单元测试题——空间直线与平面
第11章 空间直线与平面
第十一章空间直线与平面第43讲平面的基本性质一、填空题1.空间中有四个点，如果其中任意三个点都不共线，那么经过其中三个点的平面个数是________.2.空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线.由这7个点可以确定________条直线，最多可确定________个平面.3.边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为________.4.下列命题正确的有________（填序号）.①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.5.如图所示的正方体中，点P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.6.正方体各面所在平面将空间分成________部分.二、选择题7.如果空间的三个平面两两相交，那么（）A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，∠ABC=45°，AB=2，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（）A.2+B.4+C.2D .1三、解答题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别是棱CD ，AB ，DD 1，AA 1上的点.若MN 与EF 交于点Q ，求证：D ，A ，Q 三点共线.10.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，12BC AD ‖，12BE FA ‖，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.（1）求证：四边形BCHG 是平行四边形. （2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，AC BD P =，11AC EF Q =.（1）求证：D ，B ，F ，E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线吗？走近高考已知A ，B 是两个不同的点，m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则 ①m α⊂，A m A α∈⇒∈；②m n A =，A α∈，B m B α∈⇒∈； ③m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒‖‖； ④m α⊂，m βαβ⊥⇒⊥. 其中真命题为（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④第44讲 空间两条直线的位置关系一、填空题1.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数是________个.2.[改编题]如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线B 1C 与直线AD 1所成的角为________.3.已知空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC =∠BCD ，下列说法正确的是________. ①AB ∥CD ；②AB 与CD 异面；③AB 与CD 相交；④以上都有可能.4.若Rt △ABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为________.5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④CN 与AF 垂直.以上四个命题中，正确的是________.6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA =90°，点D 1，F 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 所成角的余弦值为________.7.已知空间四边形ABCD ，AB =CD =2，且AB 与CD 所成的角为3π，设E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 的长度为________. 二、选择题8.“两条直线没有公共点”是“两条异面直线”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件9.异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（ ）A.0°<θ<90°B.40°<θ<90°C.40°<θ<50°D.80°<θ<90° 三、解答题10.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.11.[改编题]如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB ，CD 是底面圆的两条直径，且AB ⊥CD ，SO =4，OB =2，P 为SB 的中点，求异面直线SA 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1.若D 为B 1C 1的中点，求异面直线AD 与A 1B 所成角的大小.走近高考如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________.第45讲直线与平面的位置关系一、填空题1.如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有________条.2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且::1:4==，又AE EB AF FDH，G分别为BC，CD的中点，则下列说法中错误的是________.①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形.3.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的离是________.4.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________.5.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为，PD ⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________.6.在△ABC中，已知AB=6，BC=8，AC=10，SB=5且SB⊥平面ABC，则S到AC距离为________.7.若长为26的线段AB的端点到平面α的距离分别为7和17，则AB在平面α上的射影长为________.二、选择题8.已知直线a ，b 和平面M ，N ，且a ⊥M ，则下列说法正确的是（ ） A.b M b a ⇒⊥‖ B.b a b M ⊥⇒‖ C.N M a N ⊥⇒‖D.a 不在平面N 上MN ⇒≠∅9.设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ‖；②若m α⊂，n α⊂，m β‖，n β‖，则αβ‖； ③若αβ‖，l α⊂，则l β‖； ④若l αβ=，m βγ=，n γα=，l γ‖，则m n ‖.其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题10.如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =1，BC =2，1CD =A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥E C.求证：BC ⊥平面CDE .11.如图，在三棱锥P -ABC 中，∠PAC =∠BAC =90°，PA =PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点.求证：（1）直线DF ∥平面PAC ； （2）PF ⊥A D.12.如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为弧AB 的中点，SO =AB . （1）证明：AB ⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成角的正切值.走近高考如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，11B C BC E =.求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1.