河北省衡水市重点中学2014-2015学年高二上学期四调考试数学(文)试题word版含答案

2014-2015学年河北省衡水中学高三(上)第四次调考数学试卷(文科))

2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）第四次调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤22．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．200 D．2404．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2 B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象5．（5分）直线分割成的两段圆弧长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．27．（5分）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）9．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0，4]B．（0，]C．（0，2）D．[，+∞）11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是．15．（5分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．16．（5分）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．20．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC 上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）第四次调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•益阳校级模拟）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2解：根据题意，A⊆B，而A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，必有a≤1，故选B．2．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C．4．（5分）（2010•济宁二模）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2 B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．5．（5分）（2016•河西区一模）直线分割成的两段圆弧长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4解：∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心（1，0），半径r=1，∴圆心（1，0）到直线x﹣﹣2=0的距离：d==，设直线圆相交的弦所对的圆心角为α，则cos==，∴=，解得，∴直线分割成的两段圆弧长之比为：=1：2．故选：B．6．（5分）（2010•湖北校级模拟）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．2解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥4，故选A．7．（5分）（2010•成都二模）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：B．8．（5分）（2014秋•路南区校级期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{S n}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D9．（5分）（2014•福建模拟）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．解：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．10．（5分）（2014•湛江二模）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0，4]B．（0，]C．（0，2）D．[，+∞）解：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0 ∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）或线段AB．∵ax+by≤1 ∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．11．（5分）（2014•文登市三模）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4 故答案为：414．（5分）（2014•福建模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是3；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是4027．解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；402715．（5分）（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是2．解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2 故答案是216．（5分）（2014•临川区校级模拟）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是①②③．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．【分析】不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，即可得出结论．解：不妨取λ=﹣1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为﹣，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，所以函数y=f（x）与直线y=﹣无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．故答案为：①②③．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•浙江校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由a n+1=2S n+1①得a n=2S n﹣1+1②，①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=3a n（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴a n=3n﹣1；（3分）b5﹣b3=2d=6∴d=3 ∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；（6分）（2），∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，（8分）令，，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）19．（12分）（2016春•普宁市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．（Ⅰ）证明：连结A1B，AB1，交于点E，则E是AB1中点，连结DE，∵D是BC的中点，∴DE是△A1BC的中位线，∴DE∥A1C，∵A1C不包含于平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．又AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B﹣AB1﹣D的平面角．因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，DF=，在△ABC中，FG=BE=，所以在Rt△DFG中，tan∠DFG==．（Ⅲ）连接A1D，设点C到平面AB1D的距离为d．因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1，所以=，所以=，解得d=．故点C到平面AB1D的距离为．20．（12分）（2014秋•南阳期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+，（x＞0），∴g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，（x＞0），若g（x）只有一个零点，则h（x）=﹣x3+3x﹣3m，（x＞0）只有一个零点，∵h′（x）=﹣3x2+3=0时，x=1，或x=﹣1（舍去），故当x=1时，h（x）取极大值﹣3m+2，若h（x）=﹣x3+3x﹣3m只有一个零点，则﹣3m+2＞0，解得：m＜（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，由y=x2﹣x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故＞0，解得：m＞．21．（12分）（2014•枣强县校级模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．解：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my﹣1，代入y2=4x得y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16＞0，得m2＞1，假设存在T（a，0）满足题意，则k AT+k BT====0．∴8m﹣4m（1+a）=0，∴a=1，∴存在T（1，0）（2）S△AOB=||||sinθ=，∴||||=，=x1x2+y1y2=+y1y2==5，∴cos∠AOB==sin∠AOB，∴tan∠AOB=1，∴∠AOB=．22．（10分）（2016•永州模拟）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【解答】（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．23．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）。

河北省衡水市高考数学四模试卷文(含解析)

