天津市和平区期末考试2014-2015学年度第一学期期末高二数学理Word版含答案
天津市和平区高二数学上学期期末考试 理
和平区2013-2014学年度第一学期高二年级理科数学学科期末质量调查试卷温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间100分钟。
祝同学们考试顺利！第I 卷选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分．请将每小题给出的四个选顶中你认为正确的选项的代号填在下下列表格内．1．命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命 题是(A)若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 (B)若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 (C)若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 (D)若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为 (A)12(B)22333．已知(2,0,5),(1,1,1),(1,2,2)a b c ==--=-，则2a+b-3c 等于(A)(2,5,-3) (B)(2,5,3) (C)(0,5,3) (D)(2，-5, 3)4．已知a ，b 是两个非零向量，命题:p a b a b +=+，命题:q t R ∃∈使得a=tb ，则p 是q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5．已知双曲线的中心为原点，F(3，0)520x y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为(A)2214536x y -= (B)2213645x y -=(C)22154x y -= (D) 22145x y -= 6．己知(2,2,1),(4,5,3)AB AC ==u u u r u u u r，则平面ABC 的—个单位法向量可表示为(A)(1,2,2)-- (B)1(,1,1)2- (C)122(,,)333- (D)122(,,)333- 7．方程2222(4)(4)0x y y x --+-+=对应的曲线是8．抛物线2y x =上的点到直线4x - 3y -8=0的距离的最小值是 (A)43 (B) 75 (C) 85(D)3 9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的 正方形，高为1，则异面直线1AD 和1DC 所成角的余弦值 等于 (A)25 (B)15． (C)5 (D)5-． 10．已知p ：方程22(2)3100x a x a +--+=没有实数根，q ：方程2210x ax ++=有两个不相等的正数根，则使p q ∨为真，p q ∧为假的实数a 的取值范围是 (A)(2,1)-- (B)(-∞，3)(C)(][),21,3-∞--U (D)(][),31,2-∞--U第Ⅱ卷非选择题（共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案直接填在题中橫线上。
天津市和平区高二数学上学期期末试卷理(含解析)
天津市和平区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题4分，共40分．1．（4分）在△ABC中，“A＞60°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）若命题p：2n﹣1（n∈Z）是奇数；q：2n+1（n∈Z）是偶数，则下列说法中正确的是（）A．￢p为真B．￢q为假C．p∨q为真D．p∧q为真3．（4分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．（4分）已知=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，﹣1，2），则（+）等于（）A．2 B．6 C．9 D．125．（4分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．6．（4分）已知双曲线的﹣=1的右焦点坐标为（，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（4分）下列各点中，不在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣3，﹣2）D．（3，10）8．（4分）已知=（1，2，2，），=（2，﹣2，1），则平面ABC的一个单位法向量可表示为（）A．（2，1，﹣2）B．（，，）C．（，﹣，）D．（，，﹣）9．（4分）若命题“∃x0∈R，2x02﹣3ax0+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．（4分）如图，在四面体S﹣ABC中，AB，BC，BS两两垂直，且AB=BC=2，BS=4，点D为AC的中点．若异面直线AS与BD所成角为θ，则cosθ的值为（）A．B．C．D．﹣二、填空题：每小题4分，共20分．11．（4分）双曲线的离心率等于．12．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题￢p 是．13．（4分）已知A（2，﹣1，5），B（﹣1，2，﹣1），C（3，m，1），若AC⊥BC，则m的值为．14．（4分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．15．（4分）已知P为平面ABC内一点，O为空间任意一点，若=++λ，则的值为．三、解答题：共40分，要求写出解答过程和演算步骤．16．（6分）分别写出命题“若ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）有实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．17．（8分）已知抛物线的顶点在原点，准线平行于y轴，且经过点（3，﹣2）．（1）求抛物线的方程；（2）求抛物线被直线2x﹣y﹣3=0所截得的弦长．18．（8分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=2，点E、F分别是AD、BB1的中点．（1）求线段EF的长；（2）求异面直线EF与CA1所成角的余弦值．19．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，3），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过A点的直线l被椭圆C截得的弦长|AB|=，求直线l的方程．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F，G分别为PB，PA，BC的中点．（1）求证：PD⊥EF；（2）求证：PD∥平面EFG；（3）求二面角A﹣EG﹣F的度数．天津市和平区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．（4分）在△ABC中，“A＞60°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义和性质进行判断即可．解答：解：在△ABC中，若sinA＞，则60°＜A＜120°，即A＞60°成立，当A=150°时，满足A＞60°但sinA=，则sinA＞不成立，故“A＞60°”是“sinA＞”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质和取值范围是解决本题的关键．2．（4分）若命题p：2n﹣1（n∈Z）是奇数；q：2n+1（n∈Z）是偶数，则下列说法中正确的是（）A．￢p为真B．￢q为假C．p∨q为真D．p∧q为真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判定命题p，q的真假，再利用复合命题的判定方法即可得出．解答：解：∵命题p：2n﹣1（n∈Z）是奇数，是真命题；命题q：2n+1（n∈Z）是偶数，是假命题．∴p∨q为真．故选：C．点评：本题考查了复合命题的判定方法，属于基础题．3．（4分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的定义即得结论．解答：解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2，故选：B．点评：本题考查椭圆的定义，注意解题方法的积累，属于基础题．4．（4分）已知=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，﹣1，2），则（+）等于（）A．2 B．6 C．9 D．12考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：利用空间向量数量积坐标运算公式求解．