平行关系小题练习(2015年)
6.到空间不共面的四点距离相等的平面有 7 个.
解析
如下图分类，一类如图(1)将四点视为
三棱
锥四个顶点,取棱中点,可以做如图(1)平面平行于三棱
锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样
的平面有4个；另一类如图(2)取各段中点，四个点形
成平面平行于三棱锥 相对棱，这样的平面有3个，共7个.
7.如图所示，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1 中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、
⑥平行于同一平面的两直线可以相交.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.过长方体ABCD—A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直
线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有 12
条.
解析
如图所示，与AC平行的直线有4条，与
AA1平行的直线有4条,
ACC1A1，
连接MN，则MN∥面
这样的直线也有4条（包括MN），共12条.
4.下列命题中正确的个数是
( B)
①若直线a不在α 内，则a∥α ;
②若直线l上有无数个点不在平面α 内,则l∥α ； ③若直线l与平面α 平行，则l与α 内的任意一条 直线都平行； ④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那
么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α 平行，则l与α 内任何一条直线都 没有公共点；
平行关系小题练习
1. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）如果一条直线平行于平面内的两条直线， 那么这条直线平行于这个平面； ×
则在平面β 内且过B点的所有直线中( A ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
解析 当直线a在平面β 内且经过B点时，可使 a∥平面α ，但这时在平面β 内过B点的所有直 线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况 下，都可以存在与a平行的直线，故选A.
2. α、β是两个不重合的平面，a、b是两 条不同直线，在下列条件下，能判定α∥β 的是 .）a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β （4）a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α， a∥β，b∥β
(4)
3.若平面α ∥平面β ，直线a∥平面α ，点B∈β ,
D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在
四边形EFGH及其内部运动，则M满足条 件 M∈线段HF时，有MN∥平面B1BDD1.
解析
由题意，HN∥面B1BDD1，
FH∥面B1BDD1. ∴面NHF∥面B1BDD1. ∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题5_第2讲_空间中的平行与垂直(含答案)
第2讲 空间中的平行与垂直考情解读 1．以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2提醒 3．平行关系及垂直关系的转化热点一 空间线面位置关系的判定例1 （1）设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥αB ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC ．若a ∥α且a ∥β，则α∥βD ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β（2）平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定．思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④热点二 平行、垂直关系的证明例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）P A ⊥底面ABCD ； （2）BE ∥平面P AD ； （3）平面BEF ⊥平面PCD .思维启迪 (1)利用平面P AD ⊥底面ABCD 的性质，得线面垂直；(2)BE ∥AD 易证；(3)EF 是△CPD 的中位线． 思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：（1）AF ∥平面BCE ； （2）平面BCE ⊥平面CDE .热点三 图形的折叠问题例3 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．（1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？请说明理由．思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE ∥BC ；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A 1F ⊥平面BCDE ；第(3)问取A 1B 的中点Q ，再证明A 1C ⊥平面DEQ .思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．（1）当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式．1．证明线线平行的常用方法（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； （2）利用平行四边形进行转换； （3）利用三角形中位线定理证明；（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； （2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； （2）利用勾股定理逆定理；（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； （2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟1．(2014·辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α2．(2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．押题精练1．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①P A ∥平面MOB ；②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ；④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？并证明你的结论．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ⊥n ，且n ∥β3．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．A 1C ⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．AC 1⊥BD 14．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是( ) A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π 二、填空题7．已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n .其中正确的个数为_________________．8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (不含端点)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题11．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1.12．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .（1）求证：EF ∥平面BC 1D ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．13．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4. （1）求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ； （2）求证：FB ∥平面A ′DE .例1 (1)D (2)D 变式训练 D 答案 B 答案 ②④DBDDDC 7．2 8．①③ 9．a 或2a 10．⎝⎛⎭⎫12，111．证明 (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AC ⊥BC .CC 1⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1， BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是C 1B 的中点， ∴DE ∥AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.12．(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M . 因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点．又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点， 所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD . 所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， 所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16， 所以V E －AFGVABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin ∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin ∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC ， 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32.所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在．13．证明 (1)由题意，得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的， ∴△A ′DE ≌△ADE .∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝60°. 又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形． 如图，连接A ′M ，MC ， ∵M 是DE 的中点， ∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60° ＝42＋12－2×4×1×cos 60°， ∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2. ∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC . 又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ， ∴A ′M ⊥平面BCD . 又∵A ′M ⊂平面A ′DE ， ∴平面A ′DE ⊥平面BCD . (2)取DC 的中点N ，连接FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C ，DC 的中点， ∴FN ∥A ′D .又∵N ，E 分别是平行四边形ABCD 的边DC ， AB 的中点， ∴BN ∥DE .又∵A ′D ∩DE ＝D ，FN ∩NB ＝N ， ∴平面A ′DE ∥平面FNB . ∵FB ⊂平面FNB ， ∴FB ∥平面A ′DE .。
