麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
设极板面积为S´， 某时刻极板上的
S2 L S'
S1
自由电荷面密度
为，则 D
I
j
R
I
S´面电位移通量： D DS S
dD d (S) dq I
dt
dt dt
----电位移通量随时间的变化率
等于导线中的传导电流
充放DI引t电电D 入：：--d-位-dD位Dt移tD移电00电流与与流S：电电密DtI场场度D同反djSD向d向dtIDjjj DDR与与SS2'jj同同L I向向S1 t
D 0r E , B 0r H , j E
根据麦克斯韦方程组、电磁场量之 间关系式、初始条件及电磁场量的 边界条件，可以确定任一时刻介质 中某一点的电磁场
放 电
I过
电路中电流仍可视
R
程
为保持连续。
任取一环绕导线的闭
合曲线L，以L为边界
可以作S1和S2 两 个曲
面
对S1曲面
H dl I L
对S2曲面
H dl 0
L
S2 L
S1
I
j
I
R
----稳恒电流磁场的安培环路定律
对于非稳恒情形不再适用
dS
----全电流定律
H dl
j dS
D
L
s
s t
对前述的电容器：
dS
I
j
S2 L
S'
I
S1
R
L
H
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。
方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。
核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。
麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。
电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组的积分形式
磁场
静电场 电 场 感生
电场
一般 电场
高斯定理
SBdS0
环路定理
Hdl
L
S(j D t )dS
SD (1)dSS内 q0V dV
D(2)dS0 S
D D (1 )D (2)
SDdSVdV
E(1)dl 0 L
E(2)dl
B dS
L
t
E E (1 )E (B 2)
解：1） E72 si0 1n50 t ,
D7200 si1n5 0t
jD d d D t 7 2 15 0 00 c1 o50 s t (A m -2)
2）作如图r＝0.01m的环路，
由安培环路定理：
L HdlSjDdS
r
L jD
H2rjD r2 Hj2 D r3.6 0150 0co 15 s0 t
变化电场和极化 电荷的微观运动
无焦耳热， 在导体、电介质、真空 中均存在
共同点
都能激发磁场
P334 问题：比较导体、介质中 j0 ,数jD量级
三. 安培环路定理的推广
1. 全电流 I全I0ID
对任何电路，全电流总是连续的
D
(j )dS0
S1S2
t
I S1
S 2
S
L
2 1K
2. 推广的安培环路定理
大家好
1
§ 11.3 位移电流
对称性
随时间变化的磁场 感生电场（涡旋电场） 随时间变化的电场 磁场
麦克斯韦提出又一重要假设：位移电流
一.问题的提出
稳恒磁场的安培环路定理：
Hdl L
I0
（L内）
世界第一公式：麦克斯韦方程组
世界第一公式：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
在英国科学期刊《物理世界》发起的“最伟大公式”中，麦克斯韦方程组力压勾股定理，质能转换公式，名列第一。
这里，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。
比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。
很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。
能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。
分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。
我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。
那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。
也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组Maxwell's equations麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基本方程。
方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
[]历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它描述了电荷与电流产生的电场和磁场之间的相互作用。
麦克斯韦方程组共有8个方程，分别描述了电场、磁场的产生和变化规律。
本文将详细介绍这八种方程，并解释其物理意义。
1. 高斯定律（Gauss’s Law）高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个方程，用来描述电场与电荷之间的关系。
它可以表述为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场的散度（divergence），ρ是电荷密度，ε0是真空介质中的介质常数。
高斯定律实际上是一种守恒定律，它表明了通过一个闭合曲面的电通量等于该曲面内部所包围的总电荷。
这个方程可以用来计算电场的分布，理解电荷与电场的相互作用。
2. 麦克斯韦-法拉第定律（Maxwell-Faraday Law）麦克斯韦-法拉第定律描述了磁场的变化如何产生感应电场。
它可以表述为：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场的旋度（curl），B是磁感应强度。
这个方程说明了当磁场发生变化时，会产生一个环绕着磁场变化区域的感应电场。
这个定律是电磁感应现象的基础，也是电磁波传播的重要原理之一。
3. 安培环路定理（Ampere’s Circuital Law）安培环路定理描述了通过一条闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总电流之间的关系。
它可以表述为：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，μ0是真空中的磁导率，J是电流密度。
安培环路定理说明了电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小和方向有关。
这个定律对于计算磁场分布、设计电磁设备等都具有重要意义。
4. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s Law of Electrom agnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述了通过一个闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总磁通量之间的关系。
