广东省揭阳三中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷(理科)
【精编Word版】广东省揭阳一中2013-2014学年高二下学期第一次阶段考试数学理试题Word版含答案
2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）数学科试卷（理科）一．选择题(每小题5分，共40分) 1．复数12i-+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2．设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递减B ．有增有减C ．单调递增D ．不确定 3．曲线23y x x =+在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．()f x 在定义域内可导，其图象如左图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )5．若()ln(2)f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞6.一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程为 ( )A.10米B.229 米 C.15米 D.225 米 7.设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)(恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．),7(+∞B ．),8(+∞C ．[),7+∞D ．[)8,+∞8.若()f n 为21()n n N *+∈的各位数字之和，如2141197,19717+=++=则(14)17f =,记1211()(),()(()),()(())k k f n f n f n f f n f n f f n +===k N *∈则2010(8)f =( )（A ）3； （B ）5 ； （C ）8； （D ）11二．填空题（每小题5分，共30分） 9．函数()xxf x e e-=+的导函数为 ．10.34|2|x dx -+⎰＝11．复数(3)(1)i m i --+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是___ . 12．曲线23y x =-与直线y=2x 所围成的图形的面积_ ___ _.13.如图，函数()21()5g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= ．14．函数)0(3)(23>+-=a a x a x x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是____________． 三．解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分12分）用数学归纳法证明：1)n n*++<∈N ． 16. （本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求,a b 的值；（2）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最大值．17． （本小题满分14分）求抛物线243y x x =-+-及在点(0,3)-，(3,0)处的切线所围成的面积.18．（本小题满分14分）设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.19.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.20.（本小题满分14分） 设函数()2xf x e ax =--（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）当(),0x ∈-∞时，求()f x 的单调区间；（3）若1,a k =为整数，且当0x >时，()()10,x k f x x '-++>求k 的最大值 .2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）数学科试卷（理科）答案一，选择题二，填空题9， ()xxf x e e -'=-；10， 14.5 ；11，113m -<<；12， 32/3 ；13， -5；14，22>a ；三，解答题15.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立.…… (3分) （2）假设n k =时不等式成立，即1k++<5分） 则当1a k =+时，1+< =<= ………………………………（10分）即当1n k =+时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意n *∈N 时，不等式成立． …………………………（12分） 16.①解： 2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．……………………………（5分）②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-．………………………（12分） 17．（本小题满分14分）解：依题意得∴+-=',42x y 在点(0,3)-处的切线是:34y x += 即：43y x =- 在点(3,0)处的切线是：2(3)y x =-- 即：26y x =-+ ……………………5 分解方程组4326y x y x =-⎧⎨=-+⎩得两切线的交点为)3,23( …………………………7 分33222302[43(43)[62(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+---+-⎰⎰……………………10分33222302(69)x dx x x dx =+-+⎰⎰ ……………………11分33233119(39)2333402x x x x =+-+= …………………………14分 18.解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或…………（2分）当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f ， 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.… (6分)(2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m ……………………（9分）21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()92822=++-y x . ………………………（14分）19.（1）∵5x =时，11y =，由函数式210(6)3ay x x =+--， 得11102a=+，∴2a =． ……………………（3分） （2）由（1）知2a =，∴每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为()()223[10(6)]3f x x x x =-+--3210(1572)1078x x x =-+-，()36x <<． ………………………（7分）()210(33072)f x x x '=-+()()3064x x =--． ………………………（9分）于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（12分） ∴当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（14分）20（本小题满分14分）解：（1）()xf x e a '=-，()1,f e a '∴=-又()10,f a e '=∴= …………（4分）（2）()xf x e a '=-若0,a ≤则()0f x '>，()f x ∴在(),0-∞上单调递增； 若0a >，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =①当01a <<时， ln 0x a =<，ln x a ∴-∞<<时，()()0,f x f x '<单调递减；ln 0a x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；②当1a ≥时，ln 0x a =>，()()0,f x f x '<在(),0-∞上单调递减； 综上，0,a ≤()f x 在(),0-∞上单调递增；01a <<时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,0a 上单调递增；1a ≥时，()f x 在(),0-∞上单调递减.……………………………………………（9分）（3）由于()()()()1,111x a x k f x x x k e x '=∴-++=--++ 故当0x >时，()()()11001xx x k f x x k x x e +'-++>⇔<+>- ①令()11x x g x x e +=+-，则()()()()2221111x x x x x e e x xe g x e e ----'=+=-- 由①知，函数()2xh x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()()10,20h h <>所以()h x 在()0,+∞上存在唯一零点，故()g x '在()0,+∞上存在唯一零点。
