专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时 高考数学解答题压轴题突破讲义(原卷版)
专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(201
专题3 图形面积求最值，函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】例1已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点为()0,1M -6:l y kx m=+（0k ≠）与椭圆C 交于A ，B 两点，若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）求实数m 的取值范围；（III ）用m 表示∆MAB 的面积S ，并判断S 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系；②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标←−−→交点在直线上纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式122112S x y x y =-，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点M 的直线交椭圆于D ，求四边形D MA B 的面积的取值范围．例2、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，离心率22e =，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,离心率e 为12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值. 【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e 为12，求出,a b ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得O 、M 、P 、n 四点共圆，该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得O 的方程为2212x y +=，直线MN 的方程为210x y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121212GAB S GE y y y y ∆=-=-，从而GAB S ∆最大， 12y y -就最大，可设直线l 的方程为1x my =+，由221{ 143x my x y =++=，得()2234690m y my ++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出GAB ∆的面积的最大值.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法GAB ∆面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221tan2PF F Sb θ=⋅【新题展示】1．【2019】广东江门调研】在平面直角坐标系中，，，为不在轴上的动点，直线、的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程； （2）若，是轨迹上两点，，求面积的最大值．【思路引导】 （1）设，将利用斜率公式进行化简整理即可得点P 轨迹方程；（2）由斜率为1，设直线MN的方程与椭圆联立，写出韦达定理，计算弦长|MN|和点T 到直线MN 的距离，表示出三角形的面积，利用导数即可求出面积最大值．2．【2019四川成都实验外国语学校二诊】已知椭圆：的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，设．若，求面积的取值范围．【思路引导】（1）由题意可得点P的坐标为，然后求出，根据椭圆的定义可得，进而得到，于是可得椭圆的方程．（2）由题意直线的斜率不为0，设其方程为，代入椭圆方程后结合根与系数的关系得到，然后通过换元法求出的范围即可．3．【2019江西南昌一模】如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．【思路引导】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．4．【2019浙江温州2月适应性测试】如图，A 为椭圆的下顶点，过A 的直线l 交抛物线于B、C 两点，C 是AB 的中点．（I）求证：点C的纵坐标是定值；（II）过点C作与直线l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．【思路引导】（I）根据点在抛物线上设出B的坐标，可表示出C的坐标，代入抛物线方程求得纵坐标．（II）先利用条件得到，联立直线与椭圆的方程，求得弦长及到的距离，写出面积的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可．5．【2019福建厦门第一次（3月)质量检查】已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且．（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值．【思路引导】(1) 设，可得，，求出A点坐标，即可得到直线的方程；(2)利用点差法可得，又因为在同一直线上，所以，所以，设出直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示面积，结合均值不等式即可得到结果．6．【2019湖南怀化一模】设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围．【思路引导】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解．7．【2019江西上饶重点中学联考】已知椭圆的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过的直线与交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值．【思路引导】（1）由已知得，即可得椭圆方程．（2）由题意设，与椭圆方程联立得，，代入化简求最值即可．8．【2019安徽马鞍山一模】已知椭圆的方程为，离心率，且短轴长为4．求椭圆的方程；已知，，若直线l与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．【思路引导】根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值。
如何求解三角函数中的面积最值问题
如何求解三角函数中的面积最值问题
三角函数中的面积最值问题是数学中的一个经典问题，可以通过求解函数的导数来找到最值点。
以下是一个简单的步骤来解决这个问题：
1. 确定函数表达式：首先确定你要研究的三角函数，比如正弦函数、余弦函数或者其他函数。
2. 求导：对函数进行求导，得到函数的导数。
3. 解方程：将导数等于零，然后解方程来找到导数的零点或者驻点。
4. 求最值：对于找到的驻点，将其带入原函数，计算得到对应的面积值。
5. 比较结果：比较所有驻点对应的面积值，找到最大值或最小值。
举个例子，假设我们要求解正弦函数sin(x)在区间[0, π]上的面积最大值。
按照上述步骤进行：
1. 函数表达式：该问题中，函数表达式为sin(x)。
2. 求导：对sin(x)求导得到cos(x)，即函数的导数。
3. 解方程：将cos(x)等于零，得到x=π/2，在区间[0, π]上找到导数为零的点。
4. 求最值：将x=π/2带入原函数sin(x)，计算得到面积值为1。
5. 比较结果：该区间上面积最大值为1，没有更大的值。
通过以上步骤，我们可以求解三角函数中的面积最值问题。
需要注意的是，这个方法只适用于简单的三角函数，对于复杂的函数或更复杂的问题，可能需要使用更高级的数学工具和技巧来求解。
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解高考数学冲刺策略：函数的值域与最值求解高考数学中，函数的值域与最值问题一直是重点和难点。
在冲刺阶段，掌握有效的求解策略对于提高成绩至关重要。
本文将为同学们详细介绍函数值域与最值的求解方法，并通过实例帮助大家加深理解。
一、函数值域与最值的基本概念首先，我们来明确一下函数值域和最值的定义。
函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值的集合。
简单来说，就是当自变量在定义域内取遍所有可能的值时，函数所对应的函数值的范围。
而函数的最值则分为最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内所能取得的最大函数值，最小值则是所能取得的最小函数值。
二、常见函数的值域与最值1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的函数为一次函数。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增，值域为 R；当 k ＜ 0 时，函数单调递减，值域也为 R。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
对于形如 y ＝ a(x h)²＋ k 的顶点式，顶点坐标为（h, k)，当 a ＞ 0 时，函数的最小值为 k；当 a ＜ 0 时，函数的最大值为 k。
3、反比例函数反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0），其定义域为x ≠ 0。
当 k ＞ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递减；当 k ＜ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递增。
值域为（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
4、指数函数指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数在 R 上单调递增，值域为（0, ＋∞）；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 R 上单调递减，值域同样为（0, ＋∞）。
5、对数函数对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），其定义域为（0, ＋∞）。
第08讲 拓展三：三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一
