宣武区2009高三数学二模统练(理)
宣武区(理)
是两曲线的一个公共交点.则下列结论正确的是 （ ）
1
A． p m
2
2
B． p m
C． m p
D． m p
2
2
7. 某单位员工按年龄分为 A, B, C 三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中 抽取一个容量为20的样本.已知 C 组中甲、乙均被抽到的概率是 为（ ） A． 110 B． 100 C．90
bn 1 1 1 n 2, n N ， a n a1 a 2 a n 1
求 bn 1 a n (bn 1) a n 1 的值； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列 bn ，求证： (1 b1 )(1 b2 ) (1 bn )
1 ，则该单位员工总人数 45
D． 80
8. 设函数 y f x 的定义域为R+，若对于给定的正数 K ，定义函数
K , f K x f x ,
（ ） A． 2 ln 2 2
f x K , 1 2 则当函数 f x , K 1 时， 1 f K x dx 的值为 f x K , x 4
；在此条件下，以直角坐标 .
a 0 ）有两个公共点 A , B ，且 AB 2 ，则实数 a 的值为
系的原点为极点， x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 13.若 A, B, C 为 ABC 的三个内角，则
4 1 的最小值为 A BC
.
14. 有下列命题：①若 f x 存在导函数，则 f 2 x f 2 x ； ②若函数 h x cos x sin x ，则 h
1 AD ． E 为 AB 中点， F 为 PC 中点. 2
2009年北京市宣武区第二次模拟试题答案(英语)
新东方优能教育 2009年北京市宣武区第二次模拟试题第Ⅰ卷1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C9．B 10．C 11．B 12．A 13．C 14．B 15．A16．A 17．A 18．B 19．D 20．C 21．A 22．C23．D 24．B 25．B 26．B 27．C 28．B 29．C30．A 31．D 32．B 33．B 34．C 35．B 36．C37．A 38．B 39．C 40．D 41．C 42．B 43．D44．D 45．A 46．B 47．D 48．B 49．C 50．B51．C 52．B 53．D 54．B 55．C 56．C 57．D58．A第Ⅱ卷二、完成句子63．it's time for you t o64．keep the classroom clea n65．the more chocolates you eat, the fatter/heavie r you'll b e66．make his classes lively and interestin g67．He likes listening to music so much that I think it's necessary to buy him an MP3三、选词填空68．big 69．are 70．get 71．library 72．fro m 73．had 74．ric h四、阅读与表达75．No./No, it doesn't.76．Microsoft Word.77．He stays at home using his computer and the I n ternet.78．It means giving someone everything he wants, u sually making himself badly behaved.79．It tells about computers and network are widel y used in teenagers' studies.五、书面表达80．One possible version:Today, I received the reader's letter. I was shocked a t it. Personally speaking, I think we should pay more atte n tion to the food safety. The government must make som e necessary laws. What's more, some businessmen shouldn't be only interested in making money. They must care abou t people's health. We'd better not eat anything in dirty place s though some food is delicious, because eating unhealth y food does harm to our health.Finally, I hope the family in the accident will get bette r soon.。
北京市宣武区高三级第二学期数学(理科)练习(二)
北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第二次质量检测数学试题（理科）2010．05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,42211的元素个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 2． 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ．90D ．902x3．若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为 （ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．20474． 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥5．已知命题（1）∃α∈R ，使sin cos1αα=成立；（2） ∃ α，β∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；（3） ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； （4）若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 6．已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ．()x x x f ln 2+=B ．()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=7．抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S ．令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为 （ ）A ．53B ．21 C ．52 D ．518．如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则⋅的值为 （ ）A ．42pB ．32pC ．22pD ．2p第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）AB9．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 ．10．若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= ． 11．如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形．则AB 与CD 所成角的大小为 ．12．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点．已知∠BPA =030，2=AD ，=PC 则圆O 的半径等于 ．