2013-2014南师附中高一数学上期末试卷(含答案)
江苏省南京市大学附属中学高一数学理上学期期末试卷含解析
江苏省南京市大学附属中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列幂函数中过点，的偶函数是( ）A．B．C．D．参考答案：B略2. 求值：=（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 若样本x1+1,x2+1,…,x n+1的平均数是7，方差为2，则对于样本2x1+1,2x2+1,…,2x n+1,下列结论中正确的是（）A．平均数是7，方差是2 B．平均数是14，方差是2C．平均数是14，方差是8 D．平均数是13，方差是8参考答案：D4. 已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．相离参考答案：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过弦心距与半径和与差的关系，判断两个圆的位置关系．【解答】解：圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为：1；圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，圆心（3，﹣4），半径为：4．两个圆的圆心距为： =5，恰好是两个圆的半径和，所以两个圆外切．故选：C．【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．5. 若，满足约束条件，则的最大值是( )A． B． C． D．参考答案：C6. 如右下图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略7. 已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），若直线l与线段AB有公共点，则λ的取值范围是（）A．[﹣1，3） B．（﹣1，1）∪（1，3）C．[﹣1，1）∪（1，3] D．[﹣1，3]参考答案：D【考点】直线的斜率．【分析】求出直线l恒过定点，求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围；【解答】解：由题意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），则λ（x+y﹣4）+（3x﹣y）=0，∵λ∈R，∴，解得：，∴直线l所过定点（1，3）；∵点A（2，0），点B（﹣2，0），设直线l所过定点为：p，则P的坐标（1，3）；∴k PA==﹣3，k PB==1，∵直线l与线段AB有公共点，当λ=1时，直线x=1，与线段AB有公共点，当λ≠1时，直线l的斜率k=，∴≥1或≤﹣3，解的﹣1≤λ＜1，或1＜λ≤3，综上所述：λ的取值范围为[﹣1，3]，故选：D．【点评】本题考查直线恒过定点，直线的斜率的范围是解得本题的关键，属于中档题．8. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，公比q=2，S k+2﹣S k=48，则k等于（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知S k+2﹣S k，可得a k+1+a k+2=48，代入等比数列的通项公式求得k值．【解答】解：由题意，S k+2﹣S k=，即3×2k=48，2k=16，∴k=4．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．9. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：，则a=（）A．5.25 B ．5.15 C ．5.2 D．10.5参考答案：A由题意得．∴样本中心为．∵回归直线过样本中心，∴，解得．10. 对于函数,下列命题:ks*5u①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则f （x ）的值域为 ．参考答案：[，]【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】化简函数f （x ），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f （x ）的值域即可．【解答】解：∵f（x ）=sin 2x+cosx=1﹣cos 2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]， ∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函数f （x ）的值域为[，]． 故答案为：[，]．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目． 12. 直线与直线的距离是________．参考答案：由直线，可化为，则直线和直线之间的距离．13. 已知，，且，若，，则实数的取值范围是 ． 参考答案：略14. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 .参考答案：215. 已知= .参考答案：略16. 函数的定义域为__________．参考答案：17. 若函数的图象关于原点对称，则 ．参考答案： -15三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023届江苏省南京师大附中高一数学第一学期期末统考试题含解析
扇形的周长：2+2+8＝12
故选：A
8、A
【解析】根据并集 定义求解即可.
【详解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根据并集的定义可知：
A∪B＝{1，2，3，4}，选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
9、A
【解析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选：A
A. B.
C. D.
7．已知扇形 的圆心角为 ，面积为8，则该扇形的周长为（）
A.12B.10
C. D.
8．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）
A.{1，2，3，4}B.{1，2，3}
C.{2，3，4}D.{1，3，4}
9．已知直线 和直线 ，则 与 之间的距离是（）
A. B.
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 （元）与每枚纪念章的销售价格 的函数关系式；
（2）当每枚纪念章销售价格 为多少元时，该特许专营店一年内利润 （元）最大，并求出这个最大值；
18．函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义证明 在 上是增函数.
