湖北省黄石市有色一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高一（上）期中数学试卷一．选择题1．已知全集U={0，1，2}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点( )A．（0，1）B．（0，3）C．（1，2）D．（1，3）3．为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点( )A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度4．如果lg2=m，lg3=n，则等于( )A．B．C．D．5．若a=30.6，b=log3 0.6，c=0.63，则( )A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么下列命题中正确的是( )A．f（x）在区间（2，3）内有零点B．f（x）在区间（3，4）内有零点C．f（x）在区间（3，16）内有零点D．f（x）在区间（0，2）内没零点7．若A={a，b，c}，B={m，n}，则能构成f：A→B的映射( )个．A．5个B．6个C．7个D．8个8．定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）=0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf（x）＞0的解集为( )A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}9．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是( )A．B．C．D．10．已知函数，则函数的定义域为( )A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]11．已知函数是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )A．B．（，]C．D．12．若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log2x⊕的值域是( ) A．[0，+∞）B．（0，1]C．[1，+∞）D．R二．填空题13．已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a的取值范围是__________．14．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程f（x）=m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．15．已知幂函数f（x）=（a2﹣a+1）•是偶函数，则实数a的值为__________．16．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有__________个交点．三．解答题17．（1）已知，求x+x﹣1的值；（2）计算的值．18．有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．20．已知4a=8，2m=9n=36，且，试比较1.5a与0.8b的大小．21．设a，b是正实数，且a+b=1，记．（1）求y关于x的函数关系式f（x），并求其定义域I；（2）若函数g（x）=在区间I内有意义，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高一（上）期中数学试卷一．选择题1．已知全集U={0，1，2}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有( )A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】根据题意，易得A={1，0}，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，0}，且C U A={2}，则A={1，0}，A的子集有22=4个，其中真子集有4﹣1=3个；故选A．【点评】本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若A中有n个元素，则A有2n个子集．2．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点( )A．（0，1）B．（0，3）C．（1，2）D．（1，3）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数型函数的性质，令x﹣1=0即可求得点的坐标．【解答】解：∵y=a x﹣1+2（a＞0且a≠1），∴当x﹣1=0，即x=1时，y=3，∴函数y=a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）．故选：D．【点评】本题考查指数型函数的性质，令x﹣1=0是关键，属于基础题3．为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点( )A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2[﹣2（x﹣1）]，然后和函数y=log2（﹣2x）比较看x的变化．【解答】解：函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2 [﹣2（x﹣1）]，和函数y=log2（﹣2x）相比，x的变化是减1，根据左加右减，所以将函数y=log2（﹣2x）的图象向右平移1个单位得到f（x）=log2（﹣2x+2）的图象．故选D．【点评】本题考查了图象在x轴方向上的平移变换，一般是先研究x的变化，需要先将函数式适当变形再来判断，根据“左加右减”进行．4．如果lg2=m，lg3=n，则等于( )A．B．C．D．【考点】换底公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1即可得出．【解答】解：∵lg2=m，lg3=n，∴===．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题．5．若a=30.6，b=log3 0.6，c=0.63，则( )A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用指数函数与对数函数的性质可知，a＞1，b＜0，0＜c＜1．从而可得答案．【解答】解：∵a=30.6＞a=3°=1，b=log30.2＜log31=0，0＜c=0.63＜0.60=1，∴a＞c＞b．故选A．【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查有理数指数幂的化简求值，掌握指数函数与对数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．6．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么下列命题中正确的是( )A．f（x）在区间（2，3）内有零点B．f（x）在区间（3，4）内有零点C．f（x）在区间（3，16）内有零点D．f（x）在区间（0，2）内没零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么函数f（x）在区间（0，2）和（4，16）必然无零点，据此可用反证法证明．【解答】解：下面用反证法证明f（x）在区间（0，2）内没零点．