结构力学--第5章力法
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结构力学力法的计算
结构力学力法的计算在结构力学中，力法是一种常用的计算方法，用于分析和设计各种结构的受力状态和稳定性。
力法基于牛顿第二定律和结构平衡原理，通过将结构划分为多个互相独立的力学系统，再进行力学方程的求解，可以得到结构各点的受力情况。
力法的计算过程主要包括以下几个步骤：1.确定受力系统：首先，需要明确结构的受力体系，包括受力点、受力方向和受力大小。
根据结构的特点和应用要求，可以选择合适的受力系统。
2.提取受力系统：将受力系统从结构中剥离出来，形成独立的力学系统。
这样可以降低计算难度，并且便于分析结构的受力情况。
3.建立力学模型：对于每个独立的力学系统，需要建立相应的力学模型。
根据受力情况和结构的几何形状，可以选择适当的力学模型，如简支梁、悬臂梁等。
4.进行力学方程求解：通过应用牛顿第二定律和结构平衡原理，可以建立相应的力学方程。
根据方程的特点，可以选择适当的数值解法，如代数法或迭代法等。
5.求解受力分布：通过求解力学方程，可以得到结构各点的受力情况。
这包括受力方向、受力大小和受力位置等信息。
根据这些信息，可以对结构的受力状态进行分析和评估。
6.验证和优化设计：对于计算结果，需要进行验证和优化设计。
通过与理论计算或实验结果的对比，可以确认计算的准确性，并对结构的设计进行必要的调整和优化。
需要注意的是，力法的计算过程需要考虑以下几个因素：1.边界条件：在进行力法计算时，需要确定结构的边界条件。
边界条件可以影响结构的受力情况，因此对于计算结果的准确性至关重要。
2.材料性质：在建立力学模型时，需要考虑材料的性质和力学参数。
材料的性质直接影响结构的刚度和强度，因此对于计算结果的准确性有很大影响。
3.荷载条件：在进行力法计算时，需要明确结构所受的荷载条件，包括静载和动载。
不同的荷载条件会导致结构不同的受力状态和响应，因此需要准确确定。
4.结构几何形状：在进行力法计算时，需要考虑结构的几何形状。
结构的几何形状会直接影响结构的受力分布和刚度特性，因此需要准确描述和建模。
《结构力学考试样题库》5-力法
第五章 力法一、是非题1、图示结构用力法求解时，可选切断杆件2、4后的体系作为基本结构。
12345abab2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。
3、图a结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c=。
(a)(b)X 14、图a 所示结构，取图b 为力法基本体系，线胀系数为α，则∆1= t t l h -322α()。
lo +2t 1X (a)(b)5、图a 所示梁在温度变化时的M 图形状如图b 所示。
(a)(b)0C 图 -50C +15M6、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
7、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。
8、图示结构中，梁AB 的截面EI 为常数，各链杆的E A 1相同，当EI 增大时，则梁截面D弯矩代数值M D 增大。
9、图示对称桁架，各杆EA l ,相同，N P AB =2。
二、选择题1、图a 所示结构 ，EI =常数 ，取图b 为力法基本体系，则下述结果中错误的是： A ．δ230= ； B ．δ310= ；C ．∆20P = ；D ．δ120= 。
()ll(a)(b)2、图示连续梁用力法求解时, 简便的基本结构是： A ．拆去B 、C 两支座；B ．将A 支座改为固定铰支座，拆去B 支座；C ．将A 支座改为滑动支座，拆去B 支座；D ．将A 支座改为固定铰支座 ，B 处改为完全铰。
()3、图示结构H B 为：A ．P ；B ．-P 2 ；C ．P ；D ．-P 。
()4、在力法方程δij j c i X ∑+=∆∆1中：A B.C. D.;;;.∆∆∆i i i =><000前三种答案都有可能。
()5、图示两刚架的EI 均为常数，并分别为EI = 1和EI = 10，这两刚架的内力关系为：()A ．M 图相同；B ．M 图不同；C ．图a 刚架各截面弯矩大于图b 刚架各相应截面弯矩；D ．图a 刚架各截面弯矩小于图b 刚架各相应截面弯矩。
结构力学——力法
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33