19．设函数 （ω＞0），且 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
（2） 或
【解析】（1）先求集合B的补集，再与集合A取交集；
（2）把“ ”是“ ”的充分条件转化为集合A与B之间的关系再求解 的取值范围
【小问1详解】
时， ，
又
故
【小问2详解】
由题意知：“ ”是“ ”的充分条件，即
当 时， ， ，满足题意；
当 时， ，欲满足
则必须 解之得
高一数学上学期期末数学统考解析
t 1 t 1 恒成立，现求 2 的最小值， 2 t t t t
令 t 1 k ， k (2, 1) ，
t 1 k k 1 ， t 2 t (k 1)2 k 1 k 2 3k 2 k 2 3 k
⑵ f x 2sin(3x
3 3 ) ，取最小值时， 3x 4 4
2 得到 x | x k , k Z ；………………………………………………………………… 4 分 3 12
⑶画出 x [0, ] ， f ( x) 的图像，从图中可以得到 2
17. 已知函数 f ( x) 2sin( x )( 0, ⑴求 ， 的值； ⑵ 求 f ( x) 取到最小值时的所有 x 的集合；
)．
2
y
⑶ 直接写出 x [0, ] 时 f ( x) m 解的个数与相应 m 的取值范围． 2 【答案】⑴
3，
x
π 12 -2
O
2 2 k (2, 1) ， k (3, 2 2] ， k 3 (0,3 2 2] ， k k
t 1 1 [3 2 2, ) ，此时 a 3 2 2 ； t2 t k 2 3 k
0 t 1 时， t 2 t 0 ， a t 1 时， a 0 ，
2 5； 5
sin cos 【解析】⑴ 2 sin 2cos 2
sin cos cos 2 2 sin 2cos 2 2 cos cos 2
sin cos sin 2 2cos2
tan ，………………………………………………2 分 tan 2 2
南京市2013-2014学年度高一数学第二学期期末调研卷(含答案)
南京市2013—2014学年度第二学期高一数学期末测试卷2014.6一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.=+=)4tan(则,2tan 已知.1παα .的解集是01不等式.2<-xx . 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1-AB-D 的大小是 .4.函数y=sinx+cosx 的最大值是 .5.球O 内切于圆柱O 1O 2.记球O 的体积为V 1，圆柱O 1O 2的体积为V 2，则21V V 的值是 .6.中，在ABC ∆角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若bcosA+acosB=B c cos 2∙，则角B 的大小是 .7.圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为32π的扇形，则这个圆锥的高是 . 8.若不等式)3,0(对任意的042∈≥+-x ax x 都成立，则实数a 的取值范围是 . {},58且),,2(0若.项和为的前记等差数列.912*211=∈≥=-+-+-m m m m n n S N m m a a a S n a 则m= .10.，有以下四个命题：,与平面,关于直线βαn m是异面直线；,则,,）若1（n m n m βα⊂⊂；//,若)2(βαα⊂m ；//则,//,,//若)3(n m n m βαβα⊂.则,,,若)4(ββαβα⊥⊥=⋂⊥n m n m其中正确的命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）的值是)62sin(则,54)6cos(若.11παπα-=+. 12.将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵.记第i 行第j 列 1 (i,j 为正整数)位置上的数为ij a ，,7,5如4132==a a 2 3 那么=95a . 4 5 6 7 8 9 10…...ABC t BC AC ABC ∆===∠的,1,4若满足.13π恰有一个，则实数t 的取值范围是.,1121,0,0已知.14=++>>bb a b a 则a+b 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）).2,0(,21sin cos 已知22πθθθ∈=-（1）求θ的值； （2）.的值)cos(求),,2(,53sin 若θππ+∈=x x x 16. （本小题满分14分）在四棱锥P-ABCD 中，AB//DC ，DC=2AB ，E 为PC 的中点. （1）求证：BE//平面PAD ；（2）.平面，求证：平面，平面若ABCD PAB PB AD PAD AB ⊥⊥⊥17. （本小题满分14分）{}.项和为其前,023,2中，已知等差数列723n n S n a a a a =+=（1）求等差数列{}n a 的通项公式； （2）{}.项和的前求数列,令n n nn T n b nS b =18. （本小题满分16分）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求51≤≤x ），每小时可获得的利润是)218(100xx -+元.（1） 要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x 的取值范围；（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应选取怎样的生产速度？并求此最大利润.19. （本小题满分16分）060，1，4中，在=∠==∆BAC AC AB ABC . （1）求BC 的长和∆ABC 的面积；（2）延长AB 到M ，AC 到N ，连结MN.若四边形BMNC 的面积为33，CN BM ∙求的最大值.20. （本小题满分16分）{}).(214已知.项和为其前中，已知数列*N n S a n S a n n n n ∈+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n>M 时，7823741...a a a a a n >-恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在等差数列{}n b ，使得对任意的*N n ∈，都有122...12123121--=+++++---na b a b a b a b a b n n n n n n ？若存在，试求出{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.。
2013-2014年度高一上学期数学期末试卷参考答案
2013-2014年度高一上学期数学期末试卷参考答案13.2 14. 0或2 15.16. 17. 45︒ 18. 到四个面的距离之和为定值 三、解答题（本大题共5小题，共66分）19、解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21·32·2＝332．20、(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以DE ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ，所以DE ∥平面P AC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ．21 (1)已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0 (3)当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l ，圆的半径为3， 弦AB ACPBDE(第20题)OGEPDM CBA22.解：（1）4)1(22=++y x（2）设M 的坐标是),(y x ，点A 的坐标是),(00y x 由于点B 的坐标是)3,4(且点M 是线段AB 的中点，所以23,2400+=+=y y x x 即32,4200-=+=y y x x （1）A 在圆4)1(22=++y x 上运动，所以4)1(2020=++y x （2）将（1）代入（2）得4)32()142(22=-++-y x 整理得1)23()23(22=-+-y x所以点M 的轨迹方程是以)23,23(为圆心半径为1的圆23、(Ⅰ)证明：,,PD ABCD BC ABCD PD BC ⊥⊂∴⊥ 平面平面 又ABCD 为正方形，BC DC ∴⊥,,,,PD DC D BC PDC PC PDC PC BC =∴⊥⊂∴⊥ 平面平面 ————————————/4(Ⅱ)解：,PD ABCD PD PDC PDC ABCD ⊥⊂∴⊥ 平面平面平面平面 过E 作EF DC ⊥垂足为F ，则112EF ABCD EF PD ⊥==平面且 11122(2)133239C DEG E DCG DCG V V S EF --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=即三棱锥C DEG -的体积为29————————————/8(Ⅲ)设存在点M AD ∈，使得//PA MEG 平面。
南京市2013-2014高一期末考试(word版有答案)
南京市2013－2014学年度第一学期期末学情调研试卷高一数学 2014.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题纸指定的位置．3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，交回答题纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,3,5A =，{}1,3B =，则()UA B ⋃=ð ▲ ．2．函数()ln(1)f x x =-的定义域为 ▲ ． 3．函数1()3cos()23f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．4．已知向量(4,3)a =-，(,6)b x =，且a b ，则实数x 的值为 ▲ ．5．如果指数函数()(1)x f x a =-是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是 ▲ ． 6．将函数()sin()3f x x π=+的图像向右平移6π个单位，所得图像的函数解析式为 ▲ ． 7．已知角α的终边经过点(1,3)P -，则sin 2cos αα-的值为 ▲ ． 8．已知13log 2a =，0.62b =，20.6c =，则,,a b c 的大小关系为 ▲ ．（用“<”连接）9．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的图像如图所示，则a b -的值为 ▲ ．10．在ABC ∆中，已知1sin cos 5A A +=，则ABC ∆为 ▲ 三角形（在“锐角”、“直角”、“钝角”中，选择恰当的一种填空）． 11．若函数(21)()()x x a f x x++=为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．已知函数21()2()2log 2xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则((3))f f 的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，已知AB AC =，4BC =，点P 在边BC 上，则PA PC ⋅的最小值为 ▲ ． 14．已知函数()(2)f x x a x =+，且关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A .