(word完整版)妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐,公式编辑器完美编辑)
罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用精编版
课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ，∴xx x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
解：要使(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=⇒=从而(12)ξ,=即为满足定理的ξ。
柯西中值定理与洛必达法则
求 型不定式极限的洛必达法则
定理 2设函数
(1)
→
→
(2)
在
在区间
内满足:
；
内可导，且
；
(3)
存在 (或
)；
→
→
则
(或
).
→
→
→
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
注: (1)对于 (2)当
， 时,令
的情形,也有相应结论;
→
→
对于
→
→
→
对自变量变化的六种过程都成立
,
拉格朗日中值定理
:
柯西中值定理
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
定理1(柯西中值定理)如果函数
(1)在闭区间 上连续;
(2)在区间
内可导,且
那么至少存在一点
,使
和 满足
例1设 ( )在 上连续，在
点
，使
上可导，证明：至少存在一
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
不定式极限的计算
型不定式极限
→
→
型不定式极限
→
→
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——问题的引入
柯西中值定理 洛必达法则
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——主要内容
拉格朗日中值定理 如果函数 在理的参数方程情形.
:
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
→
例5求
→
( 为正整数， ).
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
其他不定式极限的计算 其他不定式： 例6求下列极限 （1）
→
（3）
→
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221nn b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a ii2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120nn a a a +++≥()()()044222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a bb a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++2C AB ≥∴则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设12
12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．
其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 2
n a b 和
21求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：
练习题
1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=
(1)求t 的最小值；
(2)当2
1=t 时，求z 的取值范围 2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
(1)求()222149a b c +++的最小值；
(2)
≥3
45678求x
z z y y x +++++值． 9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1)求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+。
4.1.3柯西中值定理
x
x
思考设0 a b,函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,
试证 : 至少存在一点 (a, b), 使得
f ( ) - f ( ) bf (a) af (b) .
ba
证 令F ( x) f ( x) ,G( x) 1 ,它们在[a, b]上满足
x
x
柯西中值定理的条件,
柯西中值定理
第四章 中值定理及导数的应用 第1节中值定理
柯西中值定理
一、定理及证明
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x) 及
F ( x) 在闭区间[a, b] 上连续,在开区间(a, b) 内可导,且F ' ( x)在(a, b) 内每一点处均不为
零，那末在(a, b) 内至少有一点(a b),
使等式
f (b) f (a) f '( )
成立.
F (b) F (a) F '( )
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一点C(F( ), f ( )), 在
该点处的切线平行于弦AB.
Y
X F(x)
C
Y f (x)
A
0 F(a) F (1 )
D
X F ( 2 ) F (b)
柯西中值定理
二、柯西中值定理的应用
ba
思考设0 a b,函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,
试证 : 至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) - f ( ) bf (a) af (b) .
ba
分析
f (b) f (a)
原式右边可写成
ba 11
.
ba
令F ( x) f ( x) ,G( x) 1 ,可证.
柯西(Cauchy)中值定理与汇总
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1)(x1 x2 ) .