平行与相交专项练习30题(有答案)ok
平行与相交专项练习30题(有答案)ok平行与相交专项练30题（有答案）1．下列对于线的描述，说法正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直C．过直线外一点，能画无数条平行线D．有一条直线长6分米2．从直线外一点画已知直线的平行线，可以画（）条．A．1B．2C．无数3．下面的图形中，（）只有2组平行线．A．B．C．D．4．如果在同一平面内画两条直线，它们都和第三条直线相交成直角，那么这两条直线（A．互相垂直B．互相平行C．不垂直也不平行5．下列各句话中有（）句是错误的．（1）两条直线相交，这两条直线互相垂直．（2）两条直线的交点，叫做这两条直线的垂足．（3）平行线之间的线段到处相等．（4）两条直线都与另一条直线相交，这两条直线一定平行．A．1B．2C．3D．46．在同一平面内，若把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，那么这两根小棒（）A．相互平行B．相互垂直C．相交7．同一平面内的两条直线最多有（）个交点．A．B．1C．28．一张长方形纸对折两次后展开，折痕（）A．相互平行B．相互垂直C．可能相互垂直，也可能相互平行9．在两条平行线之间画垂直线段，第一条长7厘米，第二条长（）A．大于7厘米B．小于7厘米C．等于7厘米10．关于平行线的说法正确的是（）A．不相交的两条线段B．不相交的两条直线C．在同一平面内，不相交的两条直线11．直线a、b、c在同一平面里，a与b相互垂直，b与c 相互垂直，那么a与c相互（A．.垂直B．平行C．平行或垂直12．有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定（）平行与相交----1））A．相互垂直B．相互平行C．相交13．在同一个平面上垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．互相垂直B．互相平行C．两种都有可能D．A、B两种都不可能．14．在同一平面内，两条直线可能_________，也可能_________，互相垂直是一种特殊的_________．15．指出左图形中各有几组互相平行的线段，并写在括号里，（_________）．16．在同一平面内不相交的两条直线叫做_________，也可以说这两条直_________．在同一平面内的两条直线的位置关系有_________、_________两种情况．17．语文课本的封面，相对的两条边是相互_________的，相邻的两条边是相互_________的．18．点到直线的所有线段中，_________最短．19．平行线之间的垂直线段不但相互_________，并且长度_________．20．在同一平面内，两条不重合的直线的位置干系有_________、_________．21．上面有一排字母：TEFNKHXZ有互相垂直线段的字母是_________；有互相平行线段的字母是_________；既有互相垂直，又有互相平行的线段的字母是_________．22．如图，能找到_________组相互垂直的线段．23．两条直线不相交，就说这两条直线相互平行．_________．24．图中有几组相互垂直的线段？_________组．25．当两条直线相交成直角时，这两条直线相互平行．_________．26．在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就一定会相交．_________．平行与相交----227．在同一平面内，两条直线的位置干系可分红哪两类？相交或垂直_________相交或平行_________平行或垂直_________．28．过直线外一点只能画一条直线的垂线．_________．29．小猪要过河，它走下面的哪条路最近？这条路有什么特点？30．点A是大象的家，XXX表示河．大象要去河岸边饮水，请设想一条使大象饮水近来的线路图．平行与相交----3参考答案：1．A、不相交的两条直线是平行线，说法错误，前提是：在同一平面内；B、根据互相垂直的含义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，说法正确；C、过直线外一点，能画无数条平行线，说法错误，应为一条平行线；D、因为直线无限长，所以有一条直线长6分米，说法错误；故选：B．2.按照平行的性质得：过直线外一点画直线的平行线，可以画一条直线与直线平行，应选：A．3．A、是正六边形，有3组平行线；B、没有平行线；C、有2组平行线；D、是正八边形，有4组平行线；故选：C．4．如图：在同一平面内，p⊥d，k⊥d，所以XXX，故选：B．5．（1）两条直线相交，这两条直线互相垂直，说法错误，应为：两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直；（2）两条直线的交点，叫做这两条直线的垂足，说法错误；因为两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直，交点叫做垂足；（3）平行线之间的线段处处相等，说法错误，应为：平行线之间的距离处处相等；（4）根据垂直的性质可知：两条直线都与另一条直线相交，这两条直线一定平行，说法错误，前提必须在同一个平面内；故选：D．6．如图所示，，a和b都垂直于c，则a和b平行；应选：A．7．同一平面内的两条直线最多有1个交点．应选：B．8．由阐发可知：把一张长方形的纸对折两次后，折痕的干系是可能相互平行，也可能相互垂直；应选：C．9．由阐发可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等，所以在两条平行线之间画垂直线段，第一条长7厘米，第二条也长7厘米；应选：C．10．因为在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故A、B错误；应选：C．11．由垂直和平行的特征和性质可知：直线a、b、c在同一平面里，a与b相互垂直，b与c相互垂直，那么a与c互相平行；故选：B．12．根据平行的性质可得：有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定互相平行；故选：B13．由垂直的性质可得：在同一个平面内垂直于同一条直线的两条直线一定互相平行；故选：B．14．在同一平面内，两条直线可能相交，也可能平行，互相垂直是一种特殊的相交．15．指出左图形中各有几组互相平行的线段，并写在括号里，（9组）．如图：平行与相交----4图中的平行线段有：AD∥EF，BD∥EF，DE∥FB，DE∥FC，DF∥AE，DF∥EC，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB；共有9对；故谜底为：9组16．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也能够说这两条直线相互平行．在同一平面内的两条直线的位置干系有相交、平行两种情形．由阐发得出：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，在同一平面内的两条直线的位置关系有相交、平行两种情况．故答案为：平行线；线互相平行；相交；平行17．语文课本的封面，相对的两条边是相互平行的，相邻的两条边是相互垂直的．18．点到直线的所有线段中，垂线段最短．19．平行线之间的垂直线段不但相互平行，并且长度相等．20．在同一平面内，两条不重合的直线的位置干系有相交、平行．21．上面有一排字母：XXX有相互垂直线段的字母是T、E、H；有相互平行线段的字母是E、N、Z、H；既有相互垂直，又有相互平行的线段的字母是E、H．22．如图，能找到8组相互垂直的线段．23.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内；故答案为：错误．24．图中有几组互相垂直的线段？6组．25．当两条直线相交成直角时，这两条直线相互平行．错误．26．在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就一定会相交．正确．由分析可知：在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就必然会相交；故答案为：正确．27．在同一平面内，两条直线的位置关系可分成哪两类？相交或垂直×相交或平行√平行或垂直×．28．过直线外一点只能画一条已知直线的垂线．正确．29．如图：PC近来，这条路垂直于河对岸的路．30．如图所示：根据垂直线段最短的性质，红色的垂线段就是使大象饮水最近的线路，。
2015届高考数学总复习第八章 第五节空间图形的平行关系精讲课件 文
变式探究
1 ．正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
证明： 如图，连接 CN 并延长交 BA所在直线于点P， 连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.
因为△NDC∽△NBP，
DN CN 所以 NB ＝ NP. 又 CM＝DN，B1C＝BD， CM DN CN 所以MB ＝ NB ＝ NP， 1 所以 MN∥B1P.因为 B1P⊂平面 AA1B1B， 所以 MN∥平面 AA1B1B.
证明：(1)连接BC1，B1C，
则B1C⊥BC1， BC1是AP在平面BB1C1C上的射影， ∴AP⊥B1C. 又B1C∥MN，∴AP⊥MN.
(2)连接B1D1， ∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD.
又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD
(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形， ∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD， ∴EF∥平面BCD，而EF⊂平面ACD， 平面ACD∩平面BCD＝CD.∴EF∥CD. 又∵CD⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. (2)解析：由(1)知CD∥EF， 同理 AB∥FG ，由异面直线所成角的定义知 ∠ EFG 即为所 求的角．易得∠EFG＝90°.
(2)证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，
EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA. 同理可得BC∥平面PDA， ∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC＝C， ∴平面BEC∥平面PDA. 又BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.
