第 6 章 时变电磁场
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电磁场原理(第二版)6章
• 式(6.1.5)和式(6.1.6)称为电磁波动方程，它们是波 动方程的一般形式，它们支配着无源、线性、均 匀各向同性导电媒质中电磁场的行为，是研究电 磁波问题的基础。 • 从数学上来看，H和E满足相同形式的方程，在直
角坐标系下，若用ψ(r,t)来表示电场E或磁场H的一 个分量，有方程
• 6.1.2 平面电磁波及基本性质 • 对于电磁波传播过程中的某一时刻 t ，电磁场中 E 或 H 具有相同相位的点构成的空间曲面称为等相 面，又称为波阵面。如果电磁波的等相面或波阵 面为平面，则这种电磁波称为平面电磁波。如果 在平面电磁波波阵面上的每一点处，电场 E 均相 同，磁场 H 也均相同，则这样的平面电磁波称为 均匀平面电磁波。
称为理想介质的波阻抗，单位
为欧姆，上两式均称为波的欧姆定律。 • 4)对于入射波，根据空间任意点在某一时刻 的电磁波电磁场能量密度的假设，再考虑 波的欧姆定律，有 • 相应的坡印延矢量为
• 上式表明，在理想介质中电磁波能量流动 的方向与波传播的方向一致。又坡印廷矢 量的值表示单位时间内穿过与波传播方向 相垂直的单位面积内的电磁能量，即等于 电磁能量密度ω′和能流速率ve的乘积
负方向行进的波的电场分量和磁场分量，称 为反射波。 • 2)波的传播速率 • 是一常数，它仅与媒质参数有关。 • 3)将 代入式(6.1.15)得
• 将上式对时间积分，并略去积分常数，得
• 同理可得 • (6.2.5)和(6.2.6)分别表示了入射波和反射波 中电场和磁场之间的关系。令
• 其中
• 上两式就是无限大理想介质中电磁场随时 间作正弦变化时的稳态解。此时的电场和 磁场既是时间的周期函数，又是空间坐标 的周期函数。 • 相位因子 (ωt-βx+φ) 的物理意义 ( 为方便计， 取φ =0)： • 1)t=0 时，相位因子为 -βx ， x=0 处的相位为 零，这时电场和磁场都处在零值。 • 2)在t时刻，波的零值点移到ωt-βx=0处，即
第六章-交变电磁场
E jB
B 0
D
H J jD
E jB
B 0
D
复数形式的麦克斯韦方程组
H
J
jD
1. 复数形式麦氏方程组的获得和最初对场量 复数表达式的定义无关，即可以规定取实部
E jB
B 0
D
（Re），也可以取虚部（Im）；但取法一旦 确定，在整个问题的分析过程中就不能改变， 必须保持一致。
交变电磁场中的电场有旋有散，磁场有旋无散。
复习练习
J E 传导电流
D t 位移电流
D t E t E E
幅度之比 1 1000
Maxwell方程组的逻辑关系
E B t
B 0
0 ( E) ( B ) t
( B) 0 t
麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程 只有三个独立的方程
H z H0kcosky sin(t kz)dz
H
0k
1 k
c
osk
y
c
os(t
k
z)
C
麦克斯韦方程组
麦克斯韦第一方程看来是解决 磁场旋度问题的
E • dl
C
t
B • dS
S
sD dS q
SB dS 0
E B t
D
B 0
麦克斯韦第一方程? 麦克斯韦第二方程 麦克斯韦第三方程 麦克斯韦第四方程
z
kz)
ey
E0k sin(t kz)ey
H
k
E0
cos(t
kz)ey
交变电磁场的简谐形式
Ex E0 cos(t kz)ex
H
k
E0
cos(t
kz)ey
复数形式的麦克斯韦方程组
B 0
D
H J jD
E jB
B 0
D
复数形式的麦克斯韦方程组
H
J
jD
1. 复数形式麦氏方程组的获得和最初对场量 复数表达式的定义无关，即可以规定取实部
E jB
B 0
D
（Re），也可以取虚部（Im）；但取法一旦 确定，在整个问题的分析过程中就不能改变， 必须保持一致。
交变电磁场中的电场有旋有散，磁场有旋无散。
复习练习
J E 传导电流
D t 位移电流
D t E t E E