第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高；②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==；③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）；④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .【答案】(1)π3(2)(1)因为πA B C ++=，所以()cos cos B C A +=-，所以2cos cos cos c C a B b A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+.因为()sin sin A B C +=，所以2sin cos sin C C C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，则π3C =.(2)由6sin S b B =，根据面积公式，得16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==，所以2a b =.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，整理得2236a b ab +-=，即2336b =，所以b =a =.所以ABC 的面积11πsin 223S ab C ==⨯=2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.【答案】(1)3π(2)(1)因为()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=，由正弦定理，得()()3a b c a b c ab +++-=，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.(2)设ABC 外接圆的半径为R ，则212R ππ=，所以R =由正弦定理，得2sin cR C ==，所以6c C ==.因为6b c ==，3C π=，所以ABC 是等边三角形.所以ABC的面积为11sin 6622ab C =⨯⨯⨯.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin sin2B C a C +=.(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.【答案】(1)2π3A =；(2)19.(1)由已知及正弦定理得：sin sin sin sin 2B CA C C +，又πBC A +=-，∴π222B C A+=-，又sin 0C ≠，∴sin 2A A =，则2sin cos 222A A A=，而π022A <<，∴cos02A ≠，则sin 2A =，故π23A =，得2π3A =.(2)由2π3BAC ∠=，π6BAD ∠=，则π2DAC ∠=.法一：在△ABD 中，πsin sin 6BD cBDA =∠，①在△ADC 中，πsin sin 2CD bADC =∠，②∵πADB ADC ∠+∠=，∴sin sin BDA ADC ∠=∠，③由①②③得：2BD cCD b=，又33CD BD ==，得1BD =，∴23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△.法二：π1sinsin 621π2sin sin 22BADADCc c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠===⋅∠△△.∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等，∴13BAD ADC S BD S DC ==△△，由此得：123c b =，即23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322219ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯⨯=△.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C+=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.【答案】(1)tan C =ABC S = (1)解：由题意得：由正弦定理得sin sin cos sin cos 3cos BA C C A C+=，所以()sin sin sin()3cos BA CB Cπ+=-=，所以sin sin 3cos B B C=又因为sin 0B ≠，所以1cos 3C =.所以sin 3C ==，sin tan cos C C C ==(2)若3c =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin 4223a b A B ==，则a A =，b B =，则16216216sin sin 644161627ab A B A B =⋅==⨯=，所以11sin 622ABC S ab C ==⨯=△5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③2tan tan tan B b A B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．【答案】(1)选①3A π=；选②3A π=；选③3A π=(2)选①2；选②2；选③2(1)解：选①：()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，由正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，222a c b bc =+-，由余弦定理可得()2221cos ,0,22b c a A A bc π+-==∈，所以3A π=，选②：sinsin 2B Cb a B +=，由正弦定理得：sin sin sin sin ,sin 02B CB A B B +=>，所以sin sin ,sin sin 22B C AA A π+-==，cos2sin cos ,cos 02222A A A A=>，所以1sin22A =，()0,A π∈，3A π=，选③：2tan tan tanB bA B c=+，∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C=+，可得：sin 2sin cos ,sin sin sin cos cos BB B A B CA B⨯=+可得：()2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B A A BC CA B A B===++，sin 0B ≠ ，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，()0,A π∈ ，3A π∴=．(2)解：2AB = ，D 为AB 的中点，1AD BD ∴==，CDA CDB π∠+∠= ，cos cos 0CDA CDB ∴∠+∠=，222211022CD b CD a CD CD+-+-+=，即22222CD a b +=+，2CD ab = ，()22a b ∴-=，a b ∴-=)，a b ∴=，在ABC中，由余弦定理有22)422cos60b b b =+-⋅⋅⋅，解得1b，)121sin23ABC S π=⋅⋅⋅=△高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭ ，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角C ；(2)若ABC的面积为2a b +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3C =(2)()8,10(1)选择①：因为x y ，所以()()sin sin c a A b c B b c c a--=++，由正弦定理得，()()c a a b c b cc ab --=++，即()()2222a c a b b c -=-，即2233ac bc a b +=+，即()()()222c a b a b a ab b +=+-+，即222c a b ab =+-．因为2221cos 22a b c C ab +-==，又C 为锐角，所以π3C =．选择②：π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin sin cos B C A C A =．又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A =．因为sin 0A >sin C C =，又C为锐角，所以tan C =π3C =．(2)因为1sin 2ABC S ab C === ，所以8ab =，则822a b a a+=+．(法一)由余弦定理得，222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-．①因为ABC 为锐角三角形，所以cos 0,cos 0,A B >⎧⎨>⎩即2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得224,4,b a ⎧>⎨>⎩即2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩解得24a <<．令()82f a a a =+，，则()()22224820a f a a a-=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．(法二)由正弦定理得π1sin sin cos sin 11322sin sin sin 22tan B B Ba Ab B B B B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+，又288a a a b a==，所以211822tan a B=+．因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2A B B ⎧<=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得ππ62B <<因为tan B10tan B<<1112222tan B<+<，即21228a <<，解得24a <<．令()82f a a a =+，24a <<，则()()22224820a f a a a -=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC的面积为cos 2cos 2A B +的值.【答案】(1)3π;(2)56-.(1)因为22cos b a c B =-，所以由正弦定理得sin 2sin 2sin cos B A C B =-,所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-，所以o s s in 2sin cos 2c sin 2sin cos B C B C C B B =+-,即sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，(0,)C π∈ ，3C π∴=.(2)因为ABC的面积为1sin 2ab C =，解的8ab =，2sin cR C∴=，解得3c =，由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-，所以2217a b +=，2222221cos 2cos 222(sin sin )22()()2()226ab A B A B a b RR ⎡⎤+=-+=-+=-+⎢⎥⎣⎦,5cos 2cos 26A B ∴+=-.