若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-． （1）求()(2)a b a b +⋅-的值； （2）求向量a 与a b +的夹角．16．（本小题满分8分） 已知tan 3α=，32ππα<<. （1）求cos α的值； （2）求sin()sin()2παπα+++的值．17．（本小题满分10分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．18．（本小题满分10分）如图，在ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60DAB ∠=，M 为DC 的中点. （1）求AM BD ⋅的值；（2）设AP AB λ=，若AC DP ⊥，求实数λ的值．AC19．（本小题满分10分）如图，用一根长为10m 的绳索围成一个圆心角小于π，半径不超过2m 的扇形场地.设扇形的半径为 x m ，面积为2S m ．（1）写出S 关于x 的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x 和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S 最大，并求S 的最大值．20．（本小题满分12分）已知M 是所有同时满足下列两个性质的函数()f x 的集合：①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②在函数()f x 的定义域内存在闭区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上的最小值是a ，最大值是b .（1）判断函数[)2()(0,)f x x x =∈+∞是否属于集合M ？若是，请求出相应的区间[],a b ；若不是，请说明理由.（2）证明函数2()3log f x x =属于集合M ； （3）若函数()1mxf x x=+属于集合M ，求实数m 的取值范围．南京市2013－2014学年度第一学期期末学情调研试卷 高一数学参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．{2,4} 2． (),1-∞ 3．4π 4．8- 5．()2,+∞6．()sin()6f x x π=+ 7 8．a ＜c ＜b 9． 4 10．钝角 11． 12-12． 13 13．－1 14．(－1，0)二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解 （1）因为(2,1)a =，(1,2)b =-．所以(3,1)a b +=-，2(3,4)a b -=，从而()(2)(3,1)(3,4)33(1)45a b a b +⋅-=-⋅=⨯+-⨯=． ………4分 （2）设向量a 与a b +的夹角为θ．因为(3,1)a b +=-，所以()cos 25a a b a a bθ⋅+===⋅+， …………………6分 因为[]0,θπ∈，所以4πθ=，即向量a 与a b +的夹角为4π……………8分 16．解（1）因为sin tan 3cos ααα==，所以sin 3cos αα=． 又因为22sin cos 1αα+=，所以21cos 10α=．……………………2分因为32ππα<<，且cos α=4分（2）因为32ππα<<，且cos 10α=-，所以sin 10α=-，所以sin()sin()cos sin (2παπααα+++=-=-=8分17．解（1）由题意知，2A =，3344T π=，从而T π=．又2T πω=，所以2ω=． 所以()2sin(2)f x x ϕ=+．…………………2分又因为()2sin(2)266f ππϕ=⨯+=，即sin()13πϕ+=，所以232k ππϕπ+=+，k Z ∈．因为2πϕ<，所以6πϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．…………………………4分 （2）222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈．得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈．所以函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ……………………6分（3）因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．…………………………8分所以1sin(2)1,62x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域是[]2,1-． …………………10分 18．解 （1）由题意知，12AM AD DM AD AB =+=+，BD AD AB =-． ……2分 从而22111()()222113121cos604222AM BD AD AB AD AB AD AB AD AB ︒⋅=+⋅-=-⋅-=-⨯⨯⨯-⨯=-…………………4分 （2）由题意知，A C A D A =+，DP AP AD AB AD λ=-=-，从而22()()(1) 41(1)21cos 605 2.AC DP AD AB AB AD AB AD AB AD λλλλλλ︒⋅=+⋅-=-+-⋅=-+-⨯⨯⨯=-………………………7分又因为AC DP ⊥，所以0AC DP ⋅=．所以520λ-=，解得25λ=．………………10分 19．解（1）设扇形的弧长为l ，则102l x =-．所以21(5)52S lr x x x x ==-=-+． ……………4分 由02,0102x l x x π<≤⎧⎨<=-<⎩得02.1052x x π<≤⎧⎪⎨<<⎪+⎩所以10,22x π⎛⎤∈⎥+⎝⎦.从而25S x x =-+，10,22x π⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦.………………………6分（2）225255()24S x x x =-+=--+， 因为522>，所以25S x x =-+在10,22π⎛⎤ ⎥+⎝⎦上是增函数． 从而当2x =时，max (2)6S S ==，此时6l =，圆心角3lxα==． 答：当扇形半径为2m ，圆心角为3时，所围扇形场地的面积最大，最大面积为26m ．……………………10分20．解（1）函数2()f x x =在[)0,+∞上为单调增函数，由函数2()f x x =在区间[],a b 上的最小值为a ，最大值为b ， 得2a a =，2b b =，且0a b ≤<，解得0,1a b ==． 即函数2()f x x =在区间[]0,1上的最小值为0，最大值为1，所以函数2()f x x =属于集合M ，且相应的区间为[]0,1． ………………3分 （2）由对数函数性质可知，函数2()3log f x x =的定义域为()0,+∞，且在定义域上为增函数．设2()3log g x x x =-，考虑()g x 在区间()0,+∞上零点的个数． 因为2(1)3log 1110g =-=-<，2(2)3log 2210g =-=>，2(16)3log 1616121640g =-=-=-<．又因为函数()g x 的图像是一条连续不间断的曲线，所以()g x 在区间(1,2)内至少有一零点，记为a ；在区间(2,16)内至少有一零点，记为b ．即有()0g a =，()0g b =，即23log a a =，23log b b =．又因为2()3log f x x =为[],a b 上的单调增函数，故2()3log f x x =在区间[],a b 上的最小值为23log a a -，最大值为23log b b -．所以2()3log f x x =属于集合M ． ………………………………………7分 （3）()f x 的定义域为R ，()()()11m x mxf x f x x x--==-=-+-+，所以()f x 为奇函数．又当120x x ≤<时，1212121212()()()11(1)(1)mx mx m x x f x f x x x x x --=-=++++． 当0m >时，12()()f x f x <，此时()f x 在[)0,+∞上为增函数，由()f x 为奇函数可知()f x 在R 上为增函数；当0m <时，12()()f x f x >，此时()f x 在[)0,+∞上为减函数，由()f x 为奇函数可知()f x 在R 上为减函数．当0m =时，()f x 不具有单调性．①若0m >，因为()f x 在R 上单调递增，应有()f a a =，()f b b =，即,a b 是方程()f x x =的两个不相等的实根．易知0x =是方程1mxx x=+的一个根；当0x ≠时，化简可得1x m =-．若此方程有异于0的根，则10m ->．所以1m >，此时对应的区间为[]1,0m -+，[]1,1m m -+-，[]0,1m -．………………………………10分②若0m <，则()f x 在R 上为减函数．应有()f a b =且()f b a =，即,1.1mab a mb a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩显然0,0a b ≠≠，则(1)0b m a a =+<，所以0ba <，故,ab 异号．又因为a b <，所以0,0a b <>．故有,1.1mab amb a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪+⎩即,.ma b ab mb a ab =-⎧⎨=+⎩所以()()m a b a b +=+．即(1)()0m a b -+=．因为0m <，所以10m -≠．所以0a b +=，即a b =-． 所以2()m b b b -=+，解得1b m =--．因为0b >，所以10m -->，即1m <-． 当1m <-时，可求得1a m =+，1b m =--．综上可知，m 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞．………………12分。
江苏省南京师大附中、淮阴中学高一数学上册期末试卷
