换元法题库学生版
初三换元法例题
初三换元法例题一、题目：计算下列等式的值1. 17a + 8b - 3c，其中a = 2，b = 5，c = 3。
2. 4x + 2y - 5z，其中x = 3，y = 7，z = 2。
1. 代入a = 2，b = 5，c = 3，得：17(2) + 8(5) - 3(3)= 34 + 40 - 9所以，17a + 8b - 3c 的值为74。
2. 代入x = 3，y = 7，z = 2，得：4(3) + 2(7) - 5(2)= 12 + 14 - 10所以，4x + 2y - 5z 的值为16。
二、题目：写出下列等式的换元表达式。
1. 5a + 3b - 2c，a = x + 1，b = 2y，c = z - 3。
2. 2x + 4y - 3z，x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3。
1. 代入a = x + 1，b = 2y，c = z - 3，得：5(x + 1) + 3(2y) - 2(z - 3)= 5x + 5 + 6y - 2z + 6= 5x + 6y - 2z + 11所以，换元后的表达式为 5x + 6y - 2z + 11。
2. 代入x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3，得：2(a - 1) + 4(b + 2) - 3(c + 3)= 2a - 2 + 4b + 8 - 3c - 9= 2a + 4b - 3c - 3所以，换元后的表达式为 2a + 4b - 3c - 3。
三、题目：用换元法解下列问题。
1. 有一个长方形，长是x + 3，宽是x - 2，求其周长和面积。
2. 小明的体重是a - 10kg，小明增加了b kg，现在的体重是多少？1. 周长 = 2(长 + 宽) = 2(x + 3 + x - 2) = 4x + 2面积 = 长× 宽 = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6所以，长方形的周长为4x + 2，面积为x^2 + x - 6。
初中数学专题训练换元法解题方法练习及试题解析
专题02 换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
【典例分析】 例1、已知方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解是{a =8.3b =1.2，则{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9的解是：（ ）A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．根据换元法先令x −2=a ，y +1=b ，再根据二元一次方程组的解，得x −2=8.3和y +1=1.2，即可求得x 与y 的值． 【解答】解：令x −2=a ，y +1=b ， 则方程组{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9, 可化为：{2a −3b =133a +5b =30.9，∵方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解为{a =8.3b =1.2，∴{x −2=8.3y +1=1.2, ∴{x =10.3y =0.2． 故选：D ．例2、已知(2016+a)(2018+a)=b ，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)【答案】4+2b【解析】1.【分析】本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．【解答】解：令2016+a=x，2018+a=y，则(2016+a)(2018+a)=xy=b，(2016+a)2+(2018+a)2=x2+y2=(x−y)2+2xy=(−2)2+2b=4+2b；故答案为4+2b．例3、【阅读材料】若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+ (x−60)=20，所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340【解决问题】(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；(2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，即22+2cd=4042解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；(2)设x=a1+a2+⋯+a2014，y=a2+a3+⋯+a2015，则M=xy，2，N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a2015M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0，M<N；(3)由题意得：(x−1)(x−2)=5，设x−1=a，x−2=b，则ab=5，a−b=1，∴(a +b )2=(a −b )2+4ab =21． 则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．(2)设x =a 1+a 2+⋯+a 2014，y =a 2+a 3+⋯+a 2015，则M =xy ，N =(x +a 2015)(y −a 2015)=xy +a 2015(y −x)−a 20152，M −N =a 2015(y −x −a 2015)=−a 1a 2015由于a 1,a 2,a 3,...a 2015均为负数，所以−a 1a 2015为负数，则M −N =−a 1a 2015<0，最后得M <N ； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：(x −1)(x −2)=5，设x −1=a ，x −2=b ，则ab =5，a −b =1，得出(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．【好题演练】一、选择题1.设a 、b 是实数，且11+a −11+b =1b−a ，则1+b1+a 的值为( )．A. 1±√52B. ±1±√52C. ±3−√52D. 3±√52【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于yx 的一元二次方程即可． 【解答】解：解：设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ， 整理得，y 2−3xy +x 2=0，两边同除以x2，得(yx )2−3(yx)+1=0，解得yx =3±√52，即1+b1+a 等于3±√52，故选D．2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1c+5=0，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为()．