解答：解：∵=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，﹣1，2），∴（+）=（2，﹣3，1）•（2，﹣1，5）=4+3+5=12．故选：D．点评：本题考查空间向量数量积的求法，是基础题，解题时要注意坐标运算公式的合理运用．5．（4分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线y=﹣4x2的方程标准化，即可求得其焦点坐标．解答：解：∵抛物线的方程为y=﹣4x2，∴其标准方程为x2=﹣y，∴其焦点坐标为F（0，﹣）．故选D．点评：本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．6．（4分）已知双曲线的﹣=1的右焦点坐标为（，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，由题意可得a=3，b=2，再由渐近线方程即可得到．解答：解：双曲线﹣=1的右焦点坐标为（，0），则c=，9+b2=c2=13，则b=2，即有渐近线方程为y=x．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．7．（4分）下列各点中，不在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣3，﹣2）D．（3，10）考点：曲线与方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将选项代入方程x2﹣xy+2y+1=0，如果等式成立，那个点就是曲线上的，等式不成立就不在，故可判断．解答：解：将选项代入方程x2﹣xy+2y+1=0，可得A，C，D满足，B不满足，即（1，﹣2）、（﹣3，﹣2）、（3，10）在曲线上，（﹣2，1）不在曲线上，故选B．点评：本题主要考查曲线与方程的关系，考查纯粹性，属于基础题．8．（4分）已知=（1，2，2，），=（2，﹣2，1），则平面ABC的一个单位法向量可表示为（）A．（2，1，﹣2）B．（，，）C．（，﹣，）D．（，，﹣）考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），利用，可得，再利用即可得出．解答：解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=，z=﹣1．∴．∴平面ABC的一个单位法向量可表示===．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的性质、单位向量，属于基础题．9．（4分）若命题“∃x0∈R，2x02﹣3ax0+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题为假命题，等价于∀x∈R，x2+ax+1＞0为真命题，利用判别式，即可确定实数a的取值范围．解答： 解：命题“∃x 0∈R ，2x 02﹣3ax 0+9＜0”为假命题，等价于∀x ∈R ，2x 2﹣3ax+9≥0为真命题，∴△=8a 2﹣8×9≤0∴a∈[﹣2，2]，∴实数a 的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A ．点评： 本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理． 10．（4分）如图，在四面体S ﹣ABC 中，AB ，BC ，BS 两两垂直，且AB=BC=2，BS=4，点D 为AC 的中点．若异面直线AS 与BD 所成角为θ，则cos θ的值为（）A ．B ．C ．D ． ﹣考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角．分析： 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cos θ．解答： 解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BS 为z 轴， 建立空间直角坐标系， A （0，2，0），S （0，0，4）， B （0，0，0），C （2，0，0），D （1，1，0），=（0，﹣2，4），=（1，1，0）， cos θ=|cos ＜＞|===．故选：C ．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．二、填空题：每小题4分，共20分．11．（4分）双曲线的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率．解答：解：由双曲线可知a=3，b=4所以c==5∴离心率e==故答案为．点评：本题考查双曲线的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质．12．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题￢p 是∃x∈R，x2﹣x+1≤0．考点：逻辑联结词“非”；全称命题；命题的否定．专题：综合题．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式：将量词“∀”与“∃”互换，结论同时否定，写出命题的否定即可解答：解：∵命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，∴命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．13．（4分）已知A（2，﹣1，5），B（﹣1，2，﹣1），C（3，m，1），若AC⊥BC，则m的值为﹣2或3．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：空间向量及应用．分析：由已知得=（1，m+1，﹣4）•（4，m﹣2，2）=4+（m+1）（m﹣2）﹣8=0，由此能求出m．解答：解：∵A（2，﹣1，5），B（﹣1，2，﹣1），C（3，m，1），AC⊥BC，∴=（1，m+1，﹣4）•（4，m﹣2，2）=4+（m+1）（m﹣2）﹣8=0，解得m=﹣2或m=3．故答案为：﹣2或3．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．14．（4分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．考点：点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．解答：解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为2点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．15．（4分）已知P为平面ABC内一点，O为空间任意一点，若=++λ，则的值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：P为平面ABC内一点，O为空间任意一点，=++λ，可得=1，解出即可．解答：解：∵P为平面ABC内一点，O为空间任意一点，=++λ，∴=1，解得．故答案为：．点评：本题考查了共面向量定理，属于基础题．三、解答题：共40分，要求写出解答过程和演算步骤．16．（6分）分别写出命题“若ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）有实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．考点：四种命题的真假关系．专题：简易逻辑．分析：分别利用定义逆命题；否命题；逆否命题即可得出．进而判断出真假．解答：解：对于方程：ax2+bx+c=0（a，b，c∈R），当a=0，b≠0时，方程化为x=﹣，此时方程有实数根；当a=0，b=0，c=0时，方程化为0•x=0，方程有实数根；当a=0，b=0，c≠0时，方程无实数根；当a≠0时，方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）有实根⇔△=b2﹣4ac≥0．逆命题：若方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）有实根，则ac＜0，是假命题；否命题：若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）无实根，是假命题．逆否命题：若方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）无实根，则ac≥0，是假命题．点评：本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了分类讨论思想方法，属于中档题．17．（8分）已知抛物线的顶点在原点，准线平行于y轴，且经过点（3，﹣2）．（1）求抛物线的方程；（2）求抛物线被直线2x﹣y﹣3=0所截得的弦长．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设抛物线方程为：y2=2px（p＞0）．把点（3，﹣2）代入抛物线方程，解出即可．