河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( )A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．165．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f（x）=cos6x6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )A．10 B．11 C．13 D．148．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A．B．C．D．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为__________．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为__________．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是__________．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA （x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( ) A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，则M∪N={x|x≥﹣2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．分析：根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．解答：解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C点评：对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线y=4x2的准线l，然后根据对称性的求解l关于直线y=x对称的直线，即为抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程．解答：解：∵y=4x2的标准方程为：x2=，∴其准线方程为y=﹣，y=﹣关于y=x对称方程为x=﹣．所以所求的抛物线的准线方程为：x=﹣．故选：D点评：本题主要考查了抛物线的准线，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查．4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．16考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．解答：解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．5．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f （x）=cos6x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答：解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，综上，解得0≤m≤2．故选：B．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( ) A．10 B．11 C．13 D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=1+2×5=11；当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2a∴|PF1|=4a，|PF2|=2a∵双曲线∴|F1F2|=2a，∴cos∠F1PF2==．故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．解答：解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点点评：在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A． B．C．D．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．分析：要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标．解答：解：设与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则解得或，故选B．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到解方程的问题，解关于x和y的一元二次方程．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为36．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，从而可得f（x）+f （9﹣x）=9；从而解得．解答：解：∵f（x）=x+1og2，∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，故f（x）+f（9﹣x）=9；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；故答案为：36．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为3π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接球即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求．解答：解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．故其表面积是4×π×（）2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其表面积．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，1）．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值．解答：解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减，∴2﹣x﹣3x的最大值为20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为（，+∞）．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：解三角形．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．解答：解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n﹣1）a n，结合已知a n2=S2n﹣1，可求a n，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（Ⅱ）由（I）可求T1=，T m=，T n=，代入已知可得法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n解答：解：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2可得即∴a1=1，d=2∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（法二）∵{a n}是等差数列，∴∴=（2n﹣1）a n由a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（Ⅱ）∵T1=，T m=，T n=若T1，T m，T n，成等比数列，则即法一：由可得，＞0即﹣2m2+4m+1＞0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数法二：∵∴∴2m2﹣4m﹣1＜0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接AC1、BC1，先证明MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，即可证明MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，证明BB1⊥PA，BB1⊥PC，即可证明BB1⊥平面PAC．解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC1、BC1，则AN=NC1，因为AM=MB，所以MN∥BC1又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，可知PA+PC=PA′+PC，A′C即为PA+PC的最小值，此时，BB1⊥A′C，所以BB1⊥PA′，BB1⊥PC，即BB1⊥PA，BB1⊥PC，所以BB1⊥平面PAC点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，恰当的做出辅助线是解题的关键，属于中档题．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答：解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O 切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．解答：（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴D E是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），展开化为ρ2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

【首发】河北省衡水中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

2014-2015学年度上学期高二年级期末考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数2(1i z i i=+是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、用反证法证明命题：“,,a b N ab ∈不能被5整除，a 与b 都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A ．,a b 都能被5整除B ．,a b 不能能被5整除C ．,a b 至少有一个能被5整除D ．,a b 至多有一个能被5整除 3、对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则下列说法中不正确的是（）A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆybx a =+必过样本中心(,)x y B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好 D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 4、已知01,1a b <<>，且1ab >，则11log ,log ,log a a b M N b P b b===，则这个三个数的大小关系为（）A ．P N M <<B ．N P M <<C ．N M P <<D ．P M N << 5、已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a ++等于（） A ．27 B ．3 C ．-1或3 D ．1或27 6、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A ．63.6元B ．65.5元C ．67.7元D ．72.0元7、设ABC ∆的三边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++，类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为r ，四面体S ABC -的体积为V ，则r =（） A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++8、设抛物线:4C y x =的焦点为F ，直线L 过F 且与C 交于A 、B 两点，若3AF BF =，则L 的方程为（）A ．1y x =-或1y x =-+B ．()313y x =-或()313y x =-- C ．()31y x =-或()31y x =-- D ．()212y x =-或()212y x =-- 9、在一张纸上画一个圆，圆心O ，并在院外设一定点F ，折叠纸圆上某点落于F 点，设该点为M 抹平纸片，折痕AB ，连接MO （或OM ）并延长交AB 于P ，则P 点轨迹为（） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线10、已知双曲线2221(0)9y x a a -=>的两条渐近线与以椭圆221259x y +=的左焦点为圆心，半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（） A ．54 B ．53 C ．43D ．6511、对于R 上的可导的任意函数()f x ，若满足()(2)0x f x '-≤，则必有（） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +>D ．()()()1322f f f +≥12、已知()f x 是定义域为()()0,,f x '+∞为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()21(1)(1)f x x f x +>--的解集是（） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．(1,2) D ．()2,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共/4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水市重点中学高二数学上学期第四次调考试卷理(含解析)