点评：利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平 面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有， 若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四 边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》
小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、下面语句中，正确的是①不相交的两条直线叫做平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③如果线段ab和线段cd不相交，那么直线ab和直线cd平行；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c．[ ]a．②和④b．①和②c．②和③d．①和④答案与解析：a2、我们知道生活中许多美丽的事物都是由许多的图形组成的，如我们可以用两条平行线，一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来表示一个可爱娃娃。
怎么样，开动你的脑筋，用你的灵巧小手，用两条平行线、一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来描绘我们美好事物，并给它起一个好听的名字。
答案与解析：答案不唯一，只要美观即可。
3、三条平行线上分别有3个点，4个点和5个点，且不在同一条平行线上的三个点不共线，以这些点为顶点的三角形共有______个．答案与解析：根据题干分析可得：（1）在第一条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：3x6+3x10=48（个），（2）在第二条直线上取一点，另外两点分别在第一条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：4x3+4x10=52（个），（3）在第三条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第一条直线上，可以得到的三角形的个数为：5x3+5x6=45（个），（4）每条直线上各取一点有，可得三角形的个数为：3x4x5=60（个），所以48+52+45+60=205（个）．答：以这些点为顶点的三角形共有205个．故答案为：205．4、在图中，过a作已知直线的垂线，再过b作已知直线的平行线，量出a、b间的距离，并与ab为直径画一个圆．答案与解析：答案如图，5、下面平行线中的三个图形，它们的面积从大到小排列是[ ]a.②③①b.②①③c.③②①答案与解析：c6、比较平行线间的两个阴影部分面积，如下图[ ]a．甲乙b．甲乙c．甲=乙答案与解析：c7、在两条平行线间，分别画出面积相等的长方形、平行四边形、三角形和梯形。
面面平行的性质(2015年)
C E P F D
G
B
E F C
A
G
B
N
D
M
A
分析一：证明平面EFG//平面PAB得到 分析二：根据EF与底面的平行关系做出EFG与四棱锥 的交线，连接EN，证明EN//PA
例3:（1）正方体AC1中，经过D1B的平面分别交 AA1,CC1于点E，F,则四边形D1EBF的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形
（4）夹在两个平行平面间的平线线段相等
总结2：证明线面平行的方法
总结3:证明线线平行的方法
例2:正方体AC1中，E,F是所在棱的中点，求证： EF ǁ 面BB1D1D
F
D1
C1
A1
B1
D E A B
C
练习:已知如图所示直角梯形ABCD中， APǁCB,AP⊥AB,AP=2BC=2AB,D为AP的中点， E,F,G分别为PC,PD,CB中点，将ΔPCD沿CD折起， 得到四棱锥P-ABCD，如图，求证：APǁ 面EFG
γ
β
α
b a
判定两直线 平行的依据
思考3:如果两个相交平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线的位置关系 如何？
β b β γ α γ a α
l
a
b
l
思考4:若 ，那么在平面β 内 经过点P且与l 平行的直线存在吗？有几 条？
α β P β l α γ
思考5:若平面α 、β 都与平面γ 平行， 则平面α 与平面β 的位置关系如何？
理论迁移
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
A C 已知：α//β，直线AB,CD 与两个平面都相，交点分 别为A,B,C,D，且AB//CD 求证：AB=CD
(完整版)平行线习题(含答案)(2)
2019年4月16日初中数学作业学校: ______________ 姓名： _____________ 班级：_______________ 考号：______________一、单选题1. 如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】B【解析】【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可.【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选：B.【点睛】本题考查了平行线和相交线的应用，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.2. 下列说法中，正确的个数有（）①在同一平面内不相交的两条线段必平行；②在同一平面内不相交的两条直线必平行；③在同一平面内不平行的两条线段必相交；④在同一平面内不平行的两条直线必相交.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断.详解】解：（1）线段不相交，延长后不一定不相交，错误；（2）同一平面内，直线只有平行或相交两种位置关系，正确；（3）线段是有长度的，不平行也可以不相交，错误；（4）同（2），正确；所以（2）（4）正确．故选：B．【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意（1）和（3）说的是线段．3．下列表示平行线的方法正确的是（）A. ab// cdB. A // BC. a// BD. a// b【答案】D【解析】【分析】根据平行线的表达方法来判断即可得出结论.【详解】解：直线可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，故正确的表示方法是D.故答案为：D【点睛】本题主要考查了学生对平行线的表达方法的掌握情况，掌握平行线的表达方法是解题的关键.4 ．在同一平面内，下列说法正确的是（）A ．没有公共点的两条线段平行B ．没有公共点的两条射线平行C.不垂直的两条直线一定互相平行D ．不相交的两条直线一定互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的定义，即可求得此题的答案，注意举反例的方法．详解】A. 在同一平面内，没有公共点的两条线段不一定平行，故本选项错误；B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线不一定平行，故本选项错误；C. 在同一平面内，不垂直的两条直线不一定互相平行，故本选项错误；D. 在同一个平面内，不相交的两条直线一定互相平行，故本选项正确；【点睛】此题考查了平行线的判定．解题的关键是熟记平行线的定义．5．下列说法不正确的是( )A .过任意一点可作已知直线的一条平行线B. 同一平面内两条不相交的直线是平行线C. 在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线垂直D. 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断.【详解】A 中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误B. C. D 是公理，正确.故选A.【点睛】本题考查了平行线的定义和公理，熟练掌握定义和公理是解题的关键.6.在同一平面内，无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相( )A •平行B.垂直C.共线 D.平行或共线【答案】A【解析】【分析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析.【详解】如图所示：n n无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行•故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键7 .下列结论正确的是()A .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行【答案】D【解析】【分析】本题可结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理进行判定即可.【详解】(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应强调在同一平面内，故本项错误；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的.(3)在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，射线不一定，故本项错误；(4)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是正确的.故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质和平行公理.熟练掌握公理和概念是解决本题的关键.8 .在同一平面内，直线AB与CD相交，AB与EF平行，则CD与EF()A •平行B.相交C. 重合D.三种情况都有可能【答案】B【解析】【分析】先根据题意画出图形，即可得出答案.【详解】如图，•••在同一平面内，直线AB与CD相交于点O, AB // EF,••• CD与EF的位置关系是相交，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意画出图形是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用.9 .下列语句不正确的是（）A .在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行C. 两点确定一条直线D. 内错角相等【答案】D【解析】【分析】根据平行线的公理、推论及平行线的判定，可得答案.【详解】A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A正确;B、两直线被第三直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故B正确；C、两点确定一条直线，故C正确；D、两直线平行，内错角相等，故D错误；故选D.