麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组的积分形式：麦克斯韦方程组的积分形式:(in matter)这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。
其中：（1）描述了电场的性质。
在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
（2）描述了磁场的性质。
磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。
（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。
变化场与稳恒场的关系：当变化场与稳恒场的关系时，方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：(in matter)在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：(in matter)麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。
编辑本段微分形式麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。
从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。
利用矢量分析方法，可得：(in matter)注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。
(2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。
例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。
在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
编辑本段科学意义(一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。
但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。
麦克斯韦方程混合位积分方程
麦克斯韦方程混合位积分方程引言在物理学中，尤其是电磁学领域，麦克斯韦方程组是描述电场、磁场与电荷密度和电流密度之间关系的基本定律。
然而，在实际应用中，特别是在求解复杂边界条件下的问题时，微分形式的麦克斯韦方程可能不够直接。
为此，我们可以将麦克斯韦方程转化为积分形式，从而得到混合位积分方程，这种方法在工程计算和理论研究中都具有重要意义。
一、麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组包括四个基本方程：1. 高斯定理（电场）2. 高斯定理（磁场）3. 法拉第电磁感应定律4. 安培环路定理这四个方程可以通过积分形式表达，其中高斯定理对应着散度定理，法拉第电磁感应定律对应着旋度定理。
这些积分形式提供了理解和处理电磁场问题的不同视角，并且在某些情况下比微分形式更容易求解。
二、混合位积分方程混合位积分方程是通过引入位函数来统一描述电场和磁场的一种方法。
位函数可以分为电位函数（Φ）和磁位函数（Ψ），它们分别代表了电场和磁场的势能。
1. 电位函数Φ：如果一个区域内的电荷分布为ρ，并且该区域内不存在自由电流，那么这个区域内的电场 E 可以由电位函数Φ 的梯度给出，即 E = -∇Φ。
2. 磁位函数Ψ：如果一个区域内的电流分布为J，并且该区域内不存在变化的电场，那么这个区域内的磁场 B 可以由磁位函数Ψ 的旋度给出，即 B = ∇×Ψ。
三、混合位积分方程的推导为了获得混合位积分方程，我们首先需要将麦克斯韦方程从微分形式转换为积分形式。
然后，通过对位函数进行适当的变换，我们可以将电场和磁场的问题转化为位函数的问题。
以下是一个简化的推导过程：1. 使用高斯定理，我们可以将电场的散度公式写成积分形式：∫∫_S E·dA = q_in / ε₀其中 S 是任意闭合曲面，q_in 是 S 内包含的总电荷量，ε₀是真空介电常数。
2. 类似地，使用安培环路定理，我们可以将磁场的环流公式写成积分形式：∫∫_C B·dl = μ₀ I_enc其中 C 是任意闭合路径，I_enc 是 C 所包围的总电流，μ₀是真空磁导率。
麦克斯韦方程组的积分形式
S
B t
dS
高斯定理
D dS
S
qi内
i
2
二、磁场 (Magnetic Field )
1、环路定律
（全电流环路定律）
H dl L
(Ii Iid )
i
2、高斯定理
SB dS 0
3பைடு நூலகம்
三、麦克斯韦方程LE组 d的l积分形S 式Bt
dS
麦 电场 克 斯
D dS
S
i
qi内
H x z
H z x
y
Dy t
H y x
H x y
z
DZ t
5
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
