2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷无答案
2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷
一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分.
1.已知集合{}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，若}{B b A a b a C ∈∈+=,，则集合C 的所有元素之和为________.
2.在ABC ∆中，2,3
1sin ==AB A ,则⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，则)2018(f 的值为________.
4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ________.
5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，若x x f -)(2018没有零点，则a 的取值范围是________.
6.若对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，则当c 取得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.
7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.
8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.
9.已知平面向量2==，且2=⋅，若[]1,0∈t ，则
t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，若)(x f 在)1,0(上有两个不
相等的零点，则b 的最大值为________.
二.解答题：本大题共5小题，共120分.
11.已知函数bx
x x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a （1）求b 的值及函数)(x f 的定义域；
（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.
12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π. （1）求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；
（2）若65)(=
αf ，求)46
7sin(απ-的值.
13.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f c o s )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2
x 时，0)(>x f （1）求)0(f 的值；
（2）解方程)2()3(x f x f =
14.已知向量,满足32,21≤≤≤≤
（1++的取值范围；
（2）若43≤+≤，求⋅的最大值
15.已知函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,
（1）当a b 2=时，若)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，求实数a 的取值范围；
（2）当1-=b 时，若存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=
-m x xf 在[]2,2-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围.。
2018年浙江省温州市高一下学期期末模拟数学试题Word版含答案
2018年浙江省温州市高一下学期期末模拟数学试题第Ⅰ卷选择题部分(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.下列函数中,最小正周期为π的是( ) A.sin y x =B.cos y x =C.sin 2y x =D.1cos 2y x =2.不等式|21|1x -<的解集为( ) A.{|10}x x -<<B.{|01}x x <<C.{|1x x >或0}x <D.R3.已知向量(2,1)a =--,(,1)b m =.若a b ⊥，则m =( )A.12-B.12C.2D.-24.设01b a <<<,则下列不等式成立的是( ) A.21ab b << B.1122log log 0b a <<C.222b a <<D.21a ab <<5.为了得到函sin(2)6y x π=+的图象,只需把函数sin(2)6y x π=-的图象( )A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度D.向右平移3π个单位长度6.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,1,B A a b ===,则边c =( )A.B.2D.17.已知点M 是直线:240l x y --=与x 轴的交点,将直线 l 绕点M 按逆时针方向旋转45︒,得到的直线方程是( ) A.30x y +-=B.320x y --=C.360x y -+=D.360x y +-=8.已知函数1()cos sin()23f x x x π=⋅+,则下列结论中正确的是( )A.()f x 既是奇函数又是周期函数B.()f x 的图象关于直线12x π=对称C.()f x 的最大值为1D.()f x 在区间[0,]4π上单调递减9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足*3,2n n S a n n N =-∈,则下列为等比数列的是( )A.{1}n a +B.{1}n a -C.{1}n S +D.{1}n S -10.已知24sin 225α=,02πα<<,cos()4πα-的值为( ) A.15B.15-C.75D.15±11.若对任意的[1,)x ∈+∞,不等式222|2|1x x ax --+>恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-B.(0,2)C.D.(2,4)12.设O 为ABC ∆内一点,已知23OA OB OC ++=32AB BC CA ++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= ( ) A.1:2:3B.2:3:1C.3:1:2D.3:2:1第Ⅱ卷非选择题部分(共90分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共34分.)13.已知直线:20l x y --=,过点(2,1)P -且与l 平行的直线方程是 ，点(3,2)Q 到直线:20l x y --=的距离为 .14.已知数列{}n a 满足112,3n n a a a +==+,则数列{}n a 的通项公式n a = ，数列{}n a 的n 项和n S = .15.若向量a 与b 满足||2,||2,()a b a b a==-⊥，则向量a 与b 的夹角为 ，||a b += .16.已知(,)2a ππ∈,且23cos sin(2)10απα++=,则tan α= .17.已知等比数列{}n a 满足2588a a a =,则153759149a a a a a a ++的最小值是 . 18.己知函数()cos(2)6f x x π=+在[,]129t π-和17[,]312t π上均为单减，记1sin 22sin cos tM t t+=++，则M 的取值范围是 .19.若平面向量,a b 满足||1a =，|2|2a b +=，则||||a b b ++的取值范围为 .三、解答题(本大题共4小题,共56分.解答应写出文字说明,证明过程录演算步骤.)20.已知函数2()sin cos f x x x x =， (1)求()6f π的值；(2)求()f x 的单调递增区间.21.已知单调递增的等比数列{}n a 满足2312a a +=,且32a +是24,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2121log ()n n b a a a n =,求满足不等式12|3||3|b b -+-+|3|143k b +-≤的最大正整数k 的值.22.已知△ABC 中,,33BAC AB π∠==,BD DC λ=,且ACD ∆. (1)若3λ=,求AC 的长；(2)当线段BC 的长度最小时,求λ的值.23.