X X X
1 2 3
结构力学第五章 力法
超静定结构
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
结构力学(力法、虚功原理)
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
结构力学——力法
几点注意：
① 一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。 ② 结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式 是多种多样的。 ③ 在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
④ 在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在
结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。 ⑤ 只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构 变成瞬变体系或可变体系。
A
D
A
D
A
D
对
X1
错
二、关于基本方程的建立
先讨论两次超静定结构。
q C
FP A
12 22
q
B
C
FP A
B
X1
X2 FP
C
11 X1 B 21
A
基本体系之一
q C FP A B
1P 2P
q C X1 B X2
FP
C A
B X2
FP A
变形条件
Δ1 0 Δ2 0
基本体系之二
二、关于基本方程的建立
q
A l B l C A B
q
X1 X1
q
C
a)一次超静定结构 解：(1)确定基本未知量数目
b)基本体系
此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法基本方程
Δ d11 X 1 Δ1P 0
(4)求系数d11和自由项1P 在基本结构（静定的简支梁）上分别作 M 1 图和MP图
q
EI
ql 2 8
9 q l2 128
q
EI
ql 2 2
比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大 弯矩，提高了梁的强度。
结构力学——5力法
系数行列式之值>0 主系数 ii 0
0 副系数 ij 0 0
5)最后内力
M M 1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M
返回
P
作业： 第106页 5-1（a）、（b）（c）、 （f）、 （g）、（i）、 （j） 5-2 （a）、（b）（c）
静力特性
非荷载外因的影响
内力与刚度的关系
无关
返回
6. 力法解超静定结构的思路 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。 1判断超静定次数： n=1 2. 选择基本体系（结构） 3写出变形(位移)条件:
(a)
EI 原体系（原结构）
返回
（1）对称结构作用对 称荷载
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
MP图是正对称的，故△3P=0。 X3=0 。 则
返回
（1）力法方程的物理意义为： 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义： 下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 单独作用时所引起的沿其自身方向上 多余未知力 的位移，其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 返回 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
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力法典型方程
X1 1
A
2 2 1 2 2 2P
12
C
X 2 1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
根据位移互等定理 : 12 21
22
B
A
i j
MiM j dx EI
A
EI
B
l
EI
B
X1
A
l
M
B
A
1 1
M1图
M D
B