A. 125B. 120C. 100D. 81【答案】C【解析】【分析】本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．【解答】解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，∵a+b+c=1∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，又1a+1+1b+3+1c+5=0则1x +1y+1z=0，∴xy+yz+xz=0，∴(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+xz)=102=100．故选C．3.已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是()A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及换元法．将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的方程，进而求解。
利用换元法解决试题(非常全)
利用换元法解决试题（非常全）一、选择题1. 为解方程，我们可设，则，原方程可化为．解得，，当时，，所以；当时，，所以．故原方程的解为，，，．以上解题方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 换元与降次C. 消元D. 公理化2. 如果一个三角形的三边长分别为，，，化简的结果是A. B. C. D.3. 用换元法解方程，设，则原方程可化为A. B. C. D.4. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为A. B. C. D.5. 已知，则或 B. D. 无法确定6. 已知，则的值为A. B. C. D.7. ，则的值为A. C. 或 D. 无法确定8. 若，则A. 或或或 D. 或9. 方程的解为A. ，B. ，C. ，D. ，10. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为A. B. C. D.11. 已知，，，均为正数，且满足，．则与之间的关系为A. B. C. D. 无法确定12. 小明用计算器计算的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：从而得到了正确结果，已知是的倍，则正确的结果是A. B. C. D.13. 已知方程组的解是则方程组的解是A. B. C. D.14. 已知实数，满足：，，则的值为A. C. D.15. 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共张，购买一把价值为元的雨伞，不同的付款方式共有A. 种B. 种C. 种D. 种16. 若实数、满足，则的值为A. C. 或或17. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她设：然后在式的两边都乘，得：得，即，所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“”换成字母“”（且），能否求出的值?你的答案是A. B. C. D.18. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为A. B. C. D.19. 已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为A. B. C. D.20. 已知实数满足，则的值是B. 或或二、填空题21. 已知，则．22. 能使成立的的值为．23. 一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设．（）则原方程可变形为关于的方程：，通过先求的值，从而可得；（）上述方法用到的数学思想是．24. 若方程组的解为则方程组的解是．25. （）已知，那么．（）若实数，满足，则．26. 如果，那么的值为．27. 在求的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她假设：然后在式的两边都乘以，得：得，，即，所以．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母（且），能否求出的值?如能求出，其正确答案是．28. 关于，的方程组那么．29. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是．30. 解方程时，若设，则方程可化为．31. 若，则的值是．32. 设函数的图象与函数的图象的交点坐标为，则的值为．33. 计算的结果是．34. 计算的结果是．35. 方程的实根是．36. 三个同学对问题"若方程组的解是求方程组的解" 提出各自的想法．甲说："这个题目好象条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．37. 已知，则关于的方程的解是．38. 满足的的值为．39. 如果，那么的值为．40. 若，则的值为三、解答题41. 解下列方程组．（1）（2）42. 如图中的个点处各写有一个数字．已知每个点所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，则代数式的值是多少?43. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）；（4）．44. 解方程组：45. 若，，试比较与的大小．46. 用换元法解方程．47. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为千克，销售均价为，今年樱桃的市场销售量比去年减少了，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为千克，销售均价为，今年枇杷的市场销售量比去年增加了，但销售均价比去年减少了，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求的值．48. 计算：．49. 计算：．50. 计算：（，且为正整数）．51. 解方程：．52. 先化简，再求值：，其中．53. 解方程组：54. 求的值，令，则，因此，．参照以上推理，计算的值．55. 关于的方程：的解为：，；（可变形为）的解为：，；的解为：，；的解为：，．（1）请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程（）的解是什么?（2）请总结上面的结论，并求出方程的解．56. 阅读理解：善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组和之间存在一定关系，他的解法如下：解：将方程变形为：．把方程代入方程得：，解得：把代入方程得：．∴原方程组的解为小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组（i）把方程代入方程，则方程变为；（ii）原方程组的解为．（2）解方程组57. 