2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设f（x）为可导函数，且=5，则f′（3）等于（）A． 5 B． 10 C．﹣5 D．﹣102．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（）A． 11 B． 2 C． 12 D． 103．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A． 0＜b＜1 B． b＜1 C． b＞0 D． b＜4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A． 6 B． 4 C． 12 D． 1445．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D． 2，26．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则|MN|=（）A． a B． a C． a D． a8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A．B．C． 4 D．﹣410．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A． B． C．D．11．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，] B． [，1）C．（0，] D． [，1）12．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．14．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为．15．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为．16．棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点．（1）求直线EF与MN的夹角；（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（3）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的余弦值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．21．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：（ⅰ）过C2的焦点F；（ⅱ）与C1交于不同两点Q、R，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知椭圆C1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设f（x）为可导函数，且=5，则f′（3）等于（）A． 5 B． 10 C．﹣5 D．﹣10考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的定义进行求解即可．解答：解：∵===f′（3）=5，∴f′（3）=﹣10，故选：D点评：本题主要考查导数的运算，根据导数的定义是解决本题的关键．2．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（）A． 11 B． 2 C． 12 D． 10考点：函数最值的应用．专题：计算题．分析：研究高次函数最值问题往往研究函数的极值，然后与端点的函数值比较大小确定出最值．解答：解：y′=4x3﹣16x=4x（x2﹣4），由y′=0及x∈[﹣1，3]知x=0或x=2，根据单调性知f（x）max=f（3）=11；故选A点评：本题考查了四次函数研究最值问题，注意题目中的范围的限制．3．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A． 0＜b＜1 B． b＜1 C． b＞0 D． b＜考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选A．点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题．4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A． 6 B． 4 C． 12 D． 144考点：平面与平面垂直的性质．分析：连接PB，PC，由余弦定理可得AC的值，由PA⊥AC，故根据勾股定理可得PC的值．解答：解：连接PB，PC，∵PA=AB=BC=6，∴由余弦定理可得AC==6，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴PC==12．故选：C．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．5．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D． 2，2考点：空间向量运算的坐标表示．专题：计算题．分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．解答：解：因为，，∥，所以2μ﹣1=0，解得μ=，，解得λ=2或λ=﹣3．所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；故选A．点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．6．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算．解答：解析：建立坐标系如图．则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．=（﹣1，0，2），A=（﹣1，2，1），cos＜＞═．所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选B点评：本题主要考查用向量法求异面直线所成的角．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则|MN|=（）A． a B． a C． a D． a考点：向量的共线定理；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定向量、的坐标，可得的坐标，从而可得|MN|．解答：解：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，a），C1（a，a，a）∴=（a，a，a）∵=，∴=，∵点N为B1B的中点，∴=（a，0，）∴=∴|MN|= a故选A．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：向量法．分析：先建立空间直角坐标系，再分别求得两个平面的法向量，用向量法中二面角公式求解．解答：解：以A为原点建系，设棱长为1．则A1（0，0，1），E（1，0，），D（0，1，0），∴=（0，1，﹣1），=（1，0，﹣），设平面A1ED的法向量为n1=（1，y，z）则∴∴n1=（1，2，2），∵平面ABCD的一个法向量为n2=（0，0，1）．∴cos＜n1，n2＞==．即所成的锐二面角的余弦值为．故选B点评：本题主要考查向量法在求空间二面角中的应用，特别注意法向量的求法．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A．B．C． 4 D．﹣4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由y=ax2，变形得：x2=y=2×y，∴p=，又抛物线的准线方程是y=1，∴﹣=1，解得a=﹣．故选B点评：此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题．也是高考常考的题型．找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键．要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（1）y2=2px（p＞0），抛物线开口方向向右，焦点F（，0），准线方程为x=﹣；（2）y2=﹣2px（p＞0），抛物线开口方向向左，焦点F（﹣，0），准线方程为x=；（3）x2=2py（p＞0），抛物线开口方向向上，焦点F（0，），准线方程为y=﹣；（4）x2=﹣2py（p＞0），抛物线开口方向向下，焦点F（0，﹣），准线方程为y=．10．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A． B． C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；分类讨论．分析：由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f （t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．解答：解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．点评：画分段函数的图象，要分如下几个步骤：①分析已知条件，以确定函数所分的段数及分类标准②根据题目中的数量关系，分析函数各段的解析式③对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式④由解析式用描点法，分段画出函数的图象．11．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，] B． [，1）C．（0，] D． [，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e=，然后设点椭圆上P的坐标为（x0，y0），满足∠F1PF2=，利用数量积为0列出关于x0、y0和a、c的等式．接下来利用椭圆方程消去y0，得到关于x0的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：﹣a≤x0≤a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得a2≥2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知椭圆上一点对两个焦点张角为直角的情况下，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于中档题．