第46讲 两平面的位置关系一、填空题1.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有________对.2.设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a ，b ，且a α⊂，b α⊂，则“a β‖，b β‖”是“αβ‖”的________条件.3.过两平行平面α，β外且不位于α，β之间的一点P 作两条直线，分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA =6，AC =4，PB =15，则BD 的长为________.4.已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①m n m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；②m m n n ββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；③m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；④m n m n αβαβ⎫⎪⇒⎬⎪⎭‖‖‖‖. 其中正确命题的序号是________.5.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是________.①AD ⊥平面BCD ；②AB ⊥平面BCD ；③平面BCD ⊥平面ABC ；④平面ADC ⊥平面ABC .6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面AB 1D 1与平面ABCD 的交线，则点D 1到l 的距离是________.7.正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的平面角的大小为________. 二、选择题8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题：①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P -BC 1-D 的大小为定值； ③三棱锥D -BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值.. 其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC ⊥l ，C 为垂足，B β∈，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则点D 到平面ABC 的距离等于（ ）D.1三、解答题10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面BDD 1B 1； （2）平面EFG ∥平面BDD 1B 1.11.如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.（1）求证：平面MAP⊥平面SAC；（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a.（1）求证：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M-AC-D的正切值为2，求a的值.走近高考如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥E C.求证：平面AEC⊥平面AF C.。
2.2_直线、平面平行的判定及其性质 单元测试1_新人教A版必修2
高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》单元测试一、选择题(每题5分，总25分)1、若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）A 、过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B 、 过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C 、 过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D 、 与A 的位置有关2、b a //，P a =⋂α，则b 与α的关系为（ ）A 、 必相交B 、 必平行C 、 必在内D 、 以上均有可能3、下列结论中，正确的有( )①若a α,则a ∥α ②平面α∥平面β,a α,b β,则a ∥b③a ∥平面α,b α则a ∥b ④平面α∥β,点P ∈α,a ∥β,且P ∈a ，则aα A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α;②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b,直线bα,则a ∥α; ④若直线a ∥b,b 平面α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.45、若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）A 、一定平行B 、不平行C 、平行或相交D 、平行或在平面内三、解答题6、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. (10分)7、如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心， 求证：MN ∥平面PB 1C.(10分)8、如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH．(10分)9、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．求证：(1)MN∥平面B1D1；(2)MN∥A1C1．(15分)10、已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．(15分)11、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.(15分)。
9.1 空间直线与平面(A、B) 课时闯关(含答案解析)
一、选择题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解析：选A.“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面解析：选B.A 不正确，这样的直线不存在；B 正确；C 中过点P 与l 、m 都相交的直线不止一条；D 中过P 有无数条直线与l 、m 都异面．3．△A ′B ′C ′是斜二测画法画出的正△ABC 的直观图，记△A ′B ′C ′的面积为S ′，△ABC 的面积为S ，则S ′S 的值为( ) A.22 B.12C.28D.24解析：选D.不妨设△ABC 的AB 边在x 轴上，则AB 边上的高h 在y 轴上或与y 轴平行，根据斜二测画法知，△A ′B ′C ′中A ′B ′边上的高h ′为24h . 4．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选D.如图所示．AC 1，AC 2，AC 3，AC 4即为所求．5．已知AB ＝BC ＝CD ，且线段BC 是AB 与CD 的公垂线段，若AB 与CD 成60°角，则异面直线BC 与AD 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．45°或60°解析：选D.如图所示：作AD ′BC ， 连结DD ′，由AB 与CD 成60°角，得∠DCD ′＝60°或120°，记AB ＝a ，则DD ′＝a 或3a ，而AD ′＝a ，则∠D ′AD 为BC 与AD 所成的角，即为45°或60°，故选D.二、填空题6．(2012·高考大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．解析：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35. 答案：357．(2013·河北衡水中学调研)设EF 是两条异面直线AB 、CD 的公垂线，当直线AB 绕着直线EF 在空间旋转并与EF 保持垂直时，下列三个命题正确的是________．①直线AB 与直线CD 所成角的大小不变②直线AB 与直线CD 的距离不变③以A 、B 、C 、D 为顶点的四面体的体积不变解析：如图所示，当直线AB 绕着直线EF 在空间旋转并与EF 保持垂直时，显然∠B 1FD 变化，故①错；无论如何转，EF 始终为两异面直线的公垂线，故②正确；若A ′B ′∥CD 时，此时四面体ABCD 的体积为零，故四面体的体积是变化的，③错．