高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1.2.1-1.2.2

1.2导数的计算
1.2.1几个常用函数的导数
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(一)
课时过关·能力提升
基础巩固
1函数f(x)=0的导数是()
A.0
B.1
C.不存在
D.不确定
答案A
2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()
A.4
B.-4
C.5
D.-5
解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.
又f'(-1)=-4,
∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.
答案A
3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()
A.有一个
B.有两个
C.多于两个
D.不能确定
解析∵f'(x )=3x 2,∴令3x 2=9,得x=±√3.
∴可得切点坐标为(√3,3√3)和(-√3,-3√3).
故满足条件的点有两个.
答案B
4y=cos x 在x=π6处的切线斜率为( ) A.√32 B.-√32 C.-12 D.12
解析∵y'=(cos x )'=-sin x ,
∴y'|x=π6
=-sin π6=-12. 答案C
5曲线y=ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是 ,切线方程为 .
解析∵y'=(ln x )'=1x ,∴y'|x=e =1e .
∴切线方程为y-1=1
e (x-e),即x-e y=0.
答案1e x-e y=0 6若函数f (x )=log a x ,f'(1)=-1,则a= .
解析∵f'(x )=1xlna
, ∴f'(1)=1lna =-1.
∴ln a=-1.∴a=1
e .
答案1e 7曲线y=sin x 在点(π3,√32
)处的切线方程为 . 解析因为y'=(sin x )'=cos x ,
所以y'|x=π3=12
. 所以切线方程为y-
√32=12(x -π3), 即x-2y+√3−π3=0.
答案x-2y+√3−π3
=0 8求下列函数的导数:
(1)y=1
x 4;(2)y=log 4x ;(3)y=√x 45.
解(1)y'=(1
x 4)'=(x -4)'=-4x -5=-4x 5.
(2)y'=(log 4x )'=1xln4
. (3)y'=(√x 45)'=(x 45)'=45x -15. 9若质点P 的运动方程是s=√t 23
(s 的单位为m,t 的单位为s),求质点P 在t=8 s 时的瞬时速度. 分析求质点P 在t=8 s 时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s 时的导数.
解∵s'=(√t 23)'=(t 23)'=23
t -1
3, ∴s'|t=8=23×8-13=23×2-1=1
3.
故质点P 在t=8 s 时的瞬时速度为13 m/s . 能力提升
1下列结论正确的个数为( )
①若y=ln 2,则y'=12;②若y=1
x 2,则y'|x=3=-227;③若y=2x ,则y'=2x ln 2;④若y=log 2x ,则y'=1xln2.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.
答案D
2曲线y=e x 在(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.94e 2
B.2e 2
C.e 2
D.e 22
解析因为y'=e x ,所以y'|x=2=e 2.
所以切线方程为y-e 2=e 2(x-2),即y=e 2x-e 2.
当x=0时,y=-e 2;
当y=0时,x=1,
所以所围成的三角形的面积S=12×1×|-e 2|=e 22
. 答案D
3若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )
A .y=sin x
B .y=ln x
C .y=e x
D .y=x 3
答案A 4正弦曲线y=sin x (x ∈(0,2π))上切线的斜率等于12
的切点坐标为 . 解析设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0∈(0,2π)),
则由题意可得cos x 0=12
, 所以x 0=π3,y 0=√32或x 0=5π3,y 0=-√32
.
故切点坐标为(π3,√32)或(5π3,-√32
). 答案(π3,√32)或(5π3,-√32
) 5已知P ,Q 为抛物线x 2=y 上的两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过点P ,Q 分别作抛物线的切线,两条切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 .
解析由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2),
∵点P ,Q 在抛物线x 2=y 上,
∴{42=y 1,(-2)2=y 2.①②
∴{
y 1=16,y 2=4,
即P (4,16),Q (-2,4),如图所示.
又抛物线为y=x 2,
∴y'=2x.∴过点P 的切线斜率为y'|x=4=8.
∴过点P 的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.
又过点Q 的切线斜率为y'|x=-2=-4,
∴过点Q 的切线方程为y-4=-4(x+2),
即y=-4x-4.
联立{y =8x -16,y =-4x -4,
得{x =1,y =-8. 故点A 的纵坐标为-8.
答案-8
★6设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,若a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 .
解析曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n =n+1,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-
1).
令y=0,得x n =n n+1
. ∴a n =lg n
n+1.
∴a 1+a 2+…+a 99=lg 12+lg 23+…+lg 99100
=lg (12×23×…×
99100)=lg 1100=-2. 答案-2 ★7已知直线y=kx 是曲线y=ln x 的一条切线,试求k 的值. 解设直线y=kx 与曲线y=ln x 相切时的切点坐标为(x 0,y 0).
∵y=ln x ,∴y'=1x ,
∴y'|x=x 0=1x 0
=k. ∵点(x 0,y 0)既在直线y=kx 上,也在曲线y=ln x 上,∴{
y 0=kx 0,y 0=ln x 0.①② 把k=1x 0代入①式得y 0=1,再把y 0=1代入②式得x 0=e .∴k=1x 0=1e .。