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟记公理、推论是解题关键．10 ．下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角是对顶角；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】依据线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，即可得到正确结论．【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②相等的角不一定是对顶角，错误；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，正确；④两点之间的距离是两点间的线段的长度，错误；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，错误. 故选：B．【点睛】本题考查线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，解题时注意：平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．11 ．下列说法中正确的是（）A .两条相交的直线叫做平行线B. 在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行C. 如果a // b, b // c,贝U a不与b平行D. 两条不平行的射线，在同一平面内一定相交【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质进行解题即可,见详解.详解】解：两条不相交的直线叫做平行线，故A 错误,在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行如果a// b , b // c ,则a // b,平行线的传递性，故C 错误, 射线一端固定，另一端无限延伸，故D 错误， 综上选B. 【点睛】，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键【解析】【分析】 根据平行线的传递性即可解题 【详解】解：••• AB // CD ，CD // EF ，••• AB // EF ，（平行线的传递性）故选A. 【点睛】本题考查了平行线的传递性 ，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键13 •一条直线与另两条平行直线的关系是 （ ）A .一定与两条平行线平行B .可能与两条平行线的一条平行，一条相交C . 一定与两条平行线相交D .与两条平行线都平行或都相交【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，可知如果一条直线与另 两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，则它与另一条平行线也平行即可求出本题答案【详解】，正确,// EF ，那么AB 和EF 的位置关系是本题考查了平行线的性质C.垂直D.不能确定【答案】A•••在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，•••如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交，否则与平行公理相矛盾；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，根据平行于同一直线的两条直线平行，则它与另一条平行线也平行.故答案为：D.【点睛】本题考查了平行线的相关知识，熟练掌握平行线的有关性质是本题解题的关键.14．下列说法中，正确的个数为( )①过一点有无数条直线与已知直线平行；②如果a// b, a // c,那么b // c;③如果两线段不相交，那么它们就平行；④如果两直线不相交，那么它们就平行.A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义、公理及推论判断即可求出本题答案.【详解】(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故错误；(2) 根据平行公理的推论,正确；(3) 线段的长度是有限的,不相交也不一定平行,故错误；(4) 应该是“在同一平面内”,故错误.正确的只有一个,故选A.故答案为：A.【点睛】本题考查了平行公理及推论,平行线,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.15 •已知在同一平面内有一直线AB和一点P,过点P画AB的平行线，可画()A • 1条B. 0条 C. 1条或0条D.无数条【答案】C【解析】【分析】根据平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．【详解】如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条,如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条•故答案为：C.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟练掌握该知识点是本题解题的关键16 .下列说法中，正确的是（）A •平面内，没有公共点的两条线段平行B. 平面内，没有公共点的两条射线平行C. 没有公共点的两条直线互相平行D. 互相平行的两条直线没有公共点【答案】D【解析】【分析】回忆线段之间、射线之间与直线之间的位置关系；对于A，可在纸上画出两条没有公共点的线段，观察两条线段的位置关系；对于B,可在纸上画出两条没有公共点的射线，观察两条线段的位置关系；对于C,思考若两条直线不在一个平面内，是否能够得到两条直线不平行也不相交，对于D，根据平行线的定义可作出判断•【详解】对于A,如图所示，A错误；对于C,如果两条直线不在同一个平面内，不相交也可能不平行，则C错误；对于D，根据平行线的定义可知D正确•故答案为：D.【点睛】本题考查了两条直线的位置关系，直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线的位置关系及相关定义是本题解题的关键•17 ．下面说法正确的是( )A .过两点有且只有一条直线B.平角是一条直线C.两条直线不相交就一定平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据直线公理：经过两点有且只有一条直线；角的概念；平行线的定义和平行公理及推论进行判断.【详解】A、由直线公理可知，过两点有且只有一条直线，故本选项正确；B、平角是有公共端点是两条射线组成的图形，故本选项错误；C、同一平面内两条直线不相交就一定平行，故本选项错误；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误.故选：A .【点睛】本题属于综合题，考查了直线的性质：两点确定一条直线；角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.18 .下列说法错误的是( )A .对顶角相等B.两点之间所有连线中，线段最短C.等角的补角相等D.过任意一点P,都能画一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】A .根据对顶角的性质判定即可；B. 根据线段的性质判定即可；C. 根据补角的性质判定即可；D .根据平行公理判定即可 .【详解】A .对顶角相等，故选项正确；B. 两点之间连线中，线段最短，故选项正确；C•等角的补角相等，故选项正确；D .过直线外一点P,能画一条直线与已知直线平行，故选项错误•故选D.【点睛】本题分别考查了对顶角、邻补角的性质、线段的性质、余角、补角的关系及平行公理，都是基础知识，熟练掌握这些知识即可解决问题 .二、填空题19 . L i, 12, 13为同一平面内的三条直线，如果11与12不平行，12与13不平行，则11与13的位置关系是_______________ .【答案】相交或平行【解析】【分析】根据关键语句“若？有？不平行,??与?不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案.【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若？不平行，??与?3不平行，则?3可能相交或平行，故答案为：相交或平行•【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交20 •小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是_________________ （填序号）.①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边.【答案】①②③④【解析】【分析】根据平行线的判定进行判断即可•【详解】解：是平行线的是①②③④.故答案为：①②③④【点睛】本题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答21.如图，用符号表示下列两棱的位置关系.AB ___ A ' B AA ' __________ AB ; AD _____ B ' C【答案】// 丄 //【解析】【分析】根据题意，可由立体图形中的平行线的判定条件，以及垂直的判定条件进行分析，然后填空即可.【详解】解：由图可知，AB// A B', AA丄AB AD// B' C'【点睛】本题主要考查的是直线的位置关系•22 .如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________ 条.【答案】3【解析】【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行. 【详解】解：与AB平行的线段是：DC EF;与CD平行的线段是：HG所以与AB线段平行的线段有：EF、HG DC.故答案是：EF、HG DC【点睛】本题考查了平行线•平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.23 .如图所示，用直尺和三角尺作直线AB , CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ________ .【答案】平行【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行判断.【详解】如图，C 亠丘D根据题意，/ 1与/ 2是三角尺的同一个角,所以/仁/2,所以，AB // CD （同位角相等，两直线平行）故答案为：平行.【点睛】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键.24 .