幅度之比 1 1000
Maxwell方程组的逻辑关系
E B t
B 0
0 ( E) ( B ) t
( B) 0 t
麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程 只有三个独立的方程
H z H0kcosky sin(t kz)dz
H
0k
1 k
c
osk
y
c
os(t
k
z)
C
麦克斯韦方程组
麦克斯韦第一方程看来是解决 磁场旋度问题的
E • dl
C
t
B • dS
S
sD dS q
SB dS 0
E B t
D
B 0
麦克斯韦第一方程? 麦克斯韦第二方程 麦克斯韦第三方程 麦克斯韦第四方程
z
kz)
ey
E0k sin(t kz)ey
H
k
E0
cos(t
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交变电磁场的简谐形式
Ex E0 cos(t kz)ex
H
k
E0
cos(t
kz)ey
复数形式的麦克斯韦方程组
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
时变电磁场边界条件
n
1
2 D2n
第2页/共17页
说明： s为分界面上自由电荷面密度。 特殊地：若媒质为理想媒质，则s 0,此时有
D1n D2n 0 结论：当分界面上存在自由电荷时，D 切向不连续，其
不连续量等于分界面上面电荷密度。
当且仅当分界面上不存在自由电荷时，D 切向连
续。
二、理想媒质分界面上的边界条件( 0)
l bn
将麦克斯韦方程
l H
dl
S dl H1 ll H2 (ll) l (H1 H2 )l
b n (H1 H2 )l b n (H1 H2 )l
第11页/共17页
因为 D / t 有限而h→0，所以
D dS lim D bhl 0
第8页/共17页
磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
n (B1 B2 ) 0
或者如下的标量形式的边界条件：
B1n B2n
由于B=μH，所以
1H1n 2H2n
第9页/共17页
切向分量边界条件将麦克斯韦方程
第10页/共17页
设n(由媒质2指向媒质1)、l分别是Δl中点处分界面的法向单位矢 量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系 的单位矢量，三者的关系为
在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t 0
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
第3页/共17页
B1 n B2 n 0 B2n B1n (D1 D2 ) n 0 D1n D2n 0
结论：在理想介质分界面上，E, H 矢量切向连续 在理想介质分界面上，B, D 矢量法向连续
切于分界面，称为切向分量。
第6页/共17页
6- 电磁感应 电磁场(带答案)
增加,求空间涡旋电场的分布.
解：取绕行正方向为顺时针方向,作为感生电动势和涡旋电场的标定正方向,磁
通量的标定正方向则垂直纸面向里.
在 r<R 的区域,作半径为 r 的圆形回路,由
i
L Ei dl
S
B
dS
t
O R
B
5
并考虑到在圆形回路的各点上, Ei 的大小相等,方向沿圆周的切线.而在圆形回路内是匀强磁场,且 B 与 dS
为
，内部的磁能密度为
。
答案：µ0nI
0n2I 2 / 2
6-T 自感磁能 6、自感系数 L =0.3 H 的螺线管中通以 I =8 A 的电流时，螺线管存储的磁场能量 W = ． 答案：9.6J
6-T 动生电动势势 二、选择题
6-X 电磁感应现象
1
1、一导体圆线圈在均匀磁场中运动，能使其中产生感应电流的一种情况是（ ）
6-S 磁场能量 自感
5、一无限长同轴电缆是由两个半径分别为 R1 和 R2 的同轴圆筒状导体构成的,其间充满磁导率为μ的磁 介质,在内、外圆筒通有方向相反的电流 I.求单位长度电缆的磁场能量和自感系数.