（2）设直线2x﹣y﹣3=0与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为4x2﹣20x+9=0，可得根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=即可得出．解答：解：（1）由题意可设抛物线方程为：y2=2px（p＞0）．把点（3，﹣2）代入可得：，解得p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x．（2）设直线2x﹣y﹣3=0与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为4x2﹣20x+9=0，∴x1+x2=5，．∴|AB|===．点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（8分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=2，点E、F分别是AD、BB1的中点．（1）求线段EF的长；（2）求异面直线EF与CA1所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）分别以AD、AB、AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出，由此能求出线段EF的长．（2）求出，，设异面直线EF与CA1所成角为θ，cosθ=，由此能求出异面直线EF与CA1所成角的余弦值．解答：解：（1）如图，分别以AD、AB、AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，2），E（1，0，0），F（0，4，1），∴=（﹣1，4，1），∴线段EF的长||==3．（2）=（﹣1，4，1），C（2，4，0），A1（0，0，2），=（﹣2，﹣4，2），设异面直线EF与CA1所成角为θ，cosθ===．∴异面直线EF与CA1所成角的余弦值为．点评：本题考查线段长的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．19．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，3），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过A点的直线l被椭圆C截得的弦长|AB|=，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过计算即得结论；（2）通过设直线l的方程，并与椭圆方程联立，利用|AB|=计算即得结论．解答：解：（1）由题意得：，解得，∴椭圆C的方程为：+=1；（2）由题易知直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+3，联立，消去y整理得：（3+4k2）x2+24kx=0，解得：x1=0，x2=﹣，∴方程组的解为：，，依题意可得|AB|===，∴2（3+4k2）2=49k2（1+k2），解得k=±1，∴直线l的方程为：y=±x+3．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F，G分别为PB，PA，BC的中点．（1）求证：PD⊥EF；（2）求证：PD∥平面EFG；（3）求二面角A﹣EG﹣F的度数．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立坐标系，利用向量法即可证明PD⊥EF；（2）建立坐标系，利用向量法PD∥平面EFG；（3）建立坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣EG﹣F的度数．解答：（1）证明：如图：分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，0，1），则=（2，0，﹣2），=（0，﹣1，0），∴•=（2，0，﹣2）•（0，﹣1，0）=0，即PD⊥EF；（2）证明：∵G（1，2，0），E（0，1，1），∴=（1，1，﹣1），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令x=1，则z=1，y=0，即=（1，0，1），∵=（2，0，﹣2），∴•=2﹣2=0．即⊥，∵PD⊄平面EFG，∴PD∥平面EFG；（3）解：设平面EAG的法向量=（x，y，z），=（0，1，1），），=（1，2，0），则，即，令x=2，则y=﹣1，z=1，即=（2，﹣1，1），则cos＜，＞===，易知二面角A﹣EG﹣F为锐二面角，则二面角A﹣EG﹣F的度数为30°．点评：本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．。
和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查
和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B =P A +P B 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式1V 3Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、i=（ ）A．12- B．12+ C．1 D．1+2、设变量x ，y 满足约束条件26026020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 3、已知命题:p 0x ∀<，都有20x >，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃<，使得200x ≤B ．00x ∃≥，使得200x ≤C ．0x ∀<，都有20x ≤D ．0x ∀≥，都有20x ≤ 4、设20.3a =，0.32b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b << 5、若{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．等比数列{}n b 满足19b =，1212b b a a +=+，则3b 等于（ ）A ．9 B ．81 C ．63- D ．81- 6、若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD ．27、函数()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223x k ππ≠+（k ∈Z ）的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8、若0x >，0y >，且26x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）A ．12 B ．14 C ．18 D ．20 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、工厂对一批产品进行抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产 品重量的范围是[]46,56，样本数据分组为[)46,48，[)48,50，[)50,52，[)52,54，[]54,56．若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产 品的个数是 ．10、已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()26f =⎡⎤⎣⎦ ．11、一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm ．12、在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若cos cos C c b ⋅B =⋅，且1cos 3A =，则sin B 的值为 ．13、在平行四边形CD AB 中，()C 1,2A =，()D 3,2B =-，则D C A ⋅A = ．14、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分13分）袋中有大小、形状完全相同，并且标号分别为1和2的小球各一个，现有放回地随机摸取4次，每次摸取一个球，并依次用所得标号表示千位、百位、十位和个位数字，组成一个四位数． ()I 请列出所有可能组成的四位数；()II 求组成的四位数的各数字之和小于7的概率； ()III 求组成的四位数是3的倍数的概率．16、（本小题满分13分）已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的最小正周期为π．()I 求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；()II 求()f x 在闭区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17、（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C C AB -A B 中，C 3A =，5AB =，3cos C 5∠BA =．