已知数列{}n a 满111,(2)1n n na a a n n -==≥-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)(2n 1)2n a n n b =--⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设1n nc a =,记12n n T c c c =+++,求证:2018193T >.2018年浙江省温州市高一下学期期末模拟数学试题参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分，每题所给的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求）1—5 CBACA 6—10BDBAC 11—12 DB二、填空题（本题有7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分）13．；14．； 15.；16．； 17．； 18．； 19.三、解答题：（本题有4个小题，共56分） 20．（本题满分14分）解（Ⅰ）===（Ⅱ）由题可得，函数的单调递增区间是21．（本题满分14分）解（Ⅰ）依题意解得数列的通项公式是（Ⅱ）=的最大正整数22. （本题满分14分）（1）(2) 在中，由正弦定理得当时，线段的长度最小，此时的面积为得当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，综上得23．（本题满分1 4分）解（Ⅰ）数列满足（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，n∈N*，∴，n∈N*．又，∴，两式相减得：∴．(3) ,。
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及参考答案
2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2016.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知(){}R M ∈+-+-=λλλ42,31,(){}R N ∈+-=λλλ3,1,则N M = ( ) A. ∅ B. {}2 C. (){}2,2 D. ()2,22. 在平面直角坐标系XOY 中，若点P 的坐标为()3cos 2,3sin 2-，则POX ∠= ( )A. 3B. 3-πC. 23π+- D. 23π-3. 在ABC ∆1=，2=⋅,若ABC S ∆=1，则BC = ( ) A. 5 B.3 C. 1 D. 24. 函数x x y -+-=43的值域是 ( )A. []2,1B. []3,1C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1 D. []2,15. 如果一个函数()x f 在其定义域内对任意的y x ,都满足()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是 ( )①()x x f 2log -=②()3x x f =③()xx f -=2④()⎩⎨⎧><=0,20,x x x x x fA. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6. 函数()()β+=x a x f 2sin 2的值域为[]2,2-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，则常数a 和β的值可以是 ( )A. 32,1πβ==a B. 34,1πβ==a C. 34,1πβ=-=a D. 32,1πβ=-=a7. 已知3,*≥∈k N k ，若一元二次方程()0212=+--k px x k 的两根都是正整数，则k p += ( )A. 12B. 11C. 10D. 98. 化简85sin 65cos 55cos 15cos = ( ) A. 4 B. 3 C. 34 D. 33 9. 平面直角坐标系中()()()()a a AC AB AP C B A ≤≤≤≤+=-μλμλ1,1,2,2,0,4,1,1若动点P 组成的区域面积为32，则a 等于 ( ) A. 27 B. 3 C. 2 D. 23 10. 设[]2,2,...,,201621-∈a a a ，且0...201621=+++a a a ,则320163231...a a a f +++=的最大值是 ( )A. 2016B. 3024C. 4032D. 5040第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分. 11. 函数()()22123log x x x f -+=的单调递减区间是12. 定义在R 上的奇函数()()⎩⎨⎧<≥+=0,20,22x x g x x x x f ，则()()2-g f =13. 指数函数()1,0≠>=a a a y x 和对数函数()1,0log ≠>=a a y a 的图像分别为1C 和2C ，点M 在曲线1C 上，线段OM (O 为坐标原点）交曲线1C 与另一点N ,若曲线2C 存在点P ，满足点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的两倍，则点P 的坐标是14. 已知21,e e 是两个相互垂直的单位向量，若21e y e x a +=，且32=+y x 的最小值是15. 已知函数()()x x x m x f 4cos 21cos sin 4++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 有最大值27，则实数m的值是16. 函数()xxx x x x x x x x x f ++++++++++++++=20152014....4332211图像的对称中心是 17. 设[]x 表示不超过x 的最大整数,集合[][][][]{}100,432≤≤+++==x x x x x y y A 中的元素个数为 个三、解答题：本大题共三小题，共51分. 18. （本题满分15分）已知函数()()03sin 32cos 62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示，A 为图像最高点，C B ,为图像与x 轴的交点且ABC ∆为正三角形.Ⅰ、求ω的值及函数()x f 的值域； Ⅱ、若()5380=x f 且⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,3100x , 求()10+x f .19. （本题满分18分）已知函数()x f 是定义在R 上且5=T 的周期函数,当[]1,0∈x 时，()()*343N n x x f n ∈=-, 当[]4,1x 时,()b x x f a +=log ,又函数()x f y =在[]1,1-上时奇函数且在区间[]1,0上单调递增. Ⅰ、求函数()x f y =在[]4,1上的解析式； Ⅱ、求函数()x f y =在R 上的解析式.20. （本题满分18分）已知函数()a x x x f -++=12,其中a 为常数.Ⅰ、求函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21的单调区间；Ⅱ、若不等式()a x x f ->2对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1. C2. D3. A4. D5. D6. B7. B8. A9. C(图解法) 10. C二、填空题11. ()1,1-或(]1,1- 12. -1513. ()4log ,4a 14. 55315. 116. ()0152,1008- 17. 61(提示：分k x k +<≤41，k x k +<≤+3141，k x k +<≤+2131，k x k +<≤+121，10=x ，*,100N k k ∈<≤五种情况进行讨论)三、解答题18. Ⅰ、[]32,32- Ⅱ、56719. Ⅰ、()[]4,1,3log 32∈+-=x x x f (临界取值)Ⅱ、()[]()(]()Z k k k x k x k k x k x x f ∈⎩⎨⎧++∈+--+-∈-=45,15,35log 315,15,153220.Ⅰ、当2321<<a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21a 上递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1a 上递增；当23≥a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递减； 当21≤a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递增. Ⅱ、2141-<<-a(提示：由a x a x x ->-++212得到a x a x x -+-->122，比较a x a x y x y -+--==122与的图像)。
