0,2x ，其中()01,0x ∈− 所以[],(1,2]D m n =⊆−，则315n m −<<（ii ）当1t =时，121y y ≥−≥， 因为()221211y x x x =−=−−，所以11y ≥−恒成立， 由题意知21y −≥的解集为[],D m n =，所以,m n 是方程21416x −=−的两根， 所以1515,22n m ==−，所以15n m −= （iii ）当12t <≤时，当[0,2]x ∈时，由（i ）知()()221220t x x t y t ⎡⎤−=−⎣−−≥⎦， 当[2,0)x ∈−时，令()()()()2122242241022y t x t x t t t x x t ⎡⎤−=+−+=+−+−>⎣⎦−− ∴()2122y t x t ≥−−在[]22−,恒成立，故只需要考虑()2222t x t y −−≥在[]22−,的解集即可. 由()2222t x t y −−≥，可得()22422160x t x t −−+−≤，由题意m ，n 是()22422160xt x t −−+−=的两根， 令()()2242216x x t x t ϕ=−−+−，其对称轴为110,44t x −⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()()()222216222164420t t t t t ϕ=−−+=−+−=≥−，()()()2222162221644280t t t t t ϕ+−=−=+−+−−=+>，所以[],2,2m n ∈−， ()22326542t t n m m n mn −−+−=+−=， 又()23265h t t t =−−+在12t <≤为单调减函数，∴()()160h t h <=，∴6015n m −<=，综上，15n m −≤ 【点睛】方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数：①根据不等号的方向与解集的形式()[,],(,][,)m n m n −∞+∞可确定开口方向； ②解集的端点值为对应二次方程的根；③若解集为R,∅，则考虑开口方向与∆。
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知{}31,,2a a ∈-，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．3或5D ．无解【答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.【详解】因为{}31,,2a a ∈-，当3a =时，21a -=，不符合集合的互异性，故3a =舍去； 当23a -=时，5a =，集合为{}1,3,5，符合集合互异性，故5a =. 故选：B2．设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ） A ．A B ∈ B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆【答案】D【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出结果．【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ） A ．22k -≤≤ B ．2k ≤-，或2k ≥ C ．22k -<< D ．2k <-，或2k >【答案】A【分析】根据题意可得240k ∆=-≤，从而即可求出k 的取值范围. 【详解】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∴240k ∆=-≤， ∴22k -≤≤. 故选：A.4．下面给出的四个命题中，真命题的个数为（ ）（1）等角的余角相等；（2）一个角的补角－定大于这个角；（3）矩形的对角线互相垂直；（4）0是最小的正整数． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据等式的性质、补角的性质、矩形的性质、正整数的性质逐一判断即可. 【详解】由等式的性质可知：等角的余角相等，故（1）正确； 当这个角为直角时，显然直角的补角与直角相等，故（2）不正确；只有当矩形的邻边相等，变成正方形时，对角线才互相垂直，故（3）不正确； 最小的正整数是1，故（4）不正确，因此真命题的个数为1， 故选：A5．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题的个数为（ ）①若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；③若a ＞b ＞0，；④若a ＞b ＞0，则2211>a b ． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③【答案】B【分析】根据作差法以及不等式性质，可得答案.【详解】对于①，()()()()a c b d a b d c ---=-+-，无法判断是否大于零， 当1,0,0,2a b c d ====-时，则a c b d -<-，故①错误； 对于②，根据不等式性质，同向同正可乘性，可得②正确； 对于③，根据不等式性质，正向可开方性，可得③正确；对于④，()()2222222211b a b a b a a b a b a b -+--==，0a b >>，220,0,0b a b a a b ∴-<+>>，则()()220b a b a a b -+<，故2211a b <，可得④错误. 故选：B.6．已知关于x 的不等式x ab x+≥的解集是[1,0)-，则a b +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．3【答案】C【分析】由题设知[(1)]00x b x a x --≤⎧⎨≠⎩的解集为[1,0)-，即可求目标式的值.【详解】由(1)0x a b x a b x x +-+-=≥，则[(1)]00x b x a x --≤⎧⎨≠⎩的解集为[1,0)-，所以1011b a b ->⎧⎪⎨=-⎪-⎩，则1b >且1a b +=.故选：C7．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (N x ∈)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ）A ．3年B ．4年C ．6年D ．5年【答案】D【分析】由函数图像及所过的点求得21225y x x =-+-，进而应用基本不等式求yx的最大值，并确定取值条件，即可得答案.【详解】由函数图像，令2(6)11y a x =-+过点(4,7)，所以2(46)117a -+=，可得1a =-，故2211(6)1225y x x x =--=-+-， 则2512y x x x=--+，而N x ∈， 故252512()1222y x x x x x=-+≤-⨯=，当且仅当5x =时等号成立， 所以营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运5年. 故选：D8．设非空集合P ，Q 满足P Q Q =，且P Q ≠，则下列选项中错误的是（ ） A ．x Q ∀∈，有x P ∈ B ．x P ∃∈，使得x Q ∉ C ．∃∈x Q ，使得x P ∈ D ．x Q ∀∉，有x P ∉【答案】D【分析】由已知条件可得，Q ⫋P ，再结合特殊值法，即可求解． 【详解】∵P ∩Q ＝Q 且P ≠Q ，∴Q ⫋P ，∴ABC 正确； 不妨设Q ＝{1，2}，P ＝{1，2，3}， 3∉Q ，但3∈P ，故D 错误． 故选：D9．下列关系中正确的是（ ） A ．0{0}⊆ B ．∅ {0} C ．{0,1}{(0,1)}⊆ D ．{(,)}{(,)}a b b a =【答案】B【分析】根据元素和集合的从属关系，集合和集合之间的包含关系来判断即可.