先让我们一起来学习方程的解法：解：令，则，方程两边平方可得，解得，，，，．点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，是过点且垂直于轴的直线，过作，垂足为点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点运动到点处时，通过计算发现：（填“”、“”或“”）；②当点在抛物线上运动时，猜想与有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当为等边三角形时，求点坐标；（4）如图 2，设点，问是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．58. 已知：如图1，抛物线与轴正半轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平行于轴并从点开始以每秒个单位的速度沿轴正方向平移，且分别交轴、线段于点，，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位速度运动，（如图2）；当点运动到原点时，直线与点都停止运动，连接，若点运动时间为秒；设，当为何值时，有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的条件下，是否存在的值，使以，，为顶点的三角形与相似；若存在，求的值；若不存在，请说明理由．59. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，，；当时，，，；原方程的解是，，，．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；（2）利用材料中的方法解方程：．60. 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得：，．当时，，；当时，，．所以原方程有四个根：，，，．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：答案第一部分1. B 【解析】本题体现了两个重要的数学思想，换元和降次的数学思想．2. B3. A4. D5. B6. C 【解析】由已知条件直接求解比较困难，通过观察，不难发现所求代数式与已知条件之间存在一定的关系，即．若设，则，．7. A8. A 【解析】令，则原方程化为，即，所以，．．9. B 【解析】将看成一个整体，移项，得，配方，得，即．得，，．10. C11. A12. C则故．13. C14. A15. C【解析】设壹圆、贰圆、伍圆的人民币分别有张，张，张，则由题意可得：16. D17. B 【解析】设则得，所以，即．18. D19. B 【解析】∵方程有实数根，∴．由题意得或令，则方程可化为：；方程化为：．∵是方程或的解，∴方程、的判别式非负，即，∴．20. D第二部分21.【解析】设，则有，解得，．由于，故．，或23.24.25. （），（）26.【解析】设，则，整理得，解得，即或（不合题意，舍去）．27. （且）28.29.【解析】方程整理得，，设，原方程可化为，，方程两边都乘以，去分母得，．30.或【解析】，，．33.【解析】设，35.36.【解析】37.38. 或39.40. 或【解析】令 .则原式可化为，整理得，解得，经检验都是方程的解；则，则的值为或 .第三部分41. （1）得：得：把代入得：方程组的解为（2）令，，则：由得由得把代入得方程组的解为42. 由条件可知，，，，，所以．设，，则，解得．所以43. （1）原方程可化为：整理，得解方程，得经检验：是增根，舍去；所以原方程的根是．（2）设，则方程为：所以，所以，所以所以由得：所以所以由得：所以，所以，所以，，经检验：，，，都是原方程的解，所以原方程的解是，，，．（3）设，则解得：当时，解得：当时，所以此方程无解．经检验，，是原方程的解．所以原方程的解是，．（4）整理得设则整理得：解得：当时，解得：当时，解得：经检验这四个解都是原方程的解．所以原方程的解是，，，．44. 原方程组可变形为因此，可以将与看作是方程的两个根，解方程得：，．经检验：都是原方程的解，原方程的解是45. 设，则，，．46. 解：设，则原方程化为解得，当时，解得，当时，此方程无实数根．经检验，，都是原方程的根．原方程的根为， .47. （1）设该果农今年收获樱桃千克，根据题意得：解得：答：该果农今年收获樱桃至少千克；（2）由题意可得：令，原方程可化为：整理可得：解得：（舍去），，，答：的值为．48. 设，，则49. 设，则有：，，即，故原式的值为．50. 设，则51. 设，则原方程变为即由分式值为的条件，得且．且．或，且．解得经检验，是原分式方程的解．52.当时，．53. 由题意得，又，．．解方程得原方程组的解为或．54. 设，则，，．55. （1），．（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和其倒数的倍数．可变形为 .或，即或，经检验：，都是原方程的解.原方程的解为，．56. （1）（i）；（ii）（2）将方程变形为把方程代入方程得解得把代入方程，得所以原方程组的解为57. （1）抛物线经过点，，，抛物线解析式为，顶点．（2）①②结论：．理由：设点坐标，，，．【解析】①当点运动到点处时．由勾股定理得，，．（3）为等边三角形，．，易证．，解得：，．（4），，．，，以，，为顶点的三角形与相似，与，与是对应边，，设点，，解得．点坐标或．58. （1）由直线：知：，；，，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得．抛物线的解析式：．（2）在中，，，则；，；而；，设，则，当时，取得最大值，此时取得最小值．当时，有最小值，且最小值为．（3）在中，，，则；在中，，，则；；以，，为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：①，解得；②，解得；综上所述，当时，以，，为顶点的三角形与相似．59. （1）降次．（2）设，原方程化为，解得，．当时，解得或当时，解得或；原方程的解是，，，．60. （1）换元，转化（2）设，则由原方程得到．整理，得，解得或．当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；综上所述，原方程的根为：，，，．。
第二换元积分法练习题含答案-2021年个人精心整理
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December 1, 2019 2 / 51
一、第二换元积分法练习题
38.
d√x
39. √ dx
40. x2√1 − x dx
(1 + x2) 1 − x2
2x − 3 + 1
√ 41. x 4 2x + 3 dx 42.
x+1
√
dx 43.
x2 1 − x2 dx
x x−2
ln 2x
2x3x
a2 − x2 + C
2
a2
9.3 arcsin
x 2
−
1 x
2
4 − x2 + C
1 10. arccos + C
|x|
x
11. √
+C
1 + x2
1 12.
arcsin(x − 1) + (x − 1)
2x − x2
2
x
1
13. arcsin x − √
+ C 14.
