2019-2020学年浙江省杭州市江干区八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知线段a＝4cm，b＝6cm，下列长度的线段中，不能与a，b组成三角形的是（ ）A．4cm B．6cm C．11cm D．9cm2．（3分）不等式2x﹣6≤0的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．3．（3分）若△ABC三个内角的关系为∠A3=∠B4=∠C5，则三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（ ）A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°5．（3分）下列正确的选项是（ ）A．命题“同旁内角互补”是真命题B．“作线段AC”这句话是命题C．“对顶角相等”是定义D．说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝06．（3分）将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（ ）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm7．（3分）如图，平面直角坐标系上，A，B两点对应的坐标为（0，3），（0，﹣3），C为x 正半轴上一点，AC＝BC＝4，则C的坐标为（ ）A ．（5，0）B ．（2.5，0）C ．（7，0）D ．（3.5，0）8．（3分）一次函数y ＝（m ﹣1）x +（m ﹣3）不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．1＜m ＜3B ．m ≤3且m ≠1C ．m ＜3且m ≠1D ．1＜m ≤39．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A …的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（1，﹣2）C ．（1，1）D ．（0，﹣2）10．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功．试运行期间，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发．设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象分析出以下信息：①甲、乙两地相距1000千米；②动车从甲地到乙地共需要4个小时；③1000t表示的实际意义是动车的速度；④普通列车的速度是2503千米/小时；⑤动车到达乙地停留2小时后返回甲地，在普通列车出发后7.5小时和动车再次相遇．以上信息正确的是（ ）A．①②④B．①③④⑤C．①②④⑤D．②③⑤二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写一个过（3，0）点，且y随着x增大而减小的一次函数解析式 ．12．（4分）若不等式组{x―3≥0a―2x＞0的解集是3≤x＜6，则a＝ ．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是斜边AB的中垂线，交AC于点E，△EBC的周长为14，则AB＝ ．14．（4分）平面直角坐标系中，点（3，4）关于坐标轴对称的点的坐标为 ．15．（4分）等腰△ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC，若AB＝10，AD＝8，则CD ＝ ．16．（4分）如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连结BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC，其中结论正确的是 ．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17．（6分）解不等式组{5x ―1＞3(x +1)12x ―1≤7―32x ．18．（8分）在平面直角坐标系中，A （2，2），B （4，3），C （a ，b ），其中C 是由A 点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到． （1）求a ，b 的值；（2）画出△ABC ，判断它的形状并说明理由．19．（8分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF 与AD 相交于G 点． （1）证明：△AED ≌△AFD ；（2）AD 是EF 的中垂线吗？若是，证明你的结论．20．（10分）一次函数y ＝mx +n （m ，n 为常数）（1）若函数图象由y ＝2x ﹣1平移所得，且经过点（4，5），求函数解析式； （2）若函数图象经过（﹣1，﹣2），且交y 轴于负半轴，求m 的取值范围． 21．（10分）已知∠α，线段a ，b ，请按要求作图并回答问题； （1）作△ABC ，使∠C ＝α，AC ＝b ，BC ＝a ；（2）已知∠α＝45°，a ＝42，b ＝7，求△ABC 的面积．22．（12分）某公园的门票每张10元，一次性使用．考虑到周围群众经常进入公园锻炼的需求，该公园除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”，个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A，B，C三类：A类年票每张120元，持票者进入公园时，无需再购门票；B类年票每张60元持票者进入该公园时，需要购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入公园时，需要再购买门票，每次3元．（1）请列不等式说明一年中进入该公园超过多少次时，购买A类年票相比不购年票比较合算？（2）设一年进入公园次数为x，一年购票总费用为y，请分别写出选择B类和C类年票的费用与次数的函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两个函数图象，根据图象讨论B 类年票和C类年票哪一种更合算．23．（12分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①若CE=2ED，求∠ECF的度数；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．2019-2020学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知线段a＝4cm，b＝6cm，下列长度的线段中，不能与a，b组成三角形的是（ ）A．4cm B．6cm C．11cm D．9cm【考点】三角形三边关系．【答案】C【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．【解答】解：设第三边的长度为x，由题意得：6﹣4＜x＜6+4，即：2＜x＜10，故选项A，B，D可以构成三角形，只有11cm无法构成三角形．故选：C．2．（3分）不等式2x﹣6≤0的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集．【答案】A【分析】首先解出不等式的解集，然后看四个答案中哪个符合，即可解答；【解答】解：不等式2x﹣6≤0，2x≤6，x≤3；A符合；故选：A．3．（3分）若△ABC三个内角的关系为∠A3=∠B4=∠C5，则三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】三角形内角和定理．