()I 求证：1C C B ⊥A ；()II 若D 是AB 的中点，求证：1C //A 平面1CD B ．18、（本小题满分13分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若37S =，且1a ，21a +，31a +构成等差数列．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 令21ln n n b a +=（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线12y x =上．()I 求椭圆的离心率；()II 若椭圆的右焦点关于直线12y x =的对称点的横坐标为065x =，求椭圆的方程．20、（本小题满分14分）设函数()22ln 2f x x x ax a =+-+，R a ∈．()I 若0a =，求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； ()II 若函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求a 的取值范围； ()III 当a >()f x 的极值点．和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准二、填空题（每小题5分，共30分）9. 9010.911．641213．314．12三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本题13分）16．（本题13分）17．（本题13分）18．（本题13分）19．（本题14分）20．（本题14分）。
天津市五区县2014～2015学年度第一学期期末考试 二年级数学试卷参考答案及评分标准
2014～2015学年度第一学期期末练习小学二年级数学答案及评分标准一、我会填。
（共3１分。
）1. 厘米、米、米、米、厘米（每空1分，共5分）2. 1:20、1:30（每空1分，共2分）3. 八、七、四九或六六、八、三八或四六、五（每小题1分，共6分）4. 18 （2分）5. 4、82 、20 、62 （每空1分，共4分）６．＜、＜、＝、＝、＞、＜（每空1分，共6分）７. 4个7列式计算：4×7=28或7×4=28或7+7+7+7=28（填空1分，列式计算2分，共3分）3个4列式计算：3×4=12或4×3=12或4+4+4=12（填空1分，列式计算2分，共3分）二、我会判断。
（每题２分，共８分）1.√2.×3.×4.√三、我会选。
（每题２分，共８分）1.②2.①3.③4.①四、画一画，连一连。
（1、2题每题2分，3题3分，共7分）略五、细心计算。
（22分）1.直接写得数。
（每空1分，共8分）45 13 97 32 36 21 20 402.计算下面各题。
（前两小题每题3分，后两小题每题4分，共14分）①63 ②46 （过程2分，结果1分）③23 ④77（过程3分，结果1分）六、解决问题。
（24分）1. （1））5×8=40 或8×5=40（元）（列式2分，结果1分，口答1分，共4分）（2）68－25=43（元）（列式2分，过程1分，结果1分，口答1分，共5分）（3）略（问题3分，列式2分，结果1分，共6分）2. 6×8=48或6×8=48（元）（列式2分，结果1分，口答1分，共4分）3. 38+27+23=88（枚）（列式3分，结果1分，口答1分。
共5分）。
天津市红桥区2014-2015学年高二上学期期末考试 数学理 扫描版含答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．（9）4 （10）1 （11）2 （12）52 （13）(0 三、解答题：本大题共4个小题，共48分．（14）（本题满分10分）已知点(22)A -，，(46)B ，． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）求过点(20)C -，且与AB 垂直的直线方程． 解：（Ⅰ）由已知，直线AB 的斜率26424k --==-， 所以直线AB 的方程为24(2)y x +=-，即4100x y --=． ……………………5分（Ⅱ）设所求直线l 的斜率为k '，则1k k '⋅=-，解得14k '=-． 所以直线l 的方程为1(2)4y x =-+，即420x y ++=． ……………………… 10分（15）（本题满分12分）已知关于x ，y 的方程22240C x y x y m +--+=：，直线240l x y +-=：． （Ⅰ）当方程C 表示圆时，求m 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 被圆C 时，求m 的值． 解：（Ⅰ）方程C 化为22(1)(2)5x y m -+-=-，由50m ->，解得5m <． …………………………………………………… 5分（Ⅱ）圆心C 的坐标为(12)，，点C 到直线l 的距离d ==所以2221r d =+=，所以51m -=，解得4m =． ………………………… 12分 （16）（本题满分12分）如图，已知直线2l y kx =-：与抛物线22(0)C x py p =->：交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为(26)--，． （Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长； （Ⅲ）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求ABP △面积最大值．解：（Ⅰ）由已知，点(26)--，在直线l 上，所以622k -=--，解得2k =， 所以直线l 的方程为22y x =-． ……………………… 2分 设11()A x y ，，22()B x y ，，由2222x py yx ⎧=-⎨=-⎩，， 消去y ，得2440x px p +-=，所以124x x p +=-，124x x p ⋅=-．所以44p -=-，解得1p =．所以抛物线的方程为22x y =-． ……………………………………………… 5分（Ⅱ）12|||AB x x -= …………8分（Ⅲ）当点P 到直线AB 的距离h 最大时，ABP △的面积最大．设与AB 平行的直线l '的方程为2y x m =+，由222x py y x m ⎧=-⎨=+⎩，， 消去y ，得2420x x m ++=， 由0∆=，解得2m =．所以l '的方程为22y x =+． ………………………………………………… 10分所以max h ==所以ABP △面积的最大值为max max 11||22S h AB =⨯⨯=⨯= ………12分第（16）题（17）（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点(21)M ，．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，且与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(00)x y a b a b+=>>，， 由已知222411a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 解得28a =，22b =， 所以椭圆的方程为22182x y +=． ……………………………………………… 3分（Ⅱ）直线OM 的斜率为12k =，所以直线l 的方程为12y x m =+． 由224812x y y x m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，得222240x mx m ++-= ①， 由0∆>，解得22m -<<． 所以m 的取值范围是22m -<<且0m ≠． ………………………………………… 8分（Ⅲ）设11()A x y ，，22()B x y ，， 由方程①，122x x m +=-，21224x x m ⋅=-． 直线MA 的斜率11112y k x -=-，直线MA 的斜率21212y k x -=-． 1212121212121111(2)()442222(2)(2)x m x m x x m x x m k k x x x x +-+-+-++-+=+=---- 21224(2)(2)440(2)(2)m m m m x x -+--+-==-- 所以12k k =-．所以直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． ………………………14分。
天津市和平区2014-2015学年高二数学上学期期中试题
天津市和平区2014-2015学年高二数学上学期期中试题温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间100分钟。
