2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二上学期期末数学(文)试题(含答案解析)

2019-2020学年安徽省六安市金安区六安市第一中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．把45化为二进制数为（ ） A ．()2101101 B ．()2101111C ．()2111101D ．()2110101【答案】A【解析】45222...1÷=22211...0÷= 112 5...1÷= 52 2...1÷= 22 1...0÷= 120...1÷=所以()()10245101101=,故选A. 2．抛物线218y x =-的准线方程是（ ） A ．2y = B ．2y =-C ．132y =-D ．132y =【答案】A【解析】根据抛物线的方程判断抛物线的焦点坐标，结合抛物线的准线方程进行求解即可． 【详解】由题意可得：28x y =-抛物线的焦点在y 轴上，其中2p ＝8，则p ＝4， 则抛物线的标准方程为y 422p ===2， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线准线的求解，根据抛物线的方程是解决本题的关键．比较基础． 3．下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选C.4．已知双曲线()222102x y a a-=>的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的焦点坐标为（ ） A ．()2,0 B ．(6,0) C ．(0,2)D ．(0,6【答案】B【解析】由渐近线方程求得a 值，然后求半焦距． 【详解】22=，解得2a =，又2226+=，所以焦点为(6,0)． 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的焦点坐标，考查渐近线的概念，属于基础题． 5．函数()2sin 1f x x x =-+在(0,)π上的单调递增区间是（ ） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】求出导数，由导数值为正确定增区间． 【详解】由题意()12cos f x x '=-，由()12cos 0f x x '=->，又(0,)x π∈，所以3x ππ<<，故选：D. 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，属于基础题．6．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个算法，若输入的,a b 分别为4,2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件． 【详解】程序运行时，变量值为：4,2,1a b n ===，开始循环：6,4a b ==，不满足条件；2n =，9,8a b ==，不满足条件；3n =，13.5,16a b ==，满足条件，结束循环，输出3n =． 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．模拟程序运行可得结论．7．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,,1000⋅⋅⋅，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生C ． 616号学生D ．815号学生【答案】D【解析】按系统抽样的概念，编号就成等差数列，即间隔相等． 【详解】1000人抽100人，每10人抽一人，因此45号被抽到，其他的号码个位数都应是5，只有D 符合． 故选：D. 【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念是解题基础．8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。

9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,8 B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞UD ．[)2,8【答案】A【解析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解 【详解】 ∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10．设():ln 210,p x -<()():10q x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,0,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U 【答案】A【解析】求出,p q 为真时x 的取值范围，根据集合的包含关系与充分必要条件之间的联系求解． 【详解】():ln 210p x -<，0211x <-<，112x <<，()():10q x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，1a x a ≤≤+，q 是p 的必要而不充分条件，则1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤．故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件，考查充分必要条件与集合包含之间的联系，属于基础题． 11．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )A ．22.5 20B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25【答案】C【解析】由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.故选C.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．212B 21C 31- D 31【答案】D【解析】可解得点A 、B 坐标，由AF BF ⊥，得0AF BF =u u u r u u u rg ，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由222213x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得223x a b =+，分别代入2233ab y a b =±+，22(3A a b∴+2233ab a b +，22(3B a b+，2233ab a b +，∴22(3AF c a b =+u u u r 223)3ab a b+，22(3BF c a b =-+u u u r223)3ab a b+，AF BF ⊥Q∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++u u u r u u u r g ，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-， 两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得2423e =- 31e ∴=，故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．二、填空题13．已知{},1,2,3,4m n ∈，且m n ≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是__________． 【答案】12【解析】求出方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的各种情况．再求概率．【详解】方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则0m n >>，有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)共6种，在题设条件下，方程有2412A =种，∴所求概率为61122P ==． 