【答案】A 【分析】设∠A 3=∠B 4=∠C 5=k ，根据三角形的内角和列方程即可得到即可．【解答】解：∵△ABC 三个内角的关系为∠A 3=∠B 4=∠C5， ∴设∠A 3=∠B 4=∠C 5=k ，∴∠A ＝3k ，∠B ＝4k ，∠C ＝5k ， ∴3k +4k +5k ＝180°， ∴k ＝15°，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝75°， ∴三角形的形状为锐角三角形， 故选：A ．4．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（ ） A ．80°B ．20°C ．80°或20°D ．80°或50°【考点】等腰三角形的性质． 【答案】C【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，分别从：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，去分析，即可求得答案． 【解答】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角， 则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°； ②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角， 则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°； ∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°； ∴它的顶角的度数为：80°或20°． 故选：C ．5．（3分）下列正确的选项是（ ） A ．命题“同旁内角互补”是真命题 B ．“作线段AC ”这句话是命题 C ．“对顶角相等”是定义D ．说明命题“若x ＞y ，则a 2x ＞a 2y ”是假命题，只能举反例a ＝0【考点】命题与定理．【答案】D【分析】根据判断一件事情的语句，叫做命题；正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行判断即可．【解答】解：A、命题“同旁内角互补”是真命题，说法错误；B、“作线段AC”这句话是命题，说法错误；C、“对顶角相等”是定义，说法错误；D、说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝0，说法正确；故选：D．6．（3分）将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（ ）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】勾股定理的应用．【答案】B【分析】根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长，进而可得BD长，从而可得答案．【解答】解：连接CD，∵中点C竖直向上拉升6cm至D点，∴CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD＝90°，AC＝BC=12AB＝8cm，AD＝BD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=AC2+CD2=82+62=10（cm），∴BD＝10cm，∴AD+BD＝20cm，∵AB＝16cm，∴该弹性皮筋被拉长了：20﹣16＝4（cm），故选：B．7．（3分）如图，平面直角坐标系上，A，B两点对应的坐标为（0，3），（0，﹣3），C为x 正半轴上一点，AC＝BC＝4，则C的坐标为（ ）A．（5，0）B．（2.5，0）C．（7，0）D．（3.5，0）【考点】两点间的距离公式；勾股定理．【答案】C【分析】由条件可知OA＝3，根据勾股定理求出OC的长，则答案可求出．【解答】解：∵A（0，3），∴OA＝3，∵AC＝BC＝4，∴OC=AC2―OA2=42―32=7．∴C（7，0），故选：C．8．（3分）一次函数y＝（m﹣1）x+（m﹣3）不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）A．1＜m＜3B．m≤3且m≠1C．m＜3且m≠1D．1＜m≤3【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．【答案】D【分析】根据题意可得一次函数图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，进而可得m 的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+（m﹣3）不经过第二象限，∴{m ―1＞0m ―3≤0，解得：1＜m ≤3，故选：D ．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A …的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（1，﹣2）C ．（1，1）D ．（0，﹣2）【考点】规律型：点的坐标．【答案】D【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【解答】解：∵A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），∴AB ＝1﹣（﹣1）＝2，BC ＝1﹣（﹣2）＝3，CD ＝1﹣（﹣1）＝2，DA ＝1﹣（﹣2）＝3，∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3＝10，2016÷10＝201…6，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，即CD 中间的位置，点的坐标为（0，﹣2），故选：D ．10．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功．试运行期间，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发．设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象分析出以下信息：①甲、乙两地相距1000千米；②动车从甲地到乙地共需要4个小时；③1000t 表示的实际意义是动车的速度；④普通列车的速度是2503千米/小时；⑤动车到达乙地停留2小时后返回甲地，在普通列车出发后7.5小时和动车再次相遇．以上信息正确的是（ ）A．①②④B．①③④⑤C．①②④⑤D．②③⑤【考点】一次函数的应用．【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，AB两地相距1000千米，故①正确；由出发4小时后两车的距离增加速度不变并比原来的增加速度变小即可得出动车从甲地到乙地共需要4个小时，故②正确；1000t表示的实际意义是动车与普通列车的速度和，故③错误；普通列车的速度是100012=2503（千米/小时），故④正确；设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x+3×2503=1000，解得：x＝250，动车的速度为250千米/小时，设动车与普通列车再次相遇时普通列车出发了t小时，根据题意得250(t―6)=2503t，解得t＝9，即动车到达乙地停留2小时后返回甲地，在普通列车出发后9小时和动车再次相遇．故⑤错误．综上所述，正确的有：①②④．故选：A．