江苏省南京师大附中、淮阴中学高一数学上册期末试卷一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5A =，集合{}2,4,5B =，则集合()U A B =（ ） A ．{}2,4,5,6 B ．{}5C ．{}1,3,5,6D ．{}2,42．函数1()ln(1)f x x =+ ）． A ．[1,0)(0,1]-⋃B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．[]1,1-D ．(]1,1-3．225︒化为弧度是（ ） A ．34π B ．54π C ．43π D ．76π 4．在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()P ，则()sin a π-=（ ）A ．12-B ．12C ．D 5．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e-<<D ．111a e+<<6．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）(lg 20.3010)≈ A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%7．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ） A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3二、填空题9．已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈ 10．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2()ln(1)f x x x=+-只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充分不必要条件 11．若0a b >>，则（ ） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b< 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（ ）A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=C ．()(),D 1x R D x ∀∈=D ．()()(),,x y R D x y D x D y ∃∈+=+三、多选题13．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若同时满足条件：①对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立． 则m 的取值范围是______________________．14．已知3()2f x x x a =+-在区间（1，2）内存在唯一一个零点，则实数a 的取值范围为_____________．15．已知定义在R 上的奇函数y =f (x )，当x >0时，()21x f x x =+-，则关于x 的不等式()22()f x f x -<的解集为___________.16．已知函数()(21)ln(1)f x x a x a =-+++的定义域为(1,)a --+∞， 若()f x ≥0恒成立，则a 的值是______．四、解答题17．已知函数()()()34f x x m x m =-++. （1）若1m =，求不等式()12f x >-的解集；（2）记不等式()0f x ≤的解集为A ，若4A -∉，求m 的取值范围．18．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．已知函数()2f x x x =-和函数()πcos 523xg x a a =+-（0a ≠）. （1）判断函数()f x 在()0,∞+的单调性，并用定义法证明；（2）若对于任意[]11,2x ∈总存在[]21,3x ∈，使得()()21g x f x =成立，求a 的取值范围. 20．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数()33x xf x -=+，函数()()()26g x f x mf x =-+.（1）填空：函数()f x 的增区间为___________（2）若命题“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值.如果不存在，说明理由.【参考答案】一、选择题 1．D 【分析】进行交集和补集的运算即可． 【详解】{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,4,5B =，{}2,4,6∴=U A ，(){}2,4U A B ⋂=．故选：D ． 2．B 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于联立不等式组得答案． 【详解】解：因为1()ln(1)f x x =+()21010ln 10x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得11x -<≤且0x ≠，即函数的定义域为(1,0)(0,1]-⋃ 故选：B 3．B 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可. 【详解】 52252251804ππ︒=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题. 4．B 【分析】由任意角的三角函数的定义求出sin a ，再由诱导公式求出()sin a π-． 【详解】∵角a终边过点()P ，∴||2r OP == ∴1sin =2y a r =， 故()1sin =sin 2a a π-=．故选：B ． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 5．C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】 由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．A 【分析】依题意当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，()122log 11000log 1000C W W =+=；()222log 12000log 2000C W W =+=，利用换底公式可得211.1C C ≈，可得C 大约增加了10%. 【详解】1000SN=时，()122log 11000log 1000C W W =+=； 2000SN=时，()222log 12000log 2000C W W =+=， 2212log 2000lg 20003lg 2= 1.1log 1000lg10003C W C W +==≈，则C 大约增加了10%. 故选：A 7．D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误.【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数， 所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g x x g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确；对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-， ()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论. 8．C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.二、填空题9．ABD 【分析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=， 所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去 当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确； 对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点， 如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD 10．BCD 【分析】利用零点存在性定理可得函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上的零点在区间(1,2)上，即可判断A ，由131222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可判断B ，由(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数可推出函数()f x 的周期为8，可判断C ，求出命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充要条件可判断D. 【详解】函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；由()()11f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故11222f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---， 由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+， 所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确； 命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题， 当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题， 当0a <时，由2(2)40a a ∆=+<可得10a -<<所以命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充要条件是10a -<≤故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若()f x 关于,x a x b ==对称，则2T a b =-；若()f x 关于()(),0,,0a b 对称，则2T a b =-；若()f x 关于(),,0x a b =对称，则4T a b =-.11．BD 【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用 不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确； 故选：BD 12．BCD 【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据x x =判断D 即可得到答案. 【详解】对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==． 当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==． 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==， 当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题； 对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；对于D ， 当x =y =x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三、多选题 13．()4,2--【分析】由()0g x <求得1x <，由①成立可得出当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，解出m 的取值范围；由②知，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >，可得出关于实数m 的不等式，解出m 的取值范围.综合①②可得出结果.【详解】由()220xg x =-<，可得1x <.对于①，对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立，则当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，故0m <，且2131m m <⎧⎨--<⎩，解得40m -<<；对于②，存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立，由于()0g x <对任意的(),4x ∈-∞-恒成立，所以，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >. 