祝同学们考试顺利！第I卷选择题（共40分）一、选择题，本大题共10小题，每小题4分：请将每小题给出的四个选项中你认为正确的选项的代号填在下列表格内．1．一个空间几何体的三视图如右图所示(单位：m)，则该几何体的体积（单位：2m）为(A)4 (B)7 2(C)3 (D) 5 22．过点(-2，0)且与直线3x-y+l=0平行的直线方程是(A) y=3x-6 (B)y=3x+6(C)y=3x-2 (D) y=-3x-63．直线3x-2y-6=0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为b，则(A)a=2,b=3 (B)a=-2,b=-3(C)a=-2，b=3 (D)a=2，b= -34．如果直线m平面，直线n平面，,,,M m N n M l N l，则 (A) l (B) l (C) l M (D) l N 5．已知过点A(a，4)和B(-2，a)的直线与直线2x+y-l=0垂直，则口的值为(A)0 (B) -8 (C)2． (D) 106．如图，已知四棱锥S- ABCD的侧棱与底面边长都是2，且底面ABCD是正方形，则侧棱与底面所成的角为(A) 75 (B) 60(C) 45 (D) 307．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)7个8．由直线y=x+l 上的点向圆 2264120x y x y 引切线，则切线长的最小值为(A) 17 (B) 32 (C) 19 (D)25；9.如图，在棱长为2的正方体 1111ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是 1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和 1FD 所成角的余弦值等于(A) 105 (B)．155(C) 45 (D) 2310.若圆 2221:240O x y mx m 与圆 2222:24480O x y x my m 相切，则实数m 的取值集合是(A) 12,25(B) 2,05 (C)122,,255 (D) 122,,0,255 第Ⅱ卷非选择题（共60分）二、填空题：本大题共5小医每小题4分,共20分．请把答案直接填在题中横线上11．已知空间直角坐标系中，A(1，3，-5)，B(4，-2，3)，则 AB _________．12．已知A(-5，6)关于直线 l 的对称点为B(7，-4)，则直线l 的方程是________.13.如图，设P 是60的二面角l 内一点，PA 平面 ，PB 平面 ,A 、B 为垂足若PA=4．PB=2，则AB 的长为_______．14．圆 22220x y x y 上的动点P 到直线 324y x 距离的最小值为_________．15.如图，正三棱锥S-ABC 的高SO=2，侧棱与底面成45角，则点C 到侧面SAB 的距离是_________.三、解答题：本大题,共5小题，共40分不，要求写出解答过程和演算步骤16．（本小题6分）如图，已知—正三棱锥P- ABC的底面棱长AB=3，高PO= 6，求这个正三棱锥的表面积．17.（本小题8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成—般式(1)经过点(3,2)P且倾斜角120;(2)经过点A(-1，0)和B(2，-3)．18.（本小题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C中，AB=AC，D、E分别是棱BC、1CC上的点（点D不在BC的端点处），且AD DE，F为11B C的中点．(I)求证：平面ADE 平面11B BCC；(II)求证:1//A F平面ADE．19.（本小题8分）已知点P(-4，0)及圆C：226440x y x y(I)当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程：(II)设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当AB取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程，20.（本小题10分）如图，在三棱锥P-ABC中，6,PA PB PA PB,30AB BC BAC ，平面PAB 平面ABC．(I)求证：PA BC：(II)求PC的长度；（Ⅲ)求二面角P-AC-B的正切值。
2015-2016学年天津市和平区高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2015-2016学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3]B．[﹣11，﹣3]C．[﹣3，11]D．[3，11]3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5 B．7 C．9 D．114．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．27．（5分）记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．108．（5分）已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．12．（5分）在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，则△ABC的面积为．14．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=2sin﹣4sin2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的区间[，]上的最大值和最小值．16．（13分）在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．18．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2+a4=10．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（3）当m=2时，若函数g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．2015-2016学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜3}，M∩N=∅，则∁R（M∪N）={x|x≥3}，∁R（M∩N）=R，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3]B．[﹣11，﹣3]C．[﹣3，11]D．[3，11]【解答】解：不等式组表示的区域如图，其中A（0，2），B（5，3）．C（3，5）z=3x﹣4y的几何意义是直线在y轴上的截距，当直线经过点B（5，3）时，z=15﹣12=3，取最大值为3，当取得点C（3，5）时，z=3﹣20=﹣11，z取最小值为﹣11，所以目标函数z=3x﹣4y的取值范围为[﹣11，3]，故选：A．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：当S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，n=5，当S=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=15，n=7，当S=15时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=105，n=9，当S=105时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为9，故选：C．4．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“lg（a﹣b）＞0”⇔“a﹣b＞1”⇔“a＞b+1”，当“a＞b”时，“a＞b+1”不一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的不充分条件；当“a＞b+1”时，“a＞b”一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要条件；故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要不充分条件；故选：B．5．（5分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故选：C．6．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=2px的准线为x=﹣，由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=16，可得c=2，则离心率e===．故选：A．7．（5分）记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．【解答】解：（2+ai）（2﹣i）=（4+a）+（2a﹣2）i，∵（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，∴4+a+2a﹣2=0，解得：a=﹣．故答案为：．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，圆心C（1，0），半径r==1，∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0．