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为23CD 的长.【答案】623(1)由120ACB ∠=︒，2AC =，CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形所以2CD =，30BCD ∠=︒，15B ∠=︒，则()62sin sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304B =︒-︒=︒︒-︒︒=.在△BCD 中，由正弦定理知sin sin BD CD BCD B =∠，则sin 62sin CD BCDBD B∠⋅==(2)由1sin 232ABC S CA CB ACB ∠=⋅⋅=△434sin BC CA ACB==⋅∠.又D 是边AB 的中点，所以()11112222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，则()2221111241622432222CD CA CBCA CB CA CB =+=++⋅=+-⨯⨯⨯= 故3CD =4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(23a a = ，(,sin )b c C =r ，且a b ∥．(1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为332，求AC 边上的中线BM 的大小．【答案】(1)3A π=(2)132BM =(1)因为a b ∥，(23a a =，(sin )b c C =⋅r ，所以2sin 3a C c =．由正弦定理得2sin sin 3sin A C C =．因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以3sin 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=；(2)因为△ABC 的面积为2．所以1sin 22bc A =．因为c ＝2．3A π=．所以3b =．在三角形ABM 中，∵M 为AC 的中点．∴1322AM b ==，由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．所以2BM =．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.【答案】(1)60︒(2)3+(1)解：由()()cos cos sin a B C A C a -=-，得()cos cos sin cos a B C a A C A -+=，即()()cos cos sin cos a B C a B C C A --+=，即()()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C a B C B C b C A +--=即2sin sin sin cos a B C C A =，∵sin 0C ≠，∴sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，∵sin 0B ≠，∴sin A A =，∴tan A =∵0180A <<︒︒，∴60A =︒.(2)解：如图，连接1AO ､3AO ，则13AO c =，33AO b =，正123O O O 面积2213131sin 60212S O O O =⋅⋅︒==，∴21373O O =，而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°，∴13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，则227b c bc ++=，在ABC 中，60A =︒，a 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠，则223b c bc +-=，∴2bc =，225b c +=，∴3b c +=，所以ABC 的周长为3高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c=，求(2)求三角形面积的最大值【答案】(1)已知60,A a =︒=2b =，，由余弦定理有：2222431cos242b c a c A bc c +-+-===，2210c c -+=，所以=1c .(2)由余弦定理有，222222cos 2a =b c bc A b c bc bc bc bc +-=+-≥-=，当且仅当“=b c ”时取等，所以3bc ≤.所以1sin 244S bc A bc ==≤，三角形面积的最大值为：4.2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且有2m n ⋅= ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，求三角形面积的最大值．【答案】(1)4π(2))514(1)由m n ⋅=22cos sin 22A A -=；即cos 2A =因为()0A π∈，，所以4A π=(2)由2222cos a b c bc A =+-得：225b c +=又222b c bc +≥∴(52bc≥-∴(522bc ≤∴()52511()224ABC max S +=⋅ .三角形面积的最大值为)514.3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos2f x x x x =-+.（1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）12．（1）()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x +=-+=-+sin 2coscos 2sin sin 2666x x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由()12f B =-可得，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以7266B ππ-=，解得23B π=．由于2222222cos3b ac ac a c ac π=+-=++，又2a b c ++=，所以()2222a c a c ac --=++，化简可得，()44ac a c +=+，而2a c >+≥，即1ac <，所以()44ac a c +=+≥a c =时取等号，解得4≥+4≤-28ac ≤-故ABC 面积的最大值为()max 1sin 122S ac B ==．4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-= ，且m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）（1）依题意得：cos (2)cos 0a B b c A +-=，则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，∴sin 2sin cos C C A =，又sin 0C ≠，∴1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=.（2）法一：由正弦定理得2sin 4sin b RB B ==，24sin 4sin 3cC B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴ABC 面积121sin sin cos sin2322S bc A B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)26sin cos 3sin 2cos 2226B B B B B B π⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭由3A π=得：203B π<<，则72666B πππ-<-<，∴1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，故262B ππ-=，即3B π=时，max S =.法二：由正弦定理得：2sin a R A ==2222cos a b c bc A =+-，∴22122b c bc bc +=+≥，当且仅当b c =时取等号，∴12bc ≤，max max 1()sin 23S bc π==5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【答案】(1)3π；(1)解：在ABC 中，因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理有sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C-+-sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，cos 10A A --=，即1sin()62A π-=，因为(0,)A π∈，所以5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，解得：3A π=.(2)解：因为2a =，所以由（1）及余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则2242cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-，222b c bc +≥ ，则222b c bc bc bc +-≥-，即4bc ≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以()max 4bc =，所以ABC 的面积的最大值为11sin 4222S bc A ==⨯⨯=6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )．(1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．【答案】(1);23π(1)由正弦定理得：sin sin b A B =即：22a bb R R⨯=(R 为三角形ABC 的外接圆半径)，故a =，由()()()c c b a b a b ＋＝＋－得：222c b a bc +-=-，则1cos 2A =-，因为(0,)A π∈，故23A π=；由等腰三角形ABC 可得6B π=，故622sin 3b ππ==；(2)由（1）知：2a b c ===，由点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF >BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，知点E 在点F 的左边,如图：设EAB θ∠=，3EAF π∠=不变，可知[0,]3πθ∈,在ABE △中，由正弦定理可得5sin sin(6)6AEAB ππθ=-，5sin()16AE πθ∴=-，在ABF 中，由正弦定理可得6sin sin()2AFAB ππθ=-，1cos AF θ∴=，故1||||sin 52cos s 1136in()AEF S AE AF ππθθ=⨯-12sin(2)6θ==++[0,]3πθ∈，∴16sin(2[,1]2πθ+∈，∴三角形AEF6πθ=．