在如图的长方体中，与棱AB平行的棱有 ________________________________________;与棱AA'平行的棱有DD , BB , CC解析】【分析】根据平行的定义，结合图形直接找出和棱AB平行的棱，与棱AA平行的棱即可.【详解】由图可知，和棱AB平行的棱有CD , AB', CD；与棱AA 平行的棱有DD ，BB ，CC .故答案为：CD , A B , C D ；DD , BB , CC .【点睛】本题考查了认识立体图形的知识点,熟练掌握平行的定义是本题解题的关键.25．在同一平面内，直线AB 与直线CD 满足下列条件，则其对应的位置关系是（1）___________________________________________________________________ 若直线AB与直线CD没有公共点，则直线AB与直线CD的位置关系为______________________________ ；（2）直线AB 与直线CD 有且只有一个公共点，则直线AB 与直线CD 的位置关系为_______________ 【答案】平行；相交.【解析】【分析】根据“在同一平面内,两条直线的位置关系是：平行或相交.平行没有公共点,相交只有一个公共点”即可推出本题答案.【详解】在同一平面内，直线AB与CD满足下列条件，则其对应的位置关系是：（1）若AB与CD没有公共点，则AB与CD的位置关系是平行；（2 ）若AB与CD有且只有一个公共点，则AB与CD 的位置关系为相交• 故答案为：（1）平行；（2）相交.【点睛】本题考查了直线的位置关系,熟练掌握判定方法是本题解题的关键.三、解答题26 .把图中的互相平行的线段用符号“//”写出来，互相垂直的线段用符号“丄”写出来：【解析】【分析】根据平行线和垂直的定义即可解答.【详解】解：如图所示，在长方体中：互相平行的线段：AB// CD EF// GH MN PQ互相垂直的线段：AB丄EF, AB丄GH CDL EF, CDL GH【点睛】本题考查了平行线和垂直的定义，理解定义是解题的关键•27 .如图，过点0 '分别画AB , CD的平行线.【答案】详见解析•【解析】【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和O点重合，过O点沿三角板的直角边画直线即可.【详解】解：如图，本题考查了学生利用直尺和三角板作平行线的能力28 •如图，按要求完成作图⑴过点P作AB的平行线EF；(2) 过点P作CD的平行线MN ;(3) 过点P作AB的垂线段，垂足为G.【点睛】【答案】作图见解析【解析】【分析】利用题中几何语言画出对应的几何图形.【详解】如图，本题考查了平行线的作法和作垂线的步骤.29 •我们知道相交的两条直线的交点个数是 1 ;两条平行线的交点个数是0;平面内三条平行线的交点个数是0,经过同一点的三条直线的交点个数是 1 ;依此类推(1) 请你画图说明平面内五条直线最多有几个交点.(2) 平面内五条直线可以有4个交点吗？如果可以，请你画出符合条件的所有图形；如果不可以，请说明理由.(3) 在平面内画出10条直线，使交点个数恰好是31.【答案】(1)平面内五条直线的交点最多有10个，⑵五条直线可以有4个交点，⑶答案不唯一•【解析】【分析】(1)直接让五条直线中的任意两条互相相交即可；(2)不妨先让其中的四条直线相交得到3个交点，然后再使最后一条直线，与其中任意一条相交且与之前的交点不重合即可，接下来自己试着想想还有哪些画法；(3)结合已知，禾U用平行线的性质画出图形即可【详解】解：(1)平面内五条直线的交点最多有 10个，如图①.(2)五条直线可以有4个交点，如图②(a // b// c // d),图③(AD // BC , AB // DC)，图④(a // b).團② 関③(3) 答案不唯一，如图， a / b / c / d / e , f // g // h , l // m.【点睛】此题考查平面内不重合直线的位置关系， 解答时要分各种情况解答, 的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面.30 •如图，在方格纸上：(1)已有的四条线段中，哪些是互相平行的？⑵过点M 画AB 的平行线.⑶过点N 画GH 的平行线.37T~/ 、A7 D 、M / 7~■【答案】(1)AB // CD ； (2)画图见解析；⑶画图见解析【解析】【分析】(1) 根据图形可观察出互相平行的线段.(2) 过点M 画AB 的平行线.(3)过点N 画GH 的平行线.要考虑到可能出现【详解】(1)由图形可得：AB // CD .⑵(3)所画图形如下：本题考查了平行线的判定方法及过一点作平行线的知识, 的判定方法及作图的基本步骤.【点睛】 属于基础题， 主要掌握平行线。
平行与相交习题(附答案)
相交线与平行线测试卷（一）一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线。
B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P•到L的距离一定是1。
C．相等的角是对顶角。
D．钝角的补角一定是锐角.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对(1) (2) (3)3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°则∠2等于（）A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c。
B．a⊥b，b⊥c。
C．a⊥c，b∥c。
D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）、（2） B．（1）、（3）C．（1）、（4） D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）A．∠1与∠5，∠2与∠6。
B．∠3与∠7，∠4与∠8。
C．∠2与∠6，∠3与∠7。
D．∠1与∠5，∠4与∠88．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，•则∠2的度数为（）A．36° B．54° C．45° D．68°(4) (5) (6)9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，•则符合条件的直线L的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（• ）A．65° B．80° C．100° D．115°11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）A．30°B．70°C．30°或70° D．100°二、填空题13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．•如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥_____,（___________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（__________）16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，•∠BOC=___度．17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．（7）（8）18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度19．如图9，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°，•则∠2=_______度．（9）（10）20．如图10，∠ABD=•∠CBD，•DF•∥AB，•DE•∥BC，•则∠1•与∠2•的大小关系是________．三、解答题22．如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B•′有什么关系？为什么？23．如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．24．如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA平分∠EBF的道理．25．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB 于E，且∠1=∠2，•∠3=80°．求∠BCA的度数．26．如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．1、∵直线AB、CD相交于点O，∴∠AOC和∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD.∵∠AOC+∠BOD=240°，∴∠AOC=∠BOD=120°.又∵∠AOC和∠BOC是邻补角，∴∠BOC=180°-∠AOC，∴∠BOC=60°..2、[点拨] 观察图形,∠AOF与∠BOF是邻补角,∠BOF 与∠AOE是对顶角,利用它们的性质可求出∠EOC的度数.[解答] 设∠BOF=x,则∠AOF=3x,∵∠AOF+∠BOF=180°∴x+3x=180°∴x=45°,即∠BOF=45°∴∠AOE=∠BOF=45°∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°.[方法规律] 通过设未知数列方程求解,是求角的度数一种常用的方法.3、[点拨]过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线反向延长线或在线段的延长线上.本题垂足分别在射线OB的反向延长线上和线段AO的延长线上.[解答]如图5.1.2-3所示，直线AE为过点A与OB垂直的直线，垂足为E；直线BD为过点B与OA垂直的直线，垂足为D.图5.1.2-3[方法规律] ①所有的垂足都要作垂直标记；②垂线画实线，延长线画虚线.5、 [方法规律] 判断两条直线平行要抓住两个关键一个前提.两个关键：一是“在同一平面内”；二是“不相交”. 一个前提：两条直线.6、[点拨]运用平行公理的推论加以判断.[解答]因为a∥b，b∥c，所以a∥c，又因为c∥d，所以a∥d.[方法规律] 对于n条直线l1，l2，l3…l n，若l1∥l2，l2∥l3，…，l n-1∥l n，那么这n条直线互相平行.7、[点拨]由∠1=∠2，及角平分线定义，可得∠EAQ=∠ABN，从而可证PQ∥MN.[解答] ∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠1=12∠EAQ，∠2=12∠ABN∵∠1=∠2，∴∠EAQ=∠ABN∴PQ∥MN[方法规律]本题不能直接判定PQ∥MN，要经过转化才能成为直接条件.8、[点拨]从标出的3个角可知：∠1与∠3是同位角，若∠1=∠3，则AB∥CD，由图可知，∠1+∠2=180°，已知∠2=3∠1，故可求出∠1，又由∠1+∠3=90°，可求出∠3.[解答] ∵∠1+∠2=180°，∠2=3∠1∴∠1+3∠1=180°，∴∠1=45°∵∠1+∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1=∠3，∴AB∥CD.