13．数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有 个．14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 （23，π43）的点P 所对应的复数是-3+3i ；③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55．其中假命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待DBA北 20 10A B••C营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船．（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域．16．（本小题共13分） 已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形．（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；（ii ）设点P 为棱11D A 上一点，求直线AP 与平面D C AB 11所成角的正弦值的取值范围．17．（本小题共13分） 在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ） 求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ） 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．18．（本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．（I ） 求1a ，2a 的值； （II ） 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，k k k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．19．（本小题共14分）已知函数()xxx f ln =． （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．20．（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p ．（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0=⋅,求AOB ∆面积的最小值；（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的．二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700．∴BC =107． ………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75． ………………………13分 16．（本题满分13分）（Ⅰ）=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368．………4分（Ⅱ）（i ）∵长方体1111D C B A ABCD - ∴BA B A AD 11平面⊥∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥． …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P ∴()8,0,10-=m AP ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 22+-=⋅+-==θm m∵[]10,0∈m ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin ． …………………………13分 17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯．………5分 （Ⅱ）答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为： ()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分 18．（本题满分13分）解： （I ） 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ； …………………3分（II ） ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S2≥n 时，()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()n n a 32+=1+()()()()[]nnnS 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nnn =()2182321nn n -++-+． …………………13分 19．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=． ∴0x e <<,解0ln 1>-x ，当),0(e x ∈时，'()0f x >,()f x 为增函数;当),(+∞∈e x 时,'()0f x <,()f x 为减函数．……4分（Ⅱ）依题意， 转化为不等式xx a 1ln +<对于),0(+∞∈x 恒成立 令1()ln g x x x =+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭令1,0)(=∴='x x g当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数， 当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是()1,∞-． ……………8分 （Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612 在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴ 解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式， 即有65=m ． (4)20．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=． ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ∵0=⋅∴02121=+y y x x ∵2221212,2px y px y == ∴2214p x x =∴()()22222121241y x y x S AOB++==∆ =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p ． ……………9分（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+- ∴pk y y x x p y y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称． ………14分。