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60203+；(2)15ACM ∠=︒，最小值为(2120023km .(1)由40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，则3tan AC B BC ==所以30B =︒，60A =︒，则280AB AC ==，在△ACM 中，由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则203CM =所以222AC AM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，所以tan 3020MN CM =︒=，则240CN MN ==，综上，护栏的长度（△MNC 的周长）为2040203603++=+.(2)设()060ACM θθ∠=︒<<︒，在△BCN 中，由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+，得203cos CN θ=，在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得()3sin 60CM θ=+︒，所以()1300sin 302sin 60cos CMN S CM CN θθ=⋅︒=+︒ ，而()213sin 60cos sin cos cos 22θθθθθ+︒=+()()13113313sin 21cos 2sin 2cos 2sin 26044222424θθθθθ⎛⎫=+⨯+=++=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2sin 2603CMN S θ=+︒+ ，仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，()2sin 2603θ+︒+最大值为23，此时△CMN 的面积取最小值为(2120023km .8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)20sin cos AE αα=+米，cos AF α=米；(2)当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.(1)由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒，又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF ACACF AFC=∠∠，即()20sin 45sin 90cos AF AF αα=⇒=︒︒+米；综上所述：20sin cos AE αα=+米，AF .(2)由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，AF 所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯⨯︒+△化简得：210010020011cos 2sin cos cos sin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△又()045EAB αα∠=<<︒ ，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEF S取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯--=△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)π3A =，1a =(2)⎝⎦(1)因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，由正弦定理得，()22b c b c a -+=，即222a b c bc =+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.因为cos cos 1b C c B +=，由余弦定理得，222222·122a b c a c b b c ab ac+-+-⋅+=，可得1a =所以π3A =，1a =.(2)由（1）知π3A =，1a =，由正弦定理得，sin sin B a B A b ==，sin 2πsin 3a C c C B A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32B C B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，得ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而ABC 的面积121sin sin sin πsin sin 233322S bc A B B B B B ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin sin cos sin 2322344B B B B B ⎫⎫-=+⋅=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2cos 22622126612B B B ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而ABC的面积的取值范围为64⎛ ⎝⎦.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)3A π=；(2)(2.(1)解：由2tan tan tan B bA B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C=+，即()2cos 1sin sin A A B C=+，又sin()sin A B C +=，所以1cos 2A =因为0A π<<，故3A π=.(2)解：1sin 2ABC S bc A == ，由正弦定理知：2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===因为ABC 是锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,所以62B ππ<<，于是tan B 14c <<.ABC S << 3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC为锐角三角形，且a =，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)3B π=(2)2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(1)解：由题意，向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，因为//m n ，可得sin sin 2A Ca b A +=，又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin sin 2A CB +=，即sin sin cos22BB B π-==，所以2sin cos cos 222B B B =，可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 02B=或1sin 22B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)解：由（1）结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b c C π==，所以()sin A B c A +===所以133cos 913sin 22sin 2tan 2ABC A A S ac B A A +===+，又由ABC 为锐角三角形，且3B π=，则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以tan 3A >，所以2ABC S <<，即ABC S ⎝∈ .4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A C c A B--=+．(1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60B =︒(2)S ∈⎝⎭(1)由已知及正弦定理，得a b a c c a b--=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=．由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,180B ∈︒︒，所以60B =︒．(2)因为120A C +=︒，c ＝1，由正弦定理，得()sin 120sin sin 1sin sin 2sin 2tan 2C c A C C a C C C C ︒-+====+所以11sin sin 601228tan S ac B C ⎛⎫==︒=+ ⎪ ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则3090C ︒<<︒，从而tan ,3C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以82S ⎛∈ ⎝⎭5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a c C a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60°；(2)2⎛ ⎝﹒(1)∵sin sin sin A B a c C a b--=+，∴由正弦定理得a b a c c a b --=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,180B ∈︒︒，∴60B =︒；(2)∵B =60°，∴120A C +=︒，即A =120°-C ，又∵2c =，∴由正弦定理得()2sin 120sin 1sin sin C c A a C C ︒-====，∴1sin sin 60122tan ABC S ac B a C ⎫==︒=+⎪⎪⎝⎭△，∵△ABC 为锐角三角形，∴090090120A C A C ︒<<︒⎧⎪︒<<︒⎨⎪=︒-⎩，解得3090C ︒<<︒，从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴2S ⎛∈ ⎝．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a b B A C c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)6C π=或56C π=(2))3(1)由正弦定理可得sin cos sin cos cos cos =2sin sin a b A B B A B A C c c C++=整理得2sin()sin 2sin A B C C+==因为(0,)C π∈，所以sin 0C >，所以1sin 2C =，所以6C π=或56C π=(2)因为4b =，所以1sin 26ABC S ab a π== ，由正弦定理可得54sin()sin 26sin sin tan B b A a B B Bπ-===+因为ABC 是锐角三角形，所以6C π=，所以,500262πππB B <<<-<所以32B ππ<<所以tan 0B >，10tan 3B <<可得3a <<即ABC面积的取值范围为)37．