[方法规律] 利用角的关系和邻补角定义，求角定线.9、点拨] ∠1和∠3，∠2和∠3分别是l1与l3被l 所截而成的内错角及l2与l3被l所截而成的同旁内角，若它们满足平行的判定条件再由平行公理推论即可得到l1∥l2.[解答] ∵∠1=∠3=80°∴l1∥l3∵∠2=100°∴∠2+∠3=180°∴l2∥l3∴l1∥l2[方法规律] 这里l3为l1与l2平行架起了桥梁，这就是转化，它为已知与求证结论铺平了道路[点拨] ∠1与∠3是AD、DC被AC所截的同旁内角，由∠1=∠3并不能推出两条直线平行，但∠2=∠1所以能代换得到∠2=∠3，这时∠2与∠3是AB与DC被AC所截得的内错角，由内错角相等可推出AB∥CD.10、[解答]由已知条件可判断AB∥CD，理由如下：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠1=∠2（角平分线定义）.又∵∠1=∠3（已知），∴∠2=∠3（等量代换）.∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).[方法规律] 要判断两条直线平行，得寻找同位角、内错角相等或同旁内角互补.[点拨] 本题直接求∠C不容易,如果过点C作FC∥AB,就可以把问题转化为求已知的∠B及∠D的同旁内角,进而求得∠C.11、[解答] 过点C作FC∥AB,∵AB∥ED，∴FC∥ED，∴∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180°，∴∠1+∠2+∠B+∠D=360°.∵∠B=140°，∠D=120°,∴∠1+∠2=360°-140°-120°=120°[方法规律]此类题型，一般都是过拐点作已知直线的平行线，从而把未知问题转化为已知问题.12、点拨]利用对顶角相等，转化为同旁内角互补，得l1∥l2，再根据平行性质和对顶角相等即可求出∠4的度数.[解答]∵∠1=60°，∠2=120°，∴∠1+∠2=180°∵∠1=∠6，∴∠6+∠2=180°，∴l1∥l2∴∠7=∠3=70°,∵∠4=∠7,∴∠4=70°.[方法规律]本题的切入点是对顶角相等，再根据平行的判定和性质，可求出∠4的度数.点拨] 由∠2=∠EBD，∠1=∠2，得∠1=∠EBD，从而得FG∥CD，再由平行线的性质和∠3=55°，可求出∠4的度数.[解答] ∵∠2=∠EBD，∠1=∠2，∴∠1=∠EBD∴GF∥CD，∴∠4=∠ABD∵∠3=55°，∴∠ABD=125°，∴∠4=125°，∴选D.13、[方法规律]本题综合运用了平行线的判定和性质，在解题过程中应由未知想已知，不断促使问题的转化.[点拨]由CD⊥AB，EF⊥AB，得DC∥EF，从而得∠1=∠BCD，再由∠1=∠2，可得DG∥BC.[解答] DG∥BC.∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠EFB=90°∴CD∥EF.（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BCD.（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BCD.∴DG∥BC.（内错角相等，两直线平行）[方法规律]本题抓住垂直证平行，促使已知条件向未知条件转换.相交线平行线答案1．D2．D 点拨：图中的邻补角分别是：∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOE与∠AOE，∠BOD与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共6对，故选D．3．D 4．C 5．C 6．A7．C 点拨：本题的题设是AB∥CD，解答过程中不能误用AD∥BC这个条件．8．B 点拨：∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．∵ED平分∠BEF，∴∠BED=12∠BEF=54°．∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故选B．9．C 点拨：如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略．10．B11．D 点拨：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．故选D．12．C 点拨：由题意，知,230A BA B∠=∠⎧⎨∠=∠-︒⎩或180,230A BA B∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩解之得∠B=30°或70°．故选C．13．120°14．（1）BC；同位角相等，两直线平行（2）CD；内错角相等，两直线平行（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行15．（2），（3），（5）16．115；65点拨：设∠BOC=x°，则∠AOC=x°+50°．∵∠AOC+∠BOC=180°．∴x+50+x=180，解得x=65．∴∠AOC=115°，∠BOC=65°．17．145°18．10219．133点拨：如答图，延长AB交L2于点F．∵L1∥L2，AB⊥L1，∴∠BFE=90°．∴∠FBE=90°-∠1=90°-43°=47°．∴∠2=180°-∠FBE=133°．20．∠1=∠221．解：如答图，由邻补角的定义知∠BOC=100°．∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，。
专题训练 平行线培优习题
C. 45° D. 30°
5、如图8所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF=度。
6、如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=_________．
7、（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=．
14
（
（
15、如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点， 于E， ，交AG于F．
求证： ．
16．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度。
专题训练平行线培优习题
一、基础过关
1、（2011四川泸州）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4 的度数是（ ）
A.4 5°B.55°C.65°D.75°
2、如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°则∠3 = _______________.
3、下列四个图形中 大于 的是（ ）
4、将一副三角板按图中的方式叠放，则∠ 等于
17、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为 .(1)求证: ∠ACD=30°；(2)DE的长度.
18、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．
（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
（D）l1和l2的距离为2
平行的判定和性质专题及答案
平行的判定和性质专题平行的判断方法及性质汇总：一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面专题训练一．选择题：1．两直线a, b平行于平面α，那么a, b的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面2．两条直线a//b，b在平面α内，则a与α的位置关系是C（A）a//α（B）a与α相交（C）a//α或a在α内（D）a在α内3．直线l与平面α平行，在平面α内，与l平行的直线有 C（A）1条（B）2条（C）无数条（D）n条(n是一正整数)4．若一直线和一平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在的直线的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面5．若a, b是异面直线，a//平面α，那么b与α的位置关系是 D（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不确定6．若直线a//平面α，且点A∈α，则过点A且a与平行的直线 B（A）只有一条，但不一定在α内（B）只有一条，且在α内（C）有无数条，但都不在α内（D）有无数条，且都在α内7.能够保证直线a∥平面β的条件是…………………………………（C ）（A）β⊂b，a∥b （B）a∥b∥c，β⊂b，β⊂c（C）β⊄a，β⊂b，a∥b （D）β⊂b，BDACbDCaBA=∈∈,,,,8．如果l∥α，则l平行于α内的（ B ）（A）全部直线（B）过l的平面与α的交线（C）任一直线（D）唯一确定地直线9.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 C(A)平行(B)相交(C)平行或相交(D)无法确定10．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ D ）(A)α、β都垂直于平面γ(B)α内不共线的三个点到β的距离相等(C)l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β(D)l、m是两异面直线且l∥α，m∥α，且l∥β，m∥β11．若两条直线m, n分别在平面α、β内，且α//β，则m, n的关系一定是（D ）（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行或异面12．已知直线l和平面α：（1）若直线l与平面α内无数条直线平行，则l//α；（2）若直线l与平面α内任意一直线都不平行，则直线l与平面α相交；（3）若l⊄α，则直线l与平面α内某些直线平行；（4）若直线l∩平面α=A，则存在α内的直线b，使b⊥l. 其中正确命题的个数是 C（A）0 （B）1 （C）2 （D）313．能保证直线a与平面α平行的条件是 A（A）a⊄α, b⊂α, a//b （B）b⊂α, a//b（C）b⊂α, c//α, a//b, a//c （D）b⊂α, A∈a, B∈a, C∈b, D∈b, 且AC=BD14．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是 B（A）α内的所有直线与m异面（B）α内不存在与m平行的直线（C）α内存在惟一的直线与m平行（D）α内的直线与m都相交15．如果两条直线a//b，且直线a//平面α，则b与α的位置关系是 D（A）相交（B）b//α （C）b⊂α （D）b//α或b⊂α16．设直线a与平面M平行，则必有 D（A）在平面M内不存在与a垂直的直线（B）在平面M内存在与a垂直的惟一直线（C）在平面M内有且只有一条直线与a平行（D）在平面M内有无数条直线与a平行17．已知∠ABC=90°，BC//平面M，AB与平面M斜交，那么∠ABC在平面M内的射影是B（A）锐角（B）直角（C）锐角或直角（D）锐角或直角或钝角18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是AA1与AB的中点，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则EF与BO1所成的角为 A（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°19．已知A, B, C, D是空间不共面的四点，它们到平面α的距离之比依次为1 : 1 : 1 : 2，则满足条件的平面α的个数是 C（A）3 （B）4 （C）7 （D）820．下列命题中正确的是 C（A）经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个（B）若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行（C）若a, b是异面直线，则一定存在平面α与a, b所成的角相等（D）与两条异面直线都平行的平面只有一个二．填空题：1．过直线外一点且与这条直线平行的平面有无数个。