2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1} 2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣726．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log37．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．308．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于．12．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为．13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为cm2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，则A∪B={﹣1，0，1}．故选：D．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：i为虚数单位，复数z=（1+i）2=1+2i﹣1=2i．则z的共轭复数为：﹣2i．故选：A．3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：四边形确定一个平面，是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形，因此不正确；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内．因此￢p∨q是真命题．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a1=，a2=5﹣=，a3=∴a32﹣a22==18．故选：B．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣72【解答】解：由已知可得=﹣6×4×=﹣12，所以（+2）•（﹣3）==36﹣96+12=﹣48；故选：C．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log3【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点A时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，3），此时z=3×1+5×3=18，则log3的最大值为log3=log39=2，故选：B．7．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．30【解答】解：由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知，A1+A6=（0.0024+0.0012）×50×100=18，故s=100﹣18=82，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数【解答】解：由f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数得f（﹣x+1）=﹣f（x+1），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），从而有f（x）=﹣f（2﹣x），f（x）=﹣f（﹣x﹣2），故有f（2﹣x）=f（﹣x﹣2）⇒f（x+2）=f（x﹣2）⇒f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，因f（x﹣1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，所以f（x+7）也是奇函数．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为π．【解答】解：由题意，该几何体为一圆柱的一半，底面直径为2，高为2．体积V==π．故答案为：π．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为x+y=0．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，得f（0）=1﹣e0=0．又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0．故答案为：x+y=0．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣2012．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为（4，4）或（﹣4，4）．【解答】解：抛物线解析式变形得：x2=8y，即p=4，∴焦点坐标为（0，2），设所求点坐标为（a，a2），根据题意得：=6，解得：a=4或﹣4，则所求点坐标为（4，4）或（﹣4，4），故答案为：（4，4）或（﹣4，4）13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．【解答】解：如图，由题意，满足几何概型，矩形的面积为2π×4=8π，满足b≥sina+1的是图中阴影部分，其面积为=（3a+cosa）|=6π，所以由几何概型的概率公式得满足b≥sina+1的概率为；故答案为：二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．【解答】解：根据ρ=2cosθ，得x2+y2=2x，根据ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，∴x=，y=，∴交点（，﹣）或（，），化为极坐标为：．故答案为：．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为64cm2．【解答】解：设EF与AD交于O，则∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设正方形EFGH的边长是xcm．则解得：x=8故正方形零件的面积为64cm2．故答案为：64．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）∵＞0，∴，∴，由，得ac=5．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2=26，联立，结合a＞c，解得a=5，c=1．（2）由正弦定理知，∴=，∵a＞c，∴，∴，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC==．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意得，（2分）解得x6=90，（3分）这6位同学成绩的标准差：．（6分）（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2．（7分）且，（8分），（9分），（10分）∴ξ的分布列为：（11分）ξ的数学期望：．（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又E为PD的中点，∴EO∥PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，且∴∠ECF=α﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法一：过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，∴AQ⊥面CDQ，故AQ⊥CQ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴∠DQC是二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AP=1，，∴又∵E为PD的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在Rt△AQD中，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∵0＜∠CQD＜π，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，﹣（7分）则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由条件可知，为平面ADE的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设平面AEC的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设二面角D﹣AE﹣C的大小为θ，则=，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．【解答】（1）解：∵f（x）=，f（1）=1，f（）=，∴，解得a=2，b=1，∴，∵数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n），∴x2=f（）==，x3=f（）==．（2）解：由（1）猜想x n=．用数学归纳法证明：①n=1时，x1==，成立．②假设n=k时成立，即，=f（x k）==，也成立，则x k+1由①②知x n=．（3）证明：∵=≤，∴++…+＜==（1﹣）＜．