基本体系
M P图
C
11 X 1 1P 0
1P
11
M1M1 2l dx EI 3EI
3M X1 4
1
M 1M P Ml dx EI 2 EI
M图
A B
M 4 C EA
M M P M 1 X1
22
3
X 2 1
Ay0 l 3 M2M2 ds EI EI 3EI
(f )
12 FP l
l
M 2图
21 12
A y M1 M 2 l ds 4 1 EI 2 EI 2 EI
1P
M 1M P 4F P l 3 ds EI 3EI
第i个多余约束处的位移协调
1 10 2 20
ii 0 主系数－Ｘi＝１在第i个多余约束处产生的位移
i j j i (i j ) 副系数满足位移互等定理
－Ｘｊ＝１在第i个多余约束处产生的位移
i P
自由项－荷载在第i个多余约束处产生的位移
i 0 第i个多余约束已知位移
i P
M iMP dx EI
思考？
M M P M 1 X1 M 2 X 2
思考：若B处支座有已知位移！方程如何？
第3节（续4）
力法典型方程物理意义
力法典型方程
11 X 1 12 X 2 1P 10 21 X 1 22 X 2 2P 20
19
2P
X1 7 FP l
M 2MP FP l 3 ds EI 2 EI
6 FP l
M图
19
X2
18 FP l
19
M M P M 1 X1 M 2 X 2
19
第4节
对称性利用
对称结构在对称荷载作用下，内力和变形是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的。
第五章
第1节 概述
力
法
第2节 力法典型方程 第3节 超静定结构计算例题 第4节 对称性利用 第5节 无弯矩判断 第6节 超静定结构位移计算 第7节 习题课
练习题——作图示结构的弯矩图
q
A EI l B A
q
EI
静定结构
B
X1
q
A
1 1P 11
1 0 1P 11 0
不计轴向变形，集中力作用结点上。 ▲集中力沿杆轴作用，轴向有支座约束； ▲平衡的一对集中力沿杆轴作用； ▲集中力作用在没有线位移的结点上； ▲若力法基本体系的Mp图为零。
FP
FP FP
证明：
X2
FP
X2
FP FP
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
4
ql 8
2
C
B
ql X1 44
9ql X2 22
q
M图
A
5ql 2 44
M M P M 1 X1 M 2 X 2
第3节（续3）
(a)
C
超静定结构计算例题3
(b)
【例题3】 用力法计算图示结构（其中弹簧刚度为k），并作M图。
FP
(c)
(d)
EI
k
l
B
EI l3
FP
C
l
EI EI
M
FN
M
FN 对称 FN M对称
FQ 反对称
对称荷载作用：
FN 0
FQ 0
FN 0ຫໍສະໝຸດ u0FQFQ
M 0 0
对称轴
v0
反对称荷载作用：
u
u
u反对称 反对称
M 0
u0 0
v v
对称轴
v对称
FQ 0 v 0
第4节（续）
●对称荷载 对称轴
无中柱对称性结构1——等代结构
FQ FQ EI1 FQ FQ 2 FQ FQ
E
M
M
E
EI1 F FP l 2 EI C
FP D EI A
l
M EB
E
B
EI1
FQEB
l
M EB 2 E
EI1 B 2
1 FQEB 2
l
EI1 B 2
B
B
l
E
l
等代结构
变形等价
D
A
EI
EI1 FQ 2 FQ
FQ
M 0
第5节
无弯矩判断方法
FP FP FP
M 1M 1 Xl 11 dx 1 EI 3EI
3
M P图
B 1P
A
M1图
B X 1 11
A
B
M 1图
M 1M P ql 4 1P dx EI 8EI
3 X 1 ql 8
1 2 ql 8
1 2 ql 8
M图
第1节
基本概念
A
q
EI l B A
q
EI
基本体系
M图为零
证明：
M
EI
X1 X3 X2 X2
M M
M P图
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
1、超静定次数 多余约束（联系）的个数。 2、基本体系：静定结构（会算结构）。
B
X1
1
3、多余力：解除多余约束，暴露出的未知力。 4、位移条件：基本体系在解除多余约束处的位移应该与 原超静定结构一致，即位移协调。
1 2 ql 2
q
A M P图 A
X1
1 1P 11
11 11 X 1
C
C
D EI
X1
C
D
q
D
l
EI
A
EI
q
EI
A
q
A
