第三章离散付里叶变换
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章-DFT变换
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为
kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN , k 0,1,, N 1 1.1) (3. k 0 N 1
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则
X (k ) x (n )W8kn e
n 0 N 0
Y (k ) DFT [ y ( n )]
kn x (( n m)) N RN ( n )WN n 0 kn x (( n m)) N WN n 0 N 1 N 1
令n+m=n’， 则有
Y (k )
N 1 m n m
k x((n)) NWN ( nm ) N 1 m n m
N 1
0 k N-1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
z e
j
2 k N
, ,
Hale Waihona Puke 0 k N-1 0 k N-1
(3.1.3) (3.1.4)
X ( k ) X ( z j )
2 k N
图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系
3.1.3 DFT的隐含周期性
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
(整理)离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
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3.1 引言
• 由于有限长序列，引入DFT(离散傅立叶变换)。 • DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有 用工具。 • DFT变换除了作为有限长序列的一种傅立叶表 示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算 机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散傅立 叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字 信号处理的算法中起着核心的作用。
• 其为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使 其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样 N个点，则两采样点间距为： 2 N • 得到频间距为： 2 w k k 0,1,2 N 1 N
2 • 代入DTFT式子中得： N 1 jn k ~ ~ jw X (k ) X (e ) 2 ~(n)e N x w N k n 0
1.傅 立 叶 级 数(FS)
• 如果周期函数在满足狄利赫里的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。当正交函数是三角函数和指数时， 分别叫做“三角形式的傅立叶级数”和“指数形式的傅立 叶级数”。 • 周期连续时间信号 FS 非周期离散频谱密度函数。 • 周期为T0的周期性连续时间函数 x(t) 可展成傅立叶级数 X(jkΩ0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:
~ ~ ~(n) IDFS [ X (k )] 1 X (k )e x N k 0
• x N
k 0
N 1
WN e
2 j N
例子
• 已知序列x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周 期进行周期延拓成x~(n)，求x~(n)的DFS。 • 解：
3.序列的傅立叶变换(DTFT)
• 非周期离散的时间信号(经过单位园上的Z 变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。
例子
• 同样可看出，时域的离散造成频域的周期延拓 ， 而时域的非周期对应于频域的连续 。
4.离散傅立叶变换(DFT)
• 上面讨论的三种傅立叶变换对 ，都不适于在计 算机上运算 ，因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 ，函数是连续的 。 因为从数字计算角度 ， 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况 ， 这就是我们这里要谈到的离散傅立叶变换 。 • 周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性时间信号产生的频谱是离散的 离散时间信号产生的频谱是周期性的 得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。
n 0 n 0 N 1 j 2 nk N N 1 k 0
• 反变换
• 其中:
~ ~ ~(n) IDFS [ X (k )] 1 x X ( k )e N k 0
~(k )WNnk x
WN e
2 j N
二、DFS离散傅立叶级数的推 导意义
• 用数字计算机对信号进行频谱分析时， 要求信号必须以离散值作为输入，而且 上面讨论可知：只有第四种形式(DFT)对 数字信号处理有实用价值。 • 但如果将前三种形式要么在时域上采样， 要么在频域上采样，变成离散函数，就 可以在计算机上应用。所以我们要先了 解如何从以上三种形式推出DFS。
三、DFT涉及的基本概念
1. 主 值(主值区间、主值序列) 2. 移 位(线性移位、圆周移位) 3. 卷 积(线性卷积、圆周卷积) 4. 对 称(序列的对称性、序列的对称分量) 5. 相 关(线性相关、圆周相关)
1. 主 值(主值区间、主值序列)
• 主 值 区 间：设 有 限 长 序 列 x(n) ,0≤n≤N-1 , ~ (n,) 周 期 序 列 长 将其延拓为周期序列 x 度为N, 则第 一 个 周 期 n=0 到 n=N-1 的 区 间 称 为 主 值 区 间。 • 主 值 序 列： 设 有 限 长 序 列 x(n) , 0≤n≤N-1 , ~ ( n) 期 为 N , x, 周 将其延拓为周期序列 ~ (n)主 值 区 间 内 的 序 列 则x x(n)= ~ (n) ,0≤n≤N-1 , 即 为 主 值 序列。 x