∴++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为=1，（1分）∵点P（4，2）在双曲线C上，∴，①又b2=8﹣a2，②②代入①去分母整理得：a4﹣68a2+32×8=0，又a＜c，解得a2=4，b2=4，（3分）∴所求双曲线C的方程为．（4分）（2）设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x0＞2，或x0＜﹣2．（5分）当y0≠t时，直线AB的方程为y﹣t=（x﹣），即（y 0﹣t）x﹣（）y+tx0﹣=0，（6分），若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，设圆心O到直线AB的距离为d，则d=．（7分）∵y0≠0，∴t=﹣，（8分）又=4，∴====2，（11分）此时直线AB与圆x2+y2=4相切，（12分）当y0=t时，，代入双曲线C的方程并整理得t4﹣2t2﹣8=0，即（t2﹣4）（t2+2）=0，解得t=±2，此时直线AB：y=±2．也与圆x2+y2=4也相切．（13分）综上得存在定圆x2+y2=4与直线AB相切．（14分）21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．【解答】解：（1）依题意可得|x2﹣3|≤1⇔﹣1≤x2﹣3≤1或，∴x的取值范围为；（2）解法一：∵===，即，∴比更接近ab；解法二：∵对任意两个正数a、b，有，，∴，即，∴比更接近ab；（3）证明：令，则p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，且p（e）=0，由，得当x≥1时，q'（x）≥0，∴q（x）在[1，+∞）上单调递增，且当x≥1时，有q（x）≥q（1）=0，①当1≤x≤e时，∵p（x）≥0，a≥2，∴．∴比x+a更接近lnx．②当x＞e时，方法一：∵p（x）＜0，q（x）＞0．，∴．令f（x）=2lnx﹣x﹣2，则．当x＞e时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，+∞）单调递减，当x＞e时，f（x）＜f（e）=﹣e＜0综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．方法二：当x＞e时，∵p（x）＜0，q（x）＞0．∴，令，则．令f'（x）=0，解得，∵x＞e∴不合舍去，∵（e﹣1）2＜1+e，∴∴x1＞e∵当e＜x＜x1时，f'（x）＞0．当x＞x1时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减，又e＜x1＜3∴当x＞e时，．综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．。
广东省揭阳三中2014—2015学年度第一学期高二级数学第一次阶段考试题
揭阳第三中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试题高二数学（共4页）答卷时间：120分钟，全卷满分150分，不准使用计算器。
命题:陈吉涛一.选择题（每小题5分,共50分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷）1．等差数列}{n a 中,7,351==a a ,9a 等于（ ）A ． 9B ． 10C ．11D ．122．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于20km, 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距（ ）km .A ．20B ．240C ．40D ．202 3. 在ΔABC 中,a=1,b=3, A=30°,则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4.在公比为整数的等比数列}{n a 中，若,12,64231=+=+a a a a ,则3a 等于（ ）A ． 56B ． 512C ． 524 D ．5485.等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若856S ,30,2则==S a 等于（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 346.在ABC ∆中，,4:2:3sin :sin :sin =C B A 那么=B cos ( )A. 87 B. 87- C.32- D. 327.等差数列}{n a 中，,105=a 则73a a +等于（ ）A. 10B. 15C. 20D. 258.已知等差数列}{n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则7a 等于（ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．109.等比数列}{n a 的前n 项和是n S ,且321,2,4a a a 成等差数列，若1a =1,则4S 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10.已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,,n =且25252(3)n n a a n -=≥，则当1≥n 时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A ．(21)n n -B ．2(1)n +C ．2nD ．2(1)n -二.填空题（每小题5分,共20分，答案请写入答题卷）11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，则=B sin ＿＿＿＿＿＿＿. 12.在数列}{n a 中，31=a ,=+=+21,12a a a n n 则＿＿＿＿＿＿＿.13.在等差数列}{n a 中，063,293=--x x a a 是方程的两根，则=6a ＿＿＿＿＿＿＿. 14.在ABC ∆中,ABC ,120,30,2∆===︒︒则B A c 的面积为＿＿＿＿＿＿＿. 三.解答题（共80分，答案请写入答题卷） 15.（本小题满分12分） 等比数列{a n }中,若a 1=27, a 9=2431,q<0,求数列{a n }前8项的和S 8.16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且有2sin a b A =。
广东省揭阳市2014-2015学年高二下学期期末学业水平考试理综物理试题
揭阳市2014-2015学年度高二下学期期末学业水平考试理综物理试题一、单项选择题：本题包括4小题，每小题4分，共16分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
13．将一带电的检验电荷，在电场中从a 点匀速移到b 点，需克服电场力做功W ，则A ．电场力对检验电荷做正功为WB ．检验电荷的电势能增加量为WC ．该电场是匀强电场D ．ab 两点的电势差大小为W14．如图所示的电路，L 是小灯泡，C 是极板水平放置的平行板电容器。
有一带电油滴悬浮在两极板间静止不动。
若滑动变阻器的滑片向下滑动，则A ．L 变亮B ．L 亮度不变C ．油滴向上运动D ．油滴向下运动15．关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，则A ．安培力的方向总是垂直于磁场的方向B ．安培力的方向可以不垂直于直导线C ．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关D ．将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的一半16．如图所示，电阻不计的光滑足够长“U”形金属框架固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。
电阻为R 的ab 棒在恒力F 作用下从静止开始向右运动，则A ．ab 棒做匀加速运动B ．a 点电势比b 点电势低C ．回路中电流先增大后不变D ．ab 棒受到水平向右的安培力二、双项选择题：本题包括5小题，每小题6分，共30分。
每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全选对得6分，只选1个且正确的得3分，有错选或不选的得0分。
17．如下的说法中，正确的是A ．是轻核聚变反应B ．β衰变说明了原子核中有电子C ．光电效应说明了光具有粒子性D ．核反应方程应该遵循质子数和中子数守恒18．关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是A ．电场强度的方向处处与等势面垂直B ．电场强度为零的地方，电势也为零C ．若电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低D ．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向19．一台理想变压器的输出端仅接一个标有“12V ，6W”的灯泡，且正常发光，变压器输入端的电流表示数为0.2A ，则A ．原线圈的输入功率为3WB ．原线圈的输入功率为6WC ．变压器原、副线圈的匝数之比6∶3D ．变压器原、副线圈的匝数之比5∶2b aFB20．圆形区域内有如图所示的匀强磁场，一束相同比荷的带电粒子（不计重力）对准圆心O 射入，分别从a 、b 两点射出，则从b 点射出的粒子 A ．带正电 B ．在磁场中的运动时间较短C ．速率较小D ．运动半径较小21．如图所示，质量相同的两带电小球Ａ与Ｂ，在光滑绝缘水平桌面上由静止开始沿同一直线相向运动。