历年温州市摇篮杯数学竞赛
温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合{}2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（ ） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（ ）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（ ）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（ ）A 、1:1 B 、4:π C 、π:4 D 、π:25、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（ ）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a += 6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（ ）位数。
A 、13 B 、12 C 、11 D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（ ）A 、x x g sin )(= B 、x x g =)( C 、2)(x x g = D 、x x g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（ ）A 、502501B 、520502C 、502503D 、以上都不对 二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2018高一年级数学竞赛试题参考答案解析及评分标准
2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。
由243R ππ=，得R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
历年温州市摇篮杯数学竞赛
历年温州市摇篮杯数学竞赛温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设$A$到$B$的映射$f:x\rightarrow y=(x-1)^2$，若集合$A=\{1,2\}$，则集合$B$不可能是（）A、$\{1\}$B、$\{1,2\}$C、$\{-1,2\}$D、$\{1,-1\}$2、若命题$P:(\frac{1}{2}x-1)<4$；$Q:log_4(x-1)<0$，则命题$\neg P$是$\neg Q$成立的（）A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、设$sin(\pi-2)=a$，则$tan(\frac{\pi}{2}-2)$的值为（）A、$\frac{1-a^2}{1+a^2}$B、$-a$C、$a$D、$\frac{2a}{1-a^2}$4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（）A、1:1B、$\pi:4$C、$4:\pi$D、$2:\pi$5、设正整数集$N$，已知集合$A=\{x|x=3m,m\in N^*\}$，$B=\{x|x=3m-1,m\in N\}$，$C=\{x|x=3m-2,m\in N^*\}$，若$a\in A,b\in B,c\in C$，则下列结论中可能成立的是（）A、$2006=a+b+c$B、$2006=abc$C、$2006=a+bc$D、$2006=a(b+c)$6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K，则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（）位数。
A、13B、12C、11D、107、设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x\text{为有理数}\\0,&x\text{为无理数}\end{cases}$，若$xf(x)≤g(x)$对于一切$x\in R$都成立，则函数$g(x)$可以是（）A、$g(x)=sinx$B、$g(x)=x$C、$g(x)=x^2$D、$g(x)=x$8、如图，请观察杨辉三角（___是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2004}-2S_{2005}+S_{2006}$等于（）二、填空题：1.A*B={x|x∈A,但x∉B}2.B={-6.-3.0.3.6}3.n=124.空缺，题目中未给出选项5.2.3.46.π/6 或 -11π/6三、解答题：15.1) 当a>1时，f(x)单调递增的区间为(-∞。
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得 到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。 由 f (x) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f (x) = 0 得 两 个 解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈
3π 4
,π
， cos(α
【数学】2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB = ，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥ ，则PA PB ⋅的最小值为 ，此时PA PB +=．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解．9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为 ．10.四面体P ABC -，PA BC =，PB AC ==PC AB ==接球的半径为 ． 二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n x x x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616- 3. 5665- 4. 36 5. 1-6. 16-；67.728. 39. 1414x -≤+二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为11=.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥， 解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<.（3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<.（4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111nnn n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111nnn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。
2018高中一年级数学竞赛试题参考答案解析和评分标准
2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。
由243R ππ=，得2R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A
