复变函数总结完整版
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数总结完整版
第一章复数1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy实部Re Z 虚部Im Z2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)乙Z2③=χ1 iy1 χ2 iy2X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y22 2 2 2Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2⑤z = X - iy 共轭复数z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz04如何寻找arg Zπ例：z=1-i4πz=i2πz=1+i4z=-1 π5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71例2 f Z = C 时有(C )=0可得到z=re°Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方n n in 「nZ Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z☆当丄二f Z o时，连续例1 证明f Z =Z在每一点都连续证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续3导数f Z o Jm fZ一f zoz-⅛z°Z-Z o,2n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z = zZ—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限df(z lZ=Zo1例2 f Z = C 时有(C )=0根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导4解析若f z 在Z 00= X = 0,^0的一个邻域内都可导，此时称用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g rkf =kf f g = f g f gf Z 在Z 0处解析。
复变函数总结
n
复数数列收敛等价于 u 和 v 分别收敛 级数绝对收敛比值法 a=|zn+1/zn|,a<1 收 a>1 发 幂级数 收敛圆 Abel 第一定理
lim k ck 1 0 ck
(4)高阶导数公式
f (n) ( z) n! 2 i
(3)有界 Cauchy 积分公式
m 1
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( )d s 是？ ck k! 2i s ( z0 )k 1
bk
1 f ( )d 2i ( z 0 ) k 1 s
(8)留数 res f(z0)
b1 1 2 i
(9)留数定理
s
f ( z )dz
(7) Laurent 级数 R1<|z-z0|<R2
f ( z)
k
唯一性
b (z z
k
0
)k
唯一性 s 是？
收敛半径 R 1/ (12)极点 res f(z0)
1 d ( z z0 )m f ( z ) z z0 (m 1)! dz m 1 lim
m
f ( x)eipx dx 2 i res[ f ( z )eipz ]z z k
k 1
0
m
(1) 由 CR 条件和 Green 公式推得。对于任意解析区域都适用。 另一种方法,由于围道内没有奇点, 所以(9)式的右边为 0。 z z 积分与路径无关：定积分 F ( z )z0 f ( )d cz0 f ( )d F ( z )F ( z0 ). (2)复连通区域可划成单连通区域, 即得 (3) l 可化为绕 z 的无穷小围道,这时 f(ζ )趋于常数 f(z),提到积分外, 剩下部分的积分部分正好为 2πi 另一种方法，将 f(ζ )在 z 附近 Taylor 展开，f(z)正好是－1 次 项系数，而积分后其他幂次项为 0. (4) 将(3)式两边对 z 求导即得 (5) (3)式在无穷远点留数为 0 即得 (6) 对(3)式的 1/(ζ -z)用幂级数展开,结合(4)即得 它是(7)的 f(z)在 R1 内不含奇点的情形 S 是圆域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (7) 对(3)式的 1/(ζ -z)在 R2 用幂级数展开，得正幂次项部分,在 R1 展开对 k 做替换得负幂次项部分,最后对它们的系数用(2)归 纳便可得到该结论 S 是圆环域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (8) 令(7)的 k= -1 得 (9) (8)和(2)结合即得 (10) 这是定义 (11) 将(9)代入(10)即得 (12) 把 f(z)的 Laurent 展开式写出经式中的运算,结果正好是 b-1 (13) 用 1/z 替换(10)中的 z, 然后求 z=0 的留数即可,
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
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第一章 复数1 2i =-1 1-=i 欧拉公式 z=x+iy实部Re z 虚部 Im z2运算 ①2121Re Re z z z z =⇔≡ 21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i 4π-z=i2π z=1+i 4πz=-1 π5 极坐标： θcos r x =，θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i ei +=可得到 θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程z n=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 n z =ω()n k i re z ωπθ==+2 即nr ω= nr 1=ωϕπθn k =+2 nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f =②()A =→z f z z 0lim 0z z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限☆ 当()0z f =A 时，连续 例1证明()z z f =在每一点都连续证：()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z → 所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()0000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--=' 例2 ()C z f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆z C C zz f z z f z z 所以()0'=C 例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000 当0→ω时，不存在，所以不可导。
定理：()()()y x iv y x u z f ,,+=在iy x z +=处可导⇔u ，v 在()y x ,处可微，且满足C-R条件y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂ 且()xvi x u z f ∂∂+∂∂=' 例4证明()z z f =不可导解：()iy x z z f -== 其中()x y x u =, ()y y x v -=, u,v 关于x,y 可微11-=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例5 ()z z f Re =解：()x z z f ==Re ()x y x u =, ()0,=y x v01=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例6： ()2z z f =解：()222y x zz f +== 其中()22,y x y x u += ()0,=y x v根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在0=z 处可导4解析若()z f 在0z 的一个邻域内都可导，此时称()z f 在0z 处解析。
