广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文科)试题含答案
《精编》广西柳州市一中高三数学第一次全市统测前模拟试卷 文 新人教A版.doc
柳州市一中2021届高三第一次全市统测前数学模拟卷(文)班别 姓名 学号一.选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕1.设全集U ＝{}7,5,3,1,那么集合M 满足M C U ＝{}7,5，那么集合M 为 〔 〕 A. {}3,1 B. {}1或{}3 C.{}7,5,3,1 D.{}{}{}131,3或或2.cos(—3000)等于 〔 〕A. B.－12 C. 12 3．数列{n a }为等差数列，且π41371=++a a a ，那么tan(122a a +)等于 〔 〕 A. 3 B.－ 3 C.± 3 D.－334．某校高一、高二、高三的学生人数分别为3200人、2800人、2021 人，为了了解学生星期天的睡眠时间，决定抽取400名学生进行抽样调查，那么高一、高二、高三应分别抽取 ( 〕 A 、160人、140人、100人 B 、200人、150人、50人 C 、180人、120人、100人 D 、250人、100人、50人p ：12,:q x x><那么p 是q 的 〔 〕6．P 、A 、B 、C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=，那么一定有 〔 〕 A.2PB CP =B.2CP PB =C.2AP PB =D.2PB AP =sin(2)16y x π=+-的图象按向量(,1)6a π=平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得图象的函数解析式是 〔 〕 A.2sin(4)23y x π=+- B.sin(4)6y x π=- C.sin(2)6y x π=+ D.2cos(4)3y x π=+ 8.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，假设不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，那么实数a的取值范围是( )A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，-D. )2123(，-9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的外表积为125π 那么x 的值为A ．5B ．6C ．8D ．1010．双曲线12222=-by a x 左、右集点分别21,F F ，过1F 作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，假设2MF 垂直于x轴，那么双曲线的离心率为〔 〕D.311．从甲、乙等10名同学挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的挑选方法有 〔 〕 A.70种 B.112种 C.140种 D.168种 12.函数y=f(x)是R 上的偶函数，对于x R ∈都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，且f(-4)=-2,当x 1,x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有1212()()0f x f x x x ->-。
广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(图片版)
柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分,满分60分)123456789101112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．714．15215．1216．512+三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==，.....................................2分()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++-+-+-==，.................................................4分8182221593ˆ24812845125682i i i i i x y nxyb xnx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑，...........................................................................6分∴91518ˆ2ˆ42ay bx =-=-⨯=，...............................................................................................7分故线性回归方程为1142ˆy x =+，..............................................................................................8分（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω-..............................................9分而数学偏差为128-120=8，...........................................................................................................10分∴1191.5842ω-=⨯+，.............................................................................................................11分解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．.............................................12分18．解：（1） ()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，.....................................................................................1分由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，............................................................................2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，................................................3分A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，.................................4分 sin 0B ≠，∴1cos 2A =.......................................................................................................5分由()0,A π∈，则3A π=..............................................................................................................6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，..................................................................... 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴2153sin 3cos 234ABC S BCD △π=⨯⨯=-，................................................................... 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=，...............................................................................9分∴5353sin 3cos 2sin 4453324ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝，..............10分∴sin()13D π-=，............................................................................................................................ (0,)D π∈，即56D π=.............................................19．