广东揭阳市第一中学14-15学年高二下学期第二次阶段考试理数试题 (Word版含答案)
侧（左）视图俯视图正（主）视图（第6题图）揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试高二级理科数学 试题参考数据：1、台体的体积公式：h S S S S V )''(31++=，其中'S 、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高；2、若),(~2σμN X ，有6828.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ，9974.0)33(=+<<-σμσμX P .一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合0}A ≥，2{|16}B x x =<，则=B A （ ） A.)4,1( B.)4,1[ C.),1[+∞ D.)4,[e 2．已知复数 ，则z 等于（ ）A.22B.1C.2D.2 3.“πϕ=”是“曲线)2sin(ϕ+=x y 过坐标原点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知集合{}2,1=A ，{}6=B ，{}7,4,3=C ，从这三个集合中各取一 个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A.6 B.12 C.24 D.365.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其 随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（ ） A.51 B.52 C.101 D.2036. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A ．20π3 B ．10π3C ．6πD ．16π3z =7. 已知随机变量ξ服从正态分布)49,1(N ，则=≥)4(ξP （ ） A.0013.0 B.0026.0 C.0228.0 D.0456.0 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C.5log 13+D.5log 23+9. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=得，8.750605060)20203040(11022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K . 附表：参照附表，下列结论正确的是（）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”10. 若椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的面积为ab π，则=⎰（ ）A ．4π B ．8π C D11.设1F 、2F 为椭圆的两个焦点，以2F 为圆心作圆2F ，已知圆2F 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线1MF 恰与圆2F 相切，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．13-B ．32-C ．22D ．2312.设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时，)(x f是单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为（ ）A.3B.3-C.8D.8-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若3tan =α，则=α2sin ．14．在矩形ABCD 中，AB =(1,3)-，(,2)AC k =-，则实数k = ． 15．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=成立．类似地，在等比数列{}n b 中，有_____________________成立．16. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当]1,0[∈x 时，()2f x x =.若在区间]3,2[-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知21()cos 22f x x x =-， （1）写出)(x f 图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若01)(=+A f ，2=+c b ．求a 的最小值．18.（本小题满分10分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：幸福度7 3 08 6 6 6 6 7 7 8 8 9 99 7 6 5 5若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.（1）从这16人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与矩形BDEF 所在平面互相垂直，3BAD π∠=．（1）求证：∥FC 平面AED ；（2）若BD k BF ⋅=，当二面角C EF A --为直二面角时，求k 的值； （3）在（2）的条件下，求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，过点(0,2)D -作抛物线22(0)x py p =>的切线l ，切点A 在第二象限．（1）求切点A 的纵坐标；（2）若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若k k k 4221=+，求椭圆方程．22．（本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x a x =--，其中0>a . （1） 若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值； （提示：当且仅当1=x 时，1ln -=x x ）（2） 讨论并求出函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值；（3）在（2）的条件下设()()1h x f x x =+-，对任意1212,(0,)()x x x x ∈+∞≠， 证明：不等式121212()()2x x x x h x h x -+<-恒成立.揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试高二级理科数学 答案一、选择题：BBADA BCBCD AD 二、填空题: 13.5314. 4 15.30302110201211b b b b b b = 16.3252<<a三、解答题：17.解：（1）化简得：)32cos()(π+=x x f ，………2分对称中心为：))(0,122(Z k k ∈+ππ，……4分，单调递增区间为：)](6,32[Z k k k ∈--ππππ……6分（2）由（1）知： 01)32cos()(=++=πA A f ，1)32cos(-=+∴πA ，π<<A 0 ，37323πππ<+<∴A ，ππ=+∴32A ，3π=∴A ，………8分根据余弦定理：1)2(34343cos 22222=+-≥-=-+=c b bc bc c b a π， 当且仅当1==c b 时，a 取最小值1.………12分18.解：（1）X 的可能取值为0、1、2、3，………1分2811)0(316312===C C X P ，7033)1(31614212===C C C X P ， 709)2(31624112===C C C X P ，1401)3(31634===C C X P ，………3分 X ∴的分布列为………4分 数学期望431401370927033128110)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ， ………5分 至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则14012170332811)1()0()(=+==+==X P X P A P .………6分 （2）解法一：ξ的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为41164==P ∴6427)43()0(3===ξP ； 6427)43(41)1(213===C P ξ64943)41()2(223===C P ξ； 641)41()3(3===ξP∴ξ的分布列为数学期望)(ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为41164==P ， 故随机变量ξ满足二项分布)41,3(~B ξ，故数学期望43413)(=⨯=ξE .………10分 19．（1）证明：AD BC ED FB ∥∥, ，B BC PB = ，D AD ED = ，∴平面FBC ∥平面EDA ，故∥FC 平面AED ………4分（2）解：取BD EF ,的中点N M ,.