6
i
j
k
x y z
D
B 0
H
E
B
D t
t
哈密顿 算符
7
3. 关系式
D E 0r E B H 0r H
E
dl
d m
或
E dl
B
dS
L
dt
L
S t
1
2、高斯定理
静电场
S D静电场 dS qi内
i
涡旋电场
S
D涡旋场
dS
0
一般电场 D D静电场 D涡旋场
D dS S
qi内
i
一般电场： E E静电场 E涡旋场, D D静电场 D涡旋场
环路定律
LE
dl
§14-2 麦克斯韦方程组的积分形式
( Maxwell Equations )
一、电 场 (Electric Field )
2.10 麦克斯韦方程的积分形式和应用
V V dV Q ll
D dS S
l 0
2π 0
Dr
rddz
Dr 2πrl
l
可得：
D
l
2πr
aˆ r
已知： D 0E
电场强度： E
l 2π0r
aˆ r
例：一无限长同轴线内外导体带有电荷密度为 S 的异号面电荷，
内外导体半径分别为 a 和 b ，外导体很薄。 求：空间各区域的电场强度。
解：依题意，该电场具有轴对称性，选柱坐标系，高斯面选柱面。
（1）r < a区域 S D1 dS 0
D1 0
E1 0
l
（2）a < r < b 区域
S D2 dS D2r 2πrl S 2πal
可得：
D2
S a
r
aˆr
E2
S a 0r
aˆr
（3）r >b区域
S D3 dS D3r 2πrl S (2πal 2πbl)
S
(JC
D t
) dS
l E dl
S
B t
dS
D dS S
V V dV
B dS 0 S
正弦电磁场
（存在时间因子 ej t）
H dl l
S (JC jD) dS
l E dl jS B dS
D dS S
B t
dS
D dS S
V V dV
S B dS 0
S
JC
dS
V
V dV
t
恒定电磁场(存在直流电流)
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义麦克斯韦方程组是电磁学领域中的基本方程组，描述了电磁场的行为，它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
1. 高斯定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述的是电场通过一个封闭曲面的总通量与内部电荷之比。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}\]这里，\(\vec{E}\) 表示电场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素，\(Q_{in}\) 表示封闭曲面内的净电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
这个方程表明了电场对电荷的影响是通过电场通量来描述的。
物理意义：高斯定律说明了电场随着电荷的分布而改变，并且电场的分布是由电荷形成的。
通过对这个方程的理解，我们可以更好理解电场在空间中是如何形成和传播的。
2. 高斯磁场定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第二个方程是高斯磁场定律，它描述的是磁场通过一个闭合曲面的总磁通量等于零。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0\]这里，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素。
这个方程表明了磁场不存在单极子，磁场线总是形成闭合曲线或形成环路的形式。
物理意义：高斯磁场定律说明了磁场的性质，它告诉我们磁场不存在孤立的单极子，而总是存在一对相等大小相反方向的磁极。
这个方程的理解对于磁场的性质和行为有很大的帮助。
3. 法拉第电磁感应定律（微分形式）：麦克斯韦方程组的第三个方程是法拉第电磁感应定律，它描述的是磁场变化所产生的感应电场。
它的微分形式可以表示为：\[\nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]这里，\(\nabla\times\) 是旋度算子，\(\vec{E}\) 表示电场，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(t\) 表示时间。
麦克斯韦方程组
D=εE
B=μH
对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。 麦克斯韦方程组复数形式：
▽·������ = −������������������（9） ������ =εE（10） B =μH（11） ������ = ������������ +������′（12）