解法一：（1） //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD ==即13AM AC =．........................................................................................................................... //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，...........................................................................................2分∴//MN PC ．..........................................................................................................................3分∴13AN AM AP AC ==，即13λ=．............................................................................................4分(2) 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ABCD ⊥平面.....................................................................8分 PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ， 平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ．............................................................................................................9分又 //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离．........................................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则32h =，...............................................................11分 23MD MC BD AC ==，∴2333ME h ==，即N 到平面PCD 的距离为33．.............12分解法二：（1）同解法一．（2） 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==，....................................................................................................................5分又 1PD =，2PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥，...................................................................................................7分又 DA DB D ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．..................................................................8分设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =，.................................9分∴2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==，......................................................................................10分即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅ ． 1322ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠= ，112PCD S PD CD =⋅= ，1PD =，..................................................................................................................................11分∴231923d ⨯=，解得33d =，即N 到平面PCD 的距离为33．.................................................................................12分20．解：（1）设焦距为2c ，由已知32c e a ==，22b =，∴1b =，2a =，..........................................................................................................................2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=..........................................................................................4分（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=，.........................................................................................5分依题意，()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①................................................................................................................6分2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，...........................................................................................7分()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，........................................................8分若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =，...................................................................9分∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，...................................................................................10分∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，............................................................11分即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②............................12分21．解：（1）'1()0(),x f x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1()x m∈-+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减。
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柳州市2021届高三第一次模拟考试文科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112B C A D B C D C D C B C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．7 14．152 15．12 16 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由题意，()()()2015133251018582x +++++−+−+−==， .................. 2分 ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988y ++++−+−+−==， ....................... 4分 8182221593ˆ24812845125682i ii i i x y nxy b xnx ==−−××=== −−×∑∑， .................................... 6分 ∴91518ˆ2ˆ42a y bx =−=−×=， .............................................. 7分 故线性回归方程为1142ˆy x =+， ............................................. 