假设函数f（x）在区间（0，2）内有零点，由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，这也就是说函数f（x）唯一的一个零点也在区间（2，4）内，再由假设得到函数f（x）在区间（0，2）和（2，4）内分别各有一个零点，由此得到函数f （x）有两个不同零点．这与已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内矛盾．故假设不成立，因此函数f（x）在区间（0，2）内没零点．故选D．【点评】本题考查函数的零点，正确理解已知条件和使用反证法是解题的关键．7．若A={a，b，c}，B={m，n}，则能构成f：A→B的映射( )个．A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】由映射的意义，A中每个元素都可选m，n两者之一为象，由分步计数原理可得答案．【解答】解：A中每个元素都可选m，n两者之一为象，由分步计数原理，共有2×2×2=8（个）不同的映射．故选D．【点评】本题主要考查了映射的概念和分类讨论的思想．这类题目在高考时多以选择题填空题的形式出现，较简单属于基础题型．8．定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）=0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf（x）＞0的解集为( )A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，∴不等式xf（x）＞0等价于或∴x＞1或﹣1≤x＜﹣1∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．故选A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，经常考查，属于基础题．9．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是( )A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f（x）=lg（|x|﹣1），∴f（﹣x）=lg（|x|﹣1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或﹣1时，y＜0，故选B；【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；10．已知函数，则函数的定义域为( )A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，可求2﹣x的值域，即函数f（x）的定义域，再令∈[0，4]，即可求得函数y=f（）的定义域．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，即函数f（x）的定义域为[0，4]，令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．则函数y=f（）的定义域为[0，16]．故选B．【点评】本题考查抽象函数定义域的求法，属中档题，注意理解函数f（x）的定义域与函数f[g（x）]定义域的区别．11．已知函数是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )A．B．（，]C．D．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：若f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则满足，即，即＜a≤，故选：B【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键．12．若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log2x⊕的值域是( )A．[0，+∞）B．（0，1]C．[1，+∞）D．R【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；新定义．【分析】先由定义确定函数f（x）的解析式，再根据函数的定义域和单调性求函数的值域【解答】解：令，即log2x＜﹣log2x∴2log2x＜0∴0＜x＜1令，即log2x≥﹣log2x∴2log2x≥0∴x≥1又∵∴当0＜x＜1时，函数单调递减，∴此时f（x）∈（0，+∞）当x≥1时，函数f（x）=log2x单调递增，∴此时f（x）∈[0，+∞）∴函数f（x）的值域为[0，+∞）故选A【点评】本题考查解对数不等式以及对数函数的值域，求对数函数的值域要注意函数的单调性．属简单题二．填空题13．已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a的取值范围是（﹣2，0）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得y=2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，由此求得a的范围．【解答】解：由于函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，可得y=2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，求得﹣2＜a＜0，故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，复合函数的单调性，属于基础题．14．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程f（x）=m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是0＜m＜1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据绝对值的性质，将函数f（x）表示为分段函数形式，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x2﹣4x+3≥0，即x≥3或x≤1时，f（x）=x2﹣4x+3=x2﹣4x+3≥0，当x2﹣4x+3＜0，即1＜x＜3时，f（x）=|x2﹣4x+3|=﹣（x2﹣4x+3）=﹣（x﹣2）2+1∈（0，1），若方程f（x）=m有四个不相等的实数根，则0＜m＜1，故答案为：0＜m＜1【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数与方程之间的关系结合一元二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知幂函数f（x）=（a2﹣a+1）•是偶函数，则实数a的值为1．【考点】幂函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】幂函数f（x）=（a2﹣a+1）•是偶函数，可得a2﹣a+1=1，是偶数．解出即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=（a2﹣a+1）•是偶函数，∴a2﹣a+1=1，是偶数．解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，函数值的求法，分类讨论，分别代入得到相应的方程的，解得即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，当x≤0时，f（x）=x+1，当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0y=f[f（x）]﹣1=log2（x+1）﹣1=0，即log2（x+1）=1，解得x=1（舍去）当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1﹣1=x+1=0，∴x=﹣1．