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数， 在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面 采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 麦克斯韦方程组的意义： (一)经典场论是 19 世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学 模型进行类比的基础上创立起来的。 但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经 典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学 上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。 这两条是发现电磁波方程的基础。 这就是说， 实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是 由于当时的历史条件， 人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁 场理论。 (二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到： 第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握， 所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的， 一种新的具有认识意义的公理体 系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不 同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在” 。第 三， 我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物 理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 (三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美， 这种优美 以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式 才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应 当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此， 我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性， 而不是从 物理数学公式中直接推演出这种本质。
麦克斯韦方程组深度解析
麦克斯韦⽅程组深度解析电动⼒学应该是四⼤⼒学⾥脉络最清晰的⼀门，因为所有的经典电磁现象⽆⾮就是麦克斯韦⽅程的解，在不同的情况我们使⽤麦克斯韦⽅程不同的写法，这⾥写四种。
⽅程的物理意义普物电磁学已经谈过，这⾥不再讨论。
（⼀) 积分形式麦克斯韦⽅程积分形式的麦克斯韦⽅程为：众所周知，积分某种程度上就是⼀种求和或者取平均的操作（积分中值定理），积分形式麦克斯韦⽅程就是⽤在这种需要平均的地⽅，也就是当电荷分布或者⾃由电流分布在界⾯上出现不连续的情况时。
什么时候界⾯会出现电流电荷分布的不连续？也就是不同介质的交界⾯上。
在⼀个界⾯上如果存在不连续的电荷分布，⾸先造成电场法向分量不连续：取⼀个薄⾼斯⾯包围界⾯⼀点，根据第⼀个麦克斯韦⽅程，得到不连续的值为：再做⼀个环路包围界⾯⼀点，穿过两种介质，可以得到电场切向分量是连续的。
对磁场如法炮制，得到法向分量是连续的（第三式），切向分量是不连续的（第四式）：统⼀以下，写成⽮量形式就是：（⼆) 微分形式麦克斯韦⽅程根据⾼斯定理和斯托克斯定理，我们可以⽴刻把积分形式麦克斯韦⽅程写成微分形式：微分形式麦克斯韦⽅程+积分形式得到的边界条件，可以解决⼤多数问题了，当电磁场不含时的时候，我们要解决的就是静电静磁问题：2.1 静电场注意到静电场旋度是0，因此它是保守场，因为标量梯度的旋度总是0，所以存在标势Φ，满⾜：解决静电学的⽅法有很多种，但⽆⾮都是叠加原理思想的运⽤。
第⼀种是直接⽤库伦定律+叠加原理。
库仑定律告诉我们，⼀个点电荷激发的电势为:对于⼀个给定了电荷分布的系统，使⽤叠加原理第⼆种是解泊松⽅程，在线性，各项同性的，均匀的介质中，电位移⽮量D和场强E只差⼀个介电常数ε：把标势代⼊电场散度中，得到泊松⽅程：在没有电荷分布的地⽅，标势也就满⾜拉普拉斯⽅程：求解的⽅法很多，参见数学物理⽅法。
叠加原理得到的Φ就是泊松⽅程的⼀个特解。
第三种是对特解进⾏多级展开，因为特解的积分不好求，因此把它展开成泰勒级数，因为各阶的系数（电多级矩）是好求的，只要我们展开够多，得到的结果就更精确：2.2 静磁场磁场旋度⼀般不是0，因此不是保守场，但它的散度是0，因为⽮量旋度的散度总是0，因此我们可以定义失势：于是多了⼀个静电场不存在的⿇烦：我们完全确定⼀个场，需要知道它的旋度，散度和边界条件，静磁场中引⼊了新的场A，并且知道了A的旋度，但我们不知道它的散度，也就是说引⼊⽮势后增加了⼀个⽅程，如果需要唯⼀解，我们需要为A添加新的约束条件，不同约束条件就是所谓不同的规范。
