2017-2018学年高一南师附中期中数学试卷及解析(国大班)

本套试卷是附中高一上学期国科大菁英班所采用的数学期中试卷，整体难度大于菁英班试卷难度，其中第13题为菁英班试卷第14题，第17题为菁英班试卷第18题，第19题为玄武区期中试卷第20题的改编题目，整卷所考查的知识点均没有超纲内容，为应知应会的知识点，压轴题中，第14题考查了我们反复讲解的“和谐区间”类问题，第20题考查了对数函数的综合运用。

总体来说，这套试卷值得其他班及其他学校的孩子们一刷、二刷甚至三刷，反复琢磨思考。

南京师大附中2017-2018学年度高一年级国科大菁英班第一学期期中考试数学试卷感谢参与试卷解析的杨洋、宋扬、薛䶮老师！一．填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分.1.设a ∈R ，集合1{1,,1}{0,1,}a a a +=，则a 等于_______.2.计算：151lg2lg 2()22-+-=_______.3.若幂函数a y x =的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为_______.4.设函数3,10,()((5)),10,n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩其中,n ∈N 则(8)f 等于_______.5.函数2lg(4)y x x =-的单调递增区间是_______.6.设236,a b ==则11a b+=_______.7.设 1.1 1.13log 7,2,0.8,a b c ===则将a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是_______.8.设,k ∈Z 若函数2()log 3f x x x =-的零点所在区间为(,1)k k +，则k 的值是_______.9.已知函数2283,1,(),1,x x ax x f x a a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为_______.10.设m 为实数，若函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4],4--则m 的取值范围为_______.11.已知函数()()y f x x =∈R 是奇函数，当0x ≥时，()31,x f x =-设()y f x =的反函数是(),y g x =那么(8)g -=_______.12.对,,a b ∈R 记,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x =+-∈R 的最小值是_______.13.如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于,A B 两点，过,A B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于,D C 两点.若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD 的面积为______.14.对于函数()y f x =，若其定义域内存在两个实数,(),m n m n <似的[,]x m n ∈时，()f x的值域也是[,]m n ，则称函数()f x 为“和谐函数”.若函数()f x k =是“和谐函数”则实数k 的取值范围是_______.二．解答题：本大题共6小题，共计58分.15.已知全集,U =R 集合2{|3},{|log 3}.A x xB x x =<<（1）求A B ；（2）求()U UC A C B .16.设f 为定义在区间D 上的函数，若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≥则称f 为区间D 上的凸函数；若对D 上任意两点12,,x x 总有1212()()(22f x f x x x f ++≤则称f 为区间D 上的凹函数.试判断函数()lg f x x =是定义域上的凸函数还是凹函数，并给出证明.17.某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取.（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x 吨，所缴水费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式；（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费.18.设a 为实数，已知函数1()2(.,0)f x ax x xx =≠+∈R （1）当12a ≤时，试判断()f x 在区间(0,1]上的单调性定义证明你的结论；（2）若对任意的(0,1],x ∈总有()8f x ≥成立，求a 的取值范围。

19.定义在D 上的函数()f x ，如果满足对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界，已知函数11()124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .（1）当1a =时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)x ∈+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.20.已知函数1()lg(11)x f x x -=-<<+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()1f x ≤，求实数x 的取值范围；（3）设a 为实数，若关于x 的方程()10f x ax =有实数解，求a 的取值范围.南京师大附中2017-2018学年度高一年级国科大菁英班第一学期期中考试数学试卷参考答案一.填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分.1.设a ∈R ，集合1{1,,1}{0,1,}a a a +=，则a 等于_______.【答案】：1-【解析】：由集合相等的定义可知，010a a =+=或，又01a a ≠∴=- 分母2.计算：151lg2lg 2()22-+-=_______.【答案】：1-【解析】：原式=5lg lg 42lg10212+-=-=-3.若幂函数a y x=的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为_______.【答案】：4【解析】：将1(2,)4代入a y x =，得12α=，解得22()f x x α-=-∴=，故：211()(4f -==4.设函数3,10,()((5)),10,n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩其中,n ∈N 则(8)f 等于_______.【答案】：7【解析】：(8)((85))((13))(10)7f f f f f f =+===5.函数2lg(4)y x x =-的单调递增区间是_______.【答案】：(4,)+∞【解析】：由题意知，240x x ->，解得：04x x <>或，由复合函数单调性可知，当4x >时，函数2lg(4)y x x =-单调递增。

6.设236,a b ==则11a b +=_______.【答案】：1【解析】：由题意知，23log 6,log 6a b ==，∴6611log 2log 31a b +=+=7.设 1.1 1.13log 7,2,0.8,a b c ===则将a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是_______.【答案】：c a b<<【解析】：12,2,01,a b c <<><<∴ c a b<<8.设,k ∈Z 若函数2()log 3f x x x =-的零点所在区间为(,1)k k +，则k 的值是_______.【答案】：2【解析】：22(2)2log 2310,(3)3log 330,f f =-=-<=->∴ 由零点定理可知，()f x 在区间[2,3]必有零点，故：2k =9.已知函数2283,1,(),1,x x ax x f x a a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为_______.【答案】：15[,]28【解析】：由分段函数的单调性可知，2101580a a a ≥⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，解得：1528a ≤≤10.设m 为实数，若函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4],4--则m 的取值范围为_______.【答案】：3[,3]2【解析】：22325()34(24f x x x x =--=--，故32m ≥，又(3)(0)4f f ==-，故3m ≤，综上，332m ≤≤11.已知函数()()y f x x =∈R 是奇函数，当0x ≥时，()31,x f x =-设()y f x =的反函数是(),y g x =那么(8)g -=_______.【答案】：2-【解析】：当0x <时，()()13x f x f x -=--=-，令138x --=-，解得：2x =-12.对,,a b ∈R 记,max{,},,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x =+-∈R 的最小值是_______.【答案】：32【解析】：11,2()12,2x x f x x x ⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，由此分段函数的图象易知，当12x =时，min 13()(22f x f ==13.如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于,A B 两点，过,A B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于,D C 两点.若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD的面积为______.【答案】33log 22【解析】因为点D 和点B 的纵坐标相等，设点D 的横坐标为a ，点B 的横坐标为b ，则有223939log log ,log log ,a b a a b a ==∴= ，又()2299,log ,(,log )A a a B a a 在一条过原点的直线上，22299log 2,2,2log a a a a a a a∴==∴=∴=()99332,log 2,(4,log 4),(4,log 4),(2,log 2),A B C D 所以399313(42)(log 4log 2)log 8log 2ABCD S =--==14.对于函数()y f x =，若其定义域内存在两个实数,(),m n m n <似的[,]x m n ∈时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称函数()f x 为“和谐函数”.若函数()f x k =是“和谐函数”则实数k 的取值范围是_______.【答案】：9(,2]4--【解析】：易证，()f x k =是[2,)-+∞的单调递增函数，故()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，故()f x x =在[2,)-+∞有两个不相等的实数根，即等价于k x =-在[2,)-+∞有两个不相等的实数根，设(2)x g x x -=≥-，令0t t =≥，则22x t =-，故2()2,0g t t t t =--≥，由()g t 的图象可知，当9()(,2]g t ∈--时，k x =在[2,)-+∞有两个不相等的实数根。