答案：②8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与CC1是异面直线，①不正确；AM在平面ABC1D1内，B∈平面ABC1D1，N∉平面ABC1D1，∴AM与BC异面，②不正确；BN与B1C1相交，B1M在平面A1B1C1D1内，而B∉平面A1B1C1D1，∴BN与B1M异面，③正确；DD1⊂平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，A∉平面DCC1D1，∴AM与DD1是异面直线，④正确．答案：③④三、解答题9．(2013·重庆模拟)如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、b、c、l共面．证明：法一：先由a∥b确定一个平面，然后证l，c都在这个平面内，∵a∥b，∴a、b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A、B在α内，即直线l⊂α.于是a、b、l共面．换句话说，若a、l确定平面α，过l上一点B，作b∥a，则b⊂α，同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a、l确定的平面内，故a、b、c、l共面．法二：∵a∥b，∴a、b确定平面α，又A∈a，B∈b.∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴b、c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β.即l⊂β，于是b、l⊂α，b、l⊂β而b∩l＝B.∴故α与β重合，∴a、b、c、l共面．法三：∵a∥b，∴a、b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α，设c⊄α.过C在平面α内作c′∥b、c′∩c＝C，又b∥c，∴c∥c′与c′∩c＝C矛盾，∴c⊂α，故a、b、c、l共面．10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C，A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．11．(探究选做) 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为 2.(2)证明：如图所示，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1∥MM1且BB1＝MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE∥BM且DE＝BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，所以DE＝22a.。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )A.a ∥αB.a 与α相交C.a 与α不相交D.a α⊂3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ）A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有（ ）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条6. a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一个平面与a ，b 平行B.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 相交C.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 都平行D.过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1，正四面体ABCD 的棱长均为a ，且AD ⊥平面α于A ，点B ，C ，D 均在平面α外， 且在平面α同一侧，则点B 到平面α的距离是（ ）A ．2aB ．3aC ． 22aD 3a图1 图29.如图2，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为4510.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度 数为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.已知二面角l αβ--的大小为50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5α A B CD12.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为223(,) C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为23(,2) D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,)3+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图3，△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD 与平面BCD 所成的角为 .14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是 .15.若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n，则在长方体ABCD —1111A B C D 中，四面体1A ABC -的直度为 .16.βα,表示平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实：①l ⊥α； ②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.如图4，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证：(1)D C AD 1⊥；(2)1//A B 平面1ADC ．18. 如图5，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面 垂直，90BAC ∠=，M ，N 分别是11A B ，BC的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明．A B B 1 C C 1A 1 M N CB A A BC D19. 如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ；(2)如果1=AB ，一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB ,11C B ,11D C ,D D 1,DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20. 如图7，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且 2SA SC a ==2SB SD a ==，点E 是SC 上的点，且(02).SE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有BD AE ⊥；（2）若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小.21.某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）22.如图9所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1，P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'，AA 1'于点C 1，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A B C O 图9 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' P Q 图A B CA 1B 1C 1P Q A D A 1 B 1 C 1 D 1E空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题 1~6 DC BC D D 7~12 DAD C BC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的,③是错的；④是对的5.取1111,,,AC BC B C AC 中点,,,E F M N ，直线分别为,,,,,EF MN EN EM FM FN 都与平面11ABB A 平行.6.