所以，24m <-或34m --<-，且23m m ≠--，解得2m <-或1m . 综上所述，实数m 的取值范围是()4,2--. 故答案为：()4,2--. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.14．(3,12)【分析】首先根据函数的单调性知：()f x 在区间(1,2)上单调递增，再根据()f x 在区间(1,2)上存在唯一的零点，解不等式组即可. 【详解】根据函数的单调性知：()f x 在区间(1,2)上单调递增. 因为()f x 在区间(1,2)上存在唯一的零点，所以(1)120(2)840f a f a =+-<⎧⎨=+->⎩，解得：312a <<.故答案为：(3,12) 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，熟练找到函数的单调性为解题的关键，属于中档题.15．(,2)(1,)-∞-+∞【分析】确定函数的单调性，然后解不等式． 【详解】2x y =和y x =都是增函数，所以()21x f x x =+-在(0,)+∞上增函数，而02010-+=,即()f x 在[0,)+∞上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,0]-∞是递增，也即在(,)-∞+∞上是增函数，因此由()22()f x f x -<得22x x -<，解得2x <-或1x >． 故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是确定单调性．解题时要注意由奇函数()f x 在(0,)+∞上递增，得()f x 在(,0)-∞上递增，并不能得出()f x 在R 或在(,0)(0,)-∞+∞上递增，但由奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，可得其在R 上是增函数．16．13a =【详解】试题分析：当011x a <++≤ 时，1a x a --<≤- 时，有()ln 10x a ++≤，∵()0f x ≥，∴12102a x a x --+≤≤，，欲使()0x f x ∀≥，恒成立，则12a a -≥-，∴13a ≥；当11x a ++> 时，x a >- 时，有()ln 10x a ++>，∵()0f x ≥ ，∴12102a x a x --+>>，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则12a a -≤-，∴13a ≤；故13a =． 考点：1．恒成立问题；2．转化思想．【思路点睛】对对数函数分类讨论：当011x a <++≤时，有()ln 10x a ++≤，欲使()0x f x ∀≥，恒成立，则12a a -≥-；当时，x a >- 时，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则12a a -≤-，得出答案． 四、解答题17．（1）{1x x >或}3x <-；（2）403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）当1m =时，代入整理得2230x x +->，解之可得解集．（2）由题意得() 40f ->，解之可求得m 的取值范围. 【详解】解：（1）当1m =时，()12f x >-，即（()()35120x x -++>，整理得2230x x +->，解得 >1x 或3x <-，所以()12f x >-的解集为{} 13x x x ><-或．（2）因为4A -∉，所以() 40f ->，即()430m m -->．所以()340 m m +<，解得403m -<<．即m 的取值范围为403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．18．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-.【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-.【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 19．（1）单调递增，证明见解析；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）首先判断()f x 的单调性，通过证明()()120f x f x -<证得结论成立. （2）先求得()1f x 的取值范围，对a 进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）单调递增，证明如下： 任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()12121212122221f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵120x x <<， ∴120x x -<，12210x x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,∞+单调递增. （2）由（1）可得，()111f x -≤≤， 又[]21,3x ∈，则π1cos1,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()235352a a g x -≤≤-， 由题可知，()()12f x g x ⊆，∴531a -≤-且3512a -≥得823a ≤≤， 当0a <时，()235532ag x a -≤≤-，易知不满足要求. 综上所述，a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．（1）0175x <≤；（2）11 【分析】（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围. （2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值. 【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤. （2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）.由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 22．（1）[0,)+∞（写出开区间亦可）；（2）4m ≥；（3）72m =. 【分析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；（2）令332xxt -=+≥=，问题转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；（3）当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+，若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，分031m <-<和31m ->，结合对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）函数()f x 的增区间为[0,)+∞（写出开区间亦可）； 理由：()()f x f x =-，()f x 为偶函数，任取210x x >>，()22112112211()()(1()33333)330x x x x x xx x f x f x --+-=+--+=->，所以()f x 的增区间为[0,)+∞.（2）()22233(33)6(33)(33)4x x x x x x x xg x m m ----=+-++=+-++，令332x x t -=+≥=，当且仅当0x =时取“=”，“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题可转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，因为2444t t t t +=+≥，当且仅当2t =时取“=”， 所以2min 4()4t t+=， 所以4m ≥；（3）由（1）可知，当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+， 若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，则 1）当031m <-<，即34m <<时，()t ϕ在10[2,]3上最小值为1， 因为()t ϕ图象的对称轴为3(,2)22m t =∈，所以min ()(2)821t m ϕϕ==-=， 解得7(3,4)2m =∈，符合题意；2）当31m ->，即4m >时，()t ϕ在10[2,]3上最大值为1，且()0t ϕ>恒成立， 因为()t ϕ图象是开口向上的抛物线，在10[2,]3的最大值可能是(2)ϕ或10()3ϕ，若(2)1ϕ=，则742m =<，不符合题意， 若10()13ϕ=，则127430m =>， 此时对称轴127310[,]6023t =∈，由2min ()()4024m m t ϕϕ==-<，不合题意0. 综上所述，只有72m =符合条件.【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。
江苏省南京师范大学附属中学2014届高三数学模拟考试试题
(第3题图)频率组距时速(km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005南京师大附中2014届高三模拟考试数学须知事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两局部．本试卷总分为为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试完毕后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置．．．．上．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，如此A ∩B ＝▲． 2．假设复数1＋a i 2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，如此实数a ＝▲． 3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如下列图的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为▲． 4．如图是一个算法流程图，如此输出的S 的值是▲．5．一只口袋内装有大小一样的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是▲．6．α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 如此“α⊥β〞是“m ⊥β〞的▲条件．〔填“充分不必要〞、 “必要不充分〞、“充要〞或“既不充分也不必要〞〕 7．函数[]()sin 3cos (π0)f x x x x =-∈-，的单调增区间是▲．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，假设z ＝2x ＋y 的最小值为3，如此实数b 的值为▲． 9．设a ，b 均为正实数，如此112ab a b++的最小值是▲． (第4题图)NY结束输出s n ≤10开始10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，如此满足不等式f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是▲．11．