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3π3⎛ ⎝(1)解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B-=所以()2sin cos sin sin A C B C A=+=∴sin 0A ≠，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=(2)解：设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯.解得5x =，即角平分线CD的长度为5(3)解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a B b A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin c R C C ==，∴4c =所以ABC 的面积13sin 24S ab C ab ==∵sin sin b a B A ==3a A =，b B =∴2sin sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos23444A A ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=，∴2032A <-<ππ，∴62A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴3S ⎛∈ ⎝第三部分：高考真题感悟1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin3B π∴==23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c C b B ===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 22ABC S ab C a ==⨯ a =则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2.2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A C a b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2).(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A C B +=．0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A CB π++=不成立，所以2AC B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a c A C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C C π-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<故82ABC S << .故ABC S的取值范围是3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．【答案】（1）,2p p ÷ê÷÷êøë；（2（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p ÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【答案】（1）（2）57试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为24试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A=+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆。
二次函数的应用——面积最值问题
二次函数的应用——面积最值问题教学设计一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
2023届全国高考数学复习：专题(函数的最值)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（函数的最值）重点讲解与练习考点一 求已知函数的最值 【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． 【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． (2)函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为 ．(3)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为 ．(4)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________． (5)设正实数x ，则f (x )＝ln 2 xx ln x 的值域为________．(6)已知函数f (x )＝eln x 和g (x )＝x ＋1的图象与直线y ＝m 的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1－x 2的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ (7)已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________． (8)(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1 D ．f (x )的最小值为－1e ＋1 [例2] 已知函数f (x )＝e x cos x －x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．[例3] (2017ꞏ浙江)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝⎛⎭⎫x ≥12． (1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围．[例4] (2021ꞏ北京)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a． (1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值．[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【对点训练】1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1eB ．2e 2C ．0D ．12e2．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对4．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的值域为( )A ．⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3B ．⎣⎡⎦0，4π3－3C ．⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2πD ．[0，2π] 5．设0<x <π，则函数y ＝2－cos xsin x 的最小值是________．6．若曲线y ＝x e x ＋mx ＋1(x <－1)存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为________．7．已知实数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则2x ＋1＋3y＋1的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[)1，＋∞，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[)1，＋∞B ．⎝⎛－∞，⎦⎤1－1e C ．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ D ．[)0，＋∞ 9．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．010．(多选)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)成立，则下列结论正确的是( )A ．ln x 1＝x 2B ．ln(－x 2)＝－x 1C ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2D ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为1e 2 11．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x ．(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．13．(2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．考点二 已知函数的最值求参数的值(范围) 【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________． (2)若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A ．2B ．1C ．233 D ．0 (3)函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是________． (4)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a ＝________．(5)(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a ＜0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3(6)设函数f (x )＝e x －cos x －2a ，g (x )＝x ，若存在x 1，x 2∈[0，π]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则x 2－x 1的最小值为1时，实数a ＝( )A ．－1B ．－12 C ．12 D ．1 【对点训练】1．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2，2]上有最小值－37，则a 的值为____________， f (x )在[－2，2]上的最大值为________．2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．522．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3] 3．