x(n) 3
2 1 1 0.5 n
(2)例子
(3)m=1时，左移(取主值) x(n) 3 2 1 10.5
n
(4)m=-2时，右移(取主值) x(n) 1 2 1 n 3
0.5
3.卷 积
• • • • 卷积在此我们主要介绍： (1)线性卷积 (2)圆周卷积 (3)圆周卷积与线性卷积的性质对比
(1)线性卷积
一、四种不同傅立叶变换对
• 傅 立 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的傅立叶变换； • 连 续 傅 立 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频率的傅立叶变换； • 序 列 的 傅 立 叶 变 换(DTFT)：离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 立 叶 变 换； • 离 散 傅 立 叶 变 换(DFT)：离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 立 叶 变 换。
DFT的变换
• 总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期 延拓。
二、四种傅立叶变换形式的归纳
3.3 周期序列的离散傅立叶级数(DFS)
• 我 们 先 从 周 期 序 列 的 离 散 傅立叶 级 数(DFS) 开 始 讨 论 , 然 后 再讨 论 可作为周期函数一个周期的有限 长 序 列 的 离 散 傅 立 叶 变 换(DFT)。
k 0
N 1
nk N
• X(k)、x(n)为有限长序列的离散傅立叶变换对， 已知其中一个序列就能确定另一个序列。
注意
• 在离散傅立叶变换关系中,有限长 序列都作为周期序列的一个周期 来表示,都 隐含有周期性意义。
DFT与序列的DTFT和Z变换的关系
X (e ) x ( n )e
j n 0
一、DFS定义
• 设 ~ (n) 为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 x 散 傅 立 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : • 正变换 2 N 1 N 1
~ ~(n)] ~(n)e j N nk ~(n)W nk X (k ) DFS [ x x x N
例子
• 通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频 域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与 时域的周期时间函数对应。 (频域采样，时域周 期延拓)
2.连 续 傅 立 叶 变 换(FT)
• 非周期连续时间信号通过连续傅立叶变换(FT) 得到非周期连续频谱密度函数。
例子
• 从以下变换对可以看出时域连续函数造成频域 是非周期的谱 , 而时域的非周期造成频域是连 续的谱 。
x(t)
X(ejw) 采样
t
w
3.非周期离散时间信号
• 非周期离散时间信号经过序列傅立叶变换(即 单位园上的Z变换)DTFT，得到周期连续谱密 度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数 (DFS)。
x(t) DTFT X(ejΩT)
t
X(ejw)
Ω
w
采 样
三、推导DFS正变换
• 以下由第三种傅立叶级数形式为例推导出离散傅 立叶级数变换。 • 非周期信号x(n)，其DTFT(单位园上Z变换)为 ~ jw jnw X (e ) x ( n )e
2 移位
• 线性移位：序 列 沿 坐 标 轴 的 平 移 。 • 圆周移位：将 有 限 长 序 列 x(n) 以 长 度 N 为 周 期, 延 拓 为 周 期 序 列, 并 加 以 线 性 移 位 后, 再 取 它 的 主 值 区 间 上 的 序 列 值， m 点 圆 周 移 位 记 作:
xm (n) x((n m)) N RN (n)
n
k 0,1,2 N 1
• 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 立 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 ： • 正变换 2 • 反变换
n 0 n 0
N 1 N 1 j nk ~ nk X (k ) DFS [ ~(n)] ~(n)e N ~(n)WN x x x
3.2 傅立叶变换的几种可能形式
• 傅立叶变换： 建 立 以 时 间t 为 自 变 量 的 “ 信 号 ” 与 以 频 率 f为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频谱) 之 间的某种变换关系。 • 所以“时间”或“频率”取连续还是 离散值,就形成各种不同形式的傅立叶 变 换 对 。在 深 入 讨 论 离 散 傅 立 叶 变 换 D F T 之 前 , 先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 立 叶 变换对。
• 线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列 • x1(n),0≤n≤N1-1; x2(n),0≤n≤N2-1 • 则线性卷积为
y (n) x1 (n) * x2 (n)
m
x ( m) x
1
2
( n m)
• 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1 .
N 1
jn
X ( z ) x ( n) z n
n 0
nk X (k ) x(n)WN X ( z ) | n 0 N 1
z WN k
N 1
e
X (e j ) | 2 j k
N
2 k N
x（n）的N点DFT是：x（n）的z变换在单位圆 上的N点等间隔抽样；x（n）的DTFT在区间 [0,2π]上的N点等间隔抽样。
• 其 中((...))N 表 示 N 点 周 期 延 拓。
(1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实现步骤
x(n) 3
2 1 1 0.5 n
(2)例子1
(1)周期延拓：N=5时 3 2 1 1 2
x(n) 3 0.5
1
3 2 1 0.5 1 1 0.5 n
(2)周期延拓：N=6时，补零加长 x(n) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 0.5 1 1 0.5 n