2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为1415，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【解析】2222141415n C n C +-=⇒=.2．将向量(3,4)a =r 按向量(1,2)b =r 平移得到向量c r ，则||c =r( ▲ )A．．．5 D．【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =r ，||5c ∴=r.3．对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,下列不等式正确的是( ▲ )A ．()tan cos tan θθ>B ．()tan tan tan θθ>C ．()cos tan cos θθ<D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C【解析】取=3πθ，由1cos323ππ=<知A 错误；取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；取=4πθ，由tan144ππ=>知D 错误；由tan 02πθθθ⎛⎫><<⎪⎝⎭知C 正确. 4．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <C ．35k <<D ．335k k <<<或【答案】D【解析】B ∠Q 为锐角，0AB BC ∴⋅<u u u r u u u r且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 【答案】C【解析】1()111()(2),(4)(),1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++-+==-∴+=+--Q ()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-，1(4)3f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．【另解】由1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(3)tan 2f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 3(4)tan 4f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1(5)tan f a πθ=+=，…则(1)(2)(3)(4)1f f f f ⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．6．已知a R ∈，则函数1()421(0)xx f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )A ．22a +B ．21a - C ．222(1)1(1)a a a a +≤-⎧⎨->-⎩ D ．21(1)22(1)a a a a ⎧-≤-⎨+>-⎩ 【答案】D【解析】122()421(2)1xx x f x a a a +=+⋅+=+-+，0x ≥Q ，21x ∴≥，∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，当1a >-时，min ()22f x a =+.7．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭r r ，则a b ⋅r r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】22sin()cos 1cos cos 16a b A A A A A π⋅=++=++r r1cos 23sin 21sin(2)2262A A A π+=++=++， 55(0,]2(,][2,]36662A A a b ππππ∈∴+∈∴⋅∈r r Q .8．已知函数3()f x x x =+，2()sin (2cos )g x x x =⋅-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个【答案】A【解析】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+ 22(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ⇒-+++=223(sin )[(sin )1]0sin 24x x x x x x x ⇒-+++=⇒=0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.【另解】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+，构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.9．定义1231nkn k xx x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则891891(1cos 2)sin 2k k k k ==-︒︒∏∏的值为 ( ▲ )A ．1-B ．1C ．89-D ．89【答案】B【解析】898989189111(1cos 2)1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-︒-︒==︒=︒︒∏∏∏∏.10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题：①函数()f x 可以为一次函数； ②函数()f x 的最小正周期一定为6；③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ωϕ∈、且0ω≠，则当且仅当2()3k k Z πωπ=+∈时，函数()cos()f x x ωϕ=+满足已知条件. 其中错误．．的是 ( ▲ ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)()f x f x f x f x +=+-+=-， (6)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期6T =.而一次函数没有周期，从而①错误；若()0f x ≡，则()f x 的周期为任意非零实数，从而②错误；对于③，(0)0,(1)0(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f f f ==⇒=⇒=⇒=⇒=， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在区间[5,5]-上至少有11个解，从而③正确； 对于④，当2()3k k Z πωπ=-∈时，函数也符合已知条件，从而④错误.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 【答案】99100【解析】111112233499100s =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111199122399100100=-+-+⋅⋅⋅+-=12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =⋅+⋅是 ▲ ． 【答案】[1,1]-【解析】由函数()|sin |cos sin |cos f x x x x =⋅+⋅当x 的终边落在第一象限时,有f (x )=sin2x ∈(0,1]； 当x 的终边落在第二象限时,有f (x )=0；当x 的终边落在第三象限时,有f (x )=-sin2x ∈[-1,0)； 当x 的终边落在第四象限时,有f (x )=0；(11题图)3 2 18 8 3 0 7 6 8 0(13题图)当x 的终边落在两个坐标轴上时,有f (x )=0. 综上所述, f (x )的值域是[1,1]-.13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星， 下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图， 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ． 【答案】25，2234【解析】平均值3828232027262810258x +++++++==，方差2222221(3825)(2825)(2325)(2025)(2725)8s ⎡=-+-+-+-+-⎣ 222223(2625)(2825)(1025)4⎤+-+-+-=⎦. 14．方程444sin 5sin x x+=的解集为 ▲ ．