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)4．已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________． 5．已知函数f (x )＝x x 2＋aa >0)在[1，＋∞)上的最大值为3，则a 的值为( ) A ．3－1 B ．34 C ．43 D ．3＋1参考答案【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________．答案 －1 解析 f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0．∴当x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＝－1．(2)函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为 ．答案 32 解析 因为f ′(x )＝x ＋1－2x ＝(x ＋2)(x －1)x (x ＞0)，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝12＋1＝32．(3)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为 ．答案 －2e 解析 由题意可得f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，∵f ′(x )为偶函数，∴m ＝0，故 f (x )＝13x 3＋nx ＋2，∵f (1)＝13＋n ＋2＝－23，∴n ＝－3．∴f (x )＝13x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝x 2－3．故g (x )＝e x (x 2－3)，则g ′(x )＝e x (x 2－3＋2x )＝e x (x －1)ꞏ(x ＋3)，据此可知函数g (x )在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g (x )的极小值，即最小值为g (1)＝e 1ꞏ(12－3)＝－2e ．(4)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．答案 －332 解析 ∵f (x )的最小正周期T ＝2π，∴求f (x )的最小值相当于求f (x )在[0，2π]上的最小值．f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1)＝4cos 2x ＋2cos x －2＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得cos x ＝12或cos x ＝－1，x ∈[0，2π]．∴由cos x ＝－1，得x ＝π；由cos x ＝12，得x ＝53π或x ＝π3．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f (π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＋sin 2π3＝332，f ⎝⎛⎭⎫53π＝－332，f (0)＝0，f (2π)＝0，∴f (x )的最小值为－332．(5)设正实数x ，则f (x )＝ln 2 xx ln x 的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，1e 解析 令ln x ＝t ，则x ＝e t ，∴g (t )＝t 2e t 2，令t 2＝m ，m ≥0，∴h (m )＝m e m ，∴h ′(m )＝e m (1－m )e 2m ，令h ′(m )＝0，解得m ＝1，当0≤m <1时，h ′(m )>0，函数h (m )单调递增，当m ≥1时，h ′(m )<0，函数h (m )单调递减，∴h (m )max ＝h (1)＝1e ，∵f (0)＝0，当m →＋∞时，h (m )→0，∴f (x )＝ln 2xx ln x 的值域为⎣⎡⎦⎤0，1e ． (6)已知函数f (x )＝eln x 和g (x )＝x ＋1的图象与直线y ＝m 的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1－x 2的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 A 解析 由题意知f (x 1)＝g (x 2)，所以eln x 1＝x 2＋1，即x 2＝eln x 1－1，则x 1－x 2＝x 1－eln x 1＋1，x 1>0．令h (x )＝x －eln x ＋1(x >0)，则h ′(x )＝1－e x ＝x －ex ．当x >e 时，h ′(x )>0，当0<x <e 时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝1．又当x → 0＋时，h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，所以h (x )在(0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，所以x 1－x 2的取值范围为[1，＋∞)．(7)已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．答案 e －1 解析 ∀x ∈(0，＋∞)，不等式e x－1≥kx ＋ln x 恒成立，等价于∀x ∈(0，＋∞)，k ≤e x －1－ln xx恒成立，令φ(x )＝e x －1－ln x x (x >0)，则φ′(x )＝e x (x －1)＋ln x x 2，当x ∈(0，1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e －1，∴k ≤e －1．(8)(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1 D ．f (x )的最小值为－1e ＋1答案 BCD 解析 f (x )＝x e |x |＋1，不满足f (－x )＝－f (x )，故A 项错误；令g (x )＝xe |x |，则g (－x )＝－x e |－x |＝－x e|x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 项正确；设f (x )＝xe |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1，当x ＞0时，g (x )＝xe x ，所以g ′(x )＝1－xe x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以当0＜x ＜1时，g (x )单调递增，当x ＞1时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值为g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N ＝－1e ＋1，故C 、D 项正确．故选B 、C 、D ．[例2] 已知函数f (x )＝e x cos x －x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0． 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0．所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2． [例3] (2017ꞏ浙江)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝⎛⎭⎫x ≥12． (1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1－x ＋2x －1e －x ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ⎝⎛⎭⎫x ＞12． (2)令f ′(x )＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ＝0，解得x ＝1或52． 当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：又f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －12，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫52＝12e －52，则f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最大值为12e －12 又f (x )＝(x －2x －1)e －x ＝12(2x －1－1)2e －x ≥0． 综上，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12e －12． [例4] (2021ꞏ北京)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a． (1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值． 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2ꞏ(－2)－(3－2x )ꞏ2x x 4＝2x －6x 3． 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－4(x －1)，整理得4x ＋y －5＝0． (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝(x 2＋a )ꞏ(－2)－(3－2x )ꞏ2x (x 2＋a )2＝2(x 2－3x －a )(x 2＋a )2．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，则f ′(－1)＝0，即2(4－a )(a ＋1)2＝0，解得a ＝4．经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意． 此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2(x －4)(x ＋1)(x 2＋4)2， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4．f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)． 由上表知f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14． 又因为x <32时，f (x )>0；x >32f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1，最小值为f (4)＝－14．[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解析 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0当x ＝23时，函数f (x )取到极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝427．