数学归纳法(二)
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
4.17 数学归纳法 及其应用举例(二)
例3、求证：当n2,nN时， n
1
1
1 n
2
1 3n
例 题 选 讲
四、几何问题
例6 平面内有n(n>1) 条直线，其中任何两条
不平行，任何三条不过同一点，证明交点的
个数f(n)等于n(n-1)/2.
分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图，
观察交点的变化规律。
n
图形
交点个数 n 图 形 交点个数
2
•
f(2)=1 3
• ••
f(3)=3 =1+2 =f(2)+2
2n
1
1
12n
2
_____________1__. 1
11 2k 1 2k 2
(3)在用n=k命题成立来证明n=k+1命题成立时,要进行适当的方法选取,譬如分析,添拆项,作 差,因式分解等;要时刻注意所待证的式子,明确等式左端变形目标.
注:这一点我们将在应用问题上去体现. (5)对于与正整数有关的数学命题,其中n有双重性,其既表示项的个数,又可取某一数值.
k1 k2 k3
3k 3k 1 3k 2 3k 3 k 1
9
1
1
1
1 -
10 3k 1 3k 2 3k 3 k 1
9 1 1 1 1 9 10 3(k 1) (3k 1) 3(k 1) k 1 10
高二【数学(人教A版)】《数学归纳法》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清
证明
高中数学
( ) 的单调性. 难以应用数学归纳法
恒成立.
例1 证明：
证明：(1)当n=1时，①式的左边
，
右边
高中数学高二上册
①
，所以①式成立.
高中数学
(2)假设当n=k (
)时， ①式成立，即
，
在上式两边同时加上
，有
高中数学高二上册
目标
，
高中数学
(2)假设当n=k (
)时， ①式成立，即
，
在上式两边同时加上
，上册
典例剖析
例2 已知数列 满足 ，
（ ），试
猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想
②
(1)当n=1时，②式左边
，右边
，猜想成立.
②式成立，即
，
那么
，
高中数学
即当n=k+1时，猜想也成立. 由(1)(2)可知， 猜想对任何
典例剖析
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…，
，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
高中数学
当n=2时， 当n=3时，
由此，我们猜想，
，由x＞0，可得
；
，由x＞0，可得
.
.
高中数学高二上册
，有
高中数学高二上册
， 高中数学
高中数学
高中数学高二上册
，
高中数学高二上册
，
高中数学
即当n=k+1时， ①式也成立
由(1)(2)可知， ①式对任何
数学归纳法(二)
探究1 探究1 探究1 拓展1
1组邱悦 7组刘宁 6组冯涛 4组王梦 颖
前黑板1 前黑板2 前黑板3 后黑板1
拓展2
拓展2 拓展2
1组张海 洋
6组李颖 7组孟菊
后黑板2
后黑板3 后黑板4
展示情况
展示内 展示组 容 展示位置 点 展示要求： 1.口头脱稿展示时，面向同学； 评 口头展示：语言简洁、准确，声 组
探究1 探究1 探究1 拓展1 拓展2 拓展2
9组郝辉 9组田园 4组王鹤童 8组石宇 3组胡文宣 3组任文超
前黑板1 前黑板2 后黑板1 后黑板2 后黑板3 后黑板4
课堂小结： 1.在用数学归纳法证明不等式问题时， 由假设n=k时成立 ，到n=k+1时成立， 是难点，在此过程中，要学会用以前 所学的分析法 ，差比较法和放缩法。 2.在做归纳猜想的题目时，要根据具 体题目对n进行归纳，不要盲目地下 结论。
音洪亮；书面展示：规范快速， 注重总结规律方法； 2.讨论完毕总结整理完善，力争 全部过关。 非展示同学： 在同学展示的时 候继续讨论或记忆总结。并学会 倾听，学会整理自己的答案，准 备点评补充和质疑。 点评要求： 1.点评时声音洪亮脱稿，注重自 己的“教态” 2.点评讲究方法：先评书写、再 评对错、后总结方法规律。 3.点评讲究效率：言简意赅，遇 不明白时及时让给其他同学 非点评同学： 注意倾听、思考，关键内 容做好笔记，有补充或不明白的 地方及时、大胆提出。
我的疑问13班
1
探究1可不可以用另一种方法证明：
1
1 1 1 ＜ 2 2 32 n2
1
2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 (n 1)n 2 2 3 n 1 n n
数学归纳法(二)
2
k 2
.