如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a与b ′确定一个平面α.因为b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，所以b ∥α.所以过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β，所以a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.7. ,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD 的中点M ，易证AD ⊥平面BCM ，故平面BCM //平面α，平面BCM到平面α的距离为2a ，即为B 到平面α的距离. 9.因AD 与AB 不相互垂直，排除A ；作PB AG ⊥于G ，因平面⊥PAB 平面ABCDEF ，而AG 在平面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂直，故排除B ；由EF BC //，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C ，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B 作1111,B H BD B G A B ⊥⊥.在11Rt BB D ∆中，21112,2B D B D λ==+，由三角形面积关系得11112122B D BB h B H B D λλ⋅===+ 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥， 所以BC ⊥平面11AA B B ，于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11A BCD ，故1B G 为点1B 到平面11A BCD 的距离，在11Rt A B B ∆中，又由三角形面积关系得1111211A B BB d B G A B λ⋅===+于是2222112122h d λλλ⋅+==⋅-++， 于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以23(,2)3h d ∈ 二、填空题 13. 45° 14.BD 1∥平面AEC 15.1 16.2提示：13.作AO ⊥CB 的延长线，连接OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，因为AO =OD =23a ,所以∠ADO =45°. 14.连接AC ，BD 相交于一点O ，连接OE ，AE ，EC .因为四边形ABCD 为正方形，所以DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线， 所以EO ∥D 1B ,所以BD 1∥平面AEC . 15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体ABC A -的每个面都是直角三角形，所以144==n m . 16.由①②⇒③、①③⇒②是正确命题，由②③不能得到①. 三、解答题17.证明:（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1.又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥.因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥．(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ．因为四边形11ACC A 为矩形，所以E 为C A 1的中点，又因为D 为BC 的中点，所以1//ED A B . 又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ．18.证明：(1)因为1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥AB ．由条件90BAC ∠=，即AC ⊥AB ，且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．（2）MN ∥平面11ACC A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ． 又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ． 所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ．C19.（1）证明:因为在正方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以 AA 1⊥B 1D 1.又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，所以 B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又因为 B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．(2)最小值为 .如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 上的中点，所求的最小值为 . 20解：（1）连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O. 由底面是菱形，得.BD AC ⊥ SB SD =，O 为BD 中点，.BD SO ∴⊥又AC SO O ⋂=，BD ∴⊥面SAC.又AE ⊂面SAC ，.BD AE ∴⊥（2）取SC 的中点F ，连结OF ，OE ，//.SA OF ∴OF ∴与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.SC ⊥平面BED ，FE ∴⊥面BED ，E 为垂足，EOF ∴∠为所求角.在等腰CSB ∆中，2,SC BC a SB ===，得底边SB 上的高为.CH =SC BE SB CH ∴⋅=⋅，2BE ∴==.所以在1,,2Rt BES SE a ∆==中所以11.22EF a a a ∴=-=在Rt FEO ∆中，1,sin .2EFOF a EOF OF =∴∠==即直线SA 与平面BED 所成角为.6π21.解：（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意，得BH =设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+.因为节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=. 30,13BH OH λλ==+因为所以，解得0.63λ=≈.即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠===所以，AC =FF设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH ==由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C ,,的细钢管分别为,,AA BB CC '''，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， 所以对应于A B C ,,三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm . 22.（1）证明:在正方形AA'A 1'A 1中，因为A'C ＝AA'－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5． 因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB⊥BB 1．而BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB⊥平面BCC 1B 1．(2)解：因为AB⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB＝20．由(1)，知BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，且AB∩BC＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．。
高二数学单元测试(空间直线与平面)
高二数学单元测试(空间直线与平面)本次高二数学单元测试的主要内容为空间直线与平面。
本单元测试可以帮助考生更好地理解并应用在数学空间图形中的基本概念。