l
B
B
ql 2 2
B
1
A X1 1 B
1
基本体系
M P图
C
M1图
D
11 X 1 1P 0
11
M1M1 2l dx EI 3EI
M 1M P ql 2 1P dx EI 8EI
3ql 2 16
A 5ql
FP
X1
X1
X3
1P 2P 3P 0
Mp图为零
基本体系
X1 X 2 X 3 0
M M P M 1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 0
第5节
无弯矩判断方法（续）
不计轴向变形，集中力作用结点上。 ▲力偶作用在没有角位移的结点上； M
EI
3ql 2 16
D
M图
A
力法解题步骤
1、确定基本体系 2、列力法方程 3、作荷载弯矩图 作单位力弯矩图 4、求系数、自由项 5、解方程，求多余力 6、叠加法作弯矩图
5ql 2 B 16
X1
3ql 16
M M P M 1 X1
第3节（续1）
EA C D
超静定结构计算例题1---解法2
1 0 1P 11 0
11 X 1 1P 0
B 1P B 11 B
M1M 1 l3 11 dx EI 3EI
M 1M P ql 1P dx EI 8EI
4
3 X 1 ql 8
1 2 ql 8
A
M 1图
X1 1
11
M M P M 1 X1
CH MM M l dx () EI 4 EI MM 5M l C dx (逆时针) EI 8EI
2
3M 4
C EA
D EI EI
B
1
EI
A
1 D
EI
l
A
1
B
第6节
超静定结构位移计算
8 kN
0
4
25 3 5 3
4 kN
4m
0
0
4 kN
4 3
5
20 3
3
20 3
4m
20 3
4
3m 3m
N图（单位 kN）
第7节
习题
第7节
习题
2
B
16
M图
X1
3ql 16
选取不同基本体系，得到解答相同！
M M P M 1 X1
第3节（续2）
C
超静定结构计算例题2
l
EI B
C
B X2
X1
C
B
q
2EI
A
l l
q
q
A
M P图
l
X1 1
A
2 2 1 2 2 2P
12
C
X 2 1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
根据位移互等定理 : 12 21
22
B
A
i j
MiM j dx EI
A
EI
B
l
EI
B
X1
A
l
M
B
A
1 1
M1图
M D
B
基本体系
M P图
C
11 X 1 1P 0
1P
11
M1M1 2l dx EI 3EI
3M X1 4
1
M 1M P Ml dx EI 2 EI
M图
A B
M 4 C EA
M M P M 1 X1
22
3
X 2 1
Ay0 l 3 M2M2 ds EI EI 3EI
(f )
12 FP l
l
M 2图
21 12
A y M1 M 2 l ds 4 1 EI 2 EI 2 EI
1P
M 1M P 4F P l 3 ds EI 3EI
第i个多余约束处的位移协调
1 10 2 20
ii 0 主系数－Ｘi＝１在第i个多余约束处产生的位移
i j j i (i j ) 副系数满足位移互等定理
－Ｘｊ＝１在第i个多余约束处产生的位移
i P
自由项－荷载在第i个多余约束处产生的位移
i 0 第i个多余约束已知位移
i P
M iMP dx EI
思考？
M M P M 1 X1 M 2 X 2
思考：若B处支座有已知位移！方程如何？
第3节（续4）
力法典型方程物理意义
力法典型方程
11 X 1 12 X 2 1P 10 21 X 1 22 X 2 2P 20
19
2P
X1 7 FP l
M 2MP FP l 3 ds EI 2 EI
6 FP l
M图
19
X2
18 FP l
19
M M P M 1 X1 M 2 X 2
19
第4节
对称性利用
对称结构在对称荷载作用下，内力和变形是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的。
第五章
第1节 概述
力
法
第2节 力法典型方程 第3节 超静定结构计算例题 第4节 对称性利用 第5节 无弯矩判断 第6节 超静定结构位移计算 第7节 习题课
练习题——作图示结构的弯矩图
q
A EI l B A
q
EI
静定结构
B
X1
q
A
1 1P 11
1 0 1P 11 0
不计轴向变形，集中力作用结点上。 ▲集中力沿杆轴作用，轴向有支座约束； ▲平衡的一对集中力沿杆轴作用； ▲集中力作用在没有线位移的结点上； ▲若力法基本体系的Mp图为零。