当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1，当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1=log2（log2x+1）﹣1=0，∴log2x﹣1=0，x=2（舍去）当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，∴log2x=2，x=4．综上所述，y=f[f（x）]﹣1的零点是x=﹣1，或x=4，∴则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点，故答为：2．【点评】本题考查了函数零点的问题，以及函数值的问题，关键是分类讨论，属于中档题三．解答题17．（1）已知，求x+x﹣1的值；（2）计算的值．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用平方关系，直接求解即可．（2）利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1），x+x﹣1==9﹣2=7（2）=2﹣2×2﹣log63﹣log62=﹣3．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用，考查计算能力．18．有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】如果设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，获取的利润为y 万元；那么y=p+q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，求导y的最大值，和对应的t、x．【解答】解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，此时获取利润为y万元；则由题意知，．令，则y=﹣t2++=（其中0≤t≤）；根据二次函数的图象与性质知，当t=时，y有最大值，为；又t=，得=，∴x==2.25（万元），∴3﹣x=0.75（万元）；所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为万元．【点评】本题考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），且当x≥0时f（x）=x2+2x．可求出x＜0时函数f（x）的解析式，综合可得函数f（x）的解析式（2）根据（1）可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，进而可得函数g（x）的最小值的表达式．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵函数f（x）是偶函数，故f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2+2x…所以f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，…所以f（x）=，（2）∵g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2+2（1﹣a）x+2的图象开口朝上且以直线x=a﹣1为对称，又∵x∈[1，2]，当a﹣1≤1时，g（x）在[1，2]上为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值5﹣2a，当1＜a﹣1≤2时，g（x）在[1，a﹣1]上为减函数，在[a﹣1，2]上为增函数，故当x=a﹣1时，g（x）取最小值﹣a2+2a+1，当a﹣1＞2时，g（x）在[1，2]上为减函数，故当x=2时，g（x）取最小值10﹣4a，综上：函数g（x）的最小值为【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，二次函数在定区间上的最值问题，是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查，难度不大，属于基础题．20．已知4a=8，2m=9n=36，且，试比较1.5a与0.8b的大小．【考点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化．【专题】计算题．【分析】4a=8转化为22a=23，由f（x）=2x为单调递增的函数，可得，由2m=9n=36，可解得m=log236，n=log936代入，解得b，然后通过y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，可知，从而得到结论．【解答】解：∵4a=8∴22a=23，又∵f（x）=2x为单调递增的函数∵，∵2m=9n=36，∴m=log236，n=log936又∵，∴∵y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，∴，即1.5a＞0.8b【点评】本题主要考查用函数的单调性来比较大小，难点在于抽象或构造函数和灵活地运用其性质．21．设a，b是正实数，且a+b=1，记．（1）求y关于x的函数关系式f（x），并求其定义域I；（2）若函数g（x）=在区间I内有意义，求实数k的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）先化简函数，然后利用x=ab表示成f（x）的形式，利用换元法即可求出函数的定义域．（2）根据函数成立的条件转化为不等式恒成立，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）y=ab+++=ab++=ab++=ab++=ab+﹣2=x+﹣2，∵a，b是正实数，且a+b=1，∴x=ab≤（）2=，即0＜x≤，则f（x）的定义域为（0，]．（2）若函数g（x）=在区间I内有意义，则kf（x）﹣1≥0，∵函数f（x）=x+﹣2，在（0，]上单调递减，∴f（x）≥f（）=，则kf（x）﹣1≥0等价为k≥，∵f（x）≥，∴0＜≤，即k≥．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数定义域的求解和应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．22．已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）===﹣=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（2）f（x）===1﹣，则f（x）在R上的单调性递增，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=（﹣）=，∵x1＜x2，∴＜，∴﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数．（3）若存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，则f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）．即x2﹣t2≥t﹣x．即x2+x≥t2+t恒成立，设y=x2+x=（x+）2﹣，∵x∈[1，2]，∴y∈[2，6]，即t2+t≤2，即t2+t﹣2≤0．解得﹣2≤t≤1，即存在实数t，当﹣2≤t≤1时使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．。