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，假设D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，如此AB →·AD →的值为▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1〔a ＞b ＞0〕上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．假设△PQM 是钝角三角 形，如此该椭圆离心率的取值范围是▲．13．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，如此实数a 的取值范围是▲．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，假设不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }与任意正整数n都成立，如此实数m 的最大值为▲．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分为14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c3a＝cos C cos A． 〔1〕求角A 的值；〔2〕假设角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．16．〔本小题总分为14分〕在四棱锥P －ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．〔1〕求证：平面PAC ⊥平面PCD ； 〔2〕求证：CE ∥平面PAB ．17．〔本小题总分为14分〕某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如下列图．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．〔本小题总分为16分〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1〔a ＞b ＞0〕的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ． 〔1〕求实数a ，b 的值；〔2〕当直线MN 的斜率为1时，假设椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围； 〔3〕求证：点G 在一条定直线上．(第17题图)EA (第16题图)(第18题图)xyGA 1ND A 2M19．〔本小题总分为16分〕数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. 〔1〕假设a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②假设数列{b n }是唯一的，求m 的值；〔2〕假设a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最 大值.20．〔本小题总分为16分〕设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． 〔1〕当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；〔2〕当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；〔3〕设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0时， 假设g (x )－h (x )x －x 0＜0在D 内恒成立，如此称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点〞．当a ＝－14时，试问函数y ＝f (x )是否存在“巧点〞？假设存在，请求出“巧点〞的横坐标；假设不存在，说明理由．南京师大附中2014届高三模拟考试(第21—A 题图)数学〔附加题〕2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．〔几何证明选讲选做题〕如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．6,AB CD ==AC 的长度．B ．〔矩阵与变换选做题〕设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．〔坐标系与参数方程选做题〕在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ〔θ为参数〕和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．D ．〔不等式选做题〕设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥ a ＋ b ＋ c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量一样的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．〔1〕求P(ξ＝1)；〔2〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取假设干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10〞或“11张写有1的卡片〞，如此选法种数为2．〔1〕假设m＝100，直接写出选法种数；〔2〕设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案与评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细如此．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解答应得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．[－π6,0]；8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．〔0，6－22〕； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15． 二、解答题：15．解析:〔1〕因为(23)cos 3cos b c A a C ，由正弦定理得(2sin 3)cos 3cos B C A A C -=， ………………2分 即2sin cos 3sin cos 3sin cos B A A C C A ==3sin(A +C ) ．………………4分 因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )， 所以2sin cos 3sin B A B ． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以3cos A =，因为0A π<<，所以6A π=．………………7分 〔2〕由〔1〕知π6A B ==，所以AC BC =，23C π=．………………8分设AC x =，如此12MC x =，又 7.AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120(7),22x xx x +-⋅⋅=解得x ＝2.………………12分故212sin 3.23ABC S x π∆=………………14分16．解析:〔1〕因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，…………………2分⊥，而PA∩AC＝A，又∠ACD＝90°，如此CD AC所以CD⊥平面PAC，因为CD⊂平面ACD，………………4分所以，平面PAC⊥平面PCD．………………7分（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，如此EM∥PA．因为EM ⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB．………………9分在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，Array又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，如此MC∥AB．因为MC ⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MC∥平面PAB．………………12分而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC⊂平面EMC，从而EC∥平面PAB．………………14分证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC ⊄平面PAB，PN ⊂平面PAB，所以EC∥平面PAB．………………14分17．解析:正三棱锥展开如下列图．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ．………………2分如此h ＝h 02－x212＝(10－36x )2－x212＝100－1033x ，x ∈(0,103) ．………………5分所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－10 33x＝3x212100－10 33x ．………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－10 33x )＝100x 448－10x5483，求导得y ′＝100x 312－50x448 3，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大， 当x ∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，所以，当x ＝8 3 cm 时，y 取得极大值也是最大值．………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝3215 cm 3．答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3．………………14分 18．解析: 〔1〕由题设可知a ＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分〔2〕由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，假设直线m 与椭圆只有一个交点，如此满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12；当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 如此需满足d 1＜d ＜d 2，即5－12＜d ＜5＋12． 因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分〔3〕方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)．同理，可解得点N 的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0． 