(2)①当－1≤x <1时，根据(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2． ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增．则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a ． 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2． 【对点训练】1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1e B ．2e 2 C ．0 D ．12e1．答案 A 解析 易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′＞0，得0≤x ＜1，令y ′＜0，得1＜x ≤2，所以函数y＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是y max ＝1e ，故选A ． 2．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．2．答案 1＋ln 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，当0<x <12时，f ′(x )<0；当x >12时，f ′(x )>0．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2． 3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对 3．答案 A 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴x ＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3．∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5．∴最小值是－37．故选A ．4．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的值域为( )A ．⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3B ．⎣⎡⎦0，4π3－3C ．⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0，2π]4．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋2cos x ，x ∈[0，2π]，令f ′(x )＝0，得cos x ＝－12，∴x ＝2π3或x ＝4π3，又f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3＋3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝4π3－3，f (0)＝0，f (2π)＝2π，f ⎝⎛⎭⎫4π3－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3－23<0，∴f (0)<f ⎝⎛⎭⎫4π3<f ⎝⎛⎭⎫2π3<f (2π)，∴f (x )max ＝f (2π)＝2π，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )的值域为[0，2π]． 5．设0<x <π，则函数y ＝2－cos xsin x 的最小值是________． 5．答案3 解析 y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x．因为0<x <π，所以当π3<x <π时，y ′>0；当0<x <π3 时，y ′<0．所以当x ＝π3时，y min ＝3．6．若曲线y ＝x e x ＋mx ＋1(x <－1)存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为________．6．答案 ⎝⎛⎭⎫－27e 4，0 解析 由题意可得，y ′＝(x ＋1)e x －m (x ＋1)2＝0，即m ＝(x ＋1)3e x 在(－∞，－1)上 有两个不同的解．设f (x )＝(x ＋1)3e x (x <－1)，f ′(x )＝(x ＋1)2e x (x ＋4)．当x <－4时，f ′(x )<0；当－4<x <－1时，f ′(x )>0．所以f (x )min ＝f (－4)＝－27e 4，当x <－1时，f (x )<0，故m ∈⎝⎛⎭⎫－27e 4，0． 7．已知实数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则2x ＋1＋3y ＋1的取值范围是________．7．答案 (2，13] 解析 由4x ＋9y ＝1得22x ＋32y ＝1，3y ＝1－22x ，其中22x ∈(0，1)，所以2x ∈(0，1)，所以2x ＋1＋3y ＋1＝2×2x ＋3×3y ＝2×2x ＋31－22x ，令t ＝2x ，则f (t )＝2t ＋31－t 2(0<t <1)，则f ′(t )＝2－3t 1－t 2，令f ′(t )＝2－3t 1－t2＝0得t ＝21313，所以函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，21313上单调递增，在⎝⎛⎭⎫213，1上单调递减，且f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫21313＝13，f (1)＝2，所以2x ＋1＋3y ＋1的取值范围为(2，13]． 8．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[)1，＋∞，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[)1，＋∞B ．⎝⎛－∞， ⎦⎤1－1e C ．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ D ．[)0，＋∞ 8．答案 C 解析 当x ∈[)1，＋∞时，不等式f (x )≤0恒成立等价于a ≥ln x x 在[)1，＋∞上恒成立， 令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2．当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0；所以g (x )max ＝g (e)＝1e ，所以a ≥1e ．故选C ．9．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．09．答案 A 解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，x ∈[－3，2]，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增．f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝20，所以t ≥20，故选A ．10．(多选)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)成立，则下列结论正确的是( )A ．ln x 1＝x 2B ．ln(－x 2)＝－x 1C ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2D ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为1e 2 10．答案 AC 解析 由f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)，得ln x 1x 1＝x 2e －x 2＜0 (*)，∴0＜x 1＜1，x 2＜0．由(*)可得 －ln x 1x 1＝－x 2e －x 2＞0，两边同时取对数可得ln(－ln x 1)－ln x 1＝ln(－x 2)－x 2．∵函数y ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上为增函数，∴－ln x 1＝－x 2，∴ln x 1＝x 2，∴x 2x 1＝ln x 1x 1＝k ，故⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k ＝k 2ꞏe k ．设h (k )＝k 2ꞏe k (k ＜0)，∴h ′(k )＝e k (k 2＋2k )，由e k (k 2＋2k )＞0，可得k ＜－2，故h (k )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，故h (k )max ＝h (－2)＝4e 2，因此⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2．综上，AC 正确． 11．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x ．(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．11．解析 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x ，由f ′(x )＞0，得x ＞22，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜22．∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞． (2)由题意知g (x )＝x 2＋1－ln x －x ，g ′(x )＝2x －1x －1＝(2x ＋1)(x －1)x， 由g ′(x )＞0，得x ＞1，由g ′(x )≤0，得0＜x ≤1，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴在⎣⎡⎦⎤12，2上，g (x )的最小值为g (1)＝1． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．12．解析 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x． 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同． 又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x． 由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5．13．(2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．13．解析 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3．若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减． (2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递增，所以f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a ． 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎨⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.①当0<a <2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2．②当2≤a <3时，y ＝a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1．综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2．考点二 已知函数的最值求参数的值(范围)【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71 解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1．又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20．由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71．(2)若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )。