12．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．解答：解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．点评：考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1 ．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．14．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：作BO⊥AC，则BO⊥平面ACD，求出BO，DO，即可求出BD．解答：解：如图所示，作BO⊥AC，则BO⊥平面ACD，∵AB=1，BC=，∴AC=2，∴BO=，AO=，∴DO==，∴BD==．故答案为：．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题．15．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为45°．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：取BC的中点E，根据三角形的边长关系证明∠PAE是PA与底面ABC所成的角即可．解答：解：∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=，∵PB=PC=1，∴∠BPC=90°，取BC的中点E，则PE=AE=，∵PA=1，∴∠PEA=90°，则∠PAE=45°，∵E是BC的中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ABC，则∠PAE是PA与底面ABC所成的角，即PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°点评：本题主要考查直线和平面所成角的大小的求解，根据定义确定线面角是解决本题的关键．16．棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：综合题．分析：作A1E⊥C1D1，垂足为E，则可得对角线A1C与侧面DCC1D1所成角，从而可求对角线A1C 与侧面DCC1D1所成角的余弦值．解答：解：作A1E⊥C1D1，垂足为E，连CE，A1E，A1C．∵ABCD﹣A1B1C1D1是直平行六面体∴A1E⊥平面DCC1D1，∴∠A1CE就是对角线A1C与侧面DCC1D1所成角∵CE⊂平面A1B1C1D1，∴A1E⊥CE∵棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，∴，D 1E=1∴∴A1C=4∴CE=在Rt△A1EC中，cos∠A1CE=故答案为：点评：本题重点考查线面角，解题的关键是利用线面垂直，作出线面角，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；（2）首先对f（x）=﹣2+1求导，可得f'（x）=10x3﹣9x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f'（x）=4ax3+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣f（x）=﹣2+1（8分）（2）f'（x）=10x3﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x＞单调递增区间为（﹣，0），（，+∞）（12分）点评：本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA 即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为AP，N点到AP的距离即为AF．解答：解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cosEOA==．即AC与PB所成角的余弦值为．（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=．连PF，则在Rt△ADF中DF==，AF=ADtanADF=．设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=．点评：本题主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点．（1）求直线EF与MN的夹角；（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（3）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．计算，即可得出直线EF与MN的夹角°．（2）由MN⊥平面ENF，可取为平面ENF的一个法向量，设直线MF与平面ENF所成角为θ，利用sinθ==，可得cosθ．（3）由MN⊥平面ENF，可取为平面ENF的一个法向量，设平面EFM的法向量为=（x，y，z），利用，可得，利用=即可得出．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，0，0），，F，M，N．则=，=．∴==0，∴，∴直线EF与MN的夹角为90°．（2）=．∵MN⊥平面ENF，∴取=为平面ENF的一个法向量，设直线MF与平面ENF所成角为θ，则sinθ====，∴cosθ=．（3）∵MN⊥平面ENF，∴取=为平面ENF的一个法向量，设平面EFM的法向量为=（x，y，z），=（0，1，0），则，则，取=（2，0，1），则===．点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的性质与判定定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．考点：空间点、线、面的位置；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．（Ⅱ）先证CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，从而证得平面PAC⊥平面AEF．（Ⅲ）由三垂线定理作出∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角，并证明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大小．解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴，AC=2（1分）在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴，AD=4（2分）∴（4分）则（5分）（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD（6分）又AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC（7分）∵E、F分别为PD、PC中点，∴EF∥CD（8分）∴EF⊥平面PAC（9分）∵EF⊂平面AEF，∴平面PAC⊥平面AEF（10分）（Ⅲ）取AD的中点M，连接EM，则EM∥PA，∴EM⊥平面ACD，过M作MQ⊥AC于Q，连接EQ，则∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角．（12分）∵M为AD的中点，MQ⊥AC，CD⊥AC，∴，又，∴，故∠EQM=30°即三面角E﹣AC﹣D的大小为30°（14分）点评：本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．21．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：（ⅰ）过C2的焦点F；（ⅱ）与C1交于不同两点Q、R，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知椭圆C1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2mx（m≠0），则有，据此验证4个点知：，（4，﹣4）在抛物线上，即可得出C2：y2=4x．设C1：，把点（﹣2，0），代入解出即可．（II）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为Q（x1，y1），R（x2，y2）．把直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，得到根与系数的关系，由，kd =x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入解得k即可得出．（III）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：．f分别与椭圆的方程联立可得x M，y M．x N，y N．k可得MN的直线方程为y﹣=，令y=0，解出即可．解答：解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2mx（m≠0），则有，据此验证4个点知：，（4，﹣4）在抛物线上，可得C2：y2=4x．设C1：，把点（﹣2，0），代入得：，解得，∴C1的方程为=1．（Ⅱ）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为Q（x1，y1），R（x2，y2）．由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是，，…①=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]==，…②由，∴=x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得==0，解得k=±2；∴存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．（Ⅲ）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：．则化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．∵此方程有一根为﹣2，∴x M=，y M=．同理可得x N=，，则k MN==．∴MN的直线方程为y﹣=，令y=0，则+=﹣．∴直线MN过x轴上的一定点．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．。