解：对于这样的同轴电缆,磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内,由安培环路定理可求得磁场强
度的大小为
A IA r
L, .R
B IB r
R
(A) 两线圈的轴线互相平行。
（B）两线圈的轴线成 45°角。
K
(C) 两线圈的轴线互相垂直。
（D）两线圈的轴线成 30°角。
答案：C
6-X 感生电场
10、在感生电场中，电磁感应定律可写成 E K
L
dl
d dt
，式中 EK
电磁场与电磁波第六章
R// ER 0 E I0 ET 0 EI0
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
电磁场与电磁波及其应用 第六章
(6.2.5)
将式（6.2.5）代入式(6.2.4)得
应用欧拉公式， 并将式（6.2.1）代入上式得
然后， 沿振子臂长l进行积分， 即为整个振子的辐射场， 其结果为
(6.2.6)
6.2.3 对称振子的辐射参数
1. 对称振子的方向函数为
(6.2.7)
对于半波振子l=0.25λ，
对于全波振子l=0.5λ，
(6.1.2)
式中，E为电场强度， 单位为V/m； H为磁场强度， 单位
为A/m； 场强的下标r、θ、j表示球坐标系中矢量的各分 量； er、 eθ、 ej分别为球坐标系中沿r、θ、j 增大方向的
单位矢量；ε0=10－9/(36π)(F/m) ， 为自由空间的介电常数； μ0=4π×10－7(H/m)， 为自由空间的导磁率。
(6.1.4)
由上式可见， 远区场的性质与近区场的性质完全不同， 场强只有两个相位相同的分量（Eθ， Hj）， 其电力线分布 如图6.1-2所示， 场矢量如图6.1-3所示。
远区场的坡印廷矢量平均值为
(6.1.5)
图6.1-2 电基本振子的电力线
图6.1-3 电基本振子的远区场
对于自由空间
电偶极子向自由空间辐射的总功率称为辐射功率Pr， 它等于坡印廷矢量在任一包围电偶极子的球面上的积分， 即
6.1.1
kr<<1即（r<<λ/(2π)）的区域称为近区， 在此区域内
忽略式（6.1.1）中的1/r项， 并且认为e－jkr≈1, 电基本振子的 近区场表达式为
(6.1.3)
6.1.2
kr>>1即（r>>λ/(2π)）的区域称为远区， 在此区域内
因此保留式（6.1.1）中的最大项后， 电基本振子的远 区场表达式为源自图6.2-1 对称振子天线
将式（6.2.5）代入式(6.2.4)得
应用欧拉公式， 并将式（6.2.1）代入上式得
然后， 沿振子臂长l进行积分， 即为整个振子的辐射场， 其结果为
(6.2.6)
6.2.3 对称振子的辐射参数
1. 对称振子的方向函数为
(6.2.7)
对于半波振子l=0.25λ，
对于全波振子l=0.5λ，
(6.1.2)
式中，E为电场强度， 单位为V/m； H为磁场强度， 单位
为A/m； 场强的下标r、θ、j表示球坐标系中矢量的各分 量； er、 eθ、 ej分别为球坐标系中沿r、θ、j 增大方向的
单位矢量；ε0=10－9/(36π)(F/m) ， 为自由空间的介电常数； μ0=4π×10－7(H/m)， 为自由空间的导磁率。
(6.1.4)
由上式可见， 远区场的性质与近区场的性质完全不同， 场强只有两个相位相同的分量（Eθ， Hj）， 其电力线分布 如图6.1-2所示， 场矢量如图6.1-3所示。
远区场的坡印廷矢量平均值为
(6.1.5)
图6.1-2 电基本振子的电力线
图6.1-3 电基本振子的远区场
对于自由空间
电偶极子向自由空间辐射的总功率称为辐射功率Pr， 它等于坡印廷矢量在任一包围电偶极子的球面上的积分， 即
6.1.1
kr<<1即（r<<λ/(2π)）的区域称为近区， 在此区域内
忽略式（6.1.1）中的1/r项， 并且认为e－jkr≈1, 电基本振子的 近区场表达式为
(6.1.3)
6.1.2
kr>>1即（r>>λ/(2π)）的区域称为远区， 在此区域内
因此保留式（6.1.1）中的最大项后， 电基本振子的远 区场表达式为源自图6.2-1 对称振子天线
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第6章
第六章时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰ B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
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Re e x E xm e y E ym e z E zm e j t
E e j t Re m
式中
Em ex Exm e y E ym ez Ezm
称为时谐电场的复矢量
时谐场对时间的导数
E E H 得 t
2
将矢量恒等式 E E 2E
同理
得
2 E E 2 0 t
2
2 H H 0 t 2
2
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 A A 2 J t
2
同理
2 2 t
2
◇ 以上二方程称为达朗贝尔方程。
◇ 此方程表明矢量位 A 的源是 J ，而标量位 的源是 。时变场中 J 和 是 相 互联系的。
4.3
电磁能量守恒定律
◇ 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理； ◇ 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 一、坡印廷定理 由麦氏第一、第二方程
2 E y t 2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 0 x 2 y 2 z 2 t 2
◇ 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 ◇ 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。
4.2
动态矢量位和标量位
◇ 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。
tg
五.时谐场的位函数
1 H A 复数形式 ： E j A
洛仑兹条件： A j t
A j
2 A k 2 A J 达朗贝尔方程： 2 k 2
E E e jt Re E e jt Re j E e jt Re m m t m t t
2 j t 2 E 2 E e jt Re 2 Em e Re m 2 t t
D t E E t 1 E E 2 t 1 2 E t 2 E
E J E2
于是得
H E E H 1 1 E2 H 2 E2 t 2 2
S E H
），只能用场量的瞬时形式表示。
四.复电容率和复磁导率
1.
