2多元微分(偏导,微分及其应用,数C用)
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
2多元微分(偏导,微分及其应用,数C用)
2. f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处的二个偏导数
f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )都存在 则在该点处： ,
( A).
( x , y ) ( x0 , y0 )
18、某企业总产量 P（x,y）＝ 0.005 x 2 y（吨），
两种投入要素 x,y的价格分别为1万元和 2万元。
且已知该企业拥有资金 150万元，问如何安排 两种要素的投入量，可 使总产量最大，并求出 此产量。
（x＋ y＝ ） 2 150
19、设三角形的三边长分 别为1、 3， 2、
面积为3，试求该三角形内一点 到 三边距离之乘积的最大 值。
求f（ ,0 fy 0 ） x 0 ）， （ ,0
（2 . in ，求 z x，z y x
x2
（ ）z＝（ xy） ，求z x，z y，dz 3. 4
8.设z＝f（x－y，xy 2 ）， f具有二阶
2 2 z z z z 连续偏导数。求 ， ， dz， 2 ， x y x xy
极值与最值问题?极值的必要条件与充分条件?求条件极值的方法消元法拉格朗日乘数法?求解最值问题求区域内部的驻点和边界上可能的极值点5
多元微分及其应用
一、基本内容：
1. 微分公式：
z＝f ( x , y ) dz＝f x ( x , y )d x f y ( x , y ) d y u＝f（x,y,z） du＝f x d x f y d y＋f z d z
（2 .设x＝y 2 x＋（xy），函数 可导。 ）
dy 求 dx
z z 2 z z （3 .设xz＝y＋ye ，求 ， ， ） x y xy
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
多元函数的偏导数及其在物理学中的应用
多元函数的偏导数及其在物理学中的应用多元函数的偏导数是微积分学中的重要概念，它在物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数的偏导数的概念、计算方法以及在物理学中的应用。
一、多元函数的偏导数的概念偏导数是指多元函数中对于一个变量求导时，将其它变量视为常数的导数。
对于一个二元函数f(x, y)，偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y，分别表示对x和y的偏导数。
二、多元函数的偏导数的计算方法1. 对于一个二元函数f(x, y)，求对x的偏导数时，将y视为常数，只对x进行求导。
2. 同样地，求对y的偏导数时，将x视为常数，只对y进行求导。
3. 对于一个更高维度的函数，也可以采用类似的方法求偏导数。
将多元函数中的一个自变量视为常数，只对需要求偏导数的变量进行求导。
三、多元函数偏导数的应用多元函数的偏导数在物理学中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 物体运动的速度和加速度在物理学中，描述物体运动的函数通常是关于时间和空间的多元函数。
通过对这个函数的偏导数，可以得到物体在不同时间点的速度和加速度。
2. 热传导方程与温度分布在热传导方程中，温度是关于空间和时间的函数。
通过对热传导方程中的温度函数进行偏导数的计算，可以得到温度在不同位置和时间的变化情况，进而研究热传导的性质。
3. 电场与电势在电磁学中，电场也是关于空间和时间的多元函数。
通过对电场的偏导数计算，可以得到电场在不同位置和时间的变化率。
而电势则是电场的负梯度，也可以通过偏导数的计算得到。
4. 粒子在势场中的运动在量子力学中，描述粒子在势场中的运动通常使用薛定谔方程。
通过对薛定谔方程中的波函数进行偏导数的计算，可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布以及运动性质。
以上仅是多元函数偏导数在物理学中的一些应用示例，实际上多元函数偏导数在物。
多元函数微分学知识点
多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。
在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。
本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。
多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。
而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。
对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。
偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。
第二个知识点是全微分。
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。
全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。
全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。
例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。
最后一个知识点是梯度。
梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。
梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。
通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。
多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。
在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。
在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。
综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
第十二讲(2多元函数微分法)
( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求此长方体的体积的最 大值。
z y2 2 z －xy 10.设z＝ ＋（xy），求x x y x 2 （பைடு நூலகம் y ）
11.求下列隐函数所确定的导数：
y xy （） y＝ ＋e ， 1 .设 x
2
dy 求 dx
（2 .设x＝y 2 x＋（xy），函数 可导。 ）
dy 求 dx
z z 2 z z （3 .设xz＝y＋ye ，求 ， ， ） x y xy
1. 若 f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处不连续，则
( A).
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) 必不存在
( B ). f ( x 0 , y0 ) 必不存在
(C ). f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 必不可微
( D). f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 必不存在
( D ).以上结论都不成立
3.
4.
5.
6.
7.求下列函数的偏导数：
x2 y2 ＋ ，（x,y） （ ,0 0 ） （）设f（x,y）＝ x－y 1. ， 0，（x,y）＝（0 ,0 ）
求f（ ,0 fy 0 ） x 0 ）， （ ,0
（2 . z＝a ）
x2 y2 ＋
17、求内接于椭圆 x ＋ y ＝ ， 3 12
2
2
其底边平行于长轴的最 大的 等腰三角形的面积
0 3 x＝ x＝ （不合题意，舍去） ， ， 2 1 y＝ y＝ －
18、某企业总产量 P（x,y）＝ 0.005 x 2 y（吨），
两种投入要素 x,y的价格分别为1万元和 2万元。
1 20、经过（2， ）的所有平面中， 1、 3 哪一个平面与三个坐标 面所围成的
立体的体积最小。
（a＝ ，b＝ ，c＝） 6 3 1
21、求内接于定圆的三角 形中面积最大者
2 （ ＝ ＝ ＝ ） 3
22、在圆锥面＝ x 2 y 2 与平面 ＝ 所为成 z ＋ z 3
的锥体内作出底面平行 于xoy坐标面的长方体，
且已知该企业拥有资金 150万元，问如何安排 两种要素的投入量，可 使总产量最大，并求出 此产量。
（x＋ y＝ ） 2 150
19、设三角形的三边长分 别为1、 3， 2、
面积为3，试求该三角形内一点 到 三边距离之乘积的最大 值。
提 示 ：u＝xyz且x＋ y＋ z＝ 3 2 3 2 2S 2 3 x＝y＝z＝ ＝ 3abc 3 1 2 3
y sin ，求 z x，z y x
x2
（ ）z＝（ xy） ，求z x，z y，dz 3. 4
8.设z＝f（x－y，xy 2 ）， f具有二阶
2 2 z z z z 连续偏导数。求 ， ， dz， 2 ， x y x xy
2z 2z z z 2 d 9.设z＝f（ x y），求 ， ， z， 2 ， 3 x xy x y
多元微分及其应用
一、基本内容：
1. 微分公式：
z＝f ( x , y ) dz＝f x ( x , y )d x f y ( x , y ) d y u＝f（x,y,z） du＝f x d x f y d y＋f z d z
2. 重要关系:
函数连续 函数可微
偏导数连续 3. 多元复合函数求导问题
12.
13.
14.
15.设f＝e x yz 2，z由x＋y＋z＋xyz＝ 确定， 0 求f（ ， 1 ，－） （－） 1 x 01
15.设f＝ x ＋ax＋xy ＋ y， f在点（ ，－） 2 2 1 1
2
2
取得极值，求常数 a
（a＝－ ） 5
16.求z＝ 4 x 3 y 2 － －
在圆域 x 2 y 2 1上的最值。 ＋
2. f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处的二个偏导数
f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )都存在 则在该点处： ,
( A).
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) 存在
( B ). f ( x , y ) 连续 (C ). f ( x , y ) 可微
函数可导
4. 隐函数 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
5. 二阶偏导问题
6. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件
• 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上 可能的极值点)
•7、具体应用问题
二、典型练习：