下文将以空间直线与平面的基本概念为主，充分探讨相关知识，并给出有关练习题。
一、空间直线1. 空间直线的定义空间直线可以用来定义物体空间行走的方向或它们之间的联系。
空间直线定义为在三维空间中连接两个以上点，它沿着一个方向延伸，不会被折叠，可以穿越欧几里得空间中的所有点。
2. 空间直线的构成由若干个点和一条连接它们的直线构成。
直线有无限多个点组成，只要它在三维空间中的两个点之间延伸，就称为空间直线。
3. 空间直线的特点空间直线有着比较明显的特点，即它沿一个方向延伸，可以穿越欧几里得空间中的所有点，并且不会被折叠，它的距离也等于它最远点组成的对角线的距离。
二、平面1. 平面的定义平面是欧几里得空间中的一个特殊超空间，它定义为空间直线的基础物理概念，由空间中的三维超直线组成。
平面可以定义为三个以上空间直线的一维定义的集合。
2. 平面的特征平面具有一定的几何特征，因此它也被称为几何体。
平面的特征有：它有若干等边，每边上有若干角，它所有内角和数字相等；它有若干内角，可以分割它为若干条边以及四条以上的内角；它可以分割成任意两个以上的小平面；它可以分割成若干个小角或小曲线；它可以分割成若干个空间直线子集。
三、练习题1. 已知若干个空间直线，如何构成一个平面？若要构成一个平面，必须满足两个条件：（1）至少有三条空间直线，使其有三维超空间；（2）空间直线是相交的，即三条空间直线相互内切；（3）所有相交空间直线之间只有一点公共点，即它们构成的是一条三维超直线，而不是多条三维超直线的交叉结构。
2. 如何判断两个平面是否相交？可以做如下判断：（1）两个平面在同一超平面内，则它们必定相交；（2）两个平面不在同一超平面内，则它们可以相交，也可以平行。
若它们存在一条公共边，那么它们必定共线；若它们都有三个公共点，则它们必定相交。
1 空间 直线、平面 及过关测试
点、直线、平面之间的位置关系一、考纲要求节 次考 试 要 求2.1.1平面了解平面的概念和性质，能直接运用三个公理解决一些简单的额空间点、线、面关系的问题。
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系理解空间中直线与直线之间的三种位置关系，会判定两条直线平行、垂直或异面，会求简单空间图形中两条异面直线所成的角。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系理解空间中直线与平面之间的三种位置关系。
2.1.4平面与平面之间的位置关系理解平面与平面之间的两种位置关系。
二、知识梳理:1、平面的性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
如果直线上所有点都在平面内，就说直线在平面内，或者说平面经过直线，记作 ；否则，就说直线在平面外。
记作 。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间两直线的位置关系空间两直线｛共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点。
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
公理4：平行于同一条直线的两条直线 。
（空间平行线的传递性）定理：空间中如果两个角的边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
已知两条异面直线，经过空间中任一点O作直线，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）。
如果两条异面直线、所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作。
3、空间中直线与平面之间的位置关系空间直线与平面 直线在平面内 有无数个公共点直线在平面内 直线与平面相交：有且只有一个公共点没有公共点4、平面与平面的位置关系两个平面平行：没有公共点两个平面相交：有一条公共直线第10课时 点、直线、平面之间的位置关系（2）一、考纲要求节 次考 试 要 求2.2.1直线与平面平行的判定与性质能运用直线与平面平行的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面平行问题2.2.2平面与平面平行的判定与性质能运用平面与平面平行的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面平行问题2.3.1直线与平面垂直的判定与性质能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面垂直问题，会求简单空间图形中直线与平面所成的角2.3.2平面与平面垂直的判定与性质能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面垂直问题，会求简单空间图形中平面与平面所成的角二、知识梳理:1、直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面品行。
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
直线与平面的位置关系练习题
直线与平面的位置关系练习题直线与平面的位置关系是几何学中的基础概念之一，理解和掌握这一概念对于解决几何题目非常重要。
本文将为你提供一些直线与平面的位置关系的练习题，帮助你巩固这一知识点。
练习题1：已知直线l与平面α相交于点A，点B在直线l上。
连接点B与平面α的交点为点C，若AB的垂直平分线交平面α于点D，则下列哪个选项是正确的？A) 线段CD平分线段BC的长度。
B) 线段AD平分线段AB的长度。
C) 三角形BCD垂直于平面α。
D) 线段CD平分角A。
练习题2：已知平面α与平面β垂直，直线p在平面α上，点A在直线p上。
连接点A与平面β的交点为点B，在平面β上取一点C。
若AB平行于平面β，那么以下哪个选项是正确的？A) 直线p与平面β交于一条直线上的所有点。
B) 线段BC与线段AB平行。
C) 线段AC垂直于平面α。
D) 线段CB平分角A。
练习题3：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上且不在直线l上。
连接点A与平面β的交点为点B，连接点A与直线l的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点A、点B、点C不共线。
B) 线段AC在平面β上的投影是线段BC。
C) 直线l是平面α与平面β的交线。
D) 点A在直线BC上。
练习题4：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在直线l上，点B在平面β上，且线段AB平行于平面α。
连接点B与直线l的交点为点C。
若点D是线段AC的中点，那么下列哪个选项是正确的？A) 直线BC平分线段AD。
B) 线段CD平行于平面β。
C) 三角形ABC垂直于平面β。
D) 点D在直线l上。
练习题5：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上，点B在平面β上，且线段AB垂直于直线l。
连接点A与平面β的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点B、点C、点A共线。
B) 线段CB平分线段AB。
C) 点C、点B、点A不共面。
D) 三角形ABC是等腰三角形。
以上是直线与平面的位置关系练习题，通过解答这些题目，你可以巩固理解直线与平面的位置关系的概念，并提高解决几何问题的能力。
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单元测试题——空间直线与平面
一、选择：
1、下列命题中正确的是（ ）
A 三点确定一个平面
B 一条直线与一点确定一个平面
C 两条直线确定一个平面
D 两条平行直线都与第三条直线相交，那么这三条直线共面
2、下列图形不是平面图形的是（ ）
A 三角形
B 平行四边形
C 梯形
D 空间四边形
3、下列命题中错误的是（ ）
A 和两条异面直线都垂直的直线有无数条，但它们的公垂线只有一条
B 既不平行也不相交的直线是异面直线
C 不在同一平面内的两条直线是异面直线
D 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
4、两两互相平行的三条直线可以确定（ ）个平面
A 1
B 2
C 3
D 1或3
5、垂直于同一直线的两条直线的位置关系是（ ）
A 平行
B 异面
C 相交
D 平行或相交或异面
6、两条异面直线a,b 分别在平面βα, 内，c =βα ，下列情况不可能存在的是（ ）
A c 同时与a,b 都相交
B c 与α平行，c 与b 相交
C c 同时与a,b 都平行
D c 与b 平行，c 与a 相交
7、下列结论中正确的是（ ）
A 若直线b a //，则a 与经过b 的任何平面都平行
B 若αα平面则平面//,//,//b a b a .