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G 恒在定直线x ＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－ 32)或M (1，－ 32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－ 32)时，直线A 1M 的方程为y ＝ 36x ＋33，直线A 2N 的方程为y＝32x －3． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ 36x ＋ 33y ＝ 32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－ 32)，N (1， 32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．假设点G 恒在一条定直线上，如此此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)． 由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2． 所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．① 将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ②………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4． 将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：〔1〕①由数列{a n }是等差数列与a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列与b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3．………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，假设m ＝18，如此有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3， b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12， b n ＝3(－2)n －2.………………4分 ②由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0〔*〕．因为数列{b n }是唯一的，所以假设q =0，如此m =0，检验知，当m =0时，q =1或0〔舍去〕，满足题意； 假设q ≠0，如此(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入〔*〕式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34．………………8分〔2〕依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，如此有36＝(3－d ＋3q)(3＋d ＋3q )，〔**〕记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，如此mn =36．将〔**〕中的q 消去，整理得：d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋ (m －n )2－12(m ＋n )＋1442＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5 372．………………16分20．解析：〔1〕当a ＝1时，f ′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)，………………1分由f ′(x )＞0得：x ＞－1＋ 52；由f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋52．………………2分所以，f (x )的单调增区间为(－1＋52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋ 52) ．………………3分〔2〕当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ．f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m．又直线OM 的斜率为2m 2＋3m －2ln mm，………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m m，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1．………………7分〔3〕a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0．………………8分ADCB E令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，如此F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x (x －x 0) (x －4x 0) ………………10分当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0； 当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点〞．………………13分 当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0． 因此，点(2，f (2))为“巧点〞，其横坐标为2．………………16分南京师大附中2014届高三模拟考试 数学附加题参考答案与评分标准2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每一小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°． ………………2分设AE x =，如此6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =即有(6)5x x -=，解得1x =〔舍〕或5x =………………8分所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此ad －bc ＝2－6＝－4． ………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5，所以，AB 的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2 ab ，1b ＋1c ≥2 bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2 ab ＋2 bc ＋2 ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1 ab ＋1 bc ＋1ca．………………5分由abc ＝1，如此有abc ＝1．所以，1a＋1b＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：〔1〕63(1)168P ξ===；………………3分〔2〕ξ的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分41(0)164P ξ∴===，63(1)168P ξ===，41(2)164P ξ===,21(3)168P ξ===． 如此随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望()012348484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………10分23．解析：〔1〕m ＝100，共有选法种数为12．………………3分〔2〕假设至少选一张写有100的卡片时，如此除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n －1)， 有a n －1种选法；假设不选含有100的卡片，如此有10n ＋1种选法．所以，a n ＝10n ＋1＋a n －1 ， ………………8分 从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1 ＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1＝5n 2＋6n ＋1所以，{a n }的通项公式是a n ＝5n 2＋6n ＋1．………………10分。
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2013-2014学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，满分42分，请把答案填写在答题纸相应位置上。
1．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，3，5}，B={1，3}，则∁U（A∪B）= _________ ． 2．（3分）已知函数f（x）=lg（1﹣x），则其定义域为： _________ ．3．（3分）函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为 _________ ．4．（3分）已知向量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则实数x的值为 _________ ．5．（3分）如果函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是 _________ ．6．（3分）将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为 _________ ．7．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣1，3），则sinα﹣2cosα= _________ ．8．（3分）已知a=log2，b=20.6，c=0.62，则a，b，c的大小关系为 _________ （用“＜”连接）．9．（3分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为 _________ ．10．（3分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则△ABC为 _________ 三角形（在“锐角”、“直角”、“钝角”中，选择恰当的一种填空）．11．（3分）若函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为 _________ ．12．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（3））的值为 _________ ．13．（3分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=4，点P在边BC上，•的最小值为 _________ ．14．（3分）已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[﹣，]⊆A，则实数a的取值范围是 _________ ．二、解答题：本大题共6小题，满分58分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（8分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．16．（8分）已知tanα=3，π＜α＜，（1）求cosα的值（2）求sin（+α）+sin（π+α）的值．17．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若x∈[﹣，0]，求函数f（x）的值域．18．（10分）如图，在▱ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M为DC的中点．（1）求•的值；（2）设=λ，若AC⊥DP，求实数λ的值．19．（10分）用一根长为10m的绳索围成一个圆心角为α（0＜α＜π），半径不超过2m的扇形场地，设扇形的半径为x m，面积为S m2．（1）写出S关于x的表达式，并求出此函数的定义域（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围成的扇形场地的面积S最大，并求最大面积．20．（12分）已知M是所有同时满足下列两个性质的函数f（x）的集合：①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．请解答以下问题（1）判断函数g（x）=﹣x2（x∈[0，+∞））是否属于集合M？若是，请求出相应的区间[a，b]；若不是，请说明理由．（2）证明函数f（x）=3log2x属于集合M；（3）若函数f（x）=属于集合M，求实数m的取值范围．2013-2014学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，满分42分，请把答案填写在答题纸相应位置上。