用C-R 条件必须明确u,v四则运算()g f g f '±'='± ()()()()()z g g f z g f '⋅'='()f k kf '='()1-='n nnzz()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅ ☆()zzee='2g g f g f g f '⋅-⋅'=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 例：证明()ze zf = ()zzee='解： ()y ie y e e z f xxzsin cos +==则()y e y x u xcos ,= ()y e y x v xsin ,=y e yv y e x u x x cos cos =∂∂==∂∂ y e xvy e y u x x sin sin -=∂∂-=-=∂∂ 任一点iy x z +=处满足C-R 条件 所以ze 处处解析 ()z x x e y ie y e xvi x u z f =+=∂∂+∂∂='sin cos 练习：求下列函数的导数()z z z f ⋅=2解: ()()()()32233223222y y x i xy x iy xy y ix xiy x yx z z z f +++=+++=++=⋅=()23,xy x y x u += ()32,y y x y x v += 所以223y x xu+=∂∂ 223y x y v +=∂∂ xy yu2=∂∂ xy xv2-=∂∂-根据C-R方程可得222233y x yv y x x u +=∂∂=+=∂∂ xy xvxy y u 22-=∂∂-==∂∂ 0,0==⇒y x 所以当0=z 时()z f 存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数 ()y i y e e x z sin cos +=① 定义域 ② 2121z z z ze ee +=⋅ ③ ()z z i z e i e e =+=+πππ2sin 2cos 2④()zzee ='Ⅲ对数函数 称满足ωe z =的ω叫做z 的对数函数，记作z ln =ω分类：类比n z 的求法（经验） 目标：寻找ωωϕarg =幅角主值可用：ωe z = θi re z = iv u +=ω过程：θωθi iv u iv u i e r e e e e re z =⋅====+ iv i ue e e r ==⇒θ,πθk v r u 2,ln +==⇒ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k所以()()ππθωk z i z rgz i r k i r iv u 2arg ln ln 2ln ++=A +=++=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例：求()1-Ln ()i Ln +1 ()i Ln 的值()π=-1arg()()()()1221arg 1ln 1+=+-+-=-k i k i Ln ππ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()41arg π=+i()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=+πππk i k i i i i Ln 242ln 2121arg 1ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()2arg π=i()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++=πππk i k i i i i Ln 2212arg ln ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0kⅣ幂函数 对于任意复数α，当0≠z 时Lnz e z ααω==例1：求ii +1的值解：()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛++++++=====+ππππk i k i i i iArg i i Lni i ii eeee e i i221221ln 11ln 11⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例2：求()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+===-+ππk i i i i i iee e i i242ln 2131ln 31ln 331Ⅴ三角函数⎩⎨⎧-=+=-y i y e y i y e iy iy sin cos sin cos ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ie e y e e y iy iyiyiy 2sin 2cos 定义：对于任意复数iy x z +=，由关系式可得z 的余弦函数和正弦函数2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=例：求()i +1sin ()i +5cos 解：()()()[]i i i i e e i i +-+-=+11211sin ()()()[]i i i i e e i +-++=+55215cos第三章复变函数的积分1复积分定理 3.1 设C 是复平面上的逐段光滑曲线()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上连续，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上可积，且有()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,注：①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一：思路：复数→实化把函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘，可得()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,方法二：参数方程法 ☆核心：把C 参数 C ：()t z βα≤≤t()()()⎰⎰'=Cdt t z t z dz z f βα例： 求⎰Cdz z ①C ：0→i +1的直线段②101−→−C ；i C +−→−112解：①C ： ()it t t z += 10≤≤t()()()()⎰⎰⎰=+-='+-=11111dt i i t dt it t it t dz z C②()t t z C =:1 10≤≤t()it t z C +=1:2 10≤≤t()⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=+=11012121121i i dt it tdt dz z dz z dz z C C C★ 结果不一样2柯西积分定理例：()⎰⎩⎨⎧=-Cnidz a z 021π11≠=n n C ：以a 为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针 解：C：θρi e a z +=iyx z +=πθ20≤≤()()()()()()()()11011121120120112020≠=⎪⎩⎪⎨⎧=--==⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰---n n i n d e i n i d e i d ie e dz e dz a z i n i n n Ci ni ni nπθπθππθθθθπθρθρρρ ☆ 积分与路径无关：①单联通 ②处处解析 例：求()⎰++Cdz z z1822，其中C 是连接O 到点()a π2,0的摆线：()()⎩⎨⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 解：已知，直线段L 与C 构成一条闭曲线。