故答案为：12． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题时可列举出所有事件，也可用排列组合知识计算出事件的个数，然后计算概率．14．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如表:x （单位：万元）0 12 3 4y （单位：万元）10 15203035若求得其线性回归方程为$ 6.5y x a =+，则预计当广告费用为7万元时的销售额为__________． 【答案】54.5【解析】利用回归直线过点(,)x y 求出a ，再计算估计值． 【详解】 由题意0123425x ++++==，1015203035225y ++++==，∴22 6.52a =⨯+，9a =，7x =时，$ 6.57954.5y =⨯+=．故答案为：54.5.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：回归直线一定过中心点(,)x y ． 15．一动圆与圆()2234x y ++=外切，同时与圆()223100x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．【答案】2213627x y +=【解析】根据圆相切的条件 ，利用椭圆的定义求轨迹方程． 【详解】圆()2234x y ++=的圆心为1(3,0)F -，半径为2r =，圆()223100x y -+=的圆心为2(3,0)F ，半径为10R =，126F F =，动圆圆心为P ，半径为0r ，圆1F 在圆2F 内部， 故由题意1020210PF r PF r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，即12126PF PF +=>，∴P 点轨迹是椭圆， 21226a c =⎧⎨=⎩，63a c =⎧⎨=⎩，22227b ac =-=， 所以P 点轨迹方程2213627x y +=．故答案为：2213627x y +=．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查用椭圆定义求轨迹方程．解题时还必须掌握两圆相切关系的充要条件．16．若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】a e ≤【解析】作出函数()f x 的图像，观察当a 变化导致图像发生怎样的变化时，函数()f x 有最小值. 【详解】如图，1x >部分，是()xf x e a =-的图像，1x ≤部分，是32()3f x x x =-+的图像，，当图中点A 不在x 下方时，函数()f x 有最小值，即10e a -≥，得a e ≤.下面说明32()3f x x x =-+，1x ≤的图像画法：2'()36f x x x =-+，令'()0f x =，得0x =或2x =，当(),0x ∈-∞，()f x 单调递减，当(]0,1x ∈，()f x 单调递增， 又(0)0f =，根据单调性和极值，可画出()f x 在(],1-∞上的草图. 故答案为a e ≤. 【点睛】本题考查分段函数最小值的存在性问题，利用数形结合，观察图像可快速得出结果，是中档题.三、解答题17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为12，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上. ()1求椭圆C 的标准方程；()2若直线:10l x y --=椭圆C 相交于,A B 两点，求(OAB O V 为坐标原点)的面积S .【答案】()122143x y += ()227S =【解析】（1）由离心率得12c a =，点P 在椭圆上得221914a b +=，结合222a b c =+可求得,a b 得椭圆方程；（2）设(,),(,)A A B B A x y B x y ，直线l 过焦点2(1,0)F ，因此112OAB A B S y y ∆=⨯⨯-，由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可求得A B y y -． 【详解】()1椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为12，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，可得22222191421321a b a c b a c a b c⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=.()2设(,),(,)A A B B A x y B x y ，直线l 过焦点2(1,0)F ，由2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，联立得27690y y +-=，∴69,77A B A B y y y y +=-=-， 2269122()4()4()777A B A B A B y y y y y y -=+-=--⨯-=， ∴162127OAB A B S y y ∆=-⨯⨯-=． 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的面积问题．首先确定直线过x 轴上的点(1,0)，从而得112OAB A B S y y ∆=⨯⨯-，由直线方程与椭圆方程联立，消元后利用韦达定理可求得A B y y -．这就是“设而不求”思想．18．省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示： A 城B 城C 城优（个） 28 xy良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（I ）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（II ）已知23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.【答案】（1）9；（2）38.【解析】【试题分析】(1)由0.2180x=计算出x ,再由总数计算出y z +,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率. 【试题解析】 （1）由题意得0.2180x=，即36x =. ∴1802832363054y z +=----=， ∴在C 城中应抽取的数据个数为30549180⨯=. （2）由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，∴满足条件的数对(),y z 可能的结果有()23,31，()24,30，()25,29，()26,28，()27,27，()28,26，()29,25，()30,24共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有()28,26，()29,25，()30,24共3种.∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为38. 19．设函数()210256ln f x ax x a x =-++，其中a R ∈，曲线() y f x =在点()()1,1f 处切线方程与y 轴交于点()0,6.()1求a 的值；()2讨论()()5g x f x x +=在区间[]2,m 上的单调区间和最小值.【答案】()112a =()2当23m <≤时，()g x 在[]2,m 上单调递减，()()2156ln 2min g x m m =-+； 当3m >时，()g x 在()2,3上单减，在()3,m 上单增，()()min 326ln3g x g ==+. 【解析】（1）求出导函数，得导数值(1)f '，从而可写出切线方程，再由切线过点()0,6可求得a ；（2）由导函数()f x '确定函数的单调区间，注意分类讨论，得出单调区间后要得极小值，结合端点处函数值可得最小值． 