第四章 矩阵力学基础——表象理论
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第四章课后答案4.5-4#3 @
2 1 2 1 2 1
∴对角化的矩阵为 L x S Lx S
L x 2
1 2 1 2 1 2
0 1 2 1 2
1 1 2 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 2
取 a1
1 ，归一化的 2
1 2 1 ˆ 对应于 L x 的本征值 2 1 2
ˆ 表象的变换矩阵为 ˆ 2 和L ˆ 的共同表象变到 L 由以上结果可知，从 L x Z
1 2 S 0 1 2 1 2 1 2 1 2
ˆA ˆS ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) ( S ˆ 1 ) ( S ˆA ˆS ˆ 1 ) ˆS ˆS (S ˆB
⑵
利用⑴式于⑵，则可以写成
[ A
aa
ˆB ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) A ] 0 ˆS ˆS (S
a1 ∴ 2a1 a1
a1 由归一化条件 1 (a , 2a , a ) 2a1 4 a1 a1
* 1 * 1 * 1 2
1 2 1 ˆ 的本征值 1 对应于 L 取 a1 ，归一化的 x 2 2 1 2
a1 0 1 0 a 1 当 2 时，有 1 0 1 a 2 a 2 2 a 0 1 0 a 3 3
1 a1 2 a 1 1 (a1 a 3 ) a 2 2 1 a3 a2 2
量子力学第四章
( px )mn ih (En Em )xmn
证明 在能量表象中的矩阵元为
dx dt
mn
1 ih
m (xHˆ Hˆx) n
1 ih
(En
Em
)
m
xn
( px )mn ih (En Em )xmn
例题4：
有一量子体系，态矢为空间三维，选择基矢 1 , 2 , 3
(1) 给出它们的本征值与本征态矢 (2) 写出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的变换矩阵S，并通过S矩阵
求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩阵表示
解： (1) Lx的本征方程
Lx lx
即
2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 lx a2 0 a3 a3
1
1 2
1
2
同理可得
1
1
lx 0, 0
2 2
0 ; 1
lx
,
1
2
2 ; 1
（2） 由Lx的三个本征矢量得到从(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象变换 矩阵S
S
1
1 2
2 1 0 2
0
1
得本征矢和本征值分别为
E1 0
E2 E3 20
(0)
2
1 2
1
1 2
2
1 2
3
1 2
1 1
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
第四章 矩阵力学基础——表象理论
第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。
(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。
(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。
为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。
它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化
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§4.2 矩阵力学表述
➢薛定谔方程：
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
• Q表象中的算符F 矩阵，矩阵元F_nm是第 m个新基在第n个旧基上的投影
• 连续谱：
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空间) • 不同表象的变换：么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
产生、湮灭(波色)算符的性质
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
§4.1 态和算符的表象表示
• 厄米算符厄米矩阵
§4.1 态和算符的表象表示
• 算符在自身表象中对应对角矩阵
§4.1 态和算符的表象表示
结论： • 量子态Hilbert空间中的态矢量 • 波函数态矢量在特定基底中的分量，可用 列矩阵或波函数表示 • Q的本征函数系Q表象的基底 • 不同表象不同基，不同坐标系
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
么正变换不改变矩阵F的阵迹
§4.3 么正变换
演化算符，含时间的么正变换
§4.4 狄拉克符号
目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具 体的表象 符号： ket bra
<A| 是 |A> 的共轭矢量
§4.4 狄拉克符号
§4.4 狄拉克符号
§4.5 线性谐振子和占有数表象
• 归一条件
§4.2 矩阵力学表述
• 本征值方程
§4.2 矩阵力学表述
§4.2 矩阵力学表述
§4.2 矩阵力学表述
矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案： • 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化
§4.2 矩阵力学表述
薛定谔方程：
§4.2 矩阵力学表述
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
算符
§4.3 么正变换
波函数
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
本征态
§4.3 么正变换
一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
§4.1 态和算符的ຫໍສະໝຸດ 象表示• 连续谱表示§4.1 态和算符的表象表示
算符的表象：
§4.1 态和算符的表象表示
§4.1 态和算符的表象表示
§4.1 态和算符的表象表示
§4.1 态和算符的表象表示
§4.1 态和算符的表象表示
• Q表象中的算符F 矩阵，矩阵元F_nm是第 m个新基在第n个旧基上的投影 • 连续谱：
§4.1 态和算符的表象表示
结论： • 本征函数基矢 • 厄米算符的本征函数系完备基 • 算符矩阵
§4.2 矩阵力学表述
• 波函数
§4.2 矩阵力学表述
• 算符
§4.2 矩阵力学表述
• 平均值公式
§4.2 矩阵力学表述
• 平均值公式
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
§4.2 矩阵力学表述
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
本章目的： 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量 等方案－－表象 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－ －么正变换 建立一套用态矢量描述量子态的方案－－ Dirac算符 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子
• 动量表象：
§4.1 态和算符的表象表示
• 任意表象：
§4.1 态和算符的表象表示
§4.1 态和算符的表象表示
说明： • 列矩阵是在Q表象中的波函数 • Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、 可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本 征函数的个数 • 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本 征态展开式中只有一项
§4.2 矩阵力学表述
§4.2 矩阵力学表述
将求解偏微分方程的问题变为算矩阵元 {F_nm}，及求解线性偏微分方程组的问题 若F厄米，则久期方程的根必为实根(但可能 有重根)
§4.3 么正变换
问题： • F的本征值是否与表象有关？ • 从表象A表象B，波函数、算符怎么变？ • 坐标空间的变换：平移＋旋转，正交变换(实 空间) • 不同表象的变换：么正变换
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.1 态和算符的表象表示
表象：态和力学量的一种具体表述方式 给定一个线性厄米算符找出它的本征函数 系{Un(r)} {Un(r)}具有正交、归一、完备、 封闭性，可以作为Hilbert空间的一组基底 表象 态的表象
§4.1 态和算符的表象表示
• 坐标表象：
§4.1 态和算符的表象表示
目的： 用矩阵力学方法求解线性谐振子 建立占有数表象，引入产生、湮灭算符 给出一套在谐振子表象中计算坐标矩阵元和 动量矩阵元的最方便的方案
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象
§4.5 线性谐振子和占有数表象