高能环形加速器物理4

图 4.1 存在二极铁误差时的束流闭合轨道 从（4.5）式可以看出，若β(s)较为均匀的话，振荡的最大值发生在ψ =πν处， 即全环的一半相移处。实际上，betatron 振荡将在新的闭轨上进行，并且沿环会 有许多偏转误差。以简单的 FODO 结构为例，在理想情况下，弯转是由具有常 数磁场的二极铁在横向提供的， 而聚焦则是由四极铁提供的。现代高能同步加速 器是将这两个功能分开，即使用分离型磁铁结构。二极铁将因其制造、安装和准 直误差而引起偏转误差。 二极场的垂直分量在粒子沿理想轨道通过时，将引起水 平方向上位移的偏差。同样，当一个二极铁有一个绕纵向轴的转角误差，则水平 方向的二极场分量也会引起垂直方向的偏转误差。 下面我们来给出闭轨畸变的一般表达式。由无扰动的单粒子运动方程
K3 φ 3 β3
K4 φ4β4
图 4.2 4-bump 局部凸轨校正 束流凸轨法 利用 3-bump 或 4-bump 进行局部闭轨校正，在环上形成多个 bump，这些 bump 引起的局部闭轨线性迭加，达到全局闭轨校正的目的。 局部凸轨法的两个前提是!闭轨的某一局部变化不影响其他部分。"线性系 统中，所有局部闭轨扰动的线性迭加构成局部闭轨畸变。
M = e J 2πν ，
（4.3）
其中ν为一圈的相移。将（4.3）式代入（4.2）式，可以得到在 s = 0 处的闭合轨 道为
x0 θ x′ = 2 sin πν 0
β 0 cos πν sin πν − α cos πν 。 0
（4.4）
x0 0 x 0 M = x′ + ′ ， 0 θ x 0
（4.1）
因此，有
1
x0 −1 0 θ 。 x′ = (I − M ) 0
（4.2）
对于一圈的传输矩阵，有
用三块或四块校正铁来进行局部闭轨的调整，即所谓的 3-bump、4-bump 校 正法。同步辐射光源，在引出光束线的前端区必须进行局部闭轨的校正。如图 4.2 所示的三块二极校正铁 K1、K2、K3 处的包络函数（β1，β2，β3） 、相位（φ1， φ2， φ3）与轨道偏离的角度（θ1、θ2、θ3）之间的关系为
第四章
误差效应
到目前为止， 我们讨论的情况都是环形加速器中的磁元件或电元件精确地完 成它们的任务，即磁铁没有场误差，也没有安装误差，给磁铁供电的电源也没有 精度上的误差或纹波误差，等等。我们还知道，对于一个环形加速器来讲，通常 有一个设计的理想的参考轨道， 为闭合轨道，并且非零发射度的带电粒子束流关 于此闭合轨道作 betatron 振荡。 在实际的加速器中，由于机械、加工、材料、安装等原因，各种电、磁元件 总是存在各种各样的误差。 磁铁磁场的误差（电源的误差通常表现在励磁电流的 误差，并进而导致磁场的误差） ，如二极铁或四极铁的磁场偏离其设计值，会引 起束流闭合轨道的偏差，betatron 振荡频率（工作点）的变化，束流包络函数的 改变等等，甚至导致一些共振，从而影响束流的品质和加速器的性能。 误差效应的研究， 旨在了解各种不同的磁场或磁铁安装误差对束流造成的各 种影响， 对在加速器设计中提出硬件设计指标提供参考和依据。由于误差是不可 避免的， 因此各种误差对束流影响的研究就显得尤其重要。本章将主要研究环形 加速器中二极铁、四极铁的误差，安装准直误差及多极场误差对束流的影响，并 给出各种误差的校正方法。 所有的磁场误差效应最终都在磁聚焦结构的动力学孔 径的大小中体现出来。最后，通过人为地引入小量偏差，我们可以对一些束流参 数进行测量。
将变量θ 转化为 s，即有
u( s ) =
∫
θ + 2π
（4.17） νβ 3/ 2 (ϕ ) f (ϕ ) cos(πν + νθ − νϕ )dϕ 。
θ
β ( s) 2 sin πν
∫ !