【详解】0是元素，而{0}是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A 选项错误；{0,1}是两个元素的实数集，(){0,1}是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C 选项错误，{(,)},{(,)}a b b a 这两个集合中的元素分别是(,)a b ，(,)b a ，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D 选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，{0}是单元素非空集合，故B 正确. 故选：B.二、多选题10．我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈且}x A ∉，类似地，对于集合A 、B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫作集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，则有{1,2,3}A B -=，{6,7,8}B A -=，下列解析正确的是（ ）A ．已知{4,5,6,7,9}A =，{3,5,6,8,9}B =，则{3,7,8}B A -= B ．如果A B -=∅，那么A B ⊆C ．已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则U B A A B -=⋂D ．已知{|1A x x =<-或3}x >，{|24}B x x =-≤<，则{|2A B x x -=<-或4}x ≥ 【答案】BD【分析】根据集合新定义判断A 、B ，应用韦恩图确定B A -判断C ，由UA B A B-=⋂求集合判断D.【详解】A ：由B A -={|x x B ∈且}x A ∉，故{3,8}B A -=，错误； B ：由A B -={|x x A ∈且}x B ∉，则A B -=∅，故A B ⊆，正确；C ：由韦恩图知：B A -如下图阴影部分，所以UB A B A -=⋂，错误；D ：{|2UB x x =<-或4}x ≥，则{|2UA B A B x x -=⋂=<-或4}x ≥，正确.故选：BD11．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0xy >”是“0xy>”的充要条件 B ．设,,a b c ∈R ，则“240b ac -<”是函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方”的充分不必要条件C ．设a ∈R ，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的必要不充分条件D ．“函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)”是“0a b c ++=”的充要条件 【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，由0xy >得,x y 同号，故0x y >，反之0x y>得,x y 同号，故0xy >，所以“0xy >”是“0xy>”的充要条件，故正确； 对于B 选项，240b ac -<且0a >时，函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方；函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方，则必有240b ac -<，故“240b ac -<”是函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方”的必要不充分条件，故错误；对于C 选项，2a =时，(1)(2)0a a --=成立，反之(1)(2)0a a --=，2a =不一定成立，故“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的充分不必要条件，故错误；对于D 选项，函数2y ax bx c =++的图像过点()1,0，则0a b c ++=，反之也成立.故“函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)”是“0a b c ++=”的充要条件，正确. 故选：AD12．若正实数a ，b 满1a b +=，则下列结论确的有（ ）A ．221a b +≥B ．1a b ->-C ．14ab ≤D【答案】BCD【分析】对A ，根据()2222a b a b ab +=+-结合基本不等式判断即可；对B ，分析可得12a b b -=-，再结合()10,1b a =-∈判断即可；对C ，根据基本不等式判断即可；对D ，结合C 根据基本不等式证明即可. 【详解】对A ，()()222212122a b a b a b ab ++=+-≥-=，当且仅当12a b ==时取等号，故2212a b +≥，故A 错误； 对B ，因为1a b +=，故12a b b -=-，且()10,1b a =-∈，故()121,1b -∈-，故B 正确； 对C ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；对D ，由C 得14ab ≤12，故112a b +≤+=，即22<，12a b ==时取等号，故D 正确； 故选：BCD三、填空题13．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是_______ 【答案】1x ∃>,20x x -≤,【分析】根据全称量词命题的否定即可求解.【详解】“1x ∀>，20x x ->”的否定是:1x ∃>,20x x -≤, 故答案为：1x ∃>,20x x -≤,14．设a 为正实数，已知R x ∈，条件p ：2,x x <，条件q ：1(0)a a x≥>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <≤【分析】由题设得p 为真01x <<，q 为真10<≤x a，根据它们的充分不必要关系即可求a 的范围.【详解】p 为真，则01x <<；q 为真，则110ax a xx--=≥且0a >，即(1)00x ax x -≤⎧⎨≠⎩，则10<≤x a ，由p 是q 的充分不必要条件，故11a≥，则1a ≤， 综上，01a <≤故答案为：01a <≤15．已知正实数a ，b 满足ab ＝1，则115a b a b+++的最小值为___________．【答案】【分析】根据题意，0,0a b >>，且1ab =，化简得1155a b a b a b a b++=++++，再利用基本不等式求最值，即可得出结果.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =， 因为11555a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当5a b a b+=+时，取等号， 即115a b ab+++的最小值为故答案为：16．设m 为实数，若“30,421x x m x ∃>--≥+”是假命题，则m 的取值范围是___________． 【答案】()6-+∞ 【分析】由题知“30,421x x m x ∀>--<+”是真命题，进而结合基本不等式求342,01y x x x =-->+的最大值即可得答案. 【详解】解：因为“30,421x x m x ∃>--≥+”是假命题， 所以“30,421x x m x ∀>--<+”是真命题， 因为0x >，()3322122211x x x x +=++-≥=++，当且仅当1x +=所以，334242611y x x x x ⎛⎫=--=-+≤- ⎪++⎝⎭max 34261x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭ 所以，m 的取值范围是()6-+∞ 故答案为：()6-+∞四、解答题17．