由于,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角．………6分当二面角C EF A --为直二面角时，BD AN MN 23==，即.23=k ………8分（3）几何方法：由（2）⊥CM 平面AEF ，欲求直线BC 与平面AEF 所成的角，先求BC 与MC 所成的角.……9分连结BM ，设.2=BC 则在MBC ∆中，6322=⋅==MN CM ，2=MB ，.462cos 222-=⋅-+=∠BC MC MB BC MC MCB .46sin =∴θ……12（3）向量方法：以D 为原点，DC 为y 轴、DE 为z 设.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C ，平面AEF 的法向量)3,23,23(--==MC n ，……10分，)0,1,3(-==..46-==.46sin=∴θ………12分20．解：（1）由题可知：1231n n na a a a a n a-+++++=-①123111n n na a a a a n a+++++++=+-②②—①可得121n na a+-=.即：111(1)2n na a+-=-，又1112a-=-．所以数列{1}na-是以12-为首项，以12为公比的等比数列．………6分（2）由（1）可得11()2nna=-，22n nnb-=．………8分由111112212(2)32222n n n n n nn n n n nb b+++++-------=-==>，可得3n<．而由1n nb b+-<可得3n>．所以12345nb b b b b b<<=>>>>，故nb有最大值3418b b==．………10分所以，对任意*n N∈，有18nb≤．如果对任意*n N∈，都有214nb t t+≤，即214nb t t≤-成立，则2max1()4nb t t≤-，故有：21184t t≤-．解得12t≥或14t≤-．所以，实数t的取值范围是11(,][42-∞-+∞，）．………12分21.解：（1）设切点),(yxA，且pxy22=，由切线l的斜率为pxk0=，得l的方程为pxxpxy220-=，又点)2,0(-D在l上，2220=∴px，即点A的纵坐标=y2.……4分（2）由（1）得)2,2(pA-，切线斜率pk2-=，设),(11yxB，切线方程为2-=kxy，由23=e，得224ba=，所以椭圆方程为142222=+bybx，且过)2,2(pA-，42+=∴pb．由041616)41(442222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=b kx x k b y x kx y ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+∴2210210414164116k bx x k k x x ， ………7分010011120101100101101222(2)2(2)243y x y x y y k k x x x x x kx x kx x x x x k x x +∴+=+=-+-=+=-10001222()23321431641434x x x k x x kk k b k k k ++=--+=--+==将pk 2-=，42+=p b 代入得：32=p ，所以144,3622==a b ．∴椭圆方程为13614422=+y x ．……… 12分22. 分析：（1）11'()ax f x a x x-=-=………1分 明显，当∈x 1(0,)a 时，0)(>'x f ，当∈x 1(,)a +∞时，0)(<'x f故函数)(x f 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，………3分因此函数)(x f 在 (0,)+∞上有极大值1()ln 10f a a a=--+=∴ln 1a a =-，解得1=a ………5分（2）∵11'()axf x a x x-=-= ①若1e a ≥，即10a e <≤，则当1[,]x e e∈ 时，有'()0f x ≥，∴函数)(x f 在1[,]e e上单调递增，则max ()()1f x f e ea a ==-+．………6分②若11e e a <<，即1a e e <<，则函数f (x )在 11(,)e a 上单调递增，在1(,)e a上单调递减，∴max 1()()ln 1f x f a a a==--+．………7分③若11a e ≤，即a e ≥，则当1[,]x e e ∈ 时，有'()0f x ≤，函数f (x )在1[,]e e上单调递减，则max 1()()1af x f a e e==--+．………8分 综上得，当10a e <≤时，max ()1f x ea a =-+；当1a e e<<时，max ()ln 1f x a a =--+； 当a e ≥时，max ()1af x a e=--+．………9分（3）要证明121212()()2x x x x h x h x -+<-，只需证明121212ln ln 2x x x x x x -+<-………10分 只需证明()1212121ln ln 2x x x x x x -<-+即证明12112211ln 21x x xx x x -<+，………11分 不妨设120x x >>，令12x t x =，则1>t ，则需证明0ln 2111<-+-t t t ………12分 令)1(ln 2111)(>-+-=t t t t x ϕ，则0)1(2)1()(22<+--='t t t x ϕ，）上单调递减，在（∞+∴1)(t ϕ 0ln 21110)1()(<-+-=<∴t t t t 即ϕϕ 故不等式121212()()2x x x x h x h x -+<-得证………14分。
广东省揭阳三中2014-2015学年高 一下学期第一次段考数学试卷 Word版含解析
广东省揭阳三中2014-2015学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A． [﹣，） B．（﹣，2] C． [，] D． [﹣，2）3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A． {α|α=2kπ，k∈Z} B． {α|α=kπ，k∈Z} C． {α|α=，k∈Z} D． {α|α=kπ+，k∈Z}4．函数在其定义域上是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 89．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 210．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为．12．y=的定义域是．13．不等式1+tanx≥0的解集是．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcos α+2．16．化简（1）；（2）．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．广东省揭阳三中2014-2015学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在考点：三角函数值的符号．专题：规律型．分析：确定2弧度，3弧度在第二象限，再根据三角函数在各象限的符号规律，即可求得结论．解答：解：因为2弧度，3弧度在第二象限，所以sin2＞0，cos3＜0∴sin2cos3＜0故选A．点评：本题考查三角函数的符号，掌握规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦，是解题的关键．2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A． [﹣，） B．（﹣，2] C． [，] D． [﹣，2）考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的图象和单调性的性质进行求解即可．解答：解：∵≤x＜，∴当x=时，函数y=2sinx取得最大值，此时最大值为2，当x=时，函数y=2sinx取得最小值，此时最小值为2×=﹣，∵≤x＜，∴﹣＜y≤2，即函数的值域为（﹣，2]，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的值域的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A． {α|α=2kπ，k∈Z} B． {α|α=kπ，k∈Z} C． {α|α=，k∈Z} D． {α|α=kπ+，k∈Z}考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：终边在x轴的角只有和x轴正半轴或者负半轴重合解答：解：设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α=2kπ，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α=π+2kπ=（2k+1）π，其中k∈Z综上所述：α的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．4．函数在其定义域上是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数考点：余弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：由诱导公式先把函数化简，然后根据余弦函数的奇偶性与单调性（y=cosx是偶函数，且在R上单调性不唯一．）即可作出判断．