中考最大面积求解题技巧
中考最大面积求解题技巧中考最大面积求解题技巧中考数学中，有许多与面积有关的题目，而求解面积最大值是这些题目中常见的一种。
以下是一些求解最大面积题目的技巧和方法。
1. 确定变量及约束条件：首先，我们需要确定一个或多个变量来表示题目中的未知量，然后确定这些变量的取值范围或满足的条件。
这一步是解题的关键，需要根据题目的条件和要求来确定变量和约束条件。
2. 建立面积函数：根据问题的描述，将面积表示为一个函数。
这个函数可能是一个简单的二次函数，也可能是一个复杂的多项式函数，甚至可能是一个三角函数。
根据题目的要求和问题的性质，建立一个准确的面积函数是解决问题的关键。
3. 求解最大值：利用数学的方法求解面积函数的最大值。
常用的方法包括求导法、整式定理法、配方法、柯西不等式等。
这些方法可以根据面积函数的特点和问题的条件来选择使用。
4. 验证最大值：对于求解的最大值，需要进行验证，确保该值满足题目中的所有条件和要求。
如果最大值不满足条件，那么需要重新调整变量或约束条件，重新求解。
5. 给出最大值：先给出面积的表达式，再将问题中的条件代入到表达式中，最后求得最大值，给出答案。
在回答问题时，根据题目的要求给出准确的答案，并合理解释计算过程和结果的意义。
下面通过两个具体的例子来说明上述求解最大面积题目的技巧。
例一：一面墙的长和宽之和为16米，求这面墙与地面围成的矩形的最大面积。
解：设这面墙的长为x米，则宽为16-x米。
根据题目要求，面积函数为A=x(16-x)。
由此可得到面积函数A=f(x)=16x-x^2。
因为这是一个简单的二次函数，我们可以直接进行求解。
首先求解函数的最大值可以通过求导法。
对函数f(x)=16x-x^2求导，得到f'(x)=16-2x。
令f′(x)=0，解得x=8。
说明当长为8米时，面积取得最大值。
然后通过二阶导数判别法来验证最大值。
对f'(x)=16-2x再次求导，得到f′'(x)= -2。
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专题3 图形面积求最值，函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】例1已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点为()0,1M -6，直线:l y kx m=+（0k ≠）与椭圆C 交于A ，B 两点，若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）求实数m 的取值范围；（III ）用m 表示∆MAB 的面积S ，并判断S 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系；②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标←−−→交点在直线上纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式122112S x y x y =-，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点M 的直线交椭圆于D ，求四边形D MA B 的面积的取值范围．例2、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，离心率22e =，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2,离心率e 为12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值. 【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e 为12，求出,a b ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得O 、M 、P 、n 四点共圆，该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得O 的方程为2212x y +=，直线MN 的方程为210x y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121212GAB S GE y y y y ∆=-=-，从而GAB S ∆最大， 12y y -就最大，可设直线l 的方程为1x my =+，由221{ 143x my x y =++=，得()2234690m y my ++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出GAB ∆的面积的最大值.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法GAB ∆面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221tan2PF F Sb θ=⋅【新题展示】1．【2019】广东江门调研】在平面直角坐标系中，，，为不在轴上的动点，直线、的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程； （2）若，是轨迹上两点，，求面积的最大值．【思路引导】 （1）设，将利用斜率公式进行化简整理即可得点P 轨迹方程；（2）由斜率为1，设直线MN的方程与椭圆联立，写出韦达定理，计算弦长|MN|和点T到直线MN的距离，表示出三角形的面积，利用导数即可求出面积最大值．2．【2019四川成都实验外国语学校二诊】已知椭圆：的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，设．若，求面积的取值范围．【思路引导】（1）由题意可得点P的坐标为，然后求出，根据椭圆的定义可得，进而得到，于是可得椭圆的方程．（2）由题意直线的斜率不为0，设其方程为，代入椭圆方程后结合根与系数的关系得到，然后通过换元法求出的范围即可．3．【2019江西南昌一模】如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．【思路引导】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．4．【2019浙江温州2月适应性测试】如图，A 为椭圆的下顶点，过A 的直线l 交抛物线于B、C 两点，C 是AB 的中点．（I）求证：点C的纵坐标是定值；（II）过点C作与直线l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．【思路引导】（I）根据点在抛物线上设出B的坐标，可表示出C的坐标，代入抛物线方程求得纵坐标．（II）先利用条件得到，联立直线与椭圆的方程，求得弦长及到的距离，写出面积的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可．5．【2019福建厦门第一次（3月)质量检查】已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且．（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值．【思路引导】(1) 设，可得，，求出A点坐标，即可得到直线的方程；(2)利用点差法可得，又因为在同一直线上，所以，所以，设出直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示面积，结合均值不等式即可得到结果．6．【2019湖南怀化一模】设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围．【思路引导】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解．7．【2019江西上饶重点中学联考】已知椭圆的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过的直线与交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值．【思路引导】（1）由已知得，即可得椭圆方程．（2）由题意设，与椭圆方程联立得，，代入化简求最值即可．8．【2019安徽马鞍山一模】已知椭圆的方程为，离心率，且短轴长为4．求椭圆的方程；已知，，若直线l与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．【思路引导】根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值。
9．【2019山西晋中1月适应性考试】已知椭圆：的右焦点为抛物线的焦点，，是椭圆上的两个动点，且线段长度的最大值为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求面积的最小值．【思路引导】（1）根据抛物线和椭圆的几何性质，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）当，为椭圆顶点时，易得的面积；当，不是椭圆顶点时，设直线的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，以及弦长公式，求得，同理求得，得到面积的表达式，利用基本不等式，即可求解．【同步训练】1．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的短轴长为2，离心率为2，直线l：y kx m=+与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点1 0,2⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当AOB（O为坐标原点）面积取最大值时，求直线l的方程.。