如果 f (x) 0，必有 f ( ) 0，又 x2 x1 0， 于是有 f (x2 ) f (x1) 0，
即 f (x2 ) f (x1) ,由于x1, x2 (x1 x2 ) 是[a, b] 上任意 两点，所以函数 f (x)在[a,b] 上单调增加．
lim
x
x
0
f (x) f (x0 ) 0于是,有 x x0
f ( x) f ( x0 ) ≤0，
x x0
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0,所以 x x0
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ≥ x x0
0,从而得到 f (x0 ) 0．
类似可证 f (x0 )为极小值情形,证毕．
函数极值点特征：对于可导函数由定理 1 知，可导函数 f (x)的极值点必是 f (x)的驻点．反过来,驻点却不一定 是 f (x)的极值点．如x 0是函数 f (x) x3 的驻点，但 不是其极值点．对于连续函数,它的极值点还可能是 使导数不存在的点,称这种点为尖点．例如, f (x) x ， 但 x 0处导数不存在,但是，x 0是它的极小值点．
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性
第三节 函数的极值与最值
*第四节 曲 率
第五节 函数图形的描绘 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
数学分析6.2柯西中值定理和不定式极限(练习)
第六章 微分中值定理及其应用 1 柯西中值定理和不定式极限练习题1、试问f(x)=x 2, g(x)=x 3在区间[-1,1]是否适应柯西中值定理，为什么？ 解：不能得到。
理由如下：∵f ’=2x ，g ’=3x 2.当x=0时，f ’(x)=g ’(x)=0，不满足柯西中值定理的条件。
2、设函数f 在[a,b]上可导. 证明：存在ξ∈(a,b)，使得 2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).证1：记g(x)=x 2，则g ’(x)=2x ，f,g 符合柯西中值定理， ∴存在ξ∈(a,b)，使f ′(ξ)g ′(ξ)=f (b )−f(a)b 2−a 2，即f ′(ξ)2ξ=f (b )−f(a)b 2−a 2，∴2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).证2：记F(x)=(b 2-a 2)f(x)-[f(b)-f(a)]x 2，则F(x)在[a,b]上可导，且F(a)=F(b). 故由罗尔中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使F(ξ)=(b 2-a 2)f ’(ξ)-2ξ[f(b)-f(a)]=0， ∴2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).3、设函数f 在点a 具有连续的二阶导数. 证明：limh→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ”(a).证：记g(x)=f(x)-f(x-h)，并取充分小的|h|，使f ”(x)在U(a,2|h|)有意义. 由格拉朗日中值定理知：在a 和a+h 之间存在ξ1，在ξ1和ξ1-h 之间存在ξ，使 f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=[f(a+h)-f(a)]-[f(a)-f(a-h)]=g(a+h)-g(a)=g ’(ξ1)h =[f ’(ξ1)-f ’(ξ1-h)]h=f ”(ξ)h 2.∴limh→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=lim h→0f ”(ξ).又当h →0时，ξ→x ，且f ”在点a 连续，∴lim h→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ”(a).4、设0<α<β<π2，试证明存在θ∈(α,β)，使得sinα−sinβcosβ−cosα=ctan θ.证：记f=sinx, g=cosx ，则f,g 在[α,β]⊂(0,π2)符合柯西中值定理， ∴存在θ∈(α,β)，使得sinα−sinβcosβ−cosα=f ′(θ)g ′(θ)=cosθ−sinθ，即sinα−sinβcosβ−cosα=ctan θ.5、求下列不定式极限： (1)limx→0e x −1sinx；(2)lim x→π61−2sinx cos3x；(3)limx→0ln (1+x )−xcosx−1；(4)limx→0tanx−xx−sinx；(5)lim x→π2tanx−6secx+5；(6)lim x→0(1x−1e x −1)；(7)lim x→0+(tanx)sinx；(8)lim x→1x 11−x；(9)lim x→+∞(1+x2)1x；(10)lim x→0+sinxlnx ；(11)lim x→0(1x2−1sin 2x)；(12)lim x→0(tanx x)1x 2.解：(1)limx→0e x −1sinx =limx→0e xcosx =e 0cos0=1.(2)lim x→π61−2sinx cos3x =lim x→π6−2cosx −3sin3x =2cos π63sin π2=√33. (3)lim x→0ln (1+x )−xcosx−1=limx→011+x−1−sinx =lim x→0(11+x·x sinx )=11+0·lim x→0xsinx=1. (4)limx→0tanx−xx−sinx =lim x→0sin 2xcos 2x(1−cosx)=limx→0sin2x−sin2x (1−cosx )+cosxsin2x 2=lim x→013cosx2−1=2. (5)lim x→π2tanx−6secx+5=lim x→π2sinx−6cosx 1+5cosx=1.(6)lim x→0(1x−1e x −1)=lim x→0e x −1−xx(e x −1)=lim x→0e x −1e x −1+xe x =lim x→0e xe x +e x +xe x =12. (7)lim x→0+(tanx)sinx=e limx→0+lntanx1sinx=elim x→0+sec 2xtanx −cosx sin 2x=elimx→0+−sinxcos 2x=e 0=1.