8分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：91.5ω− ............................................ 9分 而数学偏差为128-120=8， .................................................... 10分 ∴1191.5842ω−=×+， ..................................................... 11分 解得94ω=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ...................... 12分18．解：（1）Q ()()22222cos b c b a c abc C −−+=， ∴()()2222cos 2b c b c a a C bc −+−=， ......................................... 1分 由余弦定理可得()2cos cos b c A a C −=， ..................................... 2分由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C −=，....................... 3分Q A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， ................ 4分 Q sin 0B ≠，∴1cos 2A = ..................................................................................................... 5分 由()0,A π∈，则3A π=. ........................................................................................................... 6分（2）如图，在BCD ∆中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+−××=−，.................................. 7分 Q 3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D △π=××=， ................................ 8分 Q 1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆×××=， ...................................... 9分∴sin 2sin 32ABDC S D D D 四边形π =+=+−= ， ...... 10分 ∴sin(13D π−=， ............................................................ 11分 Q (0,)D π∈，即56D π= ............................................................................................................ 12分 19．解法一：（1）Q //AB CD ,所以1,2AM AB MC CD == 即13AM AC =． ............................................................ 1分 Q //MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PCD PC =， ............................................ 2分 ∴//MN PC ． ........................................................... 3分 ∴13AN AM AP AC ==，即13λ=． .......................................................................................... 4分 (2) Q 0,60AB AD BAD =∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................... 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ABCD ⊥平面 .................................................................... 8分 Q PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，Q 平面PCD ∩平面=ABCD CD ，∴ME ⊥平面PCD ． ........................................................................................................... 9分又Q //MN 平面PCD ，∴ME 即为N 到平面PCD 的距离． ...................10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h = ............................... 11分Q 23MD MC BD AC ==，∴23ME h ==，即N 到平面PCD ． ............. 12分 解法二：（1）同解法一．（2）Q 0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，∴1BD AD ==， .................................................................................................................. 5分又Q 1PD =，PA PB ==，∴222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，∴PD BD ⊥且PD DA ⊥， ................................................ 7分 又Q DA DB D ∩=，∴PD ⊥平面ABCD ． ................................................................ 8分 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， ............................... 9分 ∴2233N PCD A PCD P ACD V V V −−−==， .................................................................................... 10分 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅V V ．Q 12ACD S AD DC sin ADC =⋅⋅∠=V ，112PCD S PD CD =⋅=V ， 1PD =， ............................................................................................................................... 11分∴2193d =，解得d =即N 到平面PCD ． ............................................................................... 12分20．解：（1）设焦距为2c，由已知c e a ==，22b =， ∴1b =，2a =， ........................................................... 2分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ........................................... 4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+ += 得()222418440k x kmx m +++−=， ........................................... 5分 依题意，()()()2228441440km k m ∆=−+−>， 化简得2241m k <+，① ...................................................... 6分2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ............................................ 7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ........................... 8分 若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =， ................................. 9分 ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ........................................ 10分 ∴()()22222418454404141m km k km m k k − −⋅+⋅−+= ++ ， ............................. 11分 即()()()2222224518410k m k m m k −−−++=，化简得2254m k +=，② ............. 12分 21．解：（1）'1()0(),xf x f x m +∞=+的定义域是（，），………………………………………………1分 若0m ≥，则()0f x ′>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；………………………2分若0m <，当1(0,)x m∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当1()x m∈−+∞，时，()0f x ′<，()f x 单调递减。