（1）化简：()0a a a a ≥(用分数指数幂表示)； （2）计算：1120321168100()()481--⨯⨯⨯．【答案】（1）78a ，（2）165【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可． 【详解】（1）71311824a a a a a a a ++===； （2）1120321168100()()4811621610511--⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯.18．（1）解不等式213xx ->+； （2）已知a 是实数，试解关于x 的不等式：2(1)0x a x a +--≥． 【答案】（1）1(3,)2--；（2）答案见解析.【分析】（1）将分式不等式化为(21)(3)0x x ++<，即可求解集； （2）讨论1a >-、1a =-、1a <-分别求对应解集. 【详解】（1）2211033x x x x ----=>++，则(21)(3)0x x ++<，可得132x -<<-所以不等式解集为1(3,)2--；（2）2(1)()(1)0x a x a x a x +--=+-≥， 当<1a -，即1a >-时，解集为(,1)a -； 当1a -=，即1a =-时，解集为R ； 当1a ->，即1a <-时，解集为(1,)a -；19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点.已知4AB =米，3AD =米，设AN 的长为()3x x >米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？(2)求当AM ，AN 的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值；【答案】(1)9(3,)(9,)2+∞(2)6AN =，8AM =最小面积为48平方米【分析】（1）先表达出AMPN 的面积表达式，54AMPN S >时解出不等式，即可知AN 的取值范围.（2）令3t x =-，将式子化成对勾函数后求最值. 【详解】(1)解：设AN 的长为x 米（3x >）ABCD 是矩形DN DCAN AM∴= 43xAM x ∴=- 24(3)3AMPNx S AN AM x x ∴==>-由54AMPNS >，得24543x x >- 3x >(29)(9)0x x ∴-->，解得932x <<或9x > 即AN 的取值范围为9(3,)(9,)2+∞(2)令243x y x =-，3t x =-（0t >），则3x t =+24(3)94(6)48t y t t t +∴==++≥当且仅当9(0)t t t=>，即3t =时，等号成立，此时6AN =，8AM =最小面积为48平方米20．设k 为实数，已知关于x 的函数2 1.y kx kx =+- (1)若对于∀x ∈R ，都有y ≤0恒成立，求k 的取值范围；(2)若对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)[4,0]-； (2)(,1]-∞.【分析】（1）根据k 是否为零，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可； （2）根据k 的正负性，结合二次函数的性质、任意性、存在性的定义分类讨论进行求解即可.【详解】(1)当0k =时，10y =-≤恒成立，符合题意；当0k ≠时，要想210y kx kx =+-≤对于∀x ∈R 恒成立，只需满足下列条件：240Δ40k k k k <⎧⇒-≤<⎨=+≤⎩， 综上所述：k 的取值范围为[4,0]-；(2)当0k =时，1y =-，显然对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立，符合题意； 当0k >时，二次函数21y kx kx =+-的对称轴为：12x =-，且开口向上， 当x ∈[1，4]时，函数单调递增，所以[21,201]y k k ∈--， 因此要想对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立， 只需2111k k -≤⇒≤，即01k <≤；当0k <时，二次函数21y kx kx =+-的对称轴为：12x =-，且开口向下， 当x ∈[1，4]时，函数单调递减，所以[201,21]y k k ∈--， 因此要想对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立， 只需1201110k k -≤⇒≤，即0k <， 综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞.。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷(解析版)
南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数学2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝()A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1}【答案】A2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝()A ．2－2i B ．2＋2iC ．2iD ．－2i【答案】B3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为()A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12【答案】A4．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝()A ．－6B ．－3C ．3D ．6【答案】B【解析】→AB ·→BE ＝→AB ·(→AE －→AB )＝→AB ·(23→AC －→AB )＝23→AB ·→AC －→AB 2＝23×9－32＝－3．5．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为()A ．233B ．32C ．π2D ．π3【答案】D6．已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆点，满足|NA|＝1，∠NAB＝60°，则椭圆的离心率为()A．55B．255C．277D．377【答案】C7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有()A．72种B．84种C．96种D．124种【答案】C【解析】由题意有一名女生的选法有C12⋅C24⋅A33，没有女生的选法有C34⋅A33，因此至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有C12⋅C24⋅A33＋C34⋅A33＝96，故选C．8．若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋12，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年南京师大附中高三上学期10月月考数学试卷及答案
南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。
南京市南师附中2023年九上月考数学试卷+答案