河北省衡水市重点中学高二数学上学期四调考试试题文

2014-2015学年度上学期高二年级四调考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离定于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是（）A ．4B ．6C ．14D ．162、函数1()2x x y e e -=+的导数是（）A ．1()2x x e e --B ．1()2x x e e -+C ．x x e e --D ．x x e e -+3、命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（）A ．对任意实数x ，使1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，使1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤4、若双曲线22221x y a b -=）A ．2y x =± B．y = C ．12y x =± D．2y x =± 5、若抛物线22y px =上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．210y x = 6、椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7、若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点为A ，过期左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于,M N两点，且0MA NA⋅>u u u r u u u r，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．()2,+∞B．()1,2C．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8、已知直线1y kx=+与曲线3y x ax b=++切于点()1,3，则b的值为（）A．3 B．-3 C．5 D．-59、设曲线21y x=+上任一点(,)x y处的切线的斜率为()g x，则函数()cosy g x x=的部分图象可以为（）11、给出下列命题：①若函数()221f x x=+，图象上点(1,3)P及邻近点(1,3)Q x y+∆+∆，则42yxx∆=+∆∆；②加速度是动点位移函数()S t对时间t的导数；③1(3)()lim()3hf a h f af ah→∞+-'=；其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11、设抛物线28y x=-的焦点为F，准线为,l P为抛物线上一点，PA l⊥，A为垂足，如果直线AF3PF=( )A．43B．83C．8 D．1612函数()()sin2(),3f x x xf f xπ''=+为()f x的导函数，令31,log22a b=-=，则下列关系正确的是（）A．()()f a f b>B．()()f a f b<C．()()f a f b=D．()()f a f b<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水中学高二数学上学期第四次调研考试试题文新人教A版