解答：解：因为，所以该函数是偶函数，其在整个定义域R上不是单调函数．故选B．点评：三角函数问题，一般先要利用三角的有关公式把原函数化简为正弦型或余弦型函数，然后根据正、余弦函数的性质解决．5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：计算题．分析：由于﹣＜α＜0，可得tanα＜0，cosα＞0，从而可得答案．解答：解：∵﹣＜α＜0，∴tanα＜0，cosα＞0，即点P（tanα，cosα）位于第二象限．故选B．点评：本题考查三角函数值的符号，关键在于熟练掌握诱导公式，属于基础题．6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析： f（α）解析式利用诱导公式化简，整理得到结果，把α=﹣π代入计算即可求出f（﹣）的值．解答：解：f（α）=﹣=﹣=﹣cosα，则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣cos（10π+）=﹣cos=﹣．故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限考点：象限角、轴线角；角的变换、收缩变换．分析： α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．解答：解：因为α为第三象限角，即k∈Z，所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是第二象限的角．故选D．点评：本题考查象限角，角的变换，是基础题．可以推广到其它象限．8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：弧长公式．专题：常规题型．分析：根据扇形的面积公式建立等式关系，求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2个半径加弧长即可求出周长．解答：解：设扇形的半径为R，则R2α=2，∴R2=1，∴R=1，∴扇形的周长为2R+α•R=2+4=6故选C点评：本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题．9．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 2考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：把x=2010，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2011及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1，则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，把点（，1）代入函数的解析式求得φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin（2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，把定点的坐标代入求得φ的值，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（﹣1，）．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：依题意知OA=OB=2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．解答：解：依题意知OA=OB=2，∠AOx=30°，∠BOx=120°，所以x=2cos120°=﹣1，y=2sin120°=，即B（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．12．y=的定义域是{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．考点：余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：直接利用无理式的范围，得到三角函数不等式，解三角不等式即可．解答：解：由1﹣2cosx≥0得，∴{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．故答案为：{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．点评：本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．13．不等式1+tanx≥0的解集是．考点：正切函数的单调性．专题：计算题．分析：不等式即 tanx≥﹣，又 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，可得解答：解：不等式即 tanx≥﹣，又 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，∴，故答案为：．点评：本题考查正切函数的定义域，正切函数的单调性，注意利用正切函数的定义域为 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，这是解题的易错点，属于中档题．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是2．考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：计算题．分析：先把等价转化为f（），再由函数f（x）是周期为π的偶函数，进一步简化为，然后利用当时，求解．解答：解：∵函数f（x）是周期为π的偶函数，∴=f（）=f（﹣）=，∵当时，，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查正切函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcosα+2．考点：三角函数的化简求值．专题：常规题型；计算题．分析：由已知得tanα=（1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=，可知把所求的式子分子、分母同时除以cosα即可（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而1=sin2α+cos2α，以下同（1）解答：解：由已知得tanα=（1）（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）===点评：本题主要考查了三角函数求值化简中的常用技巧：已知tanα，求形如①②asin2α+bsinαcosα+ccos2α，对于①常在分子、分母上同时除以cosα，对于②要先在分母上添上1，1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，从而把所求的式子化简为含有“切”的形式．16．化简（1）；（2）．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由同角三角函数的基本关系和根式的化简可得；（2）由诱导公式逐个化简可得．解答：解：（1）====1；（2）===﹣sinθ．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式的应用，属基础题．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：求出已知方程的解确定出sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而确定出tanα的值，原式利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，∴sinα=﹣或sinα=2（舍去），∴cosα=±=±，即tanα=±，原式==﹣tanα=±．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由sinα+cosα=，得cosα=﹣sinα，由α是三角形的内角，得到，由此能求出tanα．（2）由三角函数恒等式得=．再由tanα=﹣，能求出结果．解答：解（1）∵sinα+cosα=，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴25sin2α﹣5sin α﹣12=0．∵α是三角形的内角，∴，∴tanα=﹣．（2）===．∵tanα=﹣，∴==﹣．点评：本题考查三角函数的求值运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数间的相互关系和三角函数恒等式的合理运用．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．考点：二次函数的性质；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值及相应的x取值．解答：解：令t=cosx，则t∈[﹣1，1]所以函数解析式可化为：=因为t∈[﹣1，1]，所以由二次函数的图象可知：当时，函数有最大值为2，此时当t=﹣1时，函数有最小值为，此时x=2kπ+π，k∈Z点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求得ω 的值，由函数的最值求得A，根据图象过定点出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：∵函数的最小正周期为，∴T==，解得ω=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵函数的最小值为﹣2，∴A=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数解析式可写为y=2sin（3x+ϕ）．又因为函数图象过点（，0），所以有：，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|ϕ|≤π，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数解析式为：，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，根据图象过定点出φ的值，属于中档题．。