1 + 1 − x2
2
+C
arcsin x + ln x + 1 − x2 + C
三、习题解答
当 x < −a 时, 设 x = −u, 则 u > a, 且 dx = −du, 于是
√ x2 − a2 dx = x
√ u2 − a2 du (用上段结果) u
=
u2 − a2 + a arccos
a u
+C
=
x2 − a2 + a arccos
a −
+C
x
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
用换元法解一次方程组习题及答案
１ 解方程组576233x y x y +=⎧⎨+=⎩， ①． ②2 解方程组521623+126x y x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， ①， ②． ③3 解方程组24+393251156713x y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩， ①， ②． ③4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+)2.(1213343)1(,04231y x y x5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x6. 解方程组7. 解方程组⎩⎨⎧=-=+)2.(97177)1(,1232y x y x8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+②)(316①)(236y x y x y x y x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-152223*********yx y x yx y x1. 解：由①令5373x k y k =+=-，，所以3537k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ③． ④ 把③、④代入②，解得18k =-．⑤ 把⑤代入③、④，得原方程组的解为33x y =-⎧⎨=⎩，．2. 解：由①令5828x k y k =+=-，．所以8582k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ④． ⑤ 把④、⑤代入②、③，整理，得1110323104k z k z +=⎧⎨-=-⎩，．解得21k z =⎧⎨=⎩，．把k =2分别代入④、⑤，得23x y =⎧⎨=⎩，．所以原方程组的解为231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．3. 解：根据①令：12122=3+4333x k y k z k k ⎧⎪=+⎨⎪=--⎩，，．所以1212323433k x k y k k z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩，，． 把④、⑤、⑥代入②、③，整理得121213182318k k k k +=-⎧⎨-=⎩，．解得1251k k =-⎧⎨=-⎩， ⑦． ⑧把⑦、⑧代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为1123x y z =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，．4. 解：由①，得4231+=+y x . 设k y x =+=+4231，则13-=k x ，24-=k y ，代入②，得12133244313=-----k k .∴1=k .∴213=-=x ，224=-=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,2y x 5. 解：设m y x =+6，n yx =-10.原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+.1,3n m n m 解得⎩⎨⎧==.2,1n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.210,16y x yx 即⎩⎨⎧-=-=+.20,6y x y x 解得⎩⎨⎧-==.7,13y x∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.7,13y x6. 解：设 ， . 原方程组可化为 解得 ∴ ，解得7. 解：由①可设t x 662+=，t y 663-=，即t x 33+=，t y 22-=，代入②，得.97)22(17)33(7=--+t t∴2=t .∴,9233=⨯+=x .2222-=⨯-=y ∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.2,9y x说明：本题若按常规设法，可设t x +=62，t y -=63，此时23t x +=，32ty -=﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设t x 662+=，t y 663-=，此时t x 33+=，t y 22-=，没有出现分类，使运算变得简捷.8.解：令a=(x+y);b=(x-y),则原方程组变为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=④316③236a b a a由③式可得： a=12把a=12代入④得：b=6-4=2将a=12,b=2反代回a=x+y;b=x-y 得方程组⎩⎨⎧=+=-⑥2⑤12y x y x解得：x=7,y=5y x b 521-=⎩⎨⎧=-=+1251034b a b a ⎩⎨⎧==21b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2152123y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==.221,114y x y x a 231-=。
4.2换元积分法-习题
第 4 章 不定积分换元积分法 习题解1．在括号中填入适合的系数，使以下等式建立： ⑴ dx () d (5 x 2) ；【解】因为 d (5 x 2) 5dx ，所以 dx1 )d (5 x2) 。
(5⑵ xdx () d (7 3x 2) ；【解】因为 d (7 3x 2 )6xdx ，所以 xdx (1 )d (7 3x2 ) 。
6⑶ x 4 dx ( ) d (2 x 5 3) ；【解】因为 d (2 x 5 3)10x 4dx ，所以 x 4 dx( 1 ) d (2 x 5 3) 。
10⑷1dx () d ( x) ；x【解】因为 d ( x)2 1 dx ，所以 1 dx ( 2 ) d ( x ) 。
x x⑸ dx() d (3ln x ) ；x3dx ，所以dx1【解】因为 d (3ln x )( ) d (3ln x ) 。
xx 3⑹ dx () d(2 arcsin x) ；1 x2【解】因为 d (2 arcsin x)dx，所以dx() d(2 arcsin x) 。
x 21 x 21⑺ xdx() d( 1x 2) ；1 x 2【解】因为 d (1 x2 )xdx ，所以 xdx() d ( 1 x 2 ) 。
1 x2 1 x 2⑻dx() d(arctan3x) 。
1 9x23dxdx 1【解】因为 d (arctan 3x)，所以 ( )d (arctan3x) 。