2021-2022年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案
2021年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案xx.03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}lg 0,2,M x x N x x M N =>=≤⋂=则A. B. C. D.2.在复平面内，复数所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题中，真命题是A. B.C.函数的图象的一条对称轴是D.4.设a,b 是平面内两条不同的直线，l 是平面外的一条直线，则“”是“”的A.充分条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要条件5.函数的大致图象是6.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为A. B.C. D.7.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为A.3B.C.D.8.设的最小值是A.2B.C.4D.89.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是A.8B.C.16D.10. 已知实数，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为A. B. C. D.11.实数满足如果目标函数的最小值为，则实数m的值为A.5B.6C.7D.812.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确．．的是A.满足的点P必为BC的中点B.满足的点P有且只有一个C.的最大值为3D.的最小值不存在第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.抛物线的准线方程为____________.14.已知为第二象限角，则的值为__________.15.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分布五组：第一组，第二组，……，第五组.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于________________.16.记…时，观察下列，，观察上述等式，由的结果推测_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若向量()()1cos ,sin ,cos ,sin ,.2m B C n C B m n =-=--⋅=且 （I ）求角A 的大小；（II ）若的面积，求的值.18.（本小题满分12分）海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.（I ）求三个社团分别抽取了多少同学；（II ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，且F 是CD 的中点.（I ）求证：AF//平面BCE ；（II ）求证：平面.20.（本小题满分12分）若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d 的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.（I ）求证：为准等差数列；（II ）求证：的通项公式及前20项和21.（本小题满分13分）已知长方形EFCD，以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（I）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（II）在（I）的条件下，过点F做直线与椭圆交于不同的两点A、B，设，点T坐标为的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（III）若，使成立，求实数a的取值范围.xx届高三模拟考试文科数学参考答案及评分标准xx.03 说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，均应参照本标准相应评分。
广西省柳州市2021届新高考数学模拟试题含解析
广西省柳州市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.5．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜，∴f （5）＝f[f （1）] ＝f （9）＝f[f （15）]＝f （13）＝1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 6．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 7．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点. 在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 10．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：11．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年广西柳州市高三(上)摸底数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年广西柳州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0}，集合B={x|y=√x−2}，则A∩B=()A. (−1,2]B. [2,5)C. [0,5)D. [2,3)2.复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则其共轭复数z−=()A. 35+45i B. 45+35i C. 35−45i D. 45−35i3.在等差数列{a n}中，若a2+a6=10，a5=9，则a10=()A. 20B. 24C. 27D. 294.已知F是抛物线y2=8x的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 85.阅读如图的程序框图，输出的结果为()A. 17B. 10C. 9D. 56.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件D. 命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题7.在三棱锥P−ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面ABC上的射影O必为△ABC的()A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心8.若曲线f(x)=e x+2x在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为4，则x0=()A. ln2B. ln4C. 2D. −ln29.2020年初，新型冠状病毒(COVID−19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为ŷ=b̂x+1，则此回归模型第5周的残差(实际值减去预报值)为()A. −1B. 0C. 1D. 210.我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征．如函数y=(x3−x)⋅3|x|的图象大致是()A. B.C. D.11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1和F2，点F1关于渐近线bx−ay=0的对称点恰好落在圆(x−c)2+y2=c2上，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. 2√2D. 312.已知函数f(x)=cos(cosx)+sin(cosx)，x∈R，有下述四个结论：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是π；③函数f(x)在[0,π2]上是减函数；④函数f(x)在[π2,π]上的最大值是1． 其中正确的结论一共有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，c ⃗ =(2,3)，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ = ______ ． 14. 已知变量x ，y 满足{y ≥0y ≤x x +y −3≤0，则x =2x +3y 的最大值为______．15. 