复变函数练习册(全套)
复变函数练习题
复变函数练习题
1. 计算复数z=3+4i的模长和辐角。
2. 证明复数的加法满足交换律和结合律。
3. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=(1+i)^n，求当n趋向无穷大时的极限。
4. 证明欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx。
5. 解复变方程(z-1)(z-2)=0。
6. 计算复数z=1-i的共轭复数。
7. 证明复数的乘法满足分配律。
8. 给定复变函数f(z)=z^2+1，求其在z=2处的导数。
9. 证明复数的除法满足结合律。
10. 已知复变函数f(z)=1/(z-1)，求其在z=2处的值。
11. 证明复数z=a+bi的实部和虚部满足a^2+b^2=|z|^2。
12. 解复变方程z^2+z+1=0。
13. 证明复数的乘法满足交换律。
14. 计算复数z=2+3i的逆元，并验证乘积等于1。
15. 证明复数的倒数是其共轭复数除以其模长的平方。
16. 给定复变函数f(z)=z^3-3z^2+2z+1，求其在z=1处的值。
17. 证明复数的模长是非负的。
18. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=1/n，求其和的极限。
19. 证明复数的乘积的模长等于各自模长的乘积。
20. 给定复变函数f(z)=(z-1)/(z+1)，求其在z=i处的值。
复变函数目标检测练习册
练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz=4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为 表示成指数形式为 Argz= argz=5.3－i 的三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。
三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。
四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i+1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。
⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。
练习二复数的乘幂与方根、区域一、填空题1．（1＋i）3＋（1－i）3＝2．31-＝3．{z1<z<2}的内点是外点是边界点是4．0<Re(z)<1所确定的是（区域、闭区域）它是（有界、无界）二、求下列复数的值（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ii313110（2）32221）＋（i三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。
四、画出23--zz≥1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。
六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数的极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在的是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=41的映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy 4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（）A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=z z +zz在z=0的极限三、函数W=Z1把下列z 平面上的 曲线映射成W 平面上怎样的曲线？ （1）y=x (2) x=1 (3) (x －1)2+y 2=1 四、试讨论函数f(z)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+022y x xy00=≠z z 的连续性练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件 一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（ ）A.)(z f ＝z 2B.)(z f =x+2yiC.)(z f =z 2D.)(z f =z13．下列函数在复平面内处处解析的是（ ）A ．f(z)=z B.f(z)=e x(cosy+isiny) C.f(z)=z 1 D.f(z)=zz 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（ ）A ．r u ∂∂=θ∂∂v θ∂∂u =-rv ∂∂ B.r u ∂∂=r 1θ∂∂v θ∂∂u =-r 1r v ∂∂C.r u ∂∂=r 1θ∂∂v r v ∂∂=-r 1θ∂∂uD.r u ∂∂=r θ∂∂v θ∂∂u =-r rv ∂∂ 5．下列说法正确的是（ ）A ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)－g(z)的一个奇点C ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)g(z)的一个奇点D ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)/g(z)的一个奇点 二．设ay 3+bx 2y+i(x 3+pxy 2)为解析函数，试求a,b,p 之值。
复变函数_习题集(含答案)
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
复变函数练习册(全套)
第一章 复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值： （1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七 、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九 、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
(完整)《复变函数》练习题
(完整)《复变函数》练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)《复变函数》练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
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第一章 复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值： （1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七 、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九 、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。
第二章 解析函数一、判断题(1)若)(z f 在点0z 不连续，则)(z f 在点0z 不可导.( )(2)若)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 解析.( )(3)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析.( )(4)指数函数ze 是以i π2为周期的函数.( ) (5)z sin 在整个复平面上有界. ( )二、选择题1．函数22)(iy x z f +=在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．假设点0z 是函数)(z f 的奇点，则函数)(z f 在点0z 处( ) （A ）不可导 （B ）不解析（C ）不连续 （D ）以上答案都不对 3．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( ) （A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 (C ）)33(332323y y x y i x xy x ++-++- （D ）Z 4．函数)Re()(z z z f =在0=z 处的导数( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在三、填空题学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________1．设)1sin()2cos()(zi z z f +=，则=dz df 2．复数=)Ln(21i3．=-)}43Im{ln(i 4．方程01=--z e 的全部解为四、证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1)若)(z f 也在D 内解析; (2) 若()f z 在D 内为常数;(3) ,au bv c +=其中a,b 与c 为不全为零点实常数。
五、讨论下列函数的解析性：（1） z z 2||2+ （2）y ix xy 22+ （3） )sin (cos x i x e y +- 六、求2z e 和2z Arge七、求下列初等函数的值。
（1）)42(i e π+ （2）i 2sin ；（3） ()Ln i - （4） (1)i i +(5) ln(34)i -+八、解方程：（1）0cos sin =+z z ;（2）i iz 22)2ln(π+=; (3) cos 0z =九、当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析？第三章 复变函数的积分一、 判断题 1. 积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关。
（ ） 2. 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。
（ ） 3. 若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析。
（ ）4. 设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。
（ ）5. 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（ ）6. 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