数学_2009年北京市宣武区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2009年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 已知复数z =11+i ，则z ¯⋅i 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2. 极限limx →x 0f(x)存在是函数f(x)在点x =x 0处连续的（ ）A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件3. 已知非零向量a →、b →若|a →|=|b →|=1，且a ⊥b ，又知(ka →−4b →)⊥(2a →+3b →)，则实数k 的值为（ ）A 6B 3C −3D −64. 关于直线a 、b ，以及平面M 、N ，给出下列命题： ①若a // M ，b // M ，则a // b ； ②若a // M ，b ⊥M ，则a ⊥b ； ③若a // b ，b // M ，则a // M ； ④若a ⊥M ，a // N ，则M ⊥N ． 其中正确命题的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 35. 等比数列{a n }中，其公比q <0，且a 2=1−a 1，a 4=4−a 3，则a 5+a 6等于（ ） A 8 B −8 C 16 D −166. △ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B +3cos(A +C)+2=0，b =√3，则c:sin C 等于（ ）A 3:1B √3:1C √2:1D 2:17. 已知f(x)是R 上的偶函数，且f(1)=0，g(x)是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g(x)=f(x −1)，则f(2009)的值是（ ） A 0 B 1 C −1 D 28.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =A 1A =1，已知G 与E 分别是棱A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围是（ ） A [√5 1) B [15, 2) C [1, √2) D [√5√2)二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知函数f(x)={3x ，(x ≤0)log 2x(x >0)，则f[f(14)]=________．10. (1−2x)6的展开式中，x 2的系数为________；其所有项的系数之和为________．11. 某企业要从某下属的6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案有________种．12. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，√6，3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为________．13. 已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和s n 满足s n √s n−1−s n−1√s n =2√s n s n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，则a n =________．14. 已知f 1(x)=sinx +cosx ，记f 2(x)=f 1′(x)，f 3(x)=f 2′(x)，…，f n (x)=f n−1′(x)(n ∈N ∗, n ≥2)，则f 1(π2)+f 2(π2)+...+f 2009(π2)=________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知：a →=(2cosx, sinx)，b →=(√3cosx, 2cosx)．设函数f(x)=a →⋅b →−√3(x ∈R)求： （1）f(x)的最小正周期； （2）f(x)的单调递增区间； （3）若f(α2−π6)−f(α2+π12)=√6，且α∈(π2，π)，求α．16. 设{a}是正数数列，其前n 项和S n 满足S n =14(a n −1)(a n +3)． （1）求a 1的值；求数列{a n }的通项公式； （2）对于数列{b n }，令b n =1s n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求limn →∞T n． 17. 已知参赛号码为1∼4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．（1）通过抽签将他们安排到1∼4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为ξ(ξ所有取值为0，1，2，3…，10)． 根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．18.已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90∘，且AB =AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． （1）求证：DE // 平面ABC ； （2）求证：B 1F ⊥平面AEF ；（3）求二面角B 1−AE −F 的余弦值．19. 已知函数f(x)=ln(1+x 2)+ax ．(a ≤0) （1）若f(x)在x =0处取得极值，求a 的值； （2）讨论f(x)的单调性； （3）证明：(1+19)(1+181) (1)132n)<√e （n ∈N ∗，e 为自然对数的底数）．20. 已知数列{a n }与数列{b n }(n ∈N ∗, n ≥1)满足：①a 1<0，b 1>0；②当k ≥2时，a k与b k 满足如下条件： 当a k−1+b k−12≥0时，a k =a k−1，，b k =a k−1+b k−12；当a k−1+b k−12<0时，a k =a k−1+b k−12，b k =b k−1．求：（1）用a 1，b 1表示b n −a n ；（2）当b 1>b 2>...>b n (n ≥2)时，用a 1，b 1表示b k ．(k =1, 2,…n)（3）当n(n ≥2, n ∈N ∗)是满足b 1>b 2>...>b n (n ≥2)的最大整数时，用a 1，b 1表示n 满足的条件．2009年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. B3. A4. C5. C6. D7. A8. A9. 19 10. 60,1 11. 21 12. 16π13. {1,n =18n −8,n ≥214. 115. 解：f(x)=a ⋅b −√3=2√3cos 2x +2sinxcosx −√3 =sin2x +√3(2cos 2x −1) =sin2x +√3cos2x=2sin(2x +π3)(1)函数f(x)的最小正周期最小正周期为T =2π2=π（2）由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2得2kπ−5π6≤2x≤2kπ+π6∴ kπ−5π12≤x≤kπ+π12，(k∈Z)∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，(k∈Z)（3）∵ f(α2−π6)−f(α2+π12)=√6，∴ 2sinα−2cosα=√6∴ 2√2sin(α−π4)=√6，∴ sin(α−π4)=√32∵ α∈(π2，π)，∴ α−π4∈(π4，3π4，∴ α−π4=π3或2π3，∴ α=7π12或11π1216. 解：（1）由a1=S1=14(a1−1)(a1+3)，及a n>0，得a1=3由S n=14(a n−1)(a n+3)得S n−1=14(a n−1−1)(a n−1+3)．∴ 当n≥2时，a n=14(a n2−a n−12)+2(a n−a n−1)∴ 2(a n+a n−1)=(a n+a n−1)(a n−a n−1)∵ a n+a n−1>0∴ a n−a n−1=2，∴ {a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴ a n=2n+1（2）由（1）知S n=n(n+2)∴ b n=1S n =12(1n−1n+2)，T n=b1+b2+...+b n=12(1−13+12−14++1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12[32−2n+3(n+1)(n+2)]=34−2n+32(n+1)(n+2)∴ limn→∞T n=limn→∞[34−2n+32(n+1)(n+2)]=34(13分)由a n+b n2<0，得a1+(b1−a1)⋅(12)n<0得a1+b12n <−a，得b1−a1−a1<2n∴ log2a1−b1a1<n因而n满足log2a1−b1a1<n的最小整数17. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把4名运动员安排到4个位置，从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有C41种方法，另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，∴ 恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为P=C41⋅2A44=824=13（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为 P =(1−0.2)(1−0.32)=0.544∴ 至少有一人命中8环的概率为p =1−0.544=0.456②∵ Eξ1=4×0.06+5×0.04+6×0.06+7×0.3+8×0.2+9×0.3+10×0.04=7.6 Eξ2=4×0.04+5×0.05+6×0.05+7×0.2+8×0.32+9×0.32+10×0.02=7.75 所以2号射箭运动员的射箭水平高18. 解：方法1：如图建立空间直角坐标系O −xyz ，令AB =AA 1=4， 则A(0, 0, 0)，E(0, 4, 2)，F(2, 2, 0)，B(4, 0, 0)，B 1(4, 0, 4)，D(2, 0, 2)，(1)DE →=(−2, 4, 0)，面ABC 的法向量为OA 1→=(0, 0, 4)，∵ DE →⋅OA 1→=0，DE ⊄平面ABC ， ∴ DE // 平面ABC ．（2）B 1F →=(−2,2,−4)，EF →=(2,−2,−2) B 1F →⋅EF →=(−2)×2+(−2)+(−4)×(−2)=0 B 1F ⋅→AF →=(−2)×2+2×2+(−4)=0 ∴ B 1F →⊥AF →，∴ B 1F ⊥AF ∵ AF ∩FE =F ，∴ B 1F ⊥平面AEF（3）平面AEF 的法向量为B 1F →=(−2,2,−4)，设平面B 1AE 的法向量为n →=(x,y,z)，∴ {n →⋅B 1A →=0˙，即{2y +z =0x +z =0令x =2，则Z =−2，y =1，∴ n →=(2,1,−2) ∴ cos(n →，B 1F →)=|n →|⋅|B 1F →|˙=√9×√24=√66∴ 二面角B 1−AE −F 的余弦值为√66方法2：（1）方法i ：设G 是AB 的中点，连接DG ， 则DG 平行且等于EC ，所以四边形DECG是平行四边形，所以DE // GC，从而DE // 平面ABC．方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1 // CP，可证A1E=EP，∵ D、E是A1B、A1P的中点，∴ DE // BP，又∵ BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴ DE // 平面ABC（2）∵ △ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴ BC⊥AF，又∵ B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，设AB=AA1=2，则B1F=√6，EF=√3，B1E=3∴ B1F⊥EF，∴ B1F⊥平面AEF；（3）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，∵ B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，∴ ∠B1MF为二面角B1−AE−F的平面角，C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，在Rt△AEF中，可求FM=√105，在Rt△B1FM中，∠B1FM=90∘，∴ cos∠B1MF=√66∴ 二面角B1−AE−F的余弦值为√6619. 解：（1）∵ f′(x)=2x1+x2+a，∵ x=0使f(x)的一个极值点，则f′(0)=0，∴ a=0，验证知a=0符合条件．（2）∵ f′(x)=2x1+x2+a=ax2+2x+a1+x2①若a=0时，∴ f(x)在(0, +∞)单调递增，在(−∞, 0)单调递减；②若{a<0△≤0得，当a≤−1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴ f(x)在R上单调递减．③若−1<a<0时，由f′(x)>0得ax2+2x+a>0∴ −1+√1−a2a <x<−1−√1−a2a再令f ′(x)<0，可得x >−1−√1−a 2a或x <−1+√1−a 2a∴ f(x)在(−1+√1−a 2a,−1−√1−a 2a)上单调递增， 在(−∞,−1+√1−a 2a)和(−1−√1−a 2a,+∞)上单调递减综上所述，若a ≤−1时，f(x)在(−∞, +∞)上单调递减； 若−1<a <0时，f(x)在(−1+√1−a 2a,−1−√1−a 2a)上单调递增(−∞,−1+√1−a 2a)和(−1−√1−a 2a,+∞)上单调递减；若a =0时，f(x)在(0, +∞)单调递增，在(−∞, 0)单调递减． （3）由（2）知，当a =−1时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减 当x ∈(0, +∞)时，由f(x)<f(0)=0∴ ln(1+x 2)<x ，∴ ln[(1+19)(1+181)...(1+132n )]=ln(1+19)+ln(1+181)+...+ln(1+132n)<13+132+...+13n =13(1−13n )1−13=12(1−13n )<12，∴ (1+19)(1+181)…(1+132n )<e 12=√e20. 解：（1）当a k−1+b k−12≥0时，b k −a k =a k−1+b k−12−a k−1=b k−1−a k−12；当a k−1+b k−12<0时，b k −a k =b k−1−a k−1+b k−12=b k−1−a k−12所以无论哪种情况，都有b k −a k =b k−1−a k−12因此，数列{b k −a k }是首相为b 1−a 1，公比为12的等比数列， ∴ b n −a n =(b 1−a 1)⋅(12)n−1．（2）由b 1>b 2>>b n (n ≥2)时，b k ≠b k−1(2≤k ≤n) 由②可知，a k−1+b k−12<0不成立，所以a k−1+b k−12≥0，对于2≤k ≤n ，a k =a k−1，b k =a k−1+b k−12于是a n =a n−1=a 1由（1）可得，b k =a 1+(b 1−a 1)⋅(12)n−1(k =2,3,,n)．（3）由b 1>b 2>>b n (n ≥2)知 a n =a 1，b n =a 1+(b 1−a 1)⋅(12)n−1∴ a n +b n2=12{a 1+[a 1+(b 1−a 1)⋅(12)n−1]}=a 1+(b 1−a 1)⋅(12)n若a n +b n 2≥0，则b n =a n +b n2b n+1−b n=[a1+(b1−a1)⋅(12)n]−[a1+(b1−a1)⋅(12)n−1]=−(b1−a1)⋅(12)n<0，(∵b1−a1>0)∴ b n>b n+1这与n是满足b1>b2>b3>b n(n≥2)的最大整数相矛盾∴ n是满足a n+b n2<0的最小整数由a n+b n2<0，得a1+(b1−a1)⋅(12)n<0得a1+b12n <−a，得b1−a1−a1<2n∴ log2a1−b1a1<n因而n是满足log2a1−b1a1<n的最小整数．。
北京市宣武区2008—2009学年度第二学期第一次质量检测-数学理科 2009.4
