截面几何性质-T形截面
第三章 截面几何特征
（2）求形心：
yc
A y
i 1 n i
n
i
A
i 1
A 600 30 300 5 Ⅰy CⅠ A Ⅱ y cⅡ 21.67m m A A 600 300 Ⅰ Ⅱ
i
zc
A z
i 1 n i
n
i
A
i 1
A 600 5 300 25 Ⅰz CⅠ A Ⅱ z cⅡ 11.67m m A A 600 300 Ⅰ Ⅱ
第三章 截面的几何性质
一、 截面的形心和静矩
1、 截面的静矩
静矩是对一定轴而言的，同一截面对不 同坐标轴的静矩是不同的。静矩可能为正 值或负值，也可能为0，其常用单位是m3 或mm3。
* SZ ydA A
S* y zdA
A
组合截面的静矩等于各组成部分对于该轴静矩代数和
S Z Ai yi
IZ
因为
2 2 y dA ( y a ) dA c
A
A
2 2 y dA 2 a y dA a c c dA
A
A
A
A
y c2 dA 为截面形心轴惯性矩
y c dA
A
为截面对形心轴的静矩，其值为零
I Z I zc a 2 A
故上式简化为
I y I yc b 2 A I yz I yczc abA
A
惯性矩恒为正值，其常用的单位是m4和mm4
矩形截面
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
圆形截面
IZ I y
D4
64
第三章 截面的几何性质
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学截面法PPT
概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量
(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴 公式，转轴公式等。
在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于 横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如 一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更 不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦 状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放 上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、 刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解
y
ry
A
rz2 A I z
rz
Iz A
o
rz z
ry2 A I y
例4—3中的矩形截面：
ry
Iy A
rz
Iz A
bh3 12 h
h 0.289h
bh
12 2 3
h
y
oz b
• 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 I zy.
解：因为惯性矩与惯性积等于各微
y C
B
r
元面积的惯性矩或惯性积之和，
i
sz yci Ai y1 A1 y2 A2
i
15 300 30 270 30 270 50 23.625 105 (mm)2 ,
2
• 4-2 惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
------面积对坐标轴的二次矩.
y
y
dA
o
z
z
设一平面图形，取一元面积 dA，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位
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材料力学 截面图形几何性质
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
9
材料力学Ⅰ电子教案
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
1
材料力学Ⅰ电子教案
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xc=0
3
y y1 200
C O
10 150 yC x1
x
目录
材料力学Ⅰ电子教案
求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
y
d A 2 r2 y2 • d y
dA
dy
yC
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 y2 )d y 2 r3 3
Cr
y
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式
13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
钢结构的连接习题及答案
钢结构的连接习题及答案例 3.1试验算图3-21 所示钢板的对接焊缝的强度。
钢板宽度为200mm ，板厚为14mm ，轴心拉力设计值为N=490kN ，钢材为Q235 ，手工焊，焊条为E43 型，焊缝质量标准为三级，施焊时不加引弧板。
（a）（b）图 3-21 例题 3-1（a）正缝；（ b）斜缝解：焊缝计算长度l w200 214 172mm焊缝正应力为490103203.5N / mm 2w185N / mm217214 f t不满足要求，改为斜对接焊缝。
取焊缝斜度为 1.5：1，相应的倾角56 0,焊缝长度l w'200214213.2mmsin 56 0此时焊缝正应力为N sin490103sin 5602w185N / mm 2l w't213.214136.1N / mmf f剪应力为N cos490103 cos56091.80N / mm2 f v w125N / mm2l w' t213.214斜焊缝满足要求。
tg 560 1.48 ，这也说明当 tg 1.5 时，焊缝强度能够保证，可不必计算。
例 3.2 计算图3-22 所示T 形截面牛腿与柱翼缘连接的对接焊缝。
牛腿翼缘板宽130mm，厚 12mm ，腹板高200mm，厚 10mm 。
牛腿承受竖向荷载设计值V=100kN ，力作用点到焊缝截面距离e=200mm。
钢材为 Q345，焊条E50 型，焊缝质量标准为三级，施焊时不加引弧板。
解：将力 V 移到焊缝形心，可知焊缝受剪力V=100kN ，弯矩M Ve1000.2 20kN m 翼缘焊缝计算长度为130212106mm腹板焊缝计算长度为200 10190mm（a）（b）图 3-22 例题 3-2（a）T 形牛腿对接焊缝连接；（ b）焊缝有效截面焊缝的有效截面如图3-22b 所示，焊缝有效截面形心轴x x 的位置y110.6 1.20.619 1.010.76.65cm10.6 1.219 1.0y219 1.2 6.6513.55cm焊缝有效截面惯性矩I x119319 1 4.05210.6 1.2 6.0521349cm412翼缘上边缘产生最大拉应力，其值为My120106 6.65102f t w2t I x134910498.59N / mm265N / mm 腹板下边缘压应力最大，其值为My2 2010613.55102w310N / mm 2a I x1349 104200.89N / mm f c为简化计算，认为剪力由腹板焊缝承受，并沿焊缝均匀分布V10010352.63N / mm2 f v w180N / mm2A w19010腹板下边缘正应力和剪应力都存在，验算该点折算应力232200.92352.632a220.6N / mm2 1.1 f t w 1.1265291.5N / mm2焊缝强度满足要求。
材料力学第六章
极惯性矩： d r d d4 2dA=2d/2r2· ddr = z Ip= A r· 0 0 32 C 轴惯性矩： Ip=IZ+IY d4 IZ= IY = Ip/2= 64 2 sin· cos· ddr =0 12 r· r· 惯性积：IZY= AyzdA= 0 d/2 r· 0
z h 2
h1 2
C b 2 b 2
11
例6-4 圆形对其对称轴的几何性质
面积： A=AdA=d2/4 2 sin· ddr =0 静矩： SZ=AydA=0 d/2r· r· 0
2 SY=AzdA= 0 d/2r· cos· ddr =0 r· 0
dA=rddr y dr
计算主惯性矩的一般公式
由式： 2 IZY tg20 = IZ IY 2 IZY sin20 = ( IZ IY)2+4 I2ZY cos20 = 2 ( IZ IY) ( IZ IY)2+4 I2ZY
可得：
代入上节的IZ1、 IY1计算式便可得： IZ+ IY 1 + ( IZ IY)2+4 I2ZY IZ0= 2 2 IZ+ IY 1 – ( IZ IY)2+4 I2ZY IY0= 2 2
例6-5
23
a1 zO a2 z
截面对yO轴的惯性矩为两个矩形面积对yO轴的惯性矩之 和： 0.120.63 0.40.23 IZo= II + III = + =0.242 10-2m4 YO YO 12 12
24
求图示图形的形心主轴位置和形心主惯性矩。 6 解：该图形由I、II、III三个 y 矩形组成组合图形。显然组 合图形的形心与矩形II的形 I C1 心重合。 为计算形心主轴的位置及 b1 形心主惯性矩 ，过形心选择 一对便于计算惯性矩和惯性 C z 积的z、y轴如图示。 II 矩形I、III的形心坐标为： 2 a1=0.04m a3=-0.04m C3 III b1=-0.02m b3=0.02m b3 组合截面对z、y轴的惯性矩 尺寸单位 cm 6 和惯性积分别为