H E j ( j ) E j c E
c 复电容率 （欧姆损耗）
若媒质还存在极化损耗 c j
两者同时存在： 2.损耗角
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
H J D t
jt J e jt Re j D e jt Re Hm e Re m m
将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换
S EH
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁 能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量 流动的方向。 说明：(1） S 为时间 t 的函数，表示瞬时功率流密度；
（2）公式中，E、H应为场量的实数表达式；
（3） S 的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量； （4） S 的方向：电磁能量传播方向。
jt J e jt j D e jt Re Hm e Re m m
H e jt J j D e jt m m m 约定不写出时间因子 e j t ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式
2 E k 2 E 0 亥姆霍兹方程 同理 2 H k 2 H 0
式中
k 2 2
◇ ◇
用复数形式研究时谐场称为频域问题。 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。
说明:
1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义, 采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化； 2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义； 3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量 （称为二次式
第 6 章
讨论。
◇
时变电磁场
静电场和恒定电磁场都是时间和空间的函数；
变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁
场相互依存，构成统一的电磁场。
◇
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定
场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。
◇ 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。
由麦氏第三方程 B 0 ，可令
B A
由麦氏第二方程 E B A
t t
A E 0 t
于是
E
A t
式中A 称为动态矢量位，简称矢量位（T.m)。 称为动态标量位，简称标量位(V)。
2 A 2 A 2 J t
即
E
A t
◇ 已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。
◇ 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。 由麦氏第四方程
E
由麦氏第二方程
H J
A t 2 A t
电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
1.波动方程
2.动态矢量位和标量位
3.能量守恒定律
4.时谐电磁场
4.1
波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
E t H 两边取旋度 E E H t t H 0 E 0 H
E t
将
B A
E t
E
A t
H
1
A J
J
将矢量恒等式
A t t
A A 2 A
得
即
2 A A A J 2 t t
H J
得
D t
E
B t
H E E H H
B D EJ E t t
其中
B H t H H t 1 H H 2 t 1 2 H t 2
Ezme jt z Re E zm e jt Ez Re
式中
E xm E xme j x j y E ym E yme E zm E zme j z
称为时谐电场的复振幅
故
E ex Ex e y E y ez Ez
2 2 2 2 2 2 x y z
2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2
2 E y x 2
2 E y y 2
2 E y z 2
2
2 A A 2 J A t t
2
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ◇ 令 所以
A （洛仑兹条件)。 t
例 4.3.1见书
4、4
唯一性定理
在以闭合面S为边界的有界区域V内，如果给定 t 0 时刻的电场强度 E
和磁场强度 H 的值， 并且在 t 0 时，给定边界面S上电场强度的 那么在 t 0 时，区域V内的 切向分量或磁场强度的切向分量Et , H t ，
电磁场由麦克斯韦方程组唯一地确定。
E y x, y , z, t E ym x, y , z cos t y
Ez x, y, z, t Ezm x, y, z cos t z
用复数的实部表示
E xme jt x Re E xm e jt Ex Re E e jt y Re E ym e jt E y Re ym
已知 E (r,0) , H (r,0), S Et , H t 麦氏方程组 V E (r, t ), H (r , t )
4.5
一、时谐量的复数表示
时谐电磁场
电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示
Ex x, y, z, t Exm x, y, z cos t x
H J j D
同理其他三个麦氏方程
E j B
B 0
D
三、复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程 波动方程
2 E E 2 0 t
2
得
设为时谐场
2 j t 2 E 2 E e jt Re 2 Em e Re m 2 t t
利用矢量恒等式
E H
( E H ) H ( E ) E ( H )
1 1 E2 H 2 E2 t 2 2
在时变场中总电磁能量密度为 1 1 w we wm E 2 H 2 2 2 w (E H ) p 于是得 t
E e j t Re m
式中
Em ex Exm e y E ym ez Ezm
称为时谐电场的复矢量
时谐场对时间的导数
E E H 得 t
2
将矢量恒等式 E E 2E
同理
得
2 E E 2 0 t
2
2 H H 0 t 2
2
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 A A 2 J t
2
同理
2 2 t
2
◇ 以上二方程称为达朗贝尔方程。
◇ 此方程表明矢量位 A 的源是 J ，而标量位 的源是 。时变场中 J 和 是 相 互联系的。
4.3
电磁能量守恒定律
◇ 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理； ◇ 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 一、坡印廷定理 由麦氏第一、第二方程
2 E y t 2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 0 x 2 y 2 z 2 t 2
◇ 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 ◇ 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。
4.2
动态矢量位和标量位
◇ 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。
tg
五.时谐场的位函数
1 H A 复数形式 ： E j A
洛仑兹条件： A j t
A j
2 A k 2 A J 达朗贝尔方程： 2 k 2
E E e jt Re E e jt Re j E e jt Re m m t m t t
2 j t 2 E 2 E e jt Re 2 Em e Re m 2 t t
D t E E t 1 E E 2 t 1 2 E t 2 E
E J E2
于是得
H E E H 1 1 E2 H 2 E2 t 2 2
S E H
），只能用场量的瞬时形式表示。
四.复电容率和复磁导率
1.