FP
FP FP
证明：
X2
FP
X2
FP FP
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
4
ql 8
2
C
B
ql X1 44
9ql X2 22
q
M图
A
5ql 2 44
M M P M 1 X1 M 2 X 2
第3节（续3）
(a)
C
超静定结构计算例题3
(b)
【例题3】 用力法计算图示结构（其中弹簧刚度为k），并作M图。
FP
(c)
(d)
EI
k
l
B
EI l3
FP
C
l
EI EI
M
FN
M
FN 对称 FN M对称
FQ 反对称
对称荷载作用：
FN 0
FQ 0
FN 0ຫໍສະໝຸດ u0FQFQ
M 0 0
对称轴
v0
反对称荷载作用：
u
u
u反对称 反对称
M 0
u0 0
v v
对称轴
v对称
FQ 0 v 0
第4节（续）
●对称荷载 对称轴
无中柱对称性结构1——等代结构
FQ FQ EI1 FQ FQ 2 FQ FQ
E
M
M
E
EI1 F FP l 2 EI C
FP D EI A
l
M EB
E
B
EI1
FQEB
l
M EB 2 E
EI1 B 2
1 FQEB 2
l
EI1 B 2
B
B
l
E
l
等代结构
变形等价
D
A
EI
EI1 FQ 2 FQ
FQ
M 0
第5节
无弯矩判断方法
FP FP FP
M 1M 1 Xl 11 dx 1 EI 3EI
3
M P图
B 1P
A
M1图
B X 1 11
A
B
M 1图
M 1M P ql 4 1P dx EI 8EI
3 X 1 ql 8
1 2 ql 8
1 2 ql 8
M图
第1节
基本概念
A
q
EI l B A
q
EI
基本体系
M图为零
证明：
M
EI
X1 X3 X2 X2
M M
M P图
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
1、超静定次数 多余约束（联系）的个数。 2、基本体系：静定结构（会算结构）。
B
X1
1
3、多余力：解除多余约束，暴露出的未知力。 4、位移条件：基本体系在解除多余约束处的位移应该与 原超静定结构一致，即位移协调。
1 2 ql 2
q
A M P图 A
X1
1 1P 11
11 11 X 1
C
C
D EI
X1
C
D
q
D
l
EI
A
EI
q
EI
A
q
A
l
B
B
ql 2 2
B
1
A X1 1 B
1
基本体系
M P图
C
M1图
D
11 X 1 1P 0
11
M1M1 2l dx EI 3EI
M 1M P ql 2 1P dx EI 8EI
3ql 2 16
A 5ql
FP
X1
X1
X3
1P 2P 3P 0
Mp图为零
基本体系
X1 X 2 X 3 0
M M P M 1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 0
第5节
无弯矩判断方法（续）
不计轴向变形，集中力作用结点上。 ▲力偶作用在没有角位移的结点上； M
EI
3ql 2 16
D
M图
A
力法解题步骤
1、确定基本体系 2、列力法方程 3、作荷载弯矩图 作单位力弯矩图 4、求系数、自由项 5、解方程，求多余力 6、叠加法作弯矩图
5ql 2 B 16
X1
3ql 16
M M P M 1 X1
第3节（续1）
EA C D
超静定结构计算例题1---解法2
1 0 1P 11 0
11 X 1 1P 0
B 1P B 11 B
M1M 1 l3 11 dx EI 3EI
M 1M P ql 1P dx EI 8EI
4
3 X 1 ql 8
1 2 ql 8
A
M 1图
X1 1
11
M M P M 1 X1
CH MM M l dx () EI 4 EI MM 5M l C dx (逆时针) EI 8EI
2
3M 4
C EA
D EI EI
B
1
EI
A
1 D
EI
l
A
1
B
第6节
超静定结构位移计算
8 kN
0
4
25 3 5 3
4 kN
4m
0
0
4 kN
4 3
5
20 3
3
20 3
4m
20 3
4
3m 3m
N图（单位 kN）
第7节
习题
第7节
习题
2
B
16
M图
X1
3ql 16
选取不同基本体系，得到解答相同！
M M P M 1 X1
第3节（续2）
C
超静定结构计算例题2
l
EI B
C
B X2
X1
C
B
q
2EI
A
l l
q
q
A
M P图
l