例12 设有 2 个球分成了许多堆, 我们在其中 任选甲、乙两堆,按如下规则挪动: 若甲堆球数 p不少于乙堆球数q,则从甲堆中拿出q个球放入 乙堆,这算一次挪动.求证:可经过有限次挪动使 所有球并成一堆. 证明 n=1时,一堆球不需挪动； 若为两堆球,则 ?? 每堆一个球,挪动一次即可. 设n=k时命题成立, 则n=k+1时, 总球数为 k 1 k 2 2 2 . 注意总球数为偶数, 易知球数为奇 数的有偶数堆. 将球数为奇数的各堆两两配对,
n=1时,显然. n=2时,将其中一杯倒一半入空杯,再用满杯 分别加满即可． n=3时, 由1/3=1/2×2/3联想, 可先利用n=2 时的方法 将其中两杯混合好, 再将混合好的两 杯溶液各倒1/3(余下2/3)入空杯,最后将混合好 的三杯分别用未混合的一杯依次加满即可． 此方法不难推广到一般: 由n=k 到n=k+1 的 归纳过渡,利用1/(k+1)=1/k×k/(k+1),可先将其 中k杯混合好,再将混合好的k杯溶液各倒1/k+1 (余下k/k+1)入空杯, 最后用未混合的一杯分别 依次加满混合好的k杯即可．
(a b) a b 2
n n n 2n
1
1
2
n 1
.
(1988年全国高中) 证明 n=1,命题成立. 设n=k时命题成立,则n=k+1时,
左边 (a b)
k 1
k
a
k
k 1
b
k
k 1
k
分离出 P(k)
k
[(a b) a b ](a b) a b ab
S 红 (n)、S 蓝 (n)．
数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 5 数学归纳法 (2)
同理可得
=
1
,
2
1
1
1
a3=3,a4=4,a5=5.
1
(2)由(1)猜想an= .
下面利用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1,等式成立.
②假设当 n=k 时,等式成立,即
那么,当
1
ak= .
n=k+1(k∈N+)时,ak+1= +1
因此当 n=k+1 时,等式成立.
1
由①和②可知,∀n∈N+,an=成立,
2
3
1 2 3 4 5
<n(n∈N+,n>1)时,第一步应验证的不
4 + 2
= 2 .假设当
2
4.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n
4 + 2
1+2+3+…+k2=
成立,则当
2
2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
(k
上
n=k 时,
n=k+1 时,应在当 n=k 时的等式左端加
.
解析 n=k时,左端为1+2+3+…+k2,n=k+1时,左端为
解析 令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则
f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
(+1)
数学归纳法(第二课时)
数学归纳法（2）教学目标：1、了解归纳法的原理，巩固对数学归纳法概念的理解；2、掌握数学归纳法证明命题过程中的注意点 ；3、能进行简单的归纳、猜想、并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
复习回顾：1、数学归纳法的适用范围：2、数学归纳法证明的一般步骤：典型例题：例1. 用数归法证明()22111,11n n a a a a a a++-+++⋅⋅⋅+=≠-，在验证1n =时，左端=练习：欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有32n n >”则所取的第一个n 值，最小应是 。
例2设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立练习：1）某个命题与正整数有关，如果当)(,*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当)(,1*N k k n ∈+=时该命题也成立。
现在已知2012n =时该命题不成立，可推得（ ）A 当2013n =时该命题不成立B 当2013n =时该命题成立C 当2011n =时该命题不成立D 当2011n =时该命题成立2）如果命题)(n P 对)(,*N k k n ∈=成立，则它对2+=k n 也成立，又若)(n P 对2=n 成立，则下列结论正确的是（ ）。
A )(n P 对所有的正整数n 都成立 B )(n P 对所有的正偶数n 都成立C )(n P 对所有的正奇数n 都成立D )(n P 对所有大于1的正整数n 都成立例3:用数学归纳法证明:)12(5312)()3)(2)(1(-⋯⋅⋅⋅⋅=+⋯+++n n n n n n n ,*N n ∈,从“k n =到1+=k n ”时，左边应增添的因式是（ ）A 12+kB 1)22)(12(+++k k kC 112++k k D 122++k k练习：设=)(n f nn n n 21312111+⋯⋯++++++，*N n ∈，则-+)1(n f =)(n f （ ） A 121+n B 221+n C 221121+++n n D 221121+-+n n例4：（恒等式的证明）求证：()()()12......()213521n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，*n N ∈例5：（整除性的证明）用数学归纳法证明：49161n n +-()*,n N ∈能被64整除。
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一、用数学归纳法证明等式问题 练习1. 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立. ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
1、三个步骤缺一不可:第一步是是奠基步 骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第 二步是归纳关键，是推理的依据，是判断命题 的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无 限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归 纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成 立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义； 如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就 没有可靠性； 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳 假设，否则就不是数学归纳法了。 注意：完成一,二步后,最后第三步对命题做 6 一个总的结论一定不要忘了。
上述证明方法叫做数学归纳法。
2
例1.试判断下列两例的证明过程是否正确，若不正确 请说明理由. （1）用数学归纳法证明
1 3 5 ... (2n 1) n 1(n N )
2 *
证明： 2 假设n=k时命题成立，即1 3 5 ... (2k 1) k 1 ，
13
五、小结
（1）理解数学归纳法原理。 （2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者 是基础，后者是递推的依据，也是证明中的难 点和关键。 （3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关 的数学问题。
作业：p96A组T2，B组T1
14
1 3 5 ... (2k 1) (2k 1) 则n=k+1时，
根据以上可知，对一切命题成立.