将函数f(x)=2sin(ωx −π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若数y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数，则ω的取值范围是______． 16. 若球O 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球O 表面积的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：(Ⅰ)估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例以及女性老年人的比例；(Ⅱ)根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关？请说明理由． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 参考数据：18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)求cosB+cosC的取值范围．19.设数列{a n}的前n项和S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{1a n }的前n项和为T n，求使得|T n−1|<1500成立的n的最小值．20.如图，直四柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，E为BA1的中点，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°．(1)证明：E，C1，A，D四点共面；(2)求点E到平面A1CD的距离．21. 已知函数f(x)=2x −ax −(a +2)lnx(a ∈R)．(1)当a =4时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的单调性．22. 已知动点P 到点F 1(−1,0)的距离与到点F 2(1,0)的距离之和为2√2，若点P 形成的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过F 1作直线l 与曲线C 分别交于两点M ，N ，当F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最大时，求△MF 2N 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|x 2−4x −5<0}={x|−1<x <5}， 集合B ={x|y =√x −2}={x|x ≥2}， ∴A ∩B =[2,5)． 故选：B ．先解不等式求出集合A ={x|−1<x <5}，集合B ={x|x ≥2}，再利用交集运算即可求解．此题考查了交集及其运算，不等式的解法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =2+i2−i =(2+i)2(2+i)(2−i)=3+4i 5=35+45i ，则z −=35−45i ， 故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设公差为d ，则{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解得{a 1=−7d =4，所以a 10=a 1+9d =−7+36=29． 故选：D ．由通项公式得{a 2+a 6=2a 1+6d =10a 5=a 1+4d =9，解出a 1，d 即可．本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程y2=8x可得2p=8，所以p=4，,0)，即(2,0)，所以焦点F(p2准线方程l的方程为：x=−2，所以可得焦点到直线的距离为2+2=4，故选：B．由抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点坐标及准线方程，求出焦点到准线的距离．本题考查抛物线的性质，由方程求出抛物线的焦点坐标及准线方程，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：程序开始，第1次循环，S=0+2=2，a=2×2−1=3，第2次循环，S=2+3=5，a=2×3−1=5，第3次循环，S=5+5=10，a=2×5−1=9，退出循环，最后输出a的值为9．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”故A错误；对于B：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故B错误；对于C：“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故C错误；对于D：命题“若x=y，则x2=y2”为真命题，故它的逆否命题为真命题，故D正确．故选：D．直接利用命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，充分条件和必要条件，四种命题，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC ，∴顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心， 故选：D ．由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即0必为△ABC 的外心．本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：由f(x)=e x +2x ，得f′(x)=e x +2， ∴f′(x 0)=e x 0+2， 由题意可得，e x 0+2=4， 即x 0=ln2． 故选：A ．求出原函数的导函数，得到函数在x 0处的导数，再由f′(x 0)=4即可求解x 0，是基础题． 本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．9.【答案】A【解析】解：x −=15(1+2+3+4+5)=3，y −=15(3+8+10+14+15)=10，即样本点的中心坐标为(3,10)，代入y ̂=b ̂x +1，可得10=3b ̂+1，解得b ̂=3，∴线性回归方程为y ̂=3x +1，取x =5，得y ̂=16， ∴此回归模型第5周的残差为15−16=−1． 故选：A ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得b ̂，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=(x3−x)⋅3|x|，其定义域为R，有f(−x)=−(x3−x)⋅3|x|=−f(x)，函数为奇函数，排除BD，在区间(0,1)上，f(x)=(x3−x)⋅3|x|<0，排除A，故选：C．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析区间(0,1)上，f(x)的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：根据题意作出如下所示的图形，其中F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，∴N是F1M的中点，∵O为F1F2的中点，∴ON//F2M，|ON|=12|F2M|=c2，在Rt△OF1N中，|OF1|=c，|ON|=c2，∴∠F1ON=60°，即渐近线bx−ay=0的斜率为tan60°=√3，∴ba=√3，∴离心率e=ca =√1+(ba)2=2．故选：B．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线相交于点N，由中位线的性质知|ON|=1 2|F2M|=c2，再在Rt△OF1N中，推出∠F1ON=60°，然后结合ba=tan60°和离心率e=√1+(ba)2，得解．本题考查双曲线的几何性质，点关于直线的对称问题，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：A选项，f(−x)=cos[cos(−x)]+sin[cos(−x)]=cos(cosx)+sin(cosx)= f(x)，所以f(x)为偶函数，①错误；B选项，f(0)=cos1+sin1，f(π)=cos(−1)+sin(−1)=cos1−sin1，所以f(0)≠f(π)，所以π不是周期，②错误；令t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)=g(t)，所以g(t)在[−3π4,π4]上单调递增，[π4,5π4]上单调递减．C选项，当x∈[0,π2]时，t∈[0,1]，所以g(t)在[0,π4]上单调递增，[π4,1]上单调递减，所以f(x)在[0,π2]不是单调函数，③错误；D选项，当x∈[π2,π]时，t∈[−1,0]，所以t=cosx在[π2,π]上递减，g(t)在[−1,0]上递增，所以f(x)在[π2,π]上递减，最大值为f(π2)=cos0+sin0=1，④正确．故选：A．化简f(−x)，并由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性；计算f(0)，f(π)，根据f(0)≠f(π)得π不是f(x)的周期；t=cosx，则y=f(x)=cost+sint=√2sin(t+π4)，设g(t)=√2sin(t+π4)，则f(x)的单调性由t=cosx与g(t)的单调性共同决定，利用复合函数的单调性法则“同增异减”判断C、D选项．本题考查函数的周期性，奇偶性，复合函数的单调性，属于综合题．13.【答案】−6【解析】解：∵2a⃗−b⃗ =(3,−4),c⃗=(2,3)，∴(2a⃗−b⃗ )⋅c⃗=6−12=−6．故答案为：−6．可求出向量2a⃗−b⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算即可．