1．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，3，5}，B={1，3}，则∁U（A∪B）= {2，4} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由A与B求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，A={0，3，5}，B={1，3}，∴A∪B={0，1，3，5}，则∁U（A∪B）={2，4}．故答案为：{2，4}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（3分）已知函数f（x）=lg（1﹣x），则其定义域为： （﹣∞，1） ．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：依据对数函数的定义知，其真数大于0，即由1﹣x＞0即可解得．解答：解：∵1﹣x＞0，∴x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）故答案为（﹣∞，1）点评：本题属于以函数的定义的基础题，也是高考常会考的题型．3．（3分）函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为 4π ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，从而得出结论．解答：解：函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为=4π，故答案为：4π．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题． 4．（3分）已知向量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则实数x的值为 ﹣8 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接由向量共线的坐标运算得答案．解答：解：∵量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x=0．解得：x=﹣8．故答案为：﹣8．点评：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．5．（3分）如果函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是 1＜a＜2 ．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性与底数之间的关系确定底数的取值范围，即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=（a﹣1）x在实数集R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．点评：本题主要考查指数函数的单调性与底数之间的关系，要求熟练掌握指数函数的图象和性质．6．（3分）将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为 y=sin（x+） ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（x﹣+）=sin（x+），故答案为：y=sin（x+）．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣1，3），则sinα﹣2cosα= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣1，3），∴x=﹣1，y=3，r==∴sinα=，cosα=∴sinα﹣2cosα==，故答案为：．点评：本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（3分）已知a=log2，b=20.6，c=0.62，则a，b，c的大小关系为 a＜c＜b （用“＜”连接）．考点：不等式比较大小；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：判断三个数与0，1的大小，即可得到结果．解答：解：a=log2＜0，b=20.6＞1，c=0.62∈（0，1）．所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．点评：本题考查数值大小的比较，注意中间量的应用，基本知识的考查．9．（3分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为 4 ．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，代入构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，故1+b=﹣1，且a+b=0，解得：b=﹣2，a=2，故a﹣b=4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是待定系数法，求函数的解析式，指数函数图象的变换，难度不大，属于基础题．10．（3分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则△ABC为 钝角 三角形（在“锐角”、“直角”、“钝角”中，选择恰当的一种填空）．考点：二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：由sinA+cosA=，求得sinA•cosA=﹣＜0，且0＜A＜π，可得A为钝角，从而得到△ABC是钝角三角形．解答：解：∵在△ABC中sinA+cosA=，平方可得1+2sinA•cosA=，∴sinA•cosA=﹣＜0，且0＜A＜π，故A 为钝角，故△ABC是钝角三角形．故答案为：钝角．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．11．（3分）若函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为奇函数有：f（﹣x）=﹣f（x），所以得到：，所以﹣（2a+1）=2a+1，所以2a+1=0，所以a=．解答：解：f（﹣x）==；∴2x2﹣（2a+1）x+a=2x2+（2a+1）x+a；∴﹣（2a+1）=2a+1，∴a=．故答案为：．点评：考查奇函数的概念，也可先将f（x）中的（2x+1）（x+a）展开，再求f（﹣x）．12．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（3））的值为 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=log23，f（f（3））=（）=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．13．（3分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=4，点P在边BC上，•的最小值为 ﹣1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：本题可利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，将•转化为二次函数在区间上的值域，研究二次函数，得到本题结论．解答：解：∵在△ABC中，已知AB=AC，∴取BC中点O建立如图所示的平面直角坐标系．∵BC=4，∴B（﹣2，0），C（2，0）．设A（0，b），P（x，0），（﹣2≤x≤2）．∴，，∴•=﹣x（2﹣x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1．当且仅当x=1时，取最小值．∴•的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，解题时要注意变量x的取值范围，本题思维难度不大，属于基础题，14．（3分）已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[﹣，]⊆A，则实数a的取值范围是 （﹣1，0） ．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论x的范围，得出函数的表达式，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出a的范围．解答：解：当x≥0时，f（x）=ax2+2x=a（x+）2﹣，当x＜0时，g（x）=﹣ax2+2x=﹣a（x﹣）2+，当a=0时，A是空集，舍去，当a＞0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=﹣，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，二次函数g（x）开口向下，对称轴x=，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，当a＜0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，﹣]上是增函数，在（，+∞）上是减函数，二次函数g（x）开口向上，在（﹣∞，]上是减函数，在（，0）上是增函数，∴a＜0时，A非空集，对于任意的x属于[﹣，]，f（x+a）＜f（x）成立．当x≤0时，g（x+a）＜g（x）=g（﹣x）≤0，由g（x）区间单调性知，x+a＜x且x+a＞﹣x，解得，﹣1＜a＜0当x＞0时，＜﹣，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＜f（x），∴a的取值范围为，﹣1＜a＜0，故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．二、解答题：本大题共6小题，满分58分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。