北京市宣武区2008—2009学年度第二学期第一次质量检测-数学理科 2009.4一、选择题（共2小题；共10分）1. 已知，，若，则的值是______A. B. C. D.2. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是______A. B. C. D.二、填空题（共2小题；共10分）3. 在等差数列中，已知，则 ______．4. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为的球的两条弦、的长度分别为和分别是的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦可能相交于点；②弦可能相交于点；③的最大值是；④的最小值是．其中所有正确命题的序号为______．三、解答题（共2小题；共26分）5. 如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，与交于点，平面（1）求证：；（2）若，，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值．6. 已知数列中，且，，且当时，函数取得极值．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和；（3）当时，数列中是否存在最大项?如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由．四、选择题（共6小题；共30分）7. 函数的反函数是______A. B.C. D.8. 已知集合，，则等于______A. B.C. D.9. 若是空间两条不同的直线，是空间的两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是______A. ，B. ，C. ，D. ，10. 一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有______A. 种B. 种C. 种D. 种11. 已知是等比数列，，，则的取值范围是______A. B. C. D.12. 已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数为：其中，那么下列关于叙述正确的是______A. 都是奇函数且周期为B. 都是偶函数且周期为C. 均无奇偶性但都有周期性D. 均无周期性但都有奇偶性五、填空题（共4小题；共20分）13. 设为虚数单位，则复数 ______．14. 若展开式的二项式系数之和为，则______，其展开式的常数项等于______．（用数字作答）15. 设函数的图象关于点成中心对称，若，则______16. 以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则______．六、解答题（共3小题；共39分）17. 已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）设的三边，，满足，且边所对的角为，求此时的值域．18. 将封不同的信投进，，，这个不同的信箱，假设每封信投入每个信箱的可能性相等．（1）求这封信分别被投进个信箱的概率；（2）求恰有个信箱没有信的概率；（3）求信箱中的信封数量的分布列和数学期望．19. 已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于，两个不同的交点，点关于轴的对称点记为设．（1）求曲线的方程；（2）证明：；（3）若，是的取值范围．答案第一部分1. C2. C第二部分3.4. ①③④第三部分5. （1）连接，考虑．是菱形，又是正三角形．又是的中点，．面面，（2）菱形中，，∴．又∵平面，是在平面的射影，∴．∴为二面角的平面角．在菱形中，，由（1）知，为等边三角形．∵点是边的中点，与互相平分，∴点是重心．∵，又∵在等边中，．∴．∵，∴．∴在中，．∴．∴二面角的大小为．（3）取中点，连结，则．∴与所成角即是与所成角．连结，．∵平面，，平面，∴，．在中，，，∴．在中，．在中，，．由（2）可知．设与所成角为，则．∴异面直线、所成角的余弦值为．6. （1）由，得又，且，∴∴．∴数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）知∴∴，上面个等式相等并整理得（且）∴两式相减，并整理得．（3）∵即∴当为偶数时，；当为奇数时，，∴最大项必须为奇数项．设最大项为，则有即整理得将代入上式，解得．∵，∴，即数列中的最大项是第5项．第四部分7. D 8. B 9. D 10. A11. C 12. B第五部分13.14. ；15.16.第六部分17. （1）因为函数的周期为所以（2）由（1），得由余弦定理，得由，得当且仅当时等号成立．由，得则有从而即因此，函数的值域为．18. （1）这封信分别被投进个信箱的概率为（2）恰有个信箱没有信的概率为（3）设信箱中的信封数量为，则．则的分布列为于是19. （1）因为椭圆右焦点的坐标为，由于它也是抛物线的焦点，所以曲线的方程为（2）设，，．由，得由，得将代入，得代入，得整理，得因为，所以由已知，得由，得，从而因此，．（3）由（2），得，，则从而由，得从而由，得从而因此，．。
市宣武区第二次模拟试题数学试卷理科
市宣武区第二次模拟试题数学试卷理科集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#2001年北京市宣武区第二次模拟试题 数学试卷（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知映射f ：A →B ，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3}，集合B 中的元素都是集合A 中的元素在映射f 下的象，且对于任意a ∈A ，在B 中和它对应的元素是log 2|a|，则集合B 中元素为有理数的个数是（ ）A 0B 1C 2D 32．函数)1x )(1x (log y 2>-=的反函数的图象是（ ）3．椭圆)0b a (1b y a x 2222>>=+的离心率是22，那么双曲线1by a x 2222=-的离心率是（ ） A 2 B 23 C 36 D 26 4．已知m 、n 是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，对于以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；② 若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β；④若m ⊥n ，α∩β=m ，则n ⊥α或n ⊥β若中正确的命题是（ ）A ①与②B ②与③C 仅②D 仅④5．函数y=(arcsinx)2+4arcsinx -1取得最大值和最小值的情况是（ ）A 有最小值-5，无最大值B 有最小值-5，最大值1242-π+πC 有最小值1242-π-π，最大值1242-π+π D 有最小值1242-π-π，最大值1242-π+π 6．极坐标方程所表示的曲线是（ ）A 两条相交的直线B 两个相交的圆C 一条直线和一个圆，且直线与圆相离D 一条直线和一个圆，且直线与圆相切7．设复数],0[,cos i cos z π∈θθ+θ=，w=－1+i ，则|z －w|的最大值是（ ）A 12+B 5C 2D 28．已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x －1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则Q 1分有向线段MO 2的比λ等于（ ）A 56-B 65-C 56D 65 9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7、a 10、a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项为b 1=3，则b n 等于（ ）A 1n )35(3-⋅B 1n )85(3-⋅C 1n )53(3--⋅D 1n )32(3-⋅ 10．如图一，菱形ABCD 中，∠DAB=120°，AB=1，沿对角线AC 将△ACD 折起，使点D 至D ′位置，连BD ′得到三棱锥D ′—ABC （如图二），则三棱锥D ′—ABC 体积的最大值为（ ）A163 B 81 C 83 D 16111．某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。