南京市南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为A ．2，9B ．2，7C ．2，－9D ．2x 2，－9x2．下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，数轴上点A 、B 表示方程(3x －9)2－37＝0的两个根a 、b （a ＞b ），它们在数轴上的对应点的位置可以是 A ．B ．C ．D ．4．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为A ．B ．C ．D ．AB 0A B 0AB 0AB5．如图，PA 、PB 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线，切点为A 、B ，连接AB 交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ．若∠AO 1C ＝60°，∠BO 2D ＝40°，则∠P 的度数为A ．128°B ．129°C ．130°D ．131°6．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是 ▲ ．8．设x 1、x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根．若x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 9．已知⊙O 的半径是3．若OP ＝3，过点P 的直线记为l ，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ ．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠A ＝24°，则∠O ＝ ▲ °．11．如图，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长线交于点D ，且BD ＝OA ．若∠AOC ＝105°，则∠D ＝ ▲ °．（第5题） （第6题）O 1PABO 2C D A CBAOBCODABC（第10题）（第11题）12．下表是某同学求代数式ax 2＋bx （a ，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程ax 2＋bx ＝6的根是 ▲ ．x －2 －1 0 1 2 3 … ax 2＋bx6226…13．如图，在⊙O 中，P 为弦AB 与弦CD 的交点．若∠APC ＝84°，⌒AC的度数为74°，则⌒BD 的度数为 ▲ °．14．如图，点C 是AE 的中点，在AE 同侧分别以AC 、CE 为直径作半⊙B 、半⊙D ． 直线l ∥AE ，与两个半圆依次相交于F 、M 、N 、G 不同的四点．若AE ＝10，FG ＝x ，MN ＝y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ▲ ．15．如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上两点，过P 、Q 向CD 作垂线，垂足分别为E 、F ，向CB 作垂线，垂足分别为M 、N ，PM 、QF 交于点H ．若四边形EPHF ，HFCM ，HMNQ 均是边长为3的正方形，则AB ＝ ▲ ．16．如图，已知⊙O 和射线AB ，∠OAB ＝90°，动点P 在⊙O 上，动点Q 在射线AB 上，PQ ＝32 cm ．若AQ 的最小值为20 cm ，最大值为36 cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．ABCDOPACEG N M F lBD（第14题）（第13题） （第16题）（第15题）ABCDPQ NMFE H ABQOP三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2－6x ＋3＝0；（2）x (x －2)＝x －2．18．（7分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长AD 、BC 交于点E ，∠DCB ＝100°，∠B ＝50°． 求证：△CDE 是等腰三角形．19．（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 是△ACD 的外接圆，∠CAP＝∠B ．求证：直线AP 与⊙O 相切．20．（7分）等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝8 cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B移动．过点P 作平行于BC ，AC 的直线与AC ，BC 分别交于R 、Q ．当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，求AP 的长．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根为2． （1）用m 的代数式表示n ；（2）求证：关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根．A BCDEO（第18题） BCDAOP（第19题）RQPC B A （第20题）22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，D 是CA 延长线上一点，∠BAD的平分线交⊙O 于点E ．不使用圆规，请你仅用．．一把不带刻度的直尺作出∠BAC 的平分线，并说明理由．23．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 切小圆于点M 、N ． （1）求证AB ＝AC ；（2）若两圆半径分别为3和5，则BC ＝ ▲ ．24．（9分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为H ，BC ⊥AB ，交AD 延长线于点C ．（1）求证：D 是AC 的中点；（2）若AB ＝6，AC ＝213，求⊙O 的半径．25．（8分）第19届亚运会于9月23日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为40元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ABCDEO （第22题）OABCMN（第23题） OAB CDH（第24题）26．（9分）如图，一个边长为8 m 的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，点G ，E ，F 分别在CD ，AD ，AB 上，且DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x ，在△AEF ，△DEG ，五边形EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）五边形EFBCG 的面积为 ▲ ．（结果用含有x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？27．（9分）（1）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点．求作⊙O ，使得⊙O 过点A ，且与BC 相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，AC ＝1，D 是边AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt △ABC 的直角边上存在不同的点分别和点A 、D 构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD 的长的取值范围．ABFG D CE （第26题）A CB AC B AC B（第27题） （备用图1） （备用图2）九年级数学学科作业参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C A D C C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．