C 若b a ，，b a //////则平面平面αα
D 若平行内有无数条直线与
则平面平面a ，a αα// 8、设平面α外点A 、B 到α的距离相等，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）
A 平行
B 相交
C 平行或相交
D 不平行
9、正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，AB 1与BC 1所成角的度数是（ ）
A 600
B 450
C 300
D 900
10、直线与平面垂直的充要条件是直线与平面内的（ ）
A 一条直线垂直
B 两条直线垂直
C 任意一条直线垂直
D 无数条直线垂直
11、若直线α平面直线直线//,b b a ⊥，则（ ）
A α平面//a
B α平面⊆a
C α与平面a 相交
D 以上三种情况均有可能
12、若平面n m ，n ，m ，与则平面直线平面直线平面βαβα⊆⊆//（ ）
A 平行
B 不可能垂直
C 相交
D 可能平行也可能异面
13、直线L 是平面α的斜线，则α内与L 垂直的直线有（ ）
A 0条
B 1 条
C 2 条
D 相互平行的无数条
14、给定下列命题，其中正确的有（ ）
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
A 1 个
B 2 个
C 3 个
D 4个
15、在空间a 、b 、c 分别表示直线，βα、分别表示平面，下列命题正确的是（ ）
A α⊥⇒⎭⎬⎫⊥a c b b a //
B αββα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥c c // C c a c b b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊥// D αββα//c c ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ 16、已知直线n βα平面直线平面⊆⊥m ，,有下面四个命题：
①m n ⊥⇒βα// ②βα⊥⇒m n //
③m n //⇒⊥βα ④βα⊥⇒⊥m n ，其中正确的是（ ）
A ①②
B ①③
C ②④
D ②③
17、下列命题中正确的是：（ ）
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两平面互相平行 ③垂直于同一直线的两平面互相平行 ④垂直于同一平面的两直线互相平行
A ①②
B ③ ④
C ②④
D ①③
18、下列结论中，错误的是（ ）
A 若线段A
B 在平面α内，则它的延长线必在平面α内
B 两异面直线不可能与同一平面垂直
C 一条直线如果和平面α的一条斜线在平面α内的射影垂直，那么它必与这条斜线垂直
D 如果平面α平行于平面β，则平面α内的任何直线都与平面β平行
二、填空：
1、过直线L 外一点可以作 条直线与直线L 垂直。
2、若直线L 与平面α所成的角为300，则α内所有直线与L 所成的角中，最小的角是 度，最大的角是 度。
3、异面直线a 与b 成600角，若α//c ，则c 与b 所成的角等于 。
4、如果一个平面内有两条 都平行于另一个平面，那么这两个平面相互平行。
5、若一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它必与另一条 。
6、 的一条直线，如果它与平面的一条斜线的
垂直，那么它也和这条斜线垂直。
7、二面角的棱与二面角的平面角所在的平面 。
8、三条直线交于一点，它们可确定 个平面。
9、已知二面角βα--AB 的平面角是锐角的距离到内一点βαθC ,CE=3，点C 到二面角βα--AB 的棱AB 的距离CD=4，则θtan = 。
10、在600的二面角内有一点C ，它到棱的距离等于4，则点C 到另一个平面的距离为 。
11、直线αββ⊥平面平面，c //，则直线α与平面c 的位置关系是 。
12、已知二面角βα——L 为1200，点P 是二面角内一点，自P 分别向二面角的两个面引垂线PA 、PB ，则APB ∠= 。
三、解答：
1、在直角三角形ABC 中，ABC PB cm BC cm AB B 平面⊥===∠,40,30,900，求点P 到直线AC 的距离。
2、在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱DC 、BC 的中点，求证：M A DN 1⊥
3、在一个坡度为θ的斜坡上，沿着与坡脚的水平线AB 成300角的道路CD 上行走，经测量行走100米时，实际升高325米，求θ的大小。
4、四面体ABCD 的四个面都是正三角形，M 为DC 的中点，1）求证：
ABM DC 平面⊥；2）平面ABM 与平面ADC 是否垂直？
3）求二面角A-DC-B 的大小。
5、正方形ABCD 的边长为2 ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角，M 为矩形AEFD 内的一点，若BM=3，且MB 和平面BCF 所成的角为300，求点M 到直线BC 的距离。
C
A
D。