【详解】（1）由题意，6()210f x ax x'=-+，(1)24f a '=-，(1)2610f a =-， ∴切线方程为(2610)(24)(1)y a a x --=--，又切线过点()0,6， ∴6261024a a -+=-+，解得12a =； （2）由（1）2125()56ln 22g x x x x =-++ ()()()2365x x g x x x x--'=-+=， 当23m <≤时，()0g x '<，()g x 在[]2,m 上单调递减，()()()21 56ln 2min g x g m m m ==-+； 当3m >时，23x <<时，()0g x '<，()g x 在()2,3上单减，3x m <<时，()0g x '>，()g x 在()3,m 上单增，()()min 326ln3g x g ==+.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性和最值．函数()f x 在某个区间上只有一个极值，这个极值就是最值． 20．已知2()2,()x f x x x g x xe =+= （1）求()()f x g x -的极值.（2）当(2,0)x ∈-时()1()f x ag x +≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）极小值为11e-，极大值为2ln 2 （2）0a ≥【解析】（1）先令2()()()2xh x f x g x x x xe =-=+-，对()h x 求导，令()0h x '=，结合导数正负判断原函数单调性，进而求解极值；（2）可采用分离参数法，得221xx x a xe++≥在(2,0)x ∈-时恒成立，令()221xx x t x xe++=，利用导数研究()t x 的增减性，求出()t x 的最大值即可求解 【详解】解：（1）令2()()()2xh x f x g x x x xe =-=+-则()()(1)2xh x x e'=+-令()0h x '=，解得1x =-或ln2x =.当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表：x (,1)-∞--1(1,ln 2)-ln 2(ln 2,)+∞()h x '-+-()h x↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘所以()()111h x h e=-=-极小值，()()2ln2ln 2h x h ==极大值. （2）由题意知，当(2,0)x ∈-时，221x x x axe ++≥恒成立，即221xx x a xe++≥，令()221x x x t x xe ++= 则()221(1)()xx x t x x e-++'=，所以当(2,1)x ∈--时，()0t x '>，()t x 单调递增； 当(1,0)x ∈-时，)0(t x '＜，()t x 单调递减， 故当(2,0)x ∈-时，()max )10(t x t =-=， 所以0a ≥. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点，利用分离常数法和导数研究函数在定区间恒成立问题，属于中档题21．已知抛物线2:2C y px =上一点1,3o y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离等于43.()1求抛物线C 的方程:()2设不垂直与x 轴的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线FA 与FB 的倾斜角互补，求证:直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】()124y x = ()2定点是()1,0-，证明见解析【解析】（1）由焦半径公式求得p ，得抛物线方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线方程是(0)x ty m t =+≠，代入抛物线方程，由韦达定理可得12124,4y y t y y m +=⋅=-，代入0FA FB k k +=，求得m ，从而直线方程只有一个参数t ，由方程可得定点坐标． 【详解】()1 因为142323p p +=⇒=，所以抛物线方程是24y x =.()2设()()1122,,,A x y B x y ，设直线方程是x ty m =+，由24y xx ty m⎧=⎨=+⎩2440y ty m ⇒--=，所以12124,4y y t y y m +=⋅=-， 由1212011y y x x +=--得()()1221110y x y x -+-=；整理得()()1212210ty y m y y +-+=，2(4)(1)(4)0t m m t -+-=，即2(22)0t m --=，解得1m =-，所以直线l 方程是1x ty =-，过定点，定点是()1,0-. 【点睛】本题考查求抛物线方程，考查抛物线中的定点问题．常用方法：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．(3)求证直线过定点(x 0，y 0)，常利用直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)来证明．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 15(5x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN . 【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)32【解析】（1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 15(5x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=， 转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=.(2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 2240t t -=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)， 故: 122t t +=124t t ⋅=-， 所以()2121212||432MN t t t t t t =-=+-=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 23．已知函数()21f x x a x =++-.()1当1a =时求不等式()4f x >的解集;()2若不等式()42f x x <-在[]3,1x ∈--上有解，求a 的取值范围.【答案】()1513x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或 ()2()1,5a ∈- 【解析】（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后解不等式，最后要求并集；（2）[]3,1x ∈--时，不等式可化简为2x a +<，22x a x --<<-，求得前面的最小值和后面的最大值即可得． 【详解】()1当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为513x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或. ()2当[]3,1x ∈--时，由()42f x x <-得2242x a x x ++-<-， 即2x a +<，即22x a x --<<-，在[]3,1x ∈--上有解，所以()()1225min max x a x -=--<<-=，即()1,5a ∈-.【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，不等式有解问题．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．。