1 9x2 1 9x 2 32．求以下不定积分：⑴(2 x 1)2 dx ；【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 2x 1 ，积分红为能够直接积分的u 2 ，于是，应用凑微分法，得(2 x 1)2 dx 1 (2 x 1)2 d (2 x1)------d (2 x 1) 2dx21 1(2 x 1)3 c ------u 2 du 1 u 3 c2 331(2 x 1)3 c6⑵11 dx ；3x【解】这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 1 3x ，积分红为能够直接积分的1 ， u于是，应用凑微分法，得1 1 1------1 dx3 1 d (1 3x)3x3x1 ln 1 3x c ------3⑶1dx ；33 5xd (1 3x) 3dx1du ln u cu【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 3 5x ，积分红为能够直接积分的1 ，3u于是，应用凑微分法，得11 1d(3 5x) 33 5xdx3355x 1 3(325x)3c5 223(35x)3c102⑷ xe x dx ；------d(3 5x) 5dx1du 2------3 u 3 c3u22【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数e x ，余下为微分部份 xdx ，对照中间变量的微分 d( x 2 )2xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得xe x 2 dx1 e x2 d( x 2 ) ------d( x 2 )2xdx21 e x2 c------e u du e u c2⑸2x 3dx ；x 41【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数1 ，余下为微分部份 2x 3dx ，对照中间变量1 x 4的微分 d (1 x 4 )4x 3dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2x3114------1 x 4dx2 1 x 4d (1 x )1 ln 1 x 4c------21ud(1 x 4 ) 4x 3dxdu ln u c⑹tan10x sec 2xdx ；【解】 这是三角函数的积分， 将 tan 10 x 作为复合函数， 余下为微分部份sec 2 xdx 恰为 tan x的微分，于是，应用凑微分法，得tan 10 xsec 2 xdxtan 10 xd tan x------ d tan x sec 2 xdx 1 tan 11 x c ------u 10du1 u 11 c1111⑺ e xdx ；x【解】这是积函数的积分，分别出复合函数e x，余下为微分部份1dx ，对照中间变量的x微分 d x1 dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x e x dx 2 e x d x ------d x1 dxx2 x2e xc------e u du e u cx⑻dx ；2 3x 2【解】这是积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份xdx ，对照中间变2 3x 2量的微分 d (2 3x 2 )6xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x dx 11d (2 3x 2 ) ------d (23x 2 )6xdx3x 2623x 212 23x 2 c------1 du 2u c6u1 2 3x 2 c3⑼ tan 1x 2x x 2 dx ；1【解】这是积函数的积分，分别出复合函数tan 1 x 2 ，余下为微分部份x dx ，对1 x 2比中间变量的微分d 1 x 22x dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得2 1 x 2tan 1 x 21 x dxtan 1 x 2 d 1 x 2--- d 1x 2x dxx 21 x 2tan 1 x 2 d 1 x 2------tan udusin u du 1 d cosuln cosu ccosucosuln cos 1 x 2 c【此答案与课本答案能够互化：ln cos 1 x 2ln (cos 1x 2 ) 1ln1ln sec 1 x 2 】cos 1 x 2⑽1x dx ；xee【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量 e x 和 e x ，要进行换元积分，须先化为同一此中间变量：1 e x e x ，e x e x e x (e x e x ) (e x )2 1这成为积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份e x dx ，对照中间(e x )2 1变量的微分de x e x dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得1 e xdx 1 x---- x xe x e x dx (e x ) 2 1 (e x ) 2 1 de de e dxarctan e x c ------ 1 du arctan u c1 u2⑾1 dx ；xln x ln(ln x)【解法一】这是积函数的积分，分别出复合函数1，余下为微分部份1dx ，对照ln(ln x) x ln x中间变量的微分 d ln(ln x) 1 1dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得ln x x1 dx 1 d ln(ln x) ---- d ln(ln x) 1 1dxx ln x ln(ln x) ln(ln x) ln x xln ln(ln x) c ------ 1du ln u c u【解法二】1dx1d ln x ln x u1x ln x ln(lndu x) ln x ln(ln x) u ln u1ln u1ln t c ln ln u cd ln u t dtln u tln lnln x c 。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练30 换元法因式分解
专题30 换元法因式分解【例题讲解】阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式()()22414212x x x x -+-+-． 解：设24x x y -=，()()1212y y =++-2310y y =+-()()52y y =+-()()224542x x x x =-+-- (1)请你用换元法对多项式()()2232358x x x x -+---进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：()()2221230x x x x -+--=． 【解答】（1）解：设23x x y -=，则原式()()()()()()222258318633633y y y y y y x x x x =+--=--=-+=---+（2）解：设22t x x =-．则()()130t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即()210x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即()()310x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-． 【综合解答】1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式22()()21234a a a a ---++进行因式分解的过程． 解：设22a a A -=原式(1)(3)4A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）2(1)A =+（第三步）22(21)a a =-+（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．(3)请你模仿以上方法对多项式22(43)(411)49x x x x ---++进行因式分解．2．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x 进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y （第一步）28y y =+（第二步）(8)y y （第三步）22(4)(48)x x x x （第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 进行因式分解3．阅读并解决问题：材料1：在因式分解中，有一类形如2()x m n x mn +++的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成2()()()x m n x mn x m x n +++=++． 例如：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．材料2：分解因式：2()2()1a b a b ++++．解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．(1)运用上述方法分解因式：①268x x ++=___________，②26x x --=___________；(2)请用“换元法”进行因式分解：()()2242464x x x x -+-++．4．