∴圆C的圆心到直线l的距离d==．故答案为：．12．（5分）在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为18．【解答】解：由=，令9﹣2r=5，可得r=2，∴x5的系数为．故答案为：18．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，则△ABC的面积为．【解答】解：∵在△ABC中，∵sinA+sinB=sinC，∴由正弦定理可得a+b=c，又∵a+b=2，C=，∴c=2，解得c=2，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，代值可得4=8﹣3ab，解得ab=，∴△ABC的面积S=absinC==，故答案为：．14．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是[﹣6，1] ．【解答】解：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，∵BC==．∴cosB===．∴sinB=．∴A（，），B（0，0），C（，0）．设D（a，0），则=（a﹣，﹣），=（，0）．∴=a﹣6．∵D是BC边上的一点（含端点），∴0≤a≤．∴当a=0时，取得最小值﹣6，当a=时，取得最大值1．故答案为[﹣6，1]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=2sin﹣4sin2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的区间[，]上的最大值和最小值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵f（x）=2sin﹣4sin2=2sin﹣2（1﹣cos）=2（sin cos+cos sin）﹣2=2sin（+）﹣2．…3分∴f（x）的最小正周期T==6．…5分（2）∵x∈[，]，∴+∈[，]，…7分∵f（x）在区间[，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，…9分而f（）=﹣2，f（）=2，f（）=﹣，…11分∴f（x）的区间[，]上的最大值为2﹣2，最小值为﹣．…13分16．（13分）在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A为事件“取出的3件产品中，一等奖多于二等奖”，依题意，则有P（A）==，∴取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列为：∴EX==．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）由题意知AC、AB、AA1两两垂直，如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2），∵=（1，0，0），=（0，﹣1，2），∴=0，∴⊥，∴AC⊥BM．（2）∵M（0，1，2），N（），A（0，0，0），B（0，2，0），∴=（），=（0，2，0），∴=0，∴MN⊥AB，∵是平面ACC1A1的一个法向量，且MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1．解：（3）由（2）得=（），=（0，1，﹣2），设平面MBN的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（4，2，1），平面ABN的法向量=（0，0，2），cos＜＞===，∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是锐角，∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值为．18．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2+a4=10．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4=10，∴a3==5，∵S4=4S2，∴4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），即20﹣2d=4（10﹣3d），解得：d=2，∴a n=a3+2（n﹣3）=2n﹣1；（2）依题意，++…+=1﹣，n∈N*，当n≥2时，++…+=1﹣，两式相减得：=（1﹣）﹣（1﹣）=，由（1）可知b n=（n≥2），又∵b 1=（1﹣）a1=满足上式，∴b n=，n∈N*，故T n=++…+，T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．19．（14分）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，则，解得a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）∵椭圆C的方程为，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，由，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，，∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣，﹣）．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（3）当m=2时，若函数g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6，x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣，∴a的最大值是﹣；（2）由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，∴f（x）极大值=f（1）=+m，f（x）极小值=f（2）=2+m，故f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，∴m的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣2，+∞）；（3）∵g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0），∴g′（x）=2x﹣+，函数g（x）在[1，2]上单调递减，则g′（x）≤0在[1，2]恒成立，从而b≤﹣x2在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣x2，h′（x）=﹣﹣2x＜0，∴h（x）在[1，2]递减，h（x）min=h（2）=﹣，故b的最大值是﹣．。
天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m3）为（）A．4B．C．3D．2．（4分）过点（﹣2，0），且与直线3x﹣y+1=0平行的直线方程式（）A．y=3x﹣6 B．y=3x+6 C．y=3x﹣2 D．y=﹣3x﹣63．（4分）直线3x﹣2y﹣6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣34．（4分）直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则（）A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α=M D．l∩α=N5．（4分）已知过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．106．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°7．（4分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个8．（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x﹣3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．10．（4分）若圆O1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆O2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相切，则实数m的取值集合是（）A．{﹣，2} B．{﹣，0} C．{﹣，﹣，2} D．{﹣，﹣，0，2}二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，﹣5），B（4，﹣2，3），则|AB|=．12．（4分）已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），则直线l的方程是．13．