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写一个过（3，0）点，且y随着x增大而减小的一次函数解析式　y＝﹣x+3（答案不唯一）　．【考点】一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．【答案】见试题解答内容【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时k值小于0，令k＝﹣1，然后求解即可．【解答】解：∵y随x的增大而减小，∴k＜0，不妨设为y＝﹣x+b，把（3，0）代入得，﹣3+b＝0，解得b＝3，∴函数解析式为y＝﹣x+3．故答案为：y＝﹣x+3（答案不唯一）．12．（4分）若不等式组{x―3≥0a―2x＞0的解集是3≤x＜6，则a＝　12　．【考点】解一元一次不等式组．【答案】见试题解答内容【分析】求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集相比较求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：{x―3≥0①a―2x＞0②，由①得，x≥3，由②得，x＜a 2，∵不等式组{x―3≥0a―2x＞0的解集是3≤x＜6，∴a2=6∴a＝12，故答案为：12．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是斜边AB的中垂线，交AC于点E，△EBC的周长为14，则AB＝　10　．【考点】线段垂直平分线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，由△EBC的周长为14，BC＝6，可求出AC的长，再根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵DE是斜边AB的中垂线，∴EA＝EB，∵△EBC的周长为14，∴BC+CE+EB＝14，即：BC+AC＝14，∵BC＝6，∴AC＝14﹣6＝8，∴AB=BC2+AC2=62+82=10，故答案为：10．14．（4分）平面直角坐标系中，点（3，4）关于坐标轴对称的点的坐标为　（3，﹣4）和（﹣3，4）　．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点（3，4）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣4），点（3，4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，4），故答案为：（3，﹣4）和（﹣3，4）．15．（4分）等腰△ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC，若AB＝10，AD＝8，则CD＝　4或6或73　．【考点】等腰三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】分三种情况：①当AB＝AC＝10时，如图1，②当AB＝BC＝10时，如图2，③当AC＝BC时，如图3，分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求CD的长即可．【解答】解：分三种情况：①当AB＝AC＝10时，如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，BD＝DC，在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC=102―82=6，②当AB＝BC＝10时，如图2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，同理得：BD＝6，∴DC＝10﹣6＝4，③当AC＝BC时，如图3，同理得：BD＝6，设CD＝x，则AC＝x+6，由勾股定理得：（x+6）2＝x2+82，12x＝28，x=7 3，综上所述，DC的长为6或4或7 3；故答案为：6或4或7 3．16．（4分）如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连结BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC，其中结论正确的是　①②③　．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD ≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；④由∠ACE +∠DBC ＝45°，则当BD 平分∠ABC 时，∠ACE ＝∠DBC ，故④错误；【解答】解：①∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，故①正确；②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠ABD +∠DBC ＝45°，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，∴∠DBC +∠DCB ＝∠DBC +∠ACE +∠ACB ＝90°，则BD ⊥CE ，故②正确；③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABD +∠DBC ＝45°，∵∠ABD ＝∠ACE∴∠ACE +∠DBC ＝45°，故③正确；④∵∠ACE +∠DBC ＝45°，且BD 不是角平分线，∴∠ACE 不一定等于∠DBC ，故④错误，故答案为：①②③．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17．（6分）解不等式组{5x ―1＞3(x +1)12x ―1≤7―32x ．【考点】解一元一次不等式组． 【答案】见试题解答内容【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，解不等式12x﹣1≤7―32x，得：x≤4，则不等式组的解集为2＜x≤4．18．（8分）在平面直角坐标系中，A（2，2），B（4，3），C（a，b），其中C是由A点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到．（1）求a，b的值；（2）画出△ABC，判断它的形状并说明理由．【考点】作图﹣平移变换．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依据坐标的平移规律，即可得到a，b的值；（2）依据勾股定理以及勾股定理的逆定理，即可得到△ABC是等腰直角三角形．【解答】解：（1）∵C（a，b）是由A（2，2）向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，∴a＝2﹣1＝1，b＝2+2＝4．（2）如图所示，△ABC即为所求，△ABC是等腰直角三角形，理由：由题可得，AC=5，AB=5，BC=10，∴AC2+BC2＝BC2，AC＝AB，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF与AD相交于G点．（1）证明：△AED≌△AFD；（2）AD是EF的中垂线吗？若是，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由角平分线的性质可得DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，由“HL”可证Rt △AED≌Rt△AFD；（2）由全等三角形的性质可得AE＝AF，且DE＝DF，可证AD是EF的中垂线．