麦克斯韦方程的积分形式和应用
恒定电磁场(存在直流电流)
血疗・d/ = L"c・dS
(f)E-dl =0
光 r jD.dS = \vpvdV
项和d£= 0
般情况:
"=L（"c+詈）新
A
dB危
^sb-ds = \vpvdv
正弦电磁场
（存在时间丄因（子撬e+"物‘方））世 H・d/ =
E-dl =-应 dS
以・必=丄0职
«・dS = O
(1) r<a区域 jsDcdS = O
D] =0 E[ = 0 (2) a<r<b区域
虫•必=%2兀尸1 = Ps2nal
可得：D2= Psaar Ez= PSaar
r
%r
⑶r>b区域 争s 方3 •丞=2兀rl = pS (2nal - 2nbl)
可得：日3 = Ps(a—b)分
rr
%r
例：一无限长圆柱导体中通有恒定电流/,该圆柱半径 为a 求：空间各区域的磁场强度和磁感应强度。
^。•出^=丄丄 Drrd^dz = Dr 2nrl 可得
：b =国ar 已知：D = ^E 电场强度：E2=nr-^- ar
2r
例：一无限长同轴线内外导体带有电荷密度为必的异号面电荷， 内 外导体半径分别为。和厶，外卜导体很薄。
求：空间各区域的电场强度。
解：依题意，该电场具有轴对称性，选柱坐标系，高斯面选柱面。
解：根据题意，该磁场具有轴对称性，选柱坐标系。
冃・dZ =
(1)r<a区域
其中：— d 兀a
«瓦=出2/"
_ Ir
可得：价溢編
Z
"胞=二
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c. 对于平面电磁波，单位体积的电磁场的
动量 p 和能量密度w 间的关系是：
w p c
2）. 场物质与实物物质的不同
a. 电磁场以波的形式在空间传播，而以粒子 (光子)的形式和实物相互作用。光子没有 静止质量，而电子、质子、中子等基本粒 子却具有静(但不大于光速) 在空间运动,其速度相对于不同的参考系 也不同,但电磁场在真空中运动的速度永 远是 3 108 m / s，并且其传播速度在任何 参考系中都相同。 c. 一个实物的微粒所占据的空间不能同时 为另一个微粒所占据，但几个电磁场可 以相互叠加，可以同时占据同一空间。
1、环路定律
（全电流环路定律）
H dl ( I i I id )
L i
2、高斯定理
B d S 0
S
3
三、麦克斯韦方程组的积分形式 B LE dl S t dS
麦 克 斯 韦 方 程 组
电场
D dS qi内
L
E静电场 dl 0
B dS t
d m LE dl dt
B 或 E dl dS L S t 1
2、高斯定理
qi内 静电场 S D静电场 dS i 涡旋电场 S D涡旋场 dS 0 一般电场 D D静电场 D涡旋场
7
3. 关系式
D E 0 r E B H 0 r H
注意：静止电荷和恒定电流所产生的场的 场量 E、D、B、H 只是空间坐标的函数，而与 时间 t 无关。但是，在一般情况下，积分形式 的麦氏方程组 中各场量都是空间坐标和时间的 函数。
S i
D d S q dV
s v
i
H dl ( I i I id )
L
磁场
D L H dl I I d d S d S s s t
S
B dS 0
D dS qi内
S i
一般电场：
环路定律
E E静电场 E涡旋场 , D D静电场 D涡旋场 B LE dl S t dS
高斯定理
D dS qi内
S i
2
二、磁场 (Magnetic Field )
4
2. 麦克斯韦方程组的微分形式
Dx Dy Dz x y z Bx By BZ 0 x y z
H z H y Dx x y z t Dy H x H z y z x t H y H x DZ z x y t
5
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
6
i j k x y z
哈密顿 算符
D B 0 D H t B E t
§14-2
( Maxwell Equations )
麦克斯韦方程组的积分形式
一、电场 (Electric Field ) 1、环路定律 静电场
E E静电场 E涡旋场 , D D静电场 D涡旋场
d m 涡旋电场 L E涡旋场 dl S dt 一般电场 E E静电场 E涡旋场
12
6. 麦克斯韦电磁场理论的局限性
（1）麦克斯韦方程可用于高速领域。
（2）麦克斯韦电磁理论在微观区域里不完全适 用，它可以看作是量子电动力学在某些特殊条件 下的近似规律。
13
小结：
实物和场都是物质存在的形式，它们
分别从不同方面反映了客观真实。同一实 物可以反映出场和粒子两个方面的特性。
14
8
4. 电场和磁场的本质及内在联系
电荷
激 发 电场
运动
电流 激 发
磁场
变化
变化
9
5、电磁场的物质性 1）. 电磁场具有实物物质的基本特性: 能量,质量和动量
a. 电磁场的电磁能量密度为 : 1 w DE B H 2 b. 单位体积的场的质量：（电磁场不为零）
w 1 m 2 2 DE BH c 2c