200(1＋x)2＝282 8．3 9．0≤d≤3 10．48 11．2512．x1＝－2，x2＝3 13．94 14．y＝10－x15．15 16．7三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）解：（1）移项，得x2－6x＝－3．配方，得x2－6x＋9＝－3＋9，(x－3)2＝6．··········································································· 2分由此可得x－3＝±6，∴x1＝3＋6，x2＝3－6．····································································· 4分（2）x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2) (x－1)＝0．···················································································· 6分x－2＝0或x－1＝0，∴x1＝2，x2＝1．·················································································· 8分18．（本题7分）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA＋∠B＝180°．∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°－50°＝130°．································································· 2分∴∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°． ············································ 3分∵∠DCB＝100°，∴∠CDE＋∠E＝100°．∴∠E＝50°．······················································································· 6分∴∠E＝∠CDE．∴CD＝CE．∴△CDE是等腰三角形．······································································· 7分19．（本题7分）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE ．∴ ∠ACE ＝90°．∴ ∠E ＋∠EAC ＝90°． ··········································································· 2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ． ∵ ⌒AC＝ ⌒AC ， ∴ ∠E ＝∠D ． ∵ ∠CAP ＝∠B ，∴ ∠CAP ＝∠E ． ·················································································· 4分 ∵ ∠E ＋∠EAC ＝90°， ∴ ∠CAP ＋∠EAC ＝90°．∴ ∠OAP ＝90°． ··················································································· 6分 ∴ OA ⊥OP ． ∵ 点A 在⊙O 上，∴ PC 是⊙O 的切线． ············································································ 7分20．（本题7分）解：设动点P 从A 点出发移动x cm 时，□PQCR 的面积等于16 cm 2．根据题意，得x (8－x )＝16． ······································································· 4分 解这个方程，得x 1＝x 2＝4．答：当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，AP 的长为4 cm ． ································ 7分21．（本题8分）解：（1）∵ 2为一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根，∴ 4＋2m ＋n ＋1＝0． ············································································· 1分 ∴ n ＝－2m －5． ··················································································· 3分 （2）∵ b 2－4ac ＝m 2－4n ＝m 2－4(－2m －5)＝m 2＋8m ＋20 ······························· 5分＝(m ＋4)2＋4＞0． ······························································ 7分∴ 关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根． ················ 8分22．（本题8分）作法：1．作直径EF 交⊙O 于F ； ···································································· 2分 2．连接AF ，则AF 是∠BAC 的平分线． ······················································ 3分 理由是：∵ EF 是⊙O 的直径，∴ ∠EAF ＝90°．BC D AOPEA B C DEOF即 ∠EAO ＋∠OAF ＝90°． ∵ AE 平分∠BAD ， ∴ ∠DAE ＝∠EAO ． ∴ ∠CAF ＝∠OAF ．∴ AF 是∠BAC 的平分线． ······································································ 8分23．（本题8分）解：（1）连接OM 、ON 、OA ． ····································································· 1分∵ 大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于点M 、N ， ∴ OM ⊥AB ，ON ⊥AB ，OM ＝ON ．∴ ∠AMO ＝∠ANO ＝90°，AM ＝12AB ，AN ＝12AC ．∵ OA ＝OA ， ∴ △AMO ≌△ANO ． ∴ AM ＝AN ．∴ AB ＝AC ． ···················································································· 6分 （2）9.6． ··························································································· 8分 （直接用切线长定理不扣分）24．（本题9分）证明：如图，连接BD ．∵ AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ， ∴ D 是 ⌒AB 的中点． ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ． ∴ AD ＝BD ． ························································································ 2分∴ ∠BAD ＝∠ABD ． ∵ BC ⊥AB ， ∴ ∠ABC ＝90°．∴ ∠BAD ＋∠C ＝90°，∠ABD ＋∠DBC ＝90°． ∴ ∠C ＝∠DBC ． ∴ BD ＝CD ． ∴ AD ＝CD ．即D 为AC 的中点． ················································································· 5分 （2）如图，连接OA ．∵ 半径OD ⊥AB ，垂足为H ，AB ＝6， ∴ AH ＝3．∵ D 是AC 的中点，AC ＝213， ∴ AD ＝13．OA BCM NO AB CD H∴ DH ＝2． ·························································································· 6分 在Rt △OAF 中，OH 2＋AH 2＝OA 2． 设OD ＝OA ＝r ，则OH ＝r －2，∴ (r －2)2＋32＝r 2． ··············································································· 8分 ∴ r ＝134．即⊙O 的半径为134． ················································································· 9分25．（本题8分）解：设每件售价应定为x 元，根据题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20． ············································· 4分 整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解这个方程，得x 1＝50，x 2＝60． ······························································· 7分 ∵ 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， ∴ x 2＝60不合题意，舍去．答：每件售价应定为50元． ······································································ 8分26．（本题9分）解：（1）－12x 2＋12x ＋14． ················································································ 2分（2）根据题意，得4×[20×12x 2＋20×(2－12x )＋10×(－12x 2＋12x ＋14)]＝715． ········ 6分整理，得4x 2－4x ＋1＝0．解这个方程，得x 1＝x 2＝12． ······································································· 8分答：当AE ＝AF ＝12米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．27．（本题9分）解：（1）作△BAC 的角平分线AM ； ·································································· 2分过点M 作MO ⊥BC ，MO 与AB 交于点O ； ··················································· 4分 以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求作圆． ······································· 5分 （2）当存在2个点时，0＜AD ＜43；当存在3个点时， AD ＝43； 当存在4个点时，43＜AD ＜2； 当存在1个点时，AD ＝2． ········································································ 9分。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年第一学期高一10月考数学试题.(解析版)
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）系统找不到该试题11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．2．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．3．【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．4．【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．5．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．6．【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．7．【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．8．【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．9．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．10．11．【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，当且仅当即a＝1时取等号，D正确．故选：AD．12．【分析】由题意可得f（0）×f（1）＜0，f（1）×f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）×f（1）＜0，且f（1）×f（2）＜0，即：解得，故选：C．三、填空题13．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞214．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤x≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]15．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．16．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．四、解答题17．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．18．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．19．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．20．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣321．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）22．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]。