【解答】（1）证明：方法一、∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，{AD=ADDE=DF，∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），方法二：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠DAE ＝∠DAF ，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，在△ADE 和△ADF 中，∵{∠DAE =∠DAF∠AED =∠AFD AD =AD， ∴△ADE ≌△ADF （AAS ）．（2）AD 是EF 的中垂线，理由如下：∵Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE ＝AF ，∴点A 在EF 的垂直平分线上，∵DE ＝DF ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，∴AD 是EF 的中垂线．20．（10分）一次函数y ＝mx +n （m ，n 为常数）（1）若函数图象由y ＝2x ﹣1平移所得，且经过点（4，5），求函数解析式；（2）若函数图象经过（﹣1，﹣2），且交y 轴于负半轴，求m 的取值范围．【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换． 【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平移的规律即可求得m ＝2，然后把点（4，5）代入y ＝2x +n ，即可求得n ；（2）根据图象上点的坐标特征得到n ＝m ﹣2，根据图象交y 轴于负半轴，n ＜0，即可得到m ﹣2＜0，解得即可．【解答】解：（1）∵函数y ＝mx +n 图象由y ＝2x ﹣1平移所得，∴m ＝2，∴y ＝2x +n ，把点（4，5）代入得，5＝2×4+n ，∴n＝﹣3，∴函数解析式为y＝2x﹣3；（2）∵一次函数y＝mx+n图象经过（﹣l，﹣2），∴﹣2＝﹣m+n，m≠0，∴n＝m﹣2，∵一次函数y＝mx+n图象交y轴于负半轴，∴n＜0，∴m﹣2＜0，∴m＜2且m≠0．21．（10分）已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；（1）作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；（2）已知∠α＝45°，a＝42，b＝7，求△ABC的面积．【考点】三角形的面积；作图—复杂作图．【答案】见试题解答内容【分析】（1）作∠MON＝α，然后在OM、ON上分别截取CB＝a，CA＝b，从而得到△ABC；（2）作AH⊥BC于H，如图，先利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=22AC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABC．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）作AH⊥BC于H，如图，∵∠B＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH=22AC=22×42=4，∴S△ABC=12×BC×AH=12×7×4＝14．22．（12分）某公园的门票每张10元，一次性使用．考虑到周围群众经常进入公园锻炼的需求，该公园除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”，个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A，B，C三类：A类年票每张120元，持票者进入公园时，无需再购门票；B类年票每张60元持票者进入该公园时，需要购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入公园时，需要再购买门票，每次3元．（1）请列不等式说明一年中进入该公园超过多少次时，购买A类年票相比不购年票比较合算？（2）设一年进入公园次数为x，一年购票总费用为y，请分别写出选择B类和C类年票的费用与次数的函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两个函数图象，根据图象讨论B 类年票和C类年票哪一种更合算．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式；一次函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以求得一年中进入该公园超过多少次时，购买A类年票相比不购年票比较合算；（2）根据题意，可以写出B类和C类年票的费用与次数的函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两个函数图象，再根据函数图象，可以写出当x取何值时，B类年票和C 类年票哪一种更合算．【解答】解：（1）设一年去公园a次，根据题意得120＜10a，解得，a＞12，即一年中进入该公园超过12次时，购买A类年票相比不购年票比较合算；（2）由题意可得，y B＝60+2x，y C＝40+3x，函数图象如下图所示：令60+2x＝40+3x，得x＝20，由图象可知，当x＜20时，C类年票更合算；当x＝20时，C类和B类年票一样，当x＞20时，B类年票更合算．23．（12分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①若CE=2ED，求∠ECF的度数；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．【考点】几何变换综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①证明EF＝CE，由三角形外角和定理可求出答案；②证得△GDA是等腰直角三角形，证得GF＝CE，∠HFG＝∠FCD，证明△CFE≌△FHG，可得出结论；（2）由△EFD为等腰直角三角形，可得出GF＝CE，∠HFG＝∠FCE，证得△ECF≌△GFH，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵FD＝ED，FD⊥ED，∴△EFD为等腰直角三角形，∴EF=2ED，又∵CE=2ED，∴EF＝CE，∴∠CFE＝∠ECF，∵∠CFE+∠ECF＝∠DEF＝45°，∴∠EFC＝∠CFE＝22.5°，②如图1，延长DF交AB于点G，∵GD⊥CA，∴∠GDA＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝45°，∴△GDA是等腰直角三角形，∴GD＝DA，∵D是AC的中点，∴DA＝CD，即GD＝CD，∵ED＝FD，∴GF＝GD﹣FD＝CD﹣ED＝CE，∴∠DGA＝∠FED＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠FED＝180°﹣∠DGA＝∠HGF＝135°，∵∠HFG+∠CFD＝90°＝∠FCD+∠CFD，∴∠HFG＝∠FCD，在△CFE和△FHG中，{∠CEF=∠FGHCE=GF，∠FCD=∠HFG∴△CEF≌△FGH（ASA），∴CF＝HF；（2）不变．证明：设FD交AB于G，∵△GDA和△GDA是等腰直角三角形，∴∠AGD＝∠FEC＝45°，∵FD＝DE，DA＝CD＝GD，∴FG＝FD﹣GD＝ED﹣CD＝EC，∵∠HFG＝90°+∠CFD＝180°﹣∠FCD＝∠FCE，在△ECF和△FHG中，{∠CEF=∠FGHCE=GF，∠FCE=∠HFG∴△ECF≌△GFH（ASA），∴CF＝HF．。