第11章 麦克斯韦方程组
1 2 we = ε0E 2
电磁场的总能量密度为： 电磁场的总能量密度为：
B2 wm = 20
2
1 B 2 2 w = we + wm = ε0E + = ε0E 2 20
B = E/ c
c= 1
ε00
2、电磁波的能流密度 S 、 电磁波的能流密度： 电磁波的能流密度： 单位时间通过垂直于传播 方向、单位截面的电磁波的能量。 方向、单位截面的电磁波的能量。 为垂直于传播方向的一个面元， 设dA 为垂直于传播方向的一个面元，在dt 时 间内通过此面元的能量，应是底面积为dA，厚度为 间内通过此面元的能量，应是底面积为 ， cdt 的柱形体积内的能量： 的柱形体积内的能量：
dE Jd = ε0 dt
dΦe E dS Id = ε0 = ε0 ∫ S t dt
2、变化的磁场产生感生电场 、
B ∫L Ei dr = ∫S t dS
将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广， 将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广，导 出了电磁场所满足的基本方程——麦克斯韦方程组， 麦克斯韦方程组， 出了电磁场所满足的基本方程 麦克斯韦方程组 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。
S=
1
0
E× B
所以坡印亭矢量 S 指向 电容器内部。 电容器内部。
由全电流定律： 由全电流定律：
d ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ∫SE dS)
得电容器外缘处的磁感应强度为： 得电容器外缘处的磁感应强度为：
dE B 2πR = 0ε0 (πR ) dt
2
B=
S=
0ε0R dE
2
=
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
？ 由电荷守恒定律即⑤式可知，
J
0
稳恒电流
t 0 非稳恒电流
麦克斯韦首先注意到了这一点，为此把④作一般形
麦克斯韦方程组
式的推广：
假设存在一个位 移电流的物理量
J
D
，它和
J
合起
来恒满足： (J J D ) 0, 并假设位移电流 J D与电流
J 均产生磁效应。
2、位移电流的形式
由① 和⑤式可 得 ：
的方向与 l 的方向相同。 的方向与 l 的方向相反。
注意：l 的方向与 dS 的方向满足右手螺旋关系。
3、感应电流和感应电场
感应电流：线圈上的电荷受到感应电场的驱动而形成的定 向运动。
感应电场：把产生感应电动势 的场称为感应电场。
物理图像： 磁场变化
E感（本质）
导线
感 闭合线圈
I感
麦克斯韦方程组
E t
B流和 B感 均为有旋无源场，
又称横场。
二者均对电流有力的作用
麦克斯韦方程组
（2）方程组在逻辑上是自洽的。 所谓自洽性就是各方程彼此之间不相互矛盾。
Case A
E B / t ②
B(x,t) 0
③
对②式两边取散度，
(
E)
(
B)
t
③
Case B
E
B
/0
0J
0 0
E t
① ④
对④式两边取散度，
左边： ( B) 0
右边：0
J
0 0
t
(
E)
电荷守恒定律
①
=0
=0 =0
麦克斯韦方程组
2、方程的重要意义
揭示了电磁场内在运动规律，不仅
和
J
可以激发电磁
场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。
由于在 0 和 J 0 的区域，电磁场可以出现非零解
(电磁波存在的必要条件)，据此麦克斯韦预言了电磁波的存在。
d
S (E感) dS dt
B dS
S
由于
dS
的任意性，则
E感
B t
5、说明
① 上述方程不含回路参数，反映了场与场的关系，实质 随时间变化的磁场可以在空间激发电场。
麦克斯韦方程组
② 变化的磁场是原因，在空间激发电场是结果。
③ B 的方向与 E 的方向相互垂直。
既然变化的磁场可以激发电场，那么变化的电场
(x,
t
)
0
E(x,t)
(x,
t
)
J (x,t)
[J (x,t)
0
t
E ( x, t ) ]
t
0
(J J D ) 0
J (x, t)
0
t
[
E(x,t)]
0
J (x,t)
[ 0
t
E(x,t)]
0
麦克斯韦方程组
令
JD
0
E ( x, t )
t
位移电流 (密度矢量)
则
f E J B
（2）普遍情形
麦克斯韦方程组
度为对v于，任则意一运个动带的电带粒电子粒受子到系的统电，磁若场粒作子用的力电为荷为 q ，速
F qE qv B
洛伦兹力公式
则，
[J (x,t)
J D (x, t)] 0
三、真空中的麦克斯韦方程组
1、方程的形式
微
E(x,
t
)
(
x,
t)
/
0
分 形
E(x,t) B(x,t) / t
B(x,t) 0
① ② ③
式
B(x,t) 0J(x,t) 00E(x,t) / t
④
麦克斯韦方程组
E dS
能否激发磁场呢？
二、位移电流
1、位移电流的引入 综合前两节所学内容，
我们有如下关系式：
E
/
0
①
E B / t
②
B 0
③
B 0J
④
J / t
⑤
麦克斯韦方程组
公式①、②、③和⑤是普遍适用的，而公式④在变
场情况下与其他公式存有矛盾！
对④式两边同时取散度，有
（ B） 0 J
= =0
电场方程
E E荷 E感
E荷 / 0 +
E荷 0
E感
E感
0
B t
E
E
/ 0
B
t
E荷 有源场，又称纵场。
E感 有旋场，又称横场。
二者均对电荷有力的作用
磁场方程
B B流 B感
B流 0
B流 0J
+
B感 0
B感 00
E t
B 0
B
0 J
0 0
四、洛伦兹力公式
1、研究对象
电磁场对带电体系的相互作用力。
2、力的表达式
麦克斯韦方程组
（1）稳恒电流情形
电荷元 dV 所受的电场力：dFE dVE
电流元 JdV 所受的磁场力：dFB JdV B
带电体系受到总的电磁场作用力：
dF总 dVE JdV B
定义：带电体系 单位体积 所受的力为力密度 f ，
4、感应电场的旋度
电动势就是电场力把单位电荷从负极搬运到正极
电场力所作的功，
E感 dl
如果回路闭合，则
l E感 dl
由法拉第电磁感应定律，即
d dt
SB dS
由斯托克斯公式，得
=
l E感 dl
d
dt SB dS
麦克斯韦方程组
l E感 dl S (E感) dS
故，
1
dV
S
0 V
①
积 分 形
l
E
dl
d dt
SB
dS
式
SB dS 0
② ③
B dl
l
0
J
S
dS
0 0
d dt
E dS
S
④
2、方程的特点
（运1动）变麦化克的斯普韦遍方规程律作，为方电程磁中场的的E动 和力学B 是方总程场，，描述和了是J电 总磁的场
电荷密度和电流密度。
麦克斯韦方程组
§1.3 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程是建立在库伦定律、安培定律、法 拉第电磁感应定律这几个实验定律的基础之上的。
一、法拉第电磁感应定律
1、研究对象 变化磁场产生电场。
2、研究内容
闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁
通量变化率成正比，
dm dt
d dt
B ds
S
麦克斯韦方程组
0 0