本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：画出不等式组{y ≥0y ≤x x +y −3≤0表示的平面区域如图所示：令z =2x +3y 可得y =−23x +13z ，则13z 为直线2x +3y −z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线l ：2x +3y =0，把直线向上平移可得过点B 时2x +3y 最大，由{y =x x +y −3=0，解得y =32，x =32，此时z =2×32+3×32=152． 故答案为：152．画出约束条件表示的平面区域，结合几何意义，求出目标函数z =2x +3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数求出答案．本题考查了简单的线性规划问题，画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解题的关键．15.【答案】(0,32]【解析】解：g(x)=f(x +π3ω)=2sin[ω(x +π3ω)−π3]=2sinωx(ω>0)， ∵y =g(x)在[−π4,π3]上为增函数， ∴{−π4ω≥−π2π3ω≤π2，解得0<ω≤32，故答案为：(0,32].利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求得g(x)=2sinωx({ω>0)，再解不等式组{−π4ω≥−π2π3ω≤π2可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，在Rt△ABC中，不妨设∠BAC=90°，AB=c，AC=b，则BC=√b2+c2，取BC，B1C1的中点分别为O2，O1，则O2，O1分别是Rt△ABC和Rt△A1B1C1的外接圆的圆心，连接O2O1，又直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O，则O为O2O1的中点，连接OB，则OB为三棱柱外接球的半径，设半径为R，因为三棱柱为直三棱柱，所以BB1=O2O1=4，所以三棱柱O−ABC的高为2，即OO2=2，因为三棱柱ABC−A1B1C1体积为4，即V ABC−A1B1C1=12bc×4=2bc=4，解得bc=2，在Rt△OO2B中，R2=(12BC)2+(OO2)2=(12√b2+c2)2+4=14(b²+c²)+4，则球的表面积S=4πR2=4π×(b2+c24+4)=π(b2+c2)+16π≥2πbc+16π=4π+ 16π=20π，当且仅当b=c时取得“=”，所以球O的表面积最小值为20π．故答案为：20π．根据题意，画出图形可知O为O2O1的中点，且有BC=√b2+c2，进而可求出球O的表面积表达式，利用基本不等式即可求出最小值本题考查三棱柱外接球表面积求法，数形结合是关键，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由统计数据可知，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人数为160，调查总人数为200，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为160200=45；由统计数据可知愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的女性老年人数为270，调查总人数为300，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为270300=910；(Ⅱ)由列联表的数据可得，K2的观测值K2=500×(40×270−30×160)270×430×200×300=3000301≈9.967>7.879，故有99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关．【解析】(Ⅰ)由题中的数据，求出愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性和女性老年人数，结合总人数，即可得到答案；(Ⅱ)利用列联表中的数据，计算K2的观测值，对照临界表中的数值，即可判断得到答案．本题考查了独立性检验的应用，考查了统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，属于基础题．18.【答案】解：由b2+c2=a2+bc．得a2=b2+c2−bc．又由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，所以cosA=12，则内角A=π3，(2)∵A=π3，可得：C=2π3−B，∴cosB+cosC=cosB+cos(2π3−B)=12cosB+√32sinB=sin(π6+B)，∵B∈(0,2π3)，可得：π6+B∈(π6,5π6)，∴cosB+cosC∈(12,1]．【解析】(1)由余弦定理和特殊角的余弦函数值，可得所求角，(2)由(1)得：C=2π3−B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=sin(π6+B)，由B ∈(0,2π3)，可得：π6+B ∈(π6,5π6)，由正弦函数的图象和性质即可得解．本题考查三角形的余弦定理的运用，以及特殊角的三角函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)S n =2a n −2．∴n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减可得：a n =2a n −2a n−1， 化为a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1=2， ∴数列{a n }是等比数列，公比与首项都为2， ∴a n =2n ．(2)数列{1a n}的前n 项和T n =12+122+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ．|T n −1|<1500化为：12n <1500，解得n ≥9， ∴使得|T n −1|<1500成立的n 的最小值为9．【解析】(1)S n =2a n −2.n ≥2，S n−1=2a n−1−2，相减利用等比数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式可得数列{1a n}的前n 项和T n ，代入|T n −1|<1500化简即可解出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接AB 1，C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形， 因为E 为BA 1的中点，所以AE//C 1D ，AE =12C 1D ，所以四边形AEC 1D 是梯形，所以E ，C 1，A ，D 四点共面；(2)解：取AA 1的中点M ，连接EM ，MC ，MD ，取AD 中点N ，连接CN ， 因为E 为BA 1的中点，所以EM//AB ，因为AB//CD，所以EM//CD，因为EM⊄平面A1CD，DC⊂平面A1CD，所以EM//平面A1CD，所以点E到平面A1CD的距离等于点M到平面A1CD的距离，设为d，因为底面ABCD是边长为4的菱形，∠ADC=60°，所以CN⊥AD，CN=2√3，AD=AC=4，因为AA1⊥平面ABCD，CN⊂平面ABCD，所以AA1⊥CN，因为AA1∩AD=A，所以CN⊥平面ADD1A1，因为V M−A1CD =V C−A1DM，即13S△A1CD⋅d=13S△A1DM⋅CN，又因为A1C=√A1A2+AC2=√22+42=2√5，A1D=√AA12+AD2=√22+42=2√5，CD=4，所以S△A1CD =12×4×√(2√5)2−22=8，因为S△A1DM =12A1M⋅AD=12×1×4=2，所以13×8d=13×2×2√3，解得d=√32．即点E到平面A1CD的距离为√32．【解析】(1)连接AB1，C1D，可得AE//C1D，AE=12C1D，可得AEC1D是梯形，即可得证；(2)取AA1的中点M，连接EM，MC，MD，取AD中点N，连接CN，则可得EM//平面A1CD，利用等积法即可求出答案．本题主要考查四点共面的证明，点到平面距离的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=4时，函数f(x)=2x−4x−6lnx，x∈(0,+∞)．f′(x)=2+4x2−6x=2(x−1)(x−2)x2，可得函数f(x)在(0,1)，(2,+∞)上单调递增；在(1,2)上单调递减．∴x=1时，函数f(x)取得极大值，f(1)=−2；x=2时，函数f(x)取得极小值，f(2)=2−6ln2．(2)f′(x)=2+ax2−a+2x=2(x−a2)(x−1)x2，a ≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．0<a <2时，函数f(x)在(0,a2)，(1,+∞)上单调递增；在(a2,1)上单调递减． a =2时，f′(x)=2(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．a >2时，函数f(x)在(0,1)，(a2,+∞)上单调递增；在(1,a2)上单调递减．【解析】(1)当a =4时，函数f(x)=2x −4x −6lnx ，x ∈(0,+∞).f′(x)=2(x−1)(x−2)x 2，研究其单调性即可得出极值． (2)f′(x)=2+a x 2−a+2x=2(x−a 2)(x−1)x 2，比较a 与2的大小关系，对a 分类讨论，进而得出函数的单调性．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)动点P 到两顶点F 1(−1,0)，F 2(1,0)的距离之和为2√2，所以|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F 1F 2|=2， 则动点P 的轨迹是F 1，F 2为焦点的椭圆， 所以2a =2√2，c =1， 即a =√2，b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线C 的方程为x 22+y 2=1．