H E j ( j ) E j c E
c 复电容率 （欧姆损耗）
若媒质还存在极化损耗 c j
两者同时存在： 2.损耗角
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
H J D t
jt J e jt Re j D e jt Re Hm e Re m m
将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换
S EH
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁 能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量 流动的方向。 说明：(1） S 为时间 t 的函数，表示瞬时功率流密度；
（2）公式中，E、H应为场量的实数表达式；
（3） S 的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量； （4） S 的方向：电磁能量传播方向。
jt J e jt j D e jt Re Hm e Re m m
H e jt J j D e jt m m m 约定不写出时间因子 e j t ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式
2 E k 2 E 0 亥姆霍兹方程 同理 2 H k 2 H 0
式中
k 2 2
◇ ◇
用复数形式研究时谐场称为频域问题。 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。
说明:
1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义, 采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化； 2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义； 3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量 （称为二次式
第 6 章
讨论。
◇
时变电磁场
静电场和恒定电磁场都是时间和空间的函数；
变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁
场相互依存，构成统一的电磁场。
◇
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定
场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。
◇ 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。
由麦氏第三方程 B 0 ，可令
B A
由麦氏第二方程 E B A
t t
A E 0 t
于是
E
A t
式中A 称为动态矢量位，简称矢量位（T.m)。 称为动态标量位，简称标量位(V)。
2 A 2 A 2 J t
即
E
A t
◇ 已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。
◇ 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。 由麦氏第四方程
E
由麦氏第二方程
H J
A t 2 A t
电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
1.波动方程
2.动态矢量位和标量位
3.能量守恒定律
4.时谐电磁场
4.1
波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
E t H 两边取旋度 E E H t t H 0 E 0 H
E t
将
B A
E t
E
A t
H
1
A J
J
将矢量恒等式
A t t
A A 2 A
得
即
2 A A A J 2 t t
H J
得
D t
E
B t
H E E H H
B D EJ E t t
其中
B H t H H t 1 H H 2 t 1 2 H t 2
Ezme jt z Re E zm e jt Ez Re
式中
E xm E xme j x j y E ym E yme E zm E zme j z
称为时谐电场的复振幅
故
E ex Ex e y E y ez Ez
2 2 2 2 2 2 x y z
2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2
2 E y x 2
2 E y y 2
2 E y z 2
2
2 A A 2 J A t t
2
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ◇ 令 所以
A （洛仑兹条件)。 t
例 4.3.1见书
4、4
唯一性定理
在以闭合面S为边界的有界区域V内，如果给定 t 0 时刻的电场强度 E
和磁场强度 H 的值， 并且在 t 0 时，给定边界面S上电场强度的 那么在 t 0 时，区域V内的 切向分量或磁场强度的切向分量Et , H t ，
电磁场由麦克斯韦方程组唯一地确定。
E y x, y , z, t E ym x, y , z cos t y
Ez x, y, z, t Ezm x, y, z cos t z
用复数的实部表示
E xme jt x Re E xm e jt Ex Re E e jt y Re E ym e jt E y Re ym
已知 E (r,0) , H (r,0), S Et , H t 麦氏方程组 V E (r, t ), H (r , t )
4.5
一、时谐量的复数表示
时谐电磁场
电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示
Ex x, y, z, t Exm x, y, z cos t x
H J j D
同理其他三个麦氏方程
E j B
B 0
D
三、复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程 波动方程
2 E E 2 0 t
2
得
设为时谐场
2 j t 2 E 2 E e jt Re 2 Em e Re m 2 t t
利用矢量恒等式
E H
( E H ) H ( E ) E ( H )
1 1 E2 H 2 E2 t 2 2
在时变场中总电磁能量密度为 1 1 w we wm E 2 H 2 2 2 w (E H ) p 于是得 t