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式(2)(6)4y y =+++2816y y =++2(4)y =+()2244x x =-+ 回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对()()222221x x x x --++进行因式分解．5．下面是某同学对多项式(x 2－4x +2)(x 2－4x +6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x 2－2x )(x 2－2x +2)+1进行因式分解．6．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++- ()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 7．阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=，原式()()264(y y =+++第一步)2816(y y =++第二步)2(4)(y =+第三步)22(44)(x x =-+第四步)（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______(填写选项)．A .提取公因式B .平方差公式C .两数和的平方公式D .两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______.(填彻底或不彻底)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x ++++进行因式分解．8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a 2﹣2a ﹣1）（a 2﹣2a +3）+4进行因式分解的过程． 解：设a 2﹣2a ＝A ，原式＝（A ﹣1）（A +3）+4（第一步）＝A 2+2A +1（第二步）＝（A +1）2（第三步）＝（a 2﹣2a +1）2（第四步）＝（a ﹣1）4回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x 2﹣4x ﹣3）（x 2﹣4x +11）+49．9．下面是小明同学对多项式()()2252564x x x x -+-++进行因式分解的过程：解：设25x x y -=，则（第一步）原式(2)(6)4y y =+++（第二步）22816(4)y y y =++=+（第三步）把25x x y -=代入上式，得原式()2254x x =-+（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式()()223344a a a a --++进行因式分解．10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234a a a a ---++进行因式分解的过程．解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()21A =+（第三步）()2221a a =-+（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“0AB =，则0A =或0B =”．解方程()()2228120x x x x +-++=． 11．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2+3x ﹣9）（x 2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．解：设x 2+3x ＝y原式＝（y ﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y 2﹣8y+16（第二步）＝（y ﹣4）2（第三步）＝（x 2+3x ﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式（9x 2- 6x+3）（9x 2- 6x -1）+ 4进行因式分解．专题30 换元法因式分解【例题讲解】阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式()()22414212x x x x -+-+-．解：设24x x y -=，()()1212y y =++-2310y y =+-()()52y y =+-()()224542x x x x =-+--(1)请你用换元法对多项式()()2232358x x x x -+---进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：()()2221230x x x x -+--=． 【解答】（1）解：设23x x y -=，()()()()()()222258318633633y y y y y y x x x x =+--=--=-+=---+（2）解：设22t x x =-．则()()130t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即()210x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即()()310x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-． 【综合解答】1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式22()()21234a a a a ---++进行因式分解的过程．解：设22a a A -=原式(1)(3)4A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）2(1)A =+（第三步）22(21)a a =-+（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．(3)请你模仿以上方法对多项式22(43)(411)49x x x x ---++进行因式分解．【答案】(1)C ；(2)4(1)a -；(3)4(2)x -【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；（3）模仿例题设24x x A -=，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A 换回24x x -，再分解彻底即可．【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C ；（2）原式=22224(21)(1)(1)a a a a ⎡⎤-+⎣==--⎦ 故答案为：4(1)a -；（3）设24x x A -=．22(43)(411)49x x x x ---++(3)(11)49A A =-++2816A A =++2(4)A =+2244x x -+=()4(2)x =-．【点评】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．2．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x 进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y （第一步）28y y =+（第二步）(8)y y （第三步）22(4)(48)x x x x （第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 进行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)2(4)(48)x x x x(3)22(1)(1)x x x x【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式24x x -分解成(4)x x -即可；（3）用换元法设2x x t +=，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．【解答】（1）解：由题意得：从28y y 到(8)y y 运用了因式分解中的提取公因式法故答案为：提取公因式（2）解：由题意得：()()22448x x x x --+ 2(4)(48)x x x x（3）解：设2x x t +=，将2x x t +=代入2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 中得：(2)(1)(1)1t t t t原式22211t t t222t t2(1)t t222()(1)x x x x22(1)(1)x x x x【点评】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．