(8)lim x→1x11−x=elimx→1lnx 1−x=elimx→11−x=e -1.(9)lim x→+∞(1+x2)1x=elim x→+∞ln(1+x 2)x =elimx→+∞2x1+x 2=e 0=1.(10)lim x→0+sinxlnx=lim x→0+lnx1sinx=lim x→0+−sin 2xxcosx =lim x→0+(−sinx x·tanx)=0.(11)lim x→0(1x2−1sin 2x)=lim x→0sin 2x−x 2x 2sin 2x =limx→02sinxcosx−2x2xsin 2x+2x 2sinxcosx=lim x→0sin2x−2x2xsin 2x+x 2sin2x =limx→0cos2x−1sin 2x+2xsin2x+x 2cos2x =lim x→0−2sin2x3sin2x+6xcos2x−2x 2sin2x=limx→0−23+3·2xsin2x ·cos2x−2x 2=−13.(12)lim x→0(tanx x)1x 2=e limx→0ln(tanxx )x 2=elimx→0xsec 2x−tanx 2x 2tanx=elimx→0sec 2x+2xsec 2xtanx−sec 2x4xtanx+2x 2sec 2x=e limx→0sec 2xtanx2tanx+xsec 2x =elimx→02sec 2xtan 2x+sec 4x 3sec 2x+2xsec 2xtanx=e 13.6、设函数f 在a 点具有二阶导数，证明对充分小的h ，存在θ∈(0,1)， 使得：f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ′′(a+θh )+f ′′(a−θh )2.证：记g(x)=f(a+x)+f(a-x)，则f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=g(h)−g(0)h 2=g ′(h)−g ′(0)2h=g ′′(θh)h 2h=g ′′(θh)2=f ′′(a+θh )+f ′′(a−θh )2.7、求下列不定式极限： (1)limx→1lncos(x−1)1−sinπx2；(2)lim x→+∞(π-2arctanx)lnx ；(3)lim x→0+x sinx； (4)lim x→π4(tanx)tan2x；(5)lim x→0(ln(1+x)(1+x)x 2−1x )；(6)lim x→0(ctanx −1x)；(7)limx→0(1+x)1x −ex；(8)lim x→+∞(π2−arctanx)1lnx.解：(1)limx→1lncos(x−1)1−sin πx2=limx→12tan(x−1)πcos πx2=limx→14sec 2(x−1)−π2sin πx2=−4π2.(2)lim x→+∞(π-2arctanx)lnx=limx→+∞π−2arctanx1lnx=limx→+∞2x(lnx)21+x 2=limx→+∞(lnx)2+lnxx=limx→+∞2lnx+1x=lim x→+∞2x=0.(3)lim x→0+x sinx=e limx→0+lnxcscx=elim x→0+(sinx x ·sinxcosx)=e 0=1.(4)lim x→π4(tanx)tan2x =e lim x→π4lntanxctan2x=e lim x→π4sec 2x−2tanxcsc 22x=e -1. (5)lim x→0(ln(1+x)(1+x)x 2−1x)=lim x→0(1+x)ln(1+x)−xx 2=limx→0ln (1+x )2x=limx→012(1+x )=12. (6)lim x→0(ctanx −1x )=limx→0x−tanxxtanx=limx→01−sec 2xtanx+xsec 2x =lim x→0cos2x−1sin2x+2x=limx→0−2sin2x 2cos2x+2=0.(7)设y=(1+x)1x，lny=ln(1+x)x，(lny)’=x1+x−ln(1+x)x 2，又(lny)’=y ′y，∴y ’=(1+x)1x·x1+x−ln(1+x)x 2limx→0(1+x)1x −ex =lim x→0[(1+x )1x·x1+x−ln (1+x )x 2]=e limx→01(1+x)2−11+x 2x=e limx→0−12(1+x)2=−e2. (8)lim x→+∞(π2−arctanx)1lnx=elimx→+∞ln(π2−arctanx)lnx =elim x→+∞−x1+x 2π2−arctanx=elimx→+∞1−x 21+x 2=e -1.8、设f(0)=0，f ’在原点的某领域内连续，且f ’(0)=0. 证明：lim x→0+x f(x)=1. 证：lim x→0+x f(x)=e lim x→0+f(x)1lnx=elim x→0+f ′(x)−1x(lnx)2=e−lim x→0+x(lnx)2·lim x→0+f ′(x)=e 0·f ’(0)=1.9、证明：(洛必达法则)若函数f,g 满足， 1)lim x→+∞f(x)=lim x→+∞g(x)=0；2)存在M 0>0，使得f 与g 在(M 0,+∞)内都可导，且g ’(x)≠0；3)limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A(A 可为实数或±∞或∞)，则limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.证：令y=1x，f(1y)=F(y)，g(1y)=G(y)，则x →+∞时，y →0+，且1)lim y→0+F(x)=lim y→0+G(x)=0； 2)F 与G 在某点的某右空心邻域U +0(0)内可导，且G ’(y)=−1y2g ’(1y)≠0；3)lim y→0+F ′(y)G ′(y)=limy→0+−1y2f ′(1y )−1y 2g ′(1y )=limy→0+f ′(1y )g ′(1y )=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.补充定义F,G 在y=0的值为F(0)=G(0)=0，在U +0(0)内任取一点y ， 在区间[0,y]上应用柯西中值定理，有：F(y)G(y)=F (y )−F(0)G (y )−G(0)=F ′(ξ)G ′(ξ), ξ∈(0,y).∵y →0+时，ξ→0+，∴lim y→0+F(y)G(y)=limξ→0+F ′(ξ)G ′(ξ)=limy→0+F ′(y)G ′(y)=A.∴lim x→+∞f(x)g(x)=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.10、证明：f(x)=x 3e −x 2为有界函数. 证：∵lim x→∞f(x)=limx→∞x 3ex 2=lim x→∞3x2ex 2=lim x→∞34xe x2=0，∴存在G>0，使得当|x|>G 时，|f(x)|<1；又f(x)在[-G,G]上连续，∴存在M 1>0，使得 对一切x ∈[-G,G]，有|f(x)|≤M 1，取M=max{1,M 1}，则对一切x ∈R ，都有|f(x)|≤M ，∴f(x)为有界函数.。