（4分）设P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为．14．（4分）圆x2+y2﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为．15．（4分）如图，正三棱锥S﹣ABC的高SO=2，侧棱与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是．三、解答题（共5小题，满分40分）16．（6分）如图，已知一个正三棱锥P﹣ABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面积．17．（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式．（1）经过点P（﹣，2）且倾斜角α=120°；（2）经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3）．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1F∥平面ADE．19．（8分）已知点P（﹣4，0）及圆C：x2+y2+6x﹣4y+4=0．（Ⅰ）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）求PC的长度；（Ⅲ）求二面角P﹣AC﹣B的大小．天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m3）为（）A．4B．C．3D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，求出底面面积和高，进而可得该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的棱柱，底面面积S=1×1+×（1+3）×1=3，棱柱的高h=1，故棱柱的体积V=Sh=3，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．2．（4分）过点（﹣2，0），且与直线3x﹣y+1=0平行的直线方程式（）A．y=3x﹣6 B．y=3x+6 C．y=3x﹣2 D．y=﹣3x﹣6考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：首先根据所求直线与已知直线平行可得所求直线的斜率，再根据所求直线经过点（﹣2，0），进而利用直线的点斜式方程可得答案．解答：解：∵直线3x﹣y+1=0的斜率为3，并且所求直线与直线3x﹣y+1=0平行，∴所求直线斜率为3．又因为所求直线过点（﹣2，0），所以所求直线的方程为y﹣0=3（x+2），即3x﹣y+6=0．故选：B．点评：本题注意考查直线平行与直线斜率的关系，以及直线的点斜式方程，是基础题．3．（4分）直线3x﹣2y﹣6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：分别令x=0和y=0代入直线方程求出对应的截距即可．解答：解：由题意得，直线方程为：3x﹣2y﹣6=0，令x=0代入得，y=﹣3，令y=0代入得，x=2，所a=2，b=﹣3，故选：D．点评：本题考查由直线方程的一般式求截距问题，属于基础题．4．（4分）直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则（）A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α=M D．l∩α=N考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得M∈平面α，N∈平面α，由M∈l，N∈l，利用公理二得l⊂α．解答：解：∵直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，∴M∈平面α，N∈平面α，∵M∈l，N∈l，∴l⊂α．故选：A．点评：本题考查点、直线、平面间的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要注意公理二的合理运用．5．（4分）已知过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．10考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由两点式求出直线AB的斜率，然后由直线垂直斜率的关系列式求得a的值．解答：解：∵A（a，4），B（﹣2，a），∴，又直线2x+y﹣1=0的斜率为﹣2，∴，解得：a=2．故选：C．点评：本题考查了直线的一般方程和直线垂直的关系，是基础题．6．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°考点：棱锥的结构特征．专题：空间角．分析：由题意可知，∠SAO即为侧棱与底面所成的角，然后直接由已知条件解直角三角形得答案．解答：解：如图，∵SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，∴∠SAO即为侧棱与底面所成的角，∵四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2，∴AO=，在Rt△SOA中，，∴∠SAO=45°．故选：C．点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了直线和平面所成角的求法，是基础题．7．（4分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个考点：平面的基本性质及推论．专题：压轴题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解．解答：解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选D．点评：本题考查了三棱锥的结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力．8．（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x﹣3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线y=x+1的距离d，切线长的最小值为．解答：解：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心（3，﹣2）到直线y=x+1的距离d，d==3，故切线长的最小值为==，故选A．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，求切线长的方法．9．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．10．（4分）若圆O1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆O2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相切，则实数m的取值集合是（）A．{﹣，2} B．{﹣，0} C．{﹣，﹣，2} D．{﹣，﹣，0，2}考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差相等求出m的值即可．解答：解：圆O1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0的圆心（m，0），半径为：2．与圆O2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0的圆心（﹣1，2m），半径为：3．圆心距为：，两个圆相外切：=5，两个圆相内切：=1，解得m=﹣，﹣，0，2．实数m的取值集合是{﹣，﹣，0，2}．故选：D．点评：本题考查两个圆的位置关系的应用，圆的一般方程的应用，考查计算能力．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，﹣5），B（4，﹣2，3），则|AB|=．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的坐标运算、向量的模的计算公式即可得出．解答：解：∵=（3，﹣5，8），∴==．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式，属于基础题．12．（4分）已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），则直线l的方程是6x﹣5y﹣1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为（1，1），求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．解答：解：∵已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），故直线l为线段AB的中垂线．求得AB的中点为（1，1），AB的斜率为=﹣，故直线l的斜率为，故直线l的方程为y﹣1=（x﹣1 ），化简可得6x﹣5y﹣1=0．