2013—2014学年度第一学期第四次调研考试高二年级文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.双曲线13222=-y x 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．32.曲线的极坐标方程θρsin 4=化成直角坐标方程为( ) A.4)2(22=++y x B.4)2(22=-+y x C.4)2(22=+-y x D.4)2(22=++y x3. 已知1F 、2F 为双曲线右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060,则P 到x 轴的距离为（）A4. 已知动点(,)M x y 8=，则M 的轨迹方程是（）A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D.2210169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能6. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确．．．的是( ) A ．221=+e e B ．212=-e e C ．221=e e D 212>e e . 8已知F 为抛物线py x 22=)0(>p 的焦点，M 为其上一点，且p MF 2||=，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 9. 已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A 9πB 8πC 4πD π10.设(P x 、)y 1=上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则必有（） A ．12||||10PF PF +≤ B ．12||||10PF PF +< C ．12||||10PF PF +≥ D ．12||||10PF PF +>11.已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值22D ．最小值2212.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（）A ．2B C ．2D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

河北省衡水市重点中学_学年高二数学上学期第四次调考试卷理(含解析)【含答案】

2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设f（x）为可导函数，且=5，则f′（3）等于（）A． 5 B． 10 C．﹣5 D．﹣102．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（）A． 11 B． 2 C． 12 D． 103．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A． 0＜b＜1 B． b＜1 C． b＞0 D． b＜4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A． 6 B． 4 C． 12 D． 1445．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D． 2，26．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则|MN|=（）A． a B． a C． a D． a8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A．B．C． 4 D．﹣410．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A． B． C．D．11．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，] B． [，1）C．（0，] D． [，1）12．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．14．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为．15．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为．16．棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点．（1）求直线EF与MN的夹角；（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（3）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的余弦值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．21．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：（ⅰ）过C2的焦点F；（ⅱ）与C1交于不同两点Q、R，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知椭圆C1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设f（x）为可导函数，且=5，则f′（3）等于（）A． 5 B． 10 C．﹣5 D．﹣10考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的定义进行求解即可．解答：解：∵===f′（3）=5，∴f′（3）=﹣10，故选：D点评：本题主要考查导数的运算，根据导数的定义是解决本题的关键．2．函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（）A． 11 B． 2 C． 12 D． 10考点：函数最值的应用．专题：计算题．分析：研究高次函数最值问题往往研究函数的极值，然后与端点的函数值比较大小确定出最值．解答：解：y′=4x3﹣16x=4x（x2﹣4），由y′=0及x∈[﹣1，3]知x=0或x=2，根据单调性知f（x）max=f（3）=11；故选A点评：本题考查了四次函数研究最值问题，注意题目中的范围的限制．3．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A． 0＜b＜1 B． b＜1 C． b＞0 D． b＜考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选A．点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题．4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A． 6 B． 4 C． 12 D． 144考点：平面与平面垂直的性质．分析：连接PB，PC，由余弦定理可得AC的值，由PA⊥AC，故根据勾股定理可得PC的值．解答：解：连接PB，PC，∵PA=AB=BC=6，∴由余弦定理可得AC==6，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴PC==12．故选：C．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．5．已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2 D． 2，2考点：空间向量运算的坐标表示．专题：计算题．分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．解答：解：因为，，∥，所以2μ﹣1=0，解得μ=，，解得λ=2或λ=﹣3．所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；故选A．点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．6．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算．解答：解析：建立坐标系如图．则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．=（﹣1，0，2），A=（﹣1，2，1），cos＜＞═．所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选B点评：本题主要考查用向量法求异面直线所成的角．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则|MN|=（）A． a B． a C． a D． a考点：向量的共线定理；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定向量、的坐标，可得的坐标，从而可得|MN|．解答：解：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，a），C1（a，a，a）∴=（a，a，a）∵=，∴=，∵点N为B1B的中点，∴=（a，0，）∴=∴|MN|= a故选A．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：向量法．分析：先建立空间直角坐标系，再分别求得两个平面的法向量，用向量法中二面角公式求解．解答：解：以A为原点建系，设棱长为1．则A1（0，0，1），E（1，0，），D（0，1，0），∴=（0，1，﹣1），=（1，0，﹣），设平面A1ED的法向量为n1=（1，y，z）则∴∴n1=（1，2，2），∵平面ABCD的一个法向量为n2=（0，0，1）．∴cos＜n1，n2＞==．即所成的锐二面角的余弦值为．故选B点评：本题主要考查向量法在求空间二面角中的应用，特别注意法向量的求法．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A．B．C． 4 D．﹣4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由y=ax2，变形得：x2=y=2×y，∴p=，又抛物线的准线方程是y=1，∴﹣=1，解得a=﹣．故选B点评：此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题．也是高考常考的题型．找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键．要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（1）y2=2px（p＞0），抛物线开口方向向右，焦点F（，0），准线方程为x=﹣；（2）y2=﹣2px（p＞0），抛物线开口方向向左，焦点F（﹣，0），准线方程为x=；（3）x2=2py（p＞0），抛物线开口方向向上，焦点F（0，），准线方程为y=﹣；（4）x2=﹣2py（p＞0），抛物线开口方向向下，焦点F（0，﹣），准线方程为y=．10．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A． B． C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；分类讨论．分析：由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f （t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．解答：解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．