3 , 错在：缺乏证明了第一步验证n取允许取值的初始正整数 丧失了递推的基础
k 2 1 (2k 1) (k 1) 2 1 ，所以n=k+1时命题成立。
10
1 (1)当n 3时, f (3) 3 (3 3) 0.而三角形没有对角线, 2 命题成立.
(2)假设当n k时命题成立, 即凸k 边形的对角线的条数 1 k (k 3)(k 3).当n k 1时, k 1边形是在k 边形的基础上 2 增加了一边, 增加了一个顶点Ak 1 , 增加的对角线条数是顶点Ak 1与 f (k ) 不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A1 Ak , 增加的对角线条数为 (k 2) 1 k 1
得： 1 3 5 (2k 1) (2k 1) ( k 1) 2 ,
所以等式成立。 综合（1）和（2）等式对一切正整数n均成立。 上述证明过程是否正确？如果不正确错在那？ 点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假 设和已知条件加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。 用数学归纳法证明题有两个步骤，第一步是验证，验证n取 每一个允许取值的正整数时，等式成立；第二步先假设n=k时成立， 进而推证当n=k+1时，等式成立，在推证过程中一定要利用好归纳 5 假设。
（2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
7
12 22 n2 an2 n 例2.是否存在常数 a, b,使得等式: 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) bn 2
2.3《数学归纳法》 (二）
数学归纳法的原理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列 步骤进行： （1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时命题成立；
（2）（归纳递推） 假设n=k(k n0,kN*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有正整数n都成立。
n 1时命题成立.
k2 k 2 (2)假设当n k (k N )时命题成立, 即有f (k ) , 2 当n k 1时, 第k 1条直线与前面k 条直线有k 个不同交点, 即它被前面k 条直线截成k 1段, 其中每一段都把它所在的 原区域一分为二, 也即使原区域数目增加k 1.
则当n=k+1时,
12 22 k2 (k + 1)2 + +…+ + 1 3 3 5 (2k 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k2 + k (k + 1)2 k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3k + 2 (k + 1)2 +(k + 1) = = . 4k + 6 4(k + 1)+ 2
（2）用数学归纳法证明：
1 2 2 2 ... 2
2 3
n 1
2 1
n
证明： ①当n=1时，等式左边=1=右边，∴n=1时命题成立. 2 3 k 1 k 1 2 2 2 ... 2 2 1 ②设n＝k时等式成立, 即
则当n＝k＋1时, 1 2 22 23 ... 2k 1 2k
1 2 2 k 1 1 ，即n=k+1时命题也成立. 1 2
根据①②，可知对一切n∈命题成立.
4 错在：在第二步推证中没有利用归纳假设 在推证过程中一定要利用好归纳假设，否则不如直接证。
k 1
思考？求证： 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n2 (n N )
1 1 2 f ( k 1) k ( k 3) k 1 ( k k 2) 2 2 1 1 ( k 1)( k 2) ( k 1) ( k 1) 3 2 2 故n k 1时, 命题成立 由(1), (2)可知对任何n N , n 3命题成立.
11
练习：平面上有n条直线, 其中任意两条都相交, 任意三条
n2 n 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区域数目为f (n) 2 下面用数学归纳法证明 (1)当n 1时, 一条直线将平面分成两部分, f (1) 2,
不共点, 这些直线把平面分成多少个区域 ? 证明你的结论.
故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
9
二、用数学归纳法证明几何问题
例1:凸n边形有多少条对角线 ? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设. 1 解 : n凸边形的对角线条数 : f (n) n(n 3)(n 3). 2 下面用数学归纳法证明
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b 1 a 1 , . 解:令n=1,2,并整理得 10a 3b 2 b 4
以下用数学归纳法证明: 12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
12
k2 k 2 f (k 1) f (k ) k 1 k 1 2 k 2 3k 4 (k 1) 2 (k 1) 2 2 2 故当n k 1时, 命题成立 由(1)(2)可知, 对任意正整数n, 命题成立.
课后思考题
1.用数学归纳法证明 : (1 22 2 32 ) (3 42 4 52 )
证明：(1) 当 n
1 ，左边 = 1，右边 =12 1 ，等式成立.
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 当n=k+1时，代入 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n2
1 1 1 2.设f (n) 1 , 是否存在g ( n)使等式 2 3 n f (1) f (2) f ( n 1) g ( n) f ( n) g ( n)对n 2 的一切自然数成立 ? 并证明结论.
2 2 (2 n 1) (2 n ) 2 n (2 n 1) n( n 1)(4n 3)
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立.
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(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 + k + +…+ = . 1 3 3 5 (2k - 1)(2k + 1) 4k + 2