届北京市宣武区第二学期高三第二次质量检测(理)
2009届北京市宣武区第二学期高三第二次质量检测数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的。
1．已知αα2cos ,32sin 则=的值是 （ ）A ．1352- B ．91 C ．95 D ．351-2．已知向量x -+==22),2,(),2,1(与则向量（ ）A ．垂直的必要条件是2-=xB ．垂直的充要条件是27=xC ．平行的充分条件是2-=xD ．平行的充要条件是1=x3．已知两个正数a 、b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为 （ ）A ．100B ．50C ．25D ．104．已知γβα,,,,为直线b a 为平面， ①b a b a //,,则αα⊥⊥； ②βαβα//,//,,则b a b a ⊥⊥；③βαβγαγ//,,则⊥⊥；④ββαα//,,a a 则⊥⊥。
以上结论正确的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③5．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（ ）A ．2539C CB ．25310C CC ．25310A AD ．25410C C6．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，则A 、C 两点间的球面距离是（ ）A ．4π B ．2π C ．π42 D ．π22 7．设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别是 （ ）A ．)1()1(-f f 与B ．)1()1(f f 与-C ．)2()2(f f 与-D ．)2()2(-f f 与8．抛物线x y 42=的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且π32=∠AFB ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为（ ）A ．334 B ．33 C ．332 D ．3第Ⅱ卷（选择题，共40分）二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上。
宣武区(理)
北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第一次质量检测高 三 数 学（理科） 2010.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}0322≤-=x x x P ，3.02=m ，则下列关系中正确的是 （ ）A ． A m ⊂B ． A m ∉C ．{}A m ∈D ．{}Am ⊂≠2. 设平面向量()2,1=a ，=b ()y ,2-，若b a //，则b a +3等于 （ ）A ． 5B ．6C ． 17D ．263. 若复数z 满足i iz21=+, 则z 对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 设函数()2321-⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ，则其零点所在区间为 （ ）A ． (01)，B ． (12)，C ．(23)，D ．(34)，5.若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和.且32211π=S ，则6t a n a 的值为 （ ） A ． 3B ． 3±C ． 3-D ．33-6. 已知椭圆122=+n y m x 与双曲线122=-qy p x （∈q p n m ,,,+R ）有共同的焦点21,F F ,P 是两曲线的一个公共交点.则下列结论正确的是 （ ） A ． 22m p -B ． m p -C ．p m -D ．22p m -7. 某单位员工按年龄分为C B A ,,三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知C 组中甲、乙均被抽到的概率是451，则该单位员工总人数为（ ）A ． 110B ． 100C ．90D ． 808. 设函数()x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ，定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=,,,,K x f x f K x f K x f K则当函数()x x f 1=,1=K 时，()dx x f K ⎰241的值为 （ ） A ． 22ln 2+ B ．12ln 2-C ． 2ln 2D ．12ln 2+第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是_____． 10. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此几何体的体积是 3cm ．11.若C B A ,,是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点C ，0110=∠ABC ，040=∠BCP ，则AOB ∠的大小为 .12. 直线03:=-y x l 与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C （ϕ为参数，0>a ）有两个公共点B A ,，且2=AB ，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 13.若C B A ,,为ABC ∆的三个内角，则CB A ++14的最小值为 . 14. 有下列命题：①若()x f 存在导函数，则()()[]'='x f x f 22； ②若函数()x x x h 44sin cos -=，则112=⎪⎭⎫⎝⎛π'h ； ③若函数()()()()()2010200921--⋅⋅⋅--=x x x x x g ，则()!20092010='g ；④若三次函数()d cx bx ax x f +++=23，则“0=++c b a ”是“()x f 有极值点”的充要条件.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）已知函数()x x x x f 22cos sin 32cos -+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=. （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期及图象的对称轴方程； （Ⅱ）设函数()()[]()x f x f x g +=2，求()x g 的值域.16. （本小题共13分）如图，四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，=∠ABCo 90=∠BAD ，AD BC AB PA 21===．E 为AB 中点，F 为PC 中点. （Ⅰ）求证：⊥PE BC ；（Ⅱ）求二面角A PE C --的余弦值；(Ⅲ)若四棱锥ABCD P -的体积为4，求AF 的长.17. （本小题共13分）某公司要将一批海鲜用汽车运往A 地，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，可多获得1万元,每迟到一天送到，将少获得1万元.为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．(Ⅱ)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ (注：毛利润＝销售收入－运费).ADEPCB F18. （本小题共13分）已知函数),()1(31)(223R b a b x a ax x x f ∈+-+-=. （Ⅰ）若1=x 为)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f y =的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为03=-+y x ，（ i ）求)(x f 在区间]4,2[-上的最大值；（ii ）求函数x e m x m x f x G -+++=])2()('[)(（R m ∈）的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36．