3．阅读并解决问题：材料1：在因式分解中，有一类形如2()x m n x mn +++的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成2()()()x m n x mn x m x n +++=++． 例如：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．材料2：分解因式：2()2()1a b a b ++++．解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．(1)运用上述方法分解因式：①268x x ++=___________，②26x x --=___________；(2)请用“换元法”进行因式分解：()()2242464x x x x -+-++．【答案】(1)①(2)(4)x x ++，②(2)(3)x x +-．(2)4(2)x -【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可；（2）设242x x y -+=，把原多项式换元后因式分解，再代入还元；【解答】（1）①268x x ++=(2)(4)x x ++，②26x x --=(2)(3)x x +-；故答案为：①(2)(4)x x ++，②(2)(3)x x +-．（2）设242x x y -+=，则原式(4)4y y =++244y y =++2(2)y =+()22422x x =-++ 22(2)x ⎡⎤=-⎣⎦ 4(2)x =-．【点评】本题考查了因式分解的完全平方公式和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．4．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式(2)(6)4y y =+++2816y y =++2(4)y =+()2244x x =-+ 回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】(1)不彻底，()42x -(2)()41x -【分析】（1）根据完全平方公式可知244x x -+可继续分解，从而可得答案；（2）设22x x y -=，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．【解答】（1）∵()()242442x x x -+=-， ∴该同学因式分解的结果不彻底，故答案为：不彻底，()42x -；（2）设22x x y -=， ()()222221x x x x --++21y y =++()221y y =++()2221=-+x x4=-，x(1)x-．故答案为：()41【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用和换元法的应用．5．下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的；(2)该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解．【答案】(1)完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）(2)不彻底；(x-2)4(3)(x﹣1)4【分析】（1）根据分解时所用公式判断；（2）用完全平方差公式继续分解；（3）先换元，再用公式分解．（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．故答案为：完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ．故答案为：不彻底；(x-2)4 ．（3）解：设x2－2x=y，则(x2－2x)(x2－2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=( x2-2x+1)2【点评】本题考查因式分解，整体代换后用公式是求解本题的关键．6．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++- ()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；（2）仿照题意方法二求解即可；（3）先把多项式化成()()2227656x x x x x +++++，然后仿照题意方法二得到原式()2266x x =++，由此即可得答案．【解答】（1）解：解法一：设24x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+ ()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++ ()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+ ()2244x x =-+ ()42x =-；（2）解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+- 2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++ ()21m n =-- ()21x y xy =+-- ()()2211x y =--；（3）解：()()()()21236x x x x x +++++ ()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++ 221236m mn n =++()26m n =+ ()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+， ∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 【点评】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．7．阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=，原式()()264(y y =+++第一步)2816(y y =++第二步)2(4)(y =+第三步)22(44)(x x =-+第四步)（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______(填写选项)．A .提取公因式B .平方差公式C .两数和的平方公式D .两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______.(填彻底或不彻底)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x ++++进行因式分解． 【答案】（1）C ；（2）不彻底，4(2)x -；（3）4(1)x +．【分析】（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，即可得出选项；（2）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解；（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．【解答】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，故选：C ；（2）小影同学因式分解的结果不彻底，原式2244x x -+=()22[(2)]x =-4(2)x =-，故答案为：不彻底，4(2)x -；（3）设22x x y +=，原式()21y y =++，221y y =++，21)y +=(，222(1)x x +=+，4(1)x =+．【点评】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a 2﹣2a ﹣1）（a 2﹣2a +3）+4进行因式分解的过程． 解：设a 2﹣2a ＝A ，原式＝（A ﹣1）（A +3）+4（第一步）＝A 2+2A +1（第二步）＝（A +1）2（第三步）＝（a 2﹣2a +1）2（第四步）＝（a ﹣1）4回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x 2﹣4x ﹣3）（x 2﹣4x +11）+49． 【答案】（1）C ；（2）（x -2）4【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）按照例题的分解方法进行分解即可．