点评：画分段函数的图象，要分如下几个步骤：①分析已知条件，以确定函数所分的段数及分类标准②根据题目中的数量关系，分析函数各段的解析式③对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式④由解析式用描点法，分段画出函数的图象．11．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，] B． [，1）C．（0，] D． [，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e=，然后设点椭圆上P的坐标为（x0，y0），满足∠F1PF2=，利用数量积为0列出关于x0、y0和a、c的等式．接下来利用椭圆方程消去y0，得到关于x0的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：﹣a≤x0≤a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得a2≥2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知椭圆上一点对两个焦点张角为直角的情况下，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于中档题．12．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．解答：解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．点评：考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1 ．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．14．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：作BO⊥AC，则BO⊥平面ACD，求出BO，DO，即可求出BD．解答：解：如图所示，作BO⊥AC，则BO⊥平面ACD，∵AB=1，BC=，∴AC=2，∴BO=，AO=，∴DO==，∴BD==．故答案为：．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题．15．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为45°．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：取BC的中点E，根据三角形的边长关系证明∠PAE是PA与底面ABC所成的角即可．解答：解：∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=，∵PB=PC=1，∴∠BPC=90°，取BC的中点E，则PE=AE=，∵PA=1，∴∠PEA=90°，则∠PAE=45°，∵E是BC的中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ABC，则∠PAE是PA与底面ABC所成的角，即PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°点评：本题主要考查直线和平面所成角的大小的求解，根据定义确定线面角是解决本题的关键．16．棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：综合题．分析：作A1E⊥C1D1，垂足为E，则可得对角线A1C与侧面DCC1D1所成角，从而可求对角线A1C 与侧面DCC1D1所成角的余弦值．解答：解：作A1E⊥C1D1，垂足为E，连CE，A1E，A1C．∵ABCD﹣A1B1C1D1是直平行六面体∴A1E⊥平面DCC1D1，∴∠A1CE就是对角线A1C与侧面DCC1D1所成角∵CE⊂平面A1B1C1D1，∴A1E⊥CE∵棱长都为2的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，∴，D 1E=1∴∴A1C=4∴CE=在Rt△A1EC中，cos∠A1CE=故答案为：点评：本题重点考查线面角，解题的关键是利用线面垂直，作出线面角，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；（2）首先对f（x）=﹣2+1求导，可得f'（x）=10x3﹣9x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f'（x）=4ax3+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣f（x）=﹣2+1（8分）（2）f'（x）=10x3﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x＞单调递增区间为（﹣，0），（，+∞）（12分）点评：本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA 即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为AP，N点到AP的距离即为AF．解答：解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cosEOA==．即AC与PB所成角的余弦值为．（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=．连PF，则在Rt△ADF中DF==，AF=ADtanADF=．设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=．点评：本题主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点．（1）求直线EF与MN的夹角；（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（3）求二面角N﹣EF﹣M的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．计算，即可得出直线EF与MN的夹角°．（2）由MN⊥平面ENF，可取为平面ENF的一个法向量，设直线MF与平面ENF所成角为θ，利用sinθ==，可得cosθ．（3）由MN⊥平面ENF，可取为平面ENF的一个法向量，设平面EFM的法向量为=（x，y，z），利用，可得，利用=即可得出．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，0，0），，F，M，N．则=，=．∴==0，∴，∴直线EF与MN的夹角为90°．（2）=．∵MN⊥平面ENF，∴取=为平面ENF的一个法向量，设直线MF与平面ENF所成角为θ，则sinθ====，∴cosθ=．（3）∵MN⊥平面ENF，∴取=为平面ENF的一个法向量，设平面EFM的法向量为=（x，y，z），=（0，1，0），则，则，取=（2，0，1），则===．点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的性质与判定定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．考点：空间点、线、面的位置；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．（Ⅱ）先证CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，从而证得平面PAC⊥平面AEF．（Ⅲ）由三垂线定理作出∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角，并证明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大小．解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴，AC=2（1分）在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴，AD=4（2分）∴（4分）则（5分）（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD（6分）又AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC（7分）∵E、F分别为PD、PC中点，∴EF∥CD（8分）∴EF⊥平面PAC（9分）∵EF⊂平面AEF，∴平面PAC⊥平面AEF（10分）（Ⅲ）取AD的中点M，连接EM，则EM∥PA，∴EM⊥平面ACD，过M作MQ⊥AC于Q，连接EQ，则∠EQM为二面角E﹣AC﹣D的平面角．（12分）∵M为AD的中点，MQ⊥AC，CD⊥AC，∴，又，∴，故∠EQM=30°即三面角E﹣AC﹣D的大小为30°（14分）点评：本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．21．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：（ⅰ）过C2的焦点F；（ⅱ）与C1交于不同两点Q、R，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知椭圆C1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2mx（m≠0），则有，据此验证4个点知：，（4，﹣4）在抛物线上，即可得出C2：y2=4x．设C1：，把点（﹣2，0），代入解出即可．（II）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为Q（x1，y1），R（x2，y2）．把直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，得到根与系数的关系，由，kd =x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入解得k即可得出．（III）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：．f分别与椭圆的方程联立可得x M，y M．x N，y N．k可得MN的直线方程为y﹣=，令y=0，解出即可．解答：解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2mx（m≠0），则有，据此验证4个点知：，（4，﹣4）在抛物线上，可得C2：y2=4x．设C1：，把点（﹣2，0），代入得：，解得，∴C1的方程为=1．（Ⅱ）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为Q（x1，y1），R（x2，y2）．由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是，，…①=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]==，…②由，∴=x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得==0，解得k=±2；∴存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．（Ⅲ）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：．则化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．∵此方程有一根为﹣2，∴x M=，y M=．同理可得x N=，，则k MN==．∴MN的直线方程为y﹣=，令y=0，则+=﹣．∴直线MN过x轴上的一定点．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．。