【答案】|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】令4sin [0,1]t x =∈，则2540(1)(4)0t t t t -+=⇒--=，1t ∴=，4sin 1x ∴=，()2x k k Z ππ∴=+∈，∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【另解】444sin 5sin x x +≥Q ，取等条件是2sin 1x =，()2x k k Z ππ∴=+∈， ∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.15．设集合[](){}22124log 24x A x B x x x ⎧⎫=<<=-=⎨⎬⎩⎭和，其中符号[]x 表示不大于x的最大整数，则A B =I ▲ ．【答案】{ 【解析】∵1244x <<，22x ∴-<<，[]x ∴的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则22x =，∴x=； 当[x ]=1-，则23x =，无解；当[x ]=0，则24x =，无解. 当[x ]=1，则25x =，无解；综上{A B =I .16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．【答案】1【解析】先求定义域(,){0}-∞+∞U U ，易得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，从而只需考虑()f x在){0}+∞U 上的最小值，注意到两个根号内的函数在)+∞上都递增，故()f x在)+∞上递增，故min min{(0),1y f f ==．当0x =时取到最小值．17．对于一切实数x ，不等式222cos 2cos 2xxx x θθ⋅-⋅≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ． 【答案】2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈ 【解析】222cos 2cos 2x xx x θθ⋅-⋅≥-恒成立22(cos 1)(2cos 1)xx θθ⇔+≥+恒成立，当cos 1θ=-时，显然符合题意；当cos 1θ≠-时，若0x =，显然成立；当cos 1θ≠-时，若0x ≠，则原命题222cos 1cos 1x x θθ+⇔≥+恒成立，而220x x >，且当x →-∞时，220x x →，2cos 10cos 1θθ+∴≤+，11cos 2θ∴-<≤-，从而11cos 2θ-≤≤-，解得2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44ππθθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求sin 1cos 1cos sin θθθθ++-的值. 解：（Ⅰ）sin θQ ，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有：220(1)sin cos (2)21sin cos (3)8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩L L L ， ---------------------4分 由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=---------------------8分（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-Q ---------------------12分且sin cos )04πθθθ-=->， sin cos 2θθ∴-=，sin 1cos 1sin cos281cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅==+-+-.--------------------16分19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间55⎡-⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（Ⅰ）当1a =时，()f x =，令t ==， 则关于x 的函数t 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，---------------------3分又定义域为(1,1)-，(0,1]t ∴∈，而1y t t=+在(0,1]上单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增；---------------------7分（Ⅱ）令t =1,[,1]3x t ⎡∈∴∈⎢⎣⎦Q ，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.----------10分（1）当1193a <≤时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 1max{3,1}13y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得77a -<<+1193a <≤；.----------12分（2）当113a <<时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 11max{3,1}333y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >a <<，从而113a <<；.----------14分 （3）当1a ≥时，a y t t =+在1[,1]3上单调递减， min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而513a ≤<；.----------16分综上，1593a <<..----------17分20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.解：（Ⅰ）令0,1x y ==，则(0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1(1)2f =，----------2分令0,0x y ==，则22(1)[(0)][(1)]f f f =+，令12x y ==，则21(1)2[()]2f f =，-------------------------------------------------------4分若1(1)2f =，则1(0)2f =±，11()22f =±，因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<，矛盾！因此(0)0f =，-----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）2(1)[(1)]f f =，(1)1f =.令0y =，则(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称.---------------------------------------------8分再证()f x 的图像关于原点对称.令12x =，32y =，所以1311(0)()()()()2222f f f f f =+-，因为1()(0)02f f >=，所以131()()()222f f f -=-=-，令2y =，有(1)()(2)(1)(1)f x f x f f x f -=+--， 对上式令12x =，则11()()(1)22f f f -=-，所以(1)1f -=-.----------------------10分又因为(2)(0)0f f ==，所以对任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--， 所以()f x 的图像关于原点对称. ----------------------12分所以对于任意x R ∈，()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-， 从而()f x 的最小正周期为4.----------------------14分这样可以大致描述()f x 的图像（如右）令12,33x y ==，212()2()()333f f f =， 因为2()(0)03f f >=，所以11()32f =，所以51()32f =.----------------------16分由2(1)10f x +-≥，可得1(1)2f x +≥. 根据图像，可知1541433k x k +≤+≤+，k Z ∈， 所以不等式的解集是22{|44,}33x k x k k Z -≤≤+∈.----------------------18分。