柯西中值定理ppt课件
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
请证明柯西中值定理在函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续 ，且g'(x)在区间[a, b]上不为0的情况下成立。
基础习题2
利用柯西中值定理，证明函数f(x)在区间[a, b]上至少存 在一个c，使得f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)。
提高习题
数学表达
设f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导，则存在ξ∈(a, b)，使 得f'(ξ)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]。
定理的适用范围
01
柯西中值定理适用于所有在闭区间[a, b]上连续、在开区间(a, b) 上可导的函数f(x)。
02
该定理的适用范围是相当广泛的，包括代数函数、三角函数、
03
柯西中值定理的应用举例
在求极限问题中的应用
总结词
利用柯西中值定理，可以更方便地求解一些难以直接处理的极限问题。
详细描述
在求极限的过程中，有时会遇到函数的形式较为复杂，难以直接应用洛必达法 则的情况。此时，可以利用柯西中值定理，将问题转化为关于参数的方程，从 而简化计算过程。
在研究函数单调性中的应用
在复分析中的应用
要点一
总结词
柯西中值定理在复分析中有着广泛的应用，它为解决复函 数的一些问题提供了重要的工具。
要点二
详细描述
复分析是研究复函数的数学分支，而柯西中值定理在复分 析中有着广泛的应用。通过应用柯西中值定理，我们可以 研究复函数的性质和行为，解决一些重要的数学问题，如 证明函数的单调性、求函数的零点等。此外，柯西中值定 理在复分析中的推广和应用也进一步丰富了该领域的理论 体系。
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妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题
柯西中值定理：若函数()(),f x g x 满足如下条件：
（i ）()(),f x g x 在闭区间[,]a b 上连续；
（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；
（iii ）在(),a b 内的每一点处()0g x '≠
则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得
()()()()()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-='-.
1、 （2012年天津高考理科数学压轴题）
已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >
（Ⅰ）求a 的值
（Ⅱ）若对()0,x ∀∈+∞，都有()2f x kx <成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：
()12ln 21221n
k n k =-+<-∑ （n N *∈）.
2、（2013广西理科数学压轴题）
已知函数()()()1ln 11x x f x x x
λ+=+-+ （Ⅰ）当0x ≥时，()0,f x ≤求λ的最小值 （Ⅱ）设1111,23n a n =+
+++证明：21ln 24n n a a n -+>
3、(2015年山东高考数学理科第21题)
设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.
4、（2017年德阳市二诊数学压轴题）
已知函数()ln x a f x x x
-=-在1x =处取得极值. （Ⅰ）求证：()0f x ≥. （Ⅱ）若[)1,x ∀∈+∞，不等式()()21f x m x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
5、已知函数()()21x f x x e ax =-+. （Ⅰ）当1
2a =-时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若当
0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
6、（2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考数学压轴题）
已知函数()21f x x ax =++，()x
g x e =（其中e 是自然对数的底数）. （Ⅰ）若1a =-，求函数()()y f x g x =在[]1,2-上的最大值；
（Ⅱ）若1a =-，关于x 的方程()()f x k g x =有且仅有一个根，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若对任意的1x 、2x []0,2∈，12x x ≠，不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.
7、（2017年江苏省南通市二模理科数学）
已知函数()1x f x e
=，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()y f x g x =在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）若存在1x ，2x ()12x x ≠，使得()()()()1221g x g x f x f x λ-=-⎡⎤⎣⎦成立，其中λ为常数，求证：e λ>. （Ⅲ）若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()1f x g x a x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。