νβ 3/ 2 (ϕ ) f (ϕ ) cos[ψ (ϕ ) − ψ ( s) − πν ]dϕ 。
（4.18）
β1θ1 sin φ41 + β 2 θ 2 sin φ42 + β 3θ 3 sin φ43 = 0 。 β θ φ β θ φ β θ φ sin + sin + sin = 0 . 13 2 2 23 4 4 43 1 1
θ2
（4.28）
θ3
θ1
θ4
K1 φ 1 β1
K2 φ2β2
（4.18）式即为闭轨畸变的一般表达式。可以看出，ν ≠整数。如果ν =整数或接 近整数，则二极场引起的闭轨畸变每圈都会增大许多，直至无穷大，从而导致粒 子丢失。 [Ex.] 推导（4.17）式。
§4.1.2 闭轨校正
闭轨校正包括闭轨畸变的测量及其校正。 故整个闭轨校正系统一般包括束流 位置探测器（BPM） ，水平和垂直方向独立可调的二极校正铁。校正的方法通常 有最小二乘法，谐波分量校正法，本征向量法和局部凸轨法等。 1） 最小二乘法 设沿储存环有 M 个 BPM，用来测量闭轨畸变（一般为 4ν个） ，其纵向坐标 分别为 s1， s2，…，sm，测得的畸变后的闭合轨道与原设计轨道的偏差为 u01，u02， …，u0m。同时，储存环上有 N 个校正元件（取水平或垂直任一方向） ，其强度为 θ1，θ2，…，θn。校正元件发生作用后，在探头处的轨道变化为∆um，所以在 sm 处校正后的轨道的位移是
（4.12）
η = A cosνθ + B sinνθ + νβ 3 / 2 (ϕ ) f (ϕ ) sin(νθ − νϕ )dϕ
dη = − Aν sinνθ + Bν cosνθ + ν 2 β 3/ 2 (ϕ ) f (ϕ ) cos(νθ − ηφ )dϕ dθ
这里的 A 和 B 可以通过周期性条件，即
# # T *Tθ + TU = 0 ，
（4.26）
# # 其中 T 为 n×n 阶矩阵， θ 为校正铁强度矢量， U 为 BPM 测得的闭轨变化矢量，
T*T 的全部本征向量值λj > 0。如果各种误差呈随机分布，第 j 个本征向量对闭轨 的影响正比于其对应的本征值λj。 当校正向量等于 T*T 的本征向量的某种线性组 合时，可以消除较大的本征向量的影响，从而达到校正闭轨畸变的目的。 4） 局部凸轨法
（4.22）
∆s 是校正元件的长度，算出第 n 个校正元件的∆Bn 值。
通常实际采用的校正铁比环上存在的校正铁少， 校正的一个原则是在闭轨畸 变校小的情况下，校正二极铁的数目越少越好。 用依次迭代的最小二乘法，在每一次迭代中找出残余闭轨最小的校正铁强 度，寻求最有效的校正铁组合。 一 种 简 化 了 的 计 算 及 迭 代 方 法 ， 并 写 成 计 算 机 程 序 。 叫 做 MICADO （MInimisation des CArres des Distoution d′Orbite） ，实际上是算法改进了的最小 二乘法。
2
d 2u + K ( s )u = 0 ， ds 2
其中 u 代表 x 和 y，可以得到存在二极场扰动时，方程变为
（4.6）
d 2u + K ( s )u = f ( s ) 。 ds 2
u = β ( s) exp ±i 作 Floquet 变换，即令
u = β η (θ ) ，
2） 谐波分量校正法
闭轨畸变的 Fourier 分量中在工作点附近的谐波分量构成了闭轨畸变的主要 部分。 若各种误差均呈随机分布， 闭轨畸变的 Fourier 分量幅值正比于ν 2/(ν 2 −k 2), 故清除ν附近的谐波分量可以达到闭轨校正的目的。将（4.11）式写成
d 2η + ν 2η = ν 2 f (θ ) ， 2 dθ
。
（4.15）
νβ 3/ 2 (ϕ ) f (ϕ )[cos(2πν − νϕ ) − cosνϕ ]dϕ
0
β 3 / 2 (ϕ ) = β 3 / 2 (ϕ + 2π ),
f (ϕ ) = f (ϕ + 2π ) ，
（4.16）
3
就可以得到
β (θ ) u(θ ) = β (θ )η (θ ) = 2 sin πν
um=u0m+∆um ,
(m=1,2,…，M)。
（4.19）
若∆um = −u0m，则 um = 0，即畸变后的轨道已校正到原设计轨道上了。但实际上 um ≠ 0，故只能要求
2 F = ∑ um = ∑ ( u 0 m + ∆u m ) 2
M
M
（4.20）
m =1
m =1
具有极小值，其中 u0m 由闭轨畸变公式计算所得。 由于∆um 是由 N 个强度为θn 的校正元件所产生，即
d 2η 2 dθ 2 + ν η 。
（4.10）
因此，我们可以设非齐次方程为
d 2η + ν 2η = ν 2 β 3 / 2 f (θ ) ， 2 dθ
并设解为
（4.11）
η = C1 cosνθ + C2 sin νθ ，
其中 C1 和 C2 均为ν的函数。利用常数变异法，我们可以解得
5
θ1 β 1 θ2 β2 θ3 β 3 。 = = sin(φ 2 − φ 3 ) sin(φ 3 − φ1 ) sin(φ1 − φ 2 )
（4.27）
θ2 θ1
θ3
K1 φ1β1
K2 φ2β2
K3 φ3β3
图 4.2 3-bump 局部凸轨校正 图 4.3 则给出了 4-bump，即四块校正二极铁来进行局部凸轨校正的示意图。 四块校正子的包络函数，相位及轨道偏离角度之间的关系为
且将 f(θ)作 Fourier 展开，可以得到
（4.23）
f (θ ) = ∑ f k exp( ikθ ) 。