（Ⅰ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为2，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为450的直线l 和椭圆交于B A ,两点， （i ）当3||=AB 时，求b 的值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μ+λ=，求实数μλ,满足的关系式．20. （本小题共14分）已知数列{}n a 满足11=a ，点()1,+n n a a 在直线12+=x y 上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足11a b =，()N n n a a a a b n n n ∈≥+⋅⋅⋅++=-,2111121， 求11)1(+++-n n n n a b a b 的值；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{}n b ，求证：*)(310)1()1)(1(2121N n b b b b b b n n ∈⋅⋅⋅<+⋅⋅⋅++．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市宣武区2008~2009学年度第二学期第二次质量检测高三数学（理） 2009.5一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的 1. 已知32sin =α，则α2cos 的值是（ ）.A. 1352- B. 91 C.95 D. 351-2. 已知)2,1(=a ，)2,(x b =，则向量b a 2+与b a -2（ ）. A. 垂直的必要条件是2-=x B. 垂直的充要条件是27=xC .平行的充分条件是2-=x D.平行的充要条件是1=x 3. 已知两个正数a 、b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为（ ）. A. 100 B. 50 C. 25 D. 104. 已知，a ，b 为直线，α，β，γ为平面，给出以下结论：①α⊥a ，α⊥b ，则a ∥b ；②α⊥a ，β⊥b ，a ∥b 则α∥β； ③αγ⊥，βγ⊥，则α∥β； ④α⊥a ，βα⊥，则a ∥β。
则以上结论正确的是（ ）.A.①②B. ①④C. ③④D. ②③5. 要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（ ）.A. 2539C CB. 25310C CC. 25310A AD. 25410C C6. 顶点在同一球面上的正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AB ，21=AA ，则A 、C 两点间的球面距离是（ ）. A.4πB.2πC.π42 D.π227. 设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别是（ ）. A. )1(f 与)1(-f B. )1(-f 与)1(f C. )2(-f 与)2(f D. )2(f 与)2(-f8. 抛物线x y 42=的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且π32=∠AFB ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M '，则ABM M '的最大值为（ ）.A.334 B.33 C.332 D. 3二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上 9.)1211(21l i m ---→x x x = .10. 在ABC ∆中，若︒=∠60B ，42tan =A ，2=BC ，则=AC .11. 7)1(xx +展开式中5x 的系数是 （用数字作答）.12. 已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+,0,0,022y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积是___ __;代数式22)2()1(-+-y x 的最小值是 .13. 已知),(n a n )N (*∈n 是直线12+=x y 上的一点，数列{}n b 满足11+⋅=n n n a a b)N (*∈n ，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则=10S .14. 在平面直角坐标系中，定义点),(11y x P 、),(22y x Q 之间的“直角距离”为),(Q P d 2121y y x x -+-=.若),(y x C 到点)3,1(A ，)9,6(B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x ，100≤≤y ，则所有满足条件点C 的轨迹的长度之和为 .北京市宣武区2008~2009学年度第二学期第二次质量检测高三数学（理） 2009.5一．选择题：请将选择题的正确答案填在下列的表格内（每小题5分，共40分）．5分，共30分）． 9． ； 10． ； 11． ； 12． ； ； 13． ；1４． ．第II 卷（解答题 共80分）三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分）设函数2)32ln()(x x x f ++=.（1）讨论)(x f 的单调性；（2）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最大值和最小值.16.（本题满分13分）在A 、B 两只口袋中均有2个红球和2个白球，先从A 袋中任取2个球转放到B 袋中，再从B 袋中任取1个球转放到A 袋中，结果A 袋中恰有ξ个球. （1）求1=ξ时的概率； （2）求随机变量ξ的分布列及期望.17.（本题满分13分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，21==BC BB ，且M 是BC 的中点，点N 在1CC 上. （1）试确定点N 的位置，使 MN AB ⊥1 ； （2）当 MN AB ⊥1 时，求二面角N AB M --1的大小.18.（本题满分13分）数列{}n a中，21=a ，cn a a n n +=+1（c 是不为零的常数， ，3,2,1=n ）， 且1a ，2a ，3a 成等比数列. （1）求c 的值； （2）求{}n a 的通项公式； （3）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-n n c n c a 的前n 项之和n T .19.（本题满分14分）椭圆C 的中心坐标为原点O ，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为22，直线l 与y 轴交于点),0(m P ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP λ=. （1）求椭圆方程； （2）若OP OB OA 4=+λ，求m 的取值范围.20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足递推关系式：2112n n a a -=+（1≥n ，N ∈n ），且101<<a .（1）求3a 的取值范围；（2）用数学归纳法证明：nn a 21)12(<--（3≥n ，N ∈n ）；（3）若nn a b 1=，求证：nn b 212)12(<+-（3≥n ，N ∈n ）.