【解答】解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；（2）设x 2-4x =A ．（x 2-4x -3）（x 2-4x +11）+49=（A -3）（A +11）+49=A 2+8A +16=（A +4）2=（x 2-4x +4）2=（x -2）4．【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．9．下面是小明同学对多项式()()2252564x x x x -+-++进行因式分解的过程：解：设25x x y -=，则（第一步）原式(2)(6)4y y =+++（第二步）22816(4)y y y =++=+（第三步）把25x x y -=代入上式，得原式()2254x x =-+（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式()()223344a a a a --++进行因式分解．【答案】（1）不彻底，()()2214x x --；（2）()()2212a a --【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；（2）设23a a x -=，再根据不同的方法把原式进行分解即可．【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式()2254x x =-+ =()()2214x x --；（2）设23a a x -=，则()()223344a a a a --++ =()44x x ++=244x x ++=()22x +=()2232a a -+ =()()2212a a --【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用． 10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234a a a a ---++进行因式分解的过程． 解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()21A =+（第三步）()2221a a =-+（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“0AB =，则0A =或0B =”．解方程()()2228120x x x x +-++=． 【答案】（1）C ；（2）()41a -；（3）()42x -；（4）2x =-或1x =或3x =-或 2.x =【分析】（1）由()22211A A A ++=+，运用的是两数和的完全平方公式，从而可得答案； （2）由()22211,a a a -+=- 从而可得最后的答案；（3）设设24,x x m -= 可得()()224341149x x x x ---++()()31149m m =-++ 2816m m =++，再利用完全平方公式分解，再把24x x m -=代入可得答案；（4）由()()2228120x x x x +-++=可得：()()()()21320,x x x x +-+-=利用0AB =，则0A =或0B =，从而可得答案．【解答】解：（1）由()22211A A A ++=+，运用的是两数和的完全平方公式，故答案为：.C（2）()()()22242=211,1a a a a ⎡⎤=-⎣⎦--+ 故答案为：()41.a -（3）设24,x x m -= ∴ ()()224341149x x x x ---++()()31149m m =-++2816m m =++()24m =+()2244x x =-+ ()()22422.x x ⎡⎤=-=-⎣⎦ （4） ()()2228120x x x x +-++=， ()()22260,x x x x ∴+-+-=()()()()21320,x x x x ∴+-+-=+20x ∴=或10x -=或30x +=或20x -=，2x ∴=-或1x =或3x =-或 2.x =【点评】本题考查的是换元法分解因式，因式分解法解高次方程，掌握换元法分解因式及利用因式分解法解高次方程是解题的关键．11．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2+3x ﹣9）（x 2+3x+1）+25 进行因式分解的过程． 解：设x 2+3x ＝y原式＝（y ﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y 2﹣8y+16（第二步）＝（y ﹣4）2（第三步）＝（x 2+3x ﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【解答】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法故选：C；（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25＝y2﹣8y+16＝（y﹣4）2＝（x2+3x﹣4）2=(x-1)2(x+4)2；故答案为：(x-1)2(x+4)2；（3）（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4设9x2- 6x =y，原式=(y+3)（y-1）+4，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（9x2- 6x +1）2，=（3x-1）4．【点评】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．。
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--换元法.题库学生版
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换元法
教学目标
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”
三、换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
【例 1】计算：
1111111111 (1)()(1)()
2424624624 ++⨯++-+++⨯+
【巩固】
11111111111111 (1)()(1)()
23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++
【巩固】计算：
621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【巩固】计算：(0.10.210.3210.4321
+++)⨯(0.210.3210.43210.54321
+++)-
(0.10.210.3210.43210.54321
++++)⨯(0.210.3210.4321
++)
例题精讲
【巩固】 计算下面的算式
(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)
【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)
⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭
【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
= 。
【例 2】计算：
1111111111 11
2200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【巩固】
1111111111111111 11213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【巩固】计算1111111111111111
())() 5791179111357911137911 +++⨯+++-++++⨯++
（）（
【巩固】计算
111111111111111111 11
234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例 3】 计算：
212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例 4】 计算
111121113111431
141
20092009++
++
++
+++
+
【例 5】 计算：2222281181181111111
8118118811⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
【例 6】计算：
2
2010 200920111
⨯+
【巩固】计算200820092007 200820091
+⨯
⨯-
（4级）。