（ ） 二、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( )（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________4．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-5．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 6．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ- (B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-7．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xvi x u ∂∂-∂∂ 三、填空题1．设C 为正向圆周1||=z ，则=⎰Cz z d2．设C 为正向圆周14=-z ，则20153sin 2d ππθθ=+⎰3．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的6．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a 四、利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.（1）240ize dz π⎰（2）2sin iizdz ππ-⎰ （3）1sin z zdz ⎰五、计算下列复积分，圆周均为正向 （1）11()(2)2z dz i z z =-+⎰； （2）23221izz i e dz z -=+⎰， （3）2232(1)(4)z dz z z =++⎰； （4） ⎰=-45)(z zdz i z e π六、计算积分312(1)zce dz iz z π-⎰，其中c 为下列正向圆周： (6)12z =（2）112z -= （3）2z =七、已知下列各调和函数,试求解析函数()f z u iv =+(1) 22, ()1u x xy y f i i =+-=-+，(2) 22, (2)u xy y f i =-=-，八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 内解析，且在c 上()()f z g z =， 证明: 在c 内也有()()f z g z =。
十、设1C 与2C 为两条互不包含,也互不相交的正向简单闭曲线,证明:1222001000021sin []2sin C C z z C z zdz dz i z z z z z z C π⎧+=⎨--⎩⎰⎰当在内时，当在内时。
十一、设解析函数()f z u iv =+,试证:(1) 2()u v i f z -是的共轭调和函数；（）也是解析函数。
十二、设()f z 在圆环域 12R z a R <-<内解析,作两圆周: 121122,;z a K z a K R K K R -=-=<<<且, 当z 满足102K z a K <-<,试证:柯西积分公式仍成立,其中12C K K -=+第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i 3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )(A) ∑∞=+1)1(1n n i n (B)∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i (D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=010,n n n n n n z nc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A) 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+7．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln (D) z-11ln 8．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z (C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 9．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n二、填空题1．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R .2．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c .3．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ．4．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为 ．5．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、下列级数是否收敛？是否绝对收敛?(1)1!n n i n ∞=∑ ； (2) 2ln nn i n ∞=∑(3) 0cos 2n n in ∞=∑ (4) ()035!nn i n ∞=+∑四、试确定下列幂级数的收敛半径．(1) ()01nnn i z ∞=+∑ (2) 0!nn n n z n ∞=∑(3) 1inn n e z π∞=∑ (4) 221212n nn n z ∞-=-∑五、把下列函数展开成z 的幂级数,并指出收敛半径.(1) 221(1)z + (2) 1zz e -六、求下列函数展开在指定点0z 处的泰勒展式，并写出展式成立的区域． （1）0,2(1)(2)zz z z =++ （2）021,1z z =（3）01,143z i z=+-七 、将函数1(1)(2)z z --在指定的圆域内展开成洛朗级数．(1)011,(2)12z z <-<<-<+∞八、如果级数0n n n c z ∞=∑在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．第五章 留 数一、选择题： 1．函数221(1)z z z -+在2=z 内的奇点个数为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 以a z =为m 级零点，则a z =为函数)(1z f 的( ) （A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数3sin zz的m 级极点，那么=m ( )（A ）2 （B ）4 (C)3 （D ）5 4．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re kz z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 5．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）(A) 21()z e f z z-= （B ）z z z z f 1sin )(-=(C ）zzz z f cos sin )(+= (D) z z z f sin )(=二、填空题1．设0=z 为函数2(1)z z e -的m 级零点，那么=m ．学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________2．函数241()ze f z z -=在其孤立奇点0=z 处的留数=]0),([Re z f s ．3．若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则=]),([Re 0z z f s ． 4．积分=⎰=113z zdz e z．三、求下列函数在有限孤立奇点处的留数．(1) 212z z z +- （2）241ze z-(3)21sin z z (4)4231(1)z z ++（5）1sin z z四、利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．（1）222(1)zz e dz z =-⎰ （2）232(1)(3)z z e dz z z =-+⎰（3）12sin (1)z z z dz z e =-⎰ （4）221sin z z dz z =⎰五、证明：如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是'()f z 的1m -级零点．六 *、求出下列函数在∞的留数(1)21z e z - (2) 41(1)(4)z z z +-七 *、求下列各积分之值：(1). 20153sin d πθθ+⎰ (2).201cos d a πθθ+⎰ (3).2401x dx x+∞+⎰; (4) 2cos 45x dx x x +∞-∞++⎰积分变换一、填空题1.[1]F = .2.设[()]()F f t F w =，则()F w 与()f t 有 （相同，不同）的奇偶性.3.[()]F u t = .4.函数0()sin 3()f t t t t =δ-的傅立叶变换 ..5.e t2-⎡⎤=⎣⎦L .6.[]sin cos t t =L ..7.124s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L..8.()()1112s s -⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦L..二、综合题1．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________2.已知(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β ()[]t f F -求3.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.4.求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换.5．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .6．求下列函数的Laplace 变换：1）()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩. 2) ()()2e 5δt f t t =+3) ()1e t f t t =- 4) ()cos f t t at =7*、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21*8*.若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ,并利用此结论计算下式：(1)()30e sin 2d t tf t t t t -=⎰，求()F s .(2) ()1ln1s F s s +=-，求()f t .三、利用Laplace 变换求解下列方程：1.()()43,001ty y y e y y -''''++===2.222e cos2,(0)(0)0t y y y t y y ''''-+=⋅==3.2e ,(0)(0)(0)0t y y y y y '''''''+====e 4.,322et t x x y y x y '⎧+-=⎪⎨'+-=⎪⎩()()00,0 1.x x '==-答案第一章 复数与复变函数一、BAADCC二、1，2；2，8arctan -π；3，ie θ16；4，12i -+；2i - 5，12i -+三、（1）2ieπ;(2)232i eπ四、（1）16(3)i -+ ;（2）512- ;（3）1i +48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩五、 25k i z ei π=-， (0,1,2,3,4)k =六、略 ; 七、略 ;八 、略 九、(1)2214u v +=，表示一半径为12的圆周。