广东省实验中学2015届高三数学第一次阶段考试试题 理(含解析)新人教A版
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
广东省揭阳一中、金山中学高三数学下学期联考试题 理 新人教A版
2014-2015学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m nim ni +=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2. 已知6,10a b a b -=+=r r r r，则a b ⋅=r r（ ）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143 D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年10学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平 均分x 及方差2s 的大小关系为（ ）A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲 C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D. 56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ） ①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部；甲 乙8 5 4 1 8 6 79 7 5 4 9 0 1 4 5 66 5 10 0 5 5③f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f(x)＝2x ，则x ＜0时的解析式为f(x)＝－2－x ；④若两个非零向量a b r r 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμr r r +=0.A ．4B ．3C ．2D ．1 8. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ）A.1B.2C. 1或2D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数x xy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出一个正确的一般结论为： ； 12.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕,[2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为 ；抛物线24y x =的焦点为F ，过点N(3,0)的直线与抛物线 相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||3BF =， 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题)14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lE D C BA三．解答题（本小题满分12分）设函数()cos(2)cos 3f x x x xπ=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。
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广东省揭阳三中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中y=，得到x≥0，即N={x|x≥0}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则( )A．¬p：∃x∈R，2x2+1＜0 B．¬p：∀x∈R，2x2+1≤0C．¬p：∃x∈R，2x2+1≤0 D．¬p：∀x∈R，2x2+1＜0考点：命题的否定．专题：常规题型．分析：根据含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定写出否命题．解答：解：∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选C点评：本题考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．3．设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是( )A．﹣2 B．﹣1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知利用向量的数量积坐标表示得到关于x 的方程解之解答：解：由已知=（x，1），=（4，x），•=﹣1，得到4x+x=﹣1，解得x=﹣；故选D．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算，关键是熟练数量积的公式．4．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是( ) A．[3，+∞）B．[﹣8，3]C．（﹣∞，9]D．[﹣8，9]考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件做可行域如图，化z=3x+5y为，由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．当直线过点B时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得A（﹣1，﹣1）．由x﹣4y﹣3=0得B（3，0）．z的最小值为3×（﹣1）+5×（﹣1）=﹣8．z的最大值为3×3+5×0=9．∴z=3x+5y的取值范围是[﹣8，9]．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．6．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于( )A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B小于A，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．解答：解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选C点评：此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是( )A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 否故退出循环的条件应为k＞4？故答案选：B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．已知f1（x）=sinx+cosx，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2015（x）=( )A．sinx+cosx B．﹣sinx﹣cosx C．sinx﹣cosx D．﹣sinx+cosx考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，确定函数f n′（x）的周期性即可．解答：解：∵f1（x）=sinx+cosx，∴f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=f4′（x）=sinx+cosx，…，f n+4′（x）=f n′（x），即f n′（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）=f2014′（x）=f2′（x）=﹣sinx﹣cosx，故选：B点评：本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．10．函数的导数为．考点：导数的运算．分析：根据导数的运算法则可得答案．解答：解：∵∴y'==故答案为：点评：本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．11．已知数列{a n}为等差数列，a1+a2+a3=3，a5+a6+a7=9，则a4=2．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：若数列{a n}为等差数列，正整数m、k、n满足m+n=2k，则有a m+a n=2a k，并且称a k 为a m、a n的等差中项．