河北省衡水中学高二数学上学期四调考试文(无答案)

2011—2012学年度高二上学期四调考试高二年级(文科)数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是（）．A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．24y x = 2. 下列求导运算正确的是( )A ．2'11)1(xx x +=+B ．2ln 1)(log '2x x = C ．')3(x =e x3log 3D ．x x x x sin 2)cos ('2-=3.函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） 4．下列各数中最小的一个是（） A ．111111（2） B ．210（6）C ．1000（4）D ．101（8）5.曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( )A ．e B. e C ．e 2D ．26. 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（） A ．120 B ．720 C ．1440 D ．50407. 已知直线01=+-y mx 交抛物线2x y =于A 、B 两点，则△AOB（）A 为直角三角形B 为锐角三角形C 为钝角三角形D 前三种形状都有可能8. 连接椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为220x y -+=，则该椭圆的离心率为（）A ．552B ．21C ．55D ．32 9.已知函数x a ax x x f )1(31)(223-+-=)0,(≠∈a R a 的导函数)('x f 的图像如图所示。

则=)1(f （）A.34 B.32- C. 32-或34D.以上都不正确 10. 已知抛物线)1(22>=p px y 的焦点F 恰为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ．2＋1C ．2D ．2＋2 11. 方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．012. 下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x的判断正确的是( )①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③ C ．②D ．①②二、填空题（每题5分，共20分。