北京市宣武区2008~2009学年度第二学期第二次质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2009.5一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上12三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分） 解：)(x f 的定义域为),23(+∞-.（1） x x x f 2322)(++='32)1)(12(2+++=x x x当123-<<-x 时，0)(>'x f ；当211-<<-x 时，0)(<'x f ；当21->x 时，0)(>'x f ；∴)(x f 在区间)1,23(--，),21(+∞-上单调递增；在)21,1(--上单调递减.（2）由（1）知，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最小值为 412ln )21(+=-f ；又2173ln 16127ln 16923ln )41()43(+=--+=--f f0)649ln1(21<-=)(x f ∴在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最大值为27ln 161)41(+=f . 16.（本题满分13分）解：（1）1=ξ表示经过操作以后A 袋中只有1个红球，有两种情形出现① 先从A 中取出1红和1白，再从B 中取1白到A 中36121613241212=⋅=C C C C C P . ② 先从A 中取出2红球，再从B 中取1红球到A 中36616142422=⋅=CC CC P ，9436163663612)1(==+==∴ξP .（2）同（1）中计算方法可知：362)0(==ξP ，3616)2(==ξP ，362)3(==ξP .于是ξ的概率分布列231813188218811810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .17.（本题满分13分）解法1：（1）连结MA 、M B 1，过M 作M B MN 1⊥，且MN 交1CC 点N .在正ABC ∆中，BC AM ⊥，又 C C BB ABC 11平面平面⊥， 易证1AMB MN 平面⊥，1AB MN ⊥∴.在BM B Rt 1∆与MCN Rt ∆中，易知M BB NMC 1∠=∠，21tan tan 1=∠=⇒=∠∴M BB NC MCNC NMC ，即21=NC .（2） 过点M 作1AB ME ⊥，垂足为E ，连结EN ，由（1）知1AMB MN 平面⊥， 1AB EN ⊥∴（三垂线定理）， MEN ∠∴即为二面角N AB M --1的平面角，由1BC AM 平面⊥，知M B AM 1⊥. 在1AMB Rt ∆中，4302253=⨯=ME ，又25)21(12=+=MN ，故在EMN Rt ∆中，36tan ==∠MEMN MEN ，故二面角N AB M --1的大小为36arctan.解法2：（1）以点M 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,1(B ，)0,3,0(-A ，)2,0,1(1B ， 令),0,1(z N -，)2,3,1(1=∴AB ，),0,1(z MN -=. 由MN AB ⊥1，知0211=+-=⋅z MN AB ，21=∴z ，即21=NC .（2）BC AM ⊥ ，C C BB ABC 11平面平面⊥，C C BB AM 11平面⊥∴，AN AM ⊥∴. 1AB MN ⊥ ，1AMB MN 平面⊥∴，即)21,0,1(-=MN .设平面N AB 1的法向量为)1,,(y x n =，又1AB n ⊥ ，AN n ⊥，且)2,3,1(1=AB ，)21,3,1(-=AN ，⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++∴,0213,023y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,1235,43y x 故)1,12135,43(--=n ，45=⋅∴n MN ，515cos ==∴θ，故二面角N AB M --1的大小为515arccos.18.（本题满分13分）解：（1）21=a ，c a +=22，c a 323+=.因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以)32(2)2(2c c +=+，解得0=c 或2=c .（2）当2≥n 时，由于c a a =-12，c a a 223=-，…，c n a a n n )1(1-=--，所以[]c n a a n )1(211-+++=-c n n 2)1(-=.又21=a ，2=c ，故有2)1(22+-=-+=n n n n a n ),3,2( =n .当1=n 时，上式也成立，所以22+-=n n a n （1=n ，2，…）.（3） 令nn n n n cn c a b )21)(1(-=⋅-=.n n b b b b T ++++= 321nn )21()1()21(3)21(2)21(0432⋅-++⨯+⨯++= . ①143)21()1()21()2()21(2)21(021+⋅-+⋅-++⨯++=n n n n n T . ② ①-②得n n n n T 21)21(11---=-.19.（本题满分14分）解：（1）设C ：12222=+bx ay )0(>>b a ，设0>c ，222b a c -=，由条件知2222==-cbc ca，22=ac ，所以1=a ，22==c b ，故C 的方程为1222=+x y .（2）由PB AP λ=得 )(OP OB OA OP -=-λ，OB OA OP λλ+=+)1(，所以41=+λ，3=λ.设l 与椭圆C 交点为),(11y x A 、),(22y x B ， ⎩⎨⎧=++=,12,22y x m kx y 得 0)1(2)2(222=-+++m k m x x k ， 因此)1)(2(4)2(222-+-=∆m k km0)22(422>+-=m k ，则22221+-=+k km x x ，112221+-=k m x x .因为PB AP 3=，所以213x x =-，⎩⎨⎧-=-=+,3,22221221x x x x x x 消去2x ，得04)(321221=++x x x x ， 所以 0214)22(32222=+-++-k m k km ，整理得 02242222=--+k m m k . 当412=m 时，上式不成立；当412≠m 时，1422222--=m mk .由①式得 2222->m k ，因3=λ，所以0≠k ，01422222>--=m mk ，所以 211-<<-m 或121<<m ，即所求m 的取值范围为)1,21()21,1( --.20.（本题满分14分）解：（1）)1(21212a a -=，且)1,0(1∈a 由二次函数性质可知)21,0(2∈a由)1(21223a a -=及)21,0(2∈a 亦可知)21,83(3∈a . （2）证明：①在（1）的过程中可知3=n 时，21833<<a ，则81)12(21)12()12(83813<--<--<--<-a ，可知在3=n 时，na 21)12(3<--成立. 于是：3=n 时，nn a 21)12(<--成立.②假设在k n =（3≥k ）时，)(21)12(*<--kn a 成立.在1+=k n 时，)12(2121)12(21---=--+k k a a12)12(21-+⋅--=k k a a ，其中121)12(2120<+-<-+<kk a （3≥k ）于是1121)12(21)12(++<--<--k k k a a ，从而1+=k n 时得证. 因此（*）式得证. 综合①②可知：3≥n 时n n a 21)12(<--.（3）由nn a 21)12(<--（3≥n ）变形为：nnnnna a a 1212)12(1211121⋅+=-⋅<--，而由nn na 21122112+-<<--（3≥n ）可知：81128112++<<--n a 在 3≥n 上恒成立，于是811211--<na ，1281121212<--+<+na ，从而nna 212)12(1<+-，从而原不等式nn b 212)12(<+-（3≥n ）得证.。