运用等差中项的方法可以解决本题：根据a1+a3=2a2，得到a1+a2+a3=3a2=3，从而a2=1；同样的方法得到a6=3，最后根据a2+a6=2a4得到a4=2．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a2+a3=3a2=3，a5+a6+a7=3a6=9，∴a2=1，a6=3，∵a2+a6=2a4∴a4=（a2+a6）=2故答案为：2点评：本题给出一个特殊的等差数列，在已知连续3项和的情况下，运用等差中项求未知项，着重考查了等差数列的性质，属于基础题．12．函数y=x3﹣x2﹣x的单调增区间为．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于0求出x的取值范围即可．解答：解：∵y=x3﹣x2﹣x∴y'=3x2﹣2x﹣1令y'=3x2﹣2x﹣1＞0∴x＜﹣或x＞1故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．出基础题．13．已知，，，则与夹角的度数为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由，得•（+）=0，求出•的值，从而得出与夹角的余弦值，求出夹角的度数．解答：解：∵，，，∴•（+）=0，∴+•=0，即1+1×2cosθ=0，∴cosθ=﹣，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°，即与夹角为120°；故答案为：120°．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．14．设f（x）=x3﹣﹣2x+3，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m﹣1恒成立，则实数m的取值范围为（6，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间求出函数的最大值，再根据最大值小于m﹣1，求得实数m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣﹣2x+3，∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），∴在[﹣1，﹣）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（﹣，1]上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在（1，2]上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．由于f（﹣）=，f（2）=5，故函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值为5．再根据f（x）＜m﹣1恒成立，可得5＜m﹣1，求得m＞6，故答案为：（6，+∞）．点评：本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．三、解答题：（本题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=3sin（2x+），x∈R．（1）求f（）的值；（2）若sinθ=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件直接计算f（）的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再根据f（﹣θ）=6sinθcosθ，求得结果．解答：解：（1）由函数f（x）=3sin（2x+），x∈R，可得f（）=3sin=．（2）由sinθ=，θ∈（0，），可得cosθ==，∴f（﹣θ）=3sin（﹣2θ+）=3sin2θ=6sinθcosθ=6••=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．16．为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示组别候车时间人数一[0，5） 2二[5，10） 6三[10，15） 4四[15，20） 2五[20，25] 1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．解答：解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×=32人．…（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…由古典概型可得P（A）=…点评：本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．（1）证明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离．考点：点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离．解答：解：（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE⊂面ABCD所以，DD1⊥CE，Rt△DAE中，AD=1，AE=1，DE==，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DE⊥CE，DE∩CE=E，所以，CE⊥面D1DE，又D1E⊂面D1EC，所以，D1E⊥CE．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）•=x+y﹣1=0，•=x﹣y=0解得：x=y=，即=（，，1）；又平面CDE的法向量为=（0，0，1），∴cos＜，＞===，所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，，1）故，A点到平面CD1E的距离为d===．点评：本题主要考查直线和平面垂直的性质，以及空间二面角和点到直线的距离的计算，利用向量法是解决本题的关键．18．已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：当n∈N+都有T n＞成立．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接利用等差数列通项公式和前n项和公式得答案；（2）把S n取倒数，求和后放大，再利用裂项相消法求和，则结论得到证明．解答：解：（1）∵{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，故；（2）由（1）得，==．点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．19．设函数f（x）=ax3+bx（a≠0）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为6x+y+4=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）由切线方程求得切点的坐标，求出函数的导数，即有f（1）=﹣10，f′（1）=﹣6，解方程即可得到a，b；（2）求出函数的导数，列表得到f（x）和导数f′（x）的关系，则可得到函数的单调增区间，求出极小值和f（﹣1）及f（3）的值，比较即可得到最值．解答：解：（1）由函数f（x）的图象在点M处的切线方程为6x+y+4=0，知f（1）=﹣10，函数f（x）的导数f'（x）=3ax2+b，故有，得：；（2）由于f（x）=2x3﹣12x．，列表如下：xf'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增函数极大减函数极小增函数所以函数f（x）的单调增区间是和，由f（﹣1）=10，，f（3）=18，则f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，考查运算能力，属于中档题．20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），离心率e=．（1）求椭圆的方程．（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的中点的横坐标为﹣，求直线l的斜率的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）首先，根据椭圆的焦点位置，设出其标准方程，然后，结合离心率求解其中参数，从而确定其标准方程；（2）设直线的方程，然后，联立方程组，消去一个未知量，转化成一元二次方程的思想求解．解答：解：（1）根据题意，设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0），∵，∴a=3，b=1，∴椭圆的标准方程为：．（2）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，整理，得（9+k2）x2+2kbx+b2﹣9=0，∴△=（2kb）2﹣4（9+k2）（b2﹣9）＞0，化简，得k2﹣b2+9＞0，x1+x2=﹣，x1•x2=，∵MN的中点的横坐标﹣，∴（x1+x2）=﹣，∴x1+x2=﹣1，可得9+k2=2kb，两边平方并整理得，（9+k2）2=4k2b2，∴b2=，又k2﹣b2+9＞0，∴k2﹣+9＞0，解得k2＞3或k2＜﹣9（舍去），∴k＜﹣或x＞，∴k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．。