(2)①当直线l 的斜率不存在时，x =−1， 则M(−1,√22)，N(−1,−√22)，此时F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =72， S △MF 2N =12×2×|√22−(−√22)|=√2，②当直线l 的斜率存在时，设为y =k(x +1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，所以y 1y 2=k(x 1+1)⋅k(x 2+1)=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=2(k 2−1)2k 2+1+4k 22k 2+1+2k 2+12k 2+1−k 22k 2+1=7k 2−12k 2+1=72−94k 2+2<72，综合①②可得，当直线l ：x =−1时，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值， 所以S △MF 2N =√2．【解析】(1)根据椭圆的定义可得动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，求出a ，b 的值，即可得出答案．(2)对直线l 的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和S △MF 2N 的最值；若斜率不存在，设直线方程和点M ，N 坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，进而表示出出F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简求值，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
广西省柳州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．4．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．5．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得222i=(2)i=3a b z a b +--+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则222i=(2)i=3a bz a b +--+，所以22320a b a b ⎧+⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题. 7．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 8．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.9．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 10．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.11．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 12．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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8
8
∑∑ bˆ =
8
xi yi − nxy
i =1 8
xi2 − nx 2
i =1
324 − 8× 5 × 9
=
1256
−
8
2
×
5 2
8 2
=
1 4，
.................................... 6 分
∴aˆ = y − bˆx = 9 − 1 × 5 = 1 ， .............................................. 7 分 842 2
解得ω = 94 ，所以，可以预测这位同学的物理成绩为 94 分． ...................... 12 分
( ) 18．解：（1）Q (2b − c) b2 − a2 + c2 = 2abc cos C ，
( ) ∴ (2b − c) b2 + c2 − a2 = a cos C ， ......................................... 1 分 2bc
故线性回归方程为 yˆ = 1 x + 1 ， ............................................. 8 分 42
（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω ，则物理偏差为：ω − 91.5 ............................................ 9 分
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．解：（1）由题意， x = 20 +15 +13 + 3 + 2 + (−5) + (−10) + (−18) = 5 ， .................. 2 分
8
2
y = 6.5 + 3.5 +1.5 + 0.5 + (−0.5) + (−2.5) + (−3.5) = 9 ， ....................... 4 分
AM
= 1 ，即 λ
Q A+B+C =π ，
∴ 2sin B cos A = sin C cos A + cos C sin A = sin (C + A) = sin B ， ................ 4 分
Q sin B ≠ 0 ，∴ cos A = 1 ..................................................................................................... 5 分 2
而数学偏差为 128-120=8， .................................................... 10 分
∴ω − 91.5 = 1 × 8 + 1 ， ..................................................... 11 分 42
由 A ∈ (0,π ) ，则 A = π ............................................................................................................ 6 分
3 （2）如图，在 ∆BCD 中， BD = 2 ， CD = 1 ，
平面 PAC ∩ 平面 PCD = PC ， ............................................ 2 分
∴ MN //PC ． ........................................................... 3 分
∴
AN
=
柳州市 2021 届高三第一次模拟考试
文科数学(参考答案)
一、选择题：(每小题 5 分, 满分 60 分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BCADBCDCDCBC
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．7
15
14．
2
1
15．
2
16． 5 +1 2
由余弦定理可得 (2b − c) cos A = a cos C ，..................................... 2 分
由正弦定理可得 2sin B cos A − sin C cos A = sin Acos C ， ....................... 3 分
=
53 4
−
3 cos D ， ................................ 8 分
Q
S∆BDC
=
1 2
×
BD
×
DC
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin
D
= sin D ，
...................................... 9 分
∴
S四边形 ABDC
=
53 4
+ sin D −
3
cos
D
=
5
3 4
+
2
sin
D
−
π 3
=
5
3 4
+
2
，
...... 10 分
∴ sin(D − π ) = 1， ............................................................ 11 分 3
Q D ∈ (0,π ) ，即 D = 5π ............................................................................................................ 12 分
由余弦定理得：
BC2 = 12 + 22 − 2×1× 2 cos D = 5 − 4 cos D ， .................................. 7 分
Q A = B = π ，∴ C = π ， ∆ABC 为等边三角形，
3
3
∴
S△ABC
=
1× 2
BC 2
× sin
π 3
6
19．解法一：
（1）Q AB / /CD ,所以 AM = AB = 1 , MC CD 2
即 AM = 1 ． ............................................................ 1 分 AC 3
Q MN / / 平面 PCD ， MN ⊂ 平面 PAC ，