故答案为：6x﹣5y﹣1=0．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题．13．（4分）设P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间角．分析：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，由题意知∠AQB 是二面角α﹣l﹣β的平面角，由此利用余弦定理能求出AB．解答：解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，∵P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，∴∠AQB是二面角α﹣l﹣β的平面角，∴∠AQB=60°，∴△PAB中，∠APB=180°﹣60°=120°，PA=4，PB=2，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2﹣2PA•PAcos120°=42+22﹣2×4×2×（﹣）=28，∴AB==2．故答案为：．点评：本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念，是中档题，解题时要注意利用正、余弦定理解三角形的灵活运用．14．（4分）圆x2+y2﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为3﹣．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由圆的一般方程求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，则答案可求．解答：解：由x2+y2﹣2x+2y=0，得（x﹣1）2+（y+1）2=2，∴圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心为（1，﹣1），半径为．由y=x+2，得3x﹣4y+8=0，点（1，﹣1）到直线3x﹣4y+8=0的距离为=3．∴圆x2+y2﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为3﹣．故答案为：．点评：本题考查了圆的一般方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题．15．（4分）如图，正三棱锥S﹣ABC的高SO=2，侧棱与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是．考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，由体积计算公式求出点C到侧面SAB的距离．解答：解：由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，由体积计算公式得×3×2=××h，得h=．故答案为：．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查体积公式的运用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分40分）16．（6分）如图，已知一个正三棱锥P﹣ABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：连接AO，确定正三棱锥P﹣ABC的四个面是全等的等边三角形，即可求这个正三棱锥的表面积．解答：解：连接AO，在等边三角形ABC中，由AB=3，可得AO==，在Rt△AOP中，AP==3，∴正三棱锥P﹣ABC的四个面是全等的等边三角形，∴S表面积=4×=9．点评：本题主要考查基本运算，考查三棱锥的全面积，属于中档题．17．（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式．（1）经过点P（﹣，2）且倾斜角α=120°；（2）经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3）．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）先求出直线的斜率，代入点斜式化简为一般式方程即可；（2）根据题意代入两点式化简为一般式方程．解答：解：（1）由题意得，直线倾斜角α=120°，则斜率k=tan120°=﹣，又经过点P（﹣，2），代入点斜式得，y﹣2=（x+），即，所以直线的一般式方程是；（2）因为经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3），代入两点式得，，即x+y+1=0，所以直线的一般式方程是x+y+1=0．点评：本题考查直线方程的点斜式、两点式、一般式方程的应用，注意根据条件选择恰当的直线方程．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明AD⊥平面B1BCC1，然后，得到平面和平面垂直；（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即可得到相应的结论．解答：解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1，∵AD⊥DE，且DE∩CC1=D，∴AD⊥平面B1BCC1，∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面B1BCC1，（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，∵BC⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∴D为BC的中点，连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即四边形AA1FD为平行四边形，∴A1F∥AD，∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，A1F∥平面ADE．点评：本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直，直线与直线平行的判定等知识，属于中档题，难度中等，解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质．19．（8分）已知点P（﹣4，0）及圆C：x2+y2+6x﹣4y+4=0．（Ⅰ）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=﹣4；（Ⅱ）点P（﹣4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，从而写出所求圆的标准方程即可．解答：解：（Ⅰ）由题意知，圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y+2）2=9，①设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x+4）即kx﹣y+4k=0又⊙C的圆心为（3，﹣2），r=3，由=1，得k=所以直线方程为3x﹣4y+12=0；②当k不存在时，直线l的方程为x=﹣4．综上，直线l的方程为3x﹣4y+6=0或x=﹣4；（Ⅱ）点P（﹣4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，∵|PC|=，r=3，∴|AB|min=2=4，∴以线段AB为直径的圆的方程为：（x+4）2+y2=4．点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）求PC的长度；（Ⅲ）求二面角P﹣AC﹣B的大小．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明由面面垂直的性质BC⊥PA，又AB⊥BC，得到BC⊥平面PAB，进而证明PA⊥BC；（2）先求AB，再求BC，用勾股定理计算PC的长度；（3）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，证明，∠PMO是二面角P﹣AC﹣B的平面角，在Rt△AMO 中，求出PO 和OM，可求∠PMO的正切值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．（3分）∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．（4分）（Ⅱ）∵，PA⊥PB，∴．∵AB⊥BC，∠BAC=30°，∴BC=AB•tan30°=2．（7分）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴．（9分）（Ⅲ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P﹣AC﹣B的平面角．（12分）在Rt△AMO中，，易知AO=PO，∴，（13分）即二面角P﹣AC﹣B的大小是arctan2（14分）点评：本题考查空间2条直线的位置关系，二面角的平面角的求法．。