平行线的性质专项练习60题有答案
平行线的性质专项练习60题（有答案）1．如图，AB∥CD，证明：∠A=∠C+∠P．2．如图，已知AB∥ED，∠1=35°，∠2=80°，求∠ACD的度数．3．已知：如图所示，直线AD∥BC，AD平分∠CAE，求证：∠B=∠C．4．已知∠E=∠F，AD∥EF，问：AD是∠BAC平分线吗？为什么？5．如图所示，AB∥CD，∠3：∠2=3：2，求∠1的度数．6．如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，求证：EG⊥FG．7．如图所示，AB∥DF，DE∥BC，∠1=65°，求∠2，∠3的度数，并说明理由．8．已知AB∥CD，FE⊥AB交AB于G点，∠GEH=138°，求∠EHD的度数．9．如图，AD∥BC，∠B=25°，∠C=30°，求∠EAC的度数．10．如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，求∠BCD度数．11．如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，说明AE⊥CE．12．如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=55°，∠CEF=150°，求∠BCE的度数．13．如图，DE∥BC，∠D：∠DBC=2：1，∠1=∠2，求∠DEB的度数．14．已知：如图AB∥CD，EF⊥AB于E，FH交CD于H，∠CHG=130度．求∠EFH度数．15．已知：如图，AC∥BD，∠A=∠D，求证：∠E=∠F．16．已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF=90°．17．如图，已知AB⊥AC，垂足为A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2与∠B的度数．18．如图所示，AB∥CD，若∠B=45°，∠D=20°，求∠1的度数．19．如图，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长=10，求BC的长．20．如图，若AB∥CD，∠C=60°，求∠A+∠E的度数．21．如图所示，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠B=55°，求∠D的度数．22．如图所示，已知∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC，求∠BOC的度数．23．已知：如图所示，AB∥CD，∠B=120°，CA平分∠BCD．求证：∠1=30°．24．如图，AB∥CD，∠A=40°，∠C=65°，求∠E的度数．25．如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．26．如图，点A在直线MN上，且MN∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．27．已知：如图，OP平分∠AOB，MN∥OB．求证：∠1=∠3．28．如图所示，AB∥CD，∠1=55°，∠D=∠C，求出∠D，∠C，∠B的度数．29．已知，如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠A=120°，且BD⊥CD，求∠C的度数．30．如图，已知直线AB∥CD，直线m与AB、CD相交于点E、F，EG平分∠FEB，∠EFG=50°，求∠FEG的度数．31．如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，∠D=52°，求∠BOE的度数．32．如图所示，直线l1∥l2，∠A=90°，∠ABF=25°，求∠ACE的度数．33．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠D=∠C，求∠D、∠C、∠B的度数．34．如图，CD∥AB，CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．35．如图：a∥b，∠1=122°，∠3=50°，求∠2和∠4的度数．36．如图，已知AB∥CD，∠1=50°，BD平分∠ADC，求∠A的度数．37．已知，如图所示，DE∥BC，BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∠AED=72°，求∠CEB的度数．38．如图，若AB∥EF，∠C=90°，求x+y﹣z度数．39．如图，已知AB∥DE，∠B=70°，CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数．40．如图，DE∥AB，∠1=∠2，那么∠A=∠3吗？说明理由．41．如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．42．已知：如图AB∥CD，∠1=∠A，∠2=∠C，B、E、D在一条直线上．求∠AEC的度数．43．已知：如图，直线l1∥l2，AB⊥l1垂足为O，BC与l2相交于点D，∠1=43°，求∠2的度数．44．如图，直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数．45．如图所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．46．如图AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C的度数，并说明理由．47．已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．求证：∠A=∠B．48．如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于F，∠1+∠2=90°，试问：直线AB、CD在位置上有什么关系？∠2与∠3在数量上有什么关系？49．如图，已知直线AB∥CD，直线GH分别与直线AB、CD交于点E、G，直线CF交直线GH于点F，已知∠CFG=30°，∠HEB=50°，求∠FCG的度数．50．如图，AB∥CD，BC∥ED，求：∠B+∠D的度数．51．如图，已知AB∥CD，∠B=∠DCE，求证：CD平分∠BCE．52．如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．53．如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明AE=BE．54．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED的度数．55．如图，CD⊥AB，DE∥AC，EF⊥AB，EF平分∠BED，求证：CD平分∠ACB．56．如图，△ABC中，EB平分∠ABC，EC平分△ABC的外角∠ACG，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，求证：DB﹣CF=DF．57．已知：如图所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA=52°，求∠BEF的度数．58．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．59．如图，已知DE∥AB，DF∥AC，∠EDF=85°，∠BDF=63°．（1）∠A的度数；（2）∠A+∠B+∠C的度数．60．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠EFD=56°，求∠EGD的度数．11 / 17第11页共17 页平行线的性质60题参考答案：1．∵AB∥CD，∴∠A=∠PED，（两直线平行，同位角相等）又∠PED为△PCE的外角，∴∠P+∠C=∠PED，∴∠P+∠C=∠A．2．解法一：过C点作CF∥AB，则∠1=∠ACF=35°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥ED，CF∥AB（已知），∴CF∥ED（平行于同一直线的两直线平行）∴∠FCD=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°（两直线平行，同旁内角内角互补）∴∠ACD=∠ACF+∠FCD=35°+100°=135°；解法二：延长DC交AB于F∵AB∥ED（已知），∴∠BFC=∠2=80°（两直线平行，内错角相等），∵∠ACF=∠BFC﹣∠1=80°﹣35°=45°（三角形一个外角等于它不相邻的两个内角的和）∴∠ACD=180°﹣∠ACF=180°﹣45°=135°（1平角=180°）．解法三：延长AC、ED交于F∵AB∥ED，∴∠DFC=∠1=35°∵∠CDF=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°∴∠ACD=∠CDF+∠DFC=100°+35°=135°．3．∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD，∠B=∠DAE，又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，即∠C=∠B．4．∵AD∥EF（已知）∴∠BAD=∠E（两直线平行，同位角相等）∠DAC=∠F（两直线平行，内错角相等）∵∠E=∠F（已知）∴∠BAD=∠DAC（等量代换）∴AD是∠BAC的平分线．5．设∠3=3x，∠2=2x，由∠3+∠2=180°，可得3x+2x=180°，∴x=36°，∴∠2=2x=72°；∵AB∥CD，∴∠1=∠2=72°6．∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠1=∠BEF，∠2=∠EFD，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD）=×180°=90°，在△EFG中，∠G=180°﹣∠1﹣∠2=90°，∴EG⊥FG．7．∵DE∥BC，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=65°，∴∠2=115°；∵AB∥DF，∴∠3=∠2=115°．8．如图，过点E作EP∥AB，而AB∥CD，则EP∥CD，∴∠FEP=∠FGB，∵EF⊥AB，∴∠FGB=90°，∵∠GEH=138°，∴∠PEH=138°﹣90°=48°∵EP∥CD，∴∠EHD=180°﹣∠PEH=132°9．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=25°，∠DAC=∠C=30°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°+30°=55°．10．∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣65°=115°，∵AC⊥BC，∴∠BCD=115°﹣90°=25°．11．过点E作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE=45°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE=45°，∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，∴AE⊥CE．12．∵AB∥CD，∠ABC=55°，∴∠BCD=∠ABC=55°，∵EF∥CD，∴∠ECD+∠CEF=180°，∵∠CEF=150°，∴∠ECD=180°﹣∠CEF=180°﹣150°=30°，∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD=55°﹣30°=25°，∴∠BCE的度数为25°．13．设∠1为x，∵∠1=∠2，∴∠2=x，∴∠DBC=∠1+∠2=2x，∵∠D：∠DBC=2：1，∴∠D=2×2x=4x，∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC=180°，即2x+4x=180°，解得x=30°，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠1=30°．14．∵EF⊥AB于E，MN∥AB∴EF⊥MN即∠EFM=90°．∵MN∥CD∴∠NFH=∠GHD=180°﹣130°=50°∴∠EFH=∠EFM+∠NFH=90°+50°=140°．15．∵AC∥BD，∴∠1=∠2．又∵∠A=∠D，∠A+∠1+∠E=180°，∠D+∠2+∠F=180°，∴∠E=∠F．16．∵HG∥AB（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），又∵HG∥CD（已知），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵EG平分∠BEF（已知），∴∠1=∠BEF（角平分线的定义），又∵FG平分∠EFD（已知），∴∠2=∠EFD（角平分线的定义），∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=90°（等量代换）即∠EGF=90°17．∵AD∥BC，∴∠2=∠1=30°，∵AB⊥AC，∴∠B=90°﹣∠2=60°．18．过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠BEF=45°，∠DEF=∠D=20°，∴∠1=∠BEF+∠DEF=45°+20°=65°．19．∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∵OE∥AB，OF∥AC，13 / 17第13页共17 页∴∠1=∠3，∠4=∠6，∴BE=OE，OF=FC，∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，∵△OEF的周长=10，∴BC=10．20．∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠EFB=∠C=60°；∵∠EFB=∠A+∠E，∴∠A+∠E=60°．21．∵AB∥CD，∴∠C=∠B．∵∠B=55°，∴∠C=55°．∵BC∥DE，∴∠C+∠D=180°，即∠D=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．22．∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×60°=30°．∴∠EOB=25°，∠FOC=30°．又∵∠EOB+∠BOC+∠FOC=180°，∴∠BOC=180°﹣∠EOB﹣∠FOC=180°﹣25°﹣30°=125°23．∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=120°，∴∠BCD=60°；又∵CA平分∠BCD，∴∠2=30°，∵AB∥CD，∴∠1=∠2=30°24．∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=65°，∵∠EFB=∠A+∠E，∴∠E=∠EFB﹣∠A=65°﹣40°=25°．25．∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∴∠DCB=∠ACD=20°，又DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=20°，在△BCD中，∵∠B=70°，∴∠BDC=90°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为20°、90°26．∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC，∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°27．∵OP平分∠AOB，（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵MN∥OB（已知）∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠1=∠3（等量代换）．28．∵AB∥CD，∴∠D=∠1=55°，∵∠C=∠D，∴∠C=55°；∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．29．∵AD∥BC，∴∠ABC=180°﹣∠A=60°，∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB=∠2=30°，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∠C=180°﹣（30°+90°）=60°，故∠C的度数为60°．30．∵AB∥CD（已知）∴∠EFG+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFG=50°（已知）∴∠FEB=130°（等式的性质）∵EG平分∠FEB（已知）∴∠FEG=∠FEB=65°（角平分线的定义）．31．∵CD∥AB，∴∠BOD=∠D=52°；∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°32．如答图所示，∵L1∥L2，∴∠ECB+∠CBF=180°．∴∠ECA+∠ACB+∠CBA+∠ABF=180°．∵∠A=90°，∴∠ACB+∠CBA=90°．又∠ABF=25°，∴∠ECA=180°﹣90°﹣25°=65°33．∠D=∠C=45°，∠B=135°．理由：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=45°（两直线平行，同位角相等）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠D=∠C=45°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣45°=135°．34．∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD=180°，又∵CD∥EF，∴∠E=∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=75°﹣51°=24°．35．∵a∥b，∠1=122°，∴∠2=∠5=180°﹣∠1=180°﹣122°=58°；∵a∥b，∠3=50°，∴∠3=∠6=50°；又∵∠6=∠4，∴∠4=50°．36．∵BD平分∠ADC，∴∠CDB=∠1=50°，∠ADC=100°，又AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°，∴∠A=80°．37．∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=72°，∵BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EBC=∠ABC=×72°=36°，在△BEC中，∠CEB=180°﹣72°﹣36°=72°38．如图，过点C、D分别作CM、DN平行于AB、EF，则x=∠5，4=∠3，1=∠z，又∠1+∠3=y，∠4+5=90°，即x+∠4=90°，又∠4=∠3=y﹣∠1=y﹣z，∴x+y﹣z=90°39．∵AB∥DE，∠B=70°，∴∠DCB=180°﹣∠B=180°﹣70°=110°，∠BCE=∠B=70°，∵CM平分∠DCB，∴∠BCM=∠DCB=×110°=55°，∵CM⊥CN，垂足为C，∴∠BCN=90°﹣∠BCM=90°﹣55°=35°，∴∠NCE=∠BCE﹣∠BCN=70°﹣35°=35°．40．∠A=∠3．理由如下：∵DE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠A=∠341．∵DB∥FG∥EC，∴∠BAG=∠ABD=84°，∠GAC=∠ACE=60°；∴∠BAC=∠BAG+∠GAC=144°，∵AP是∠BAC的平分线，∴∠PAC=∠BAC=72°，∴∠PAG=∠PAC﹣∠GAC=72°﹣60°=12°42．过E作EF平行于AB，则EF∥CD，∵AB∥EF，∴∠A=∠AEF=∠1，∵CD∥EF，∴∠C=∠FEC=∠2，∵∠BED=180°，∴∠1+∠AEF+∠FEC+∠2=180°，即∠AEF+∠CEF=°=90°．43．解法一：延长AB交l2于点E．∵AB⊥l1，l1∥l2，∴AB⊥l2．∵∠2是△BED的外角，∴∠2=90°+∠1=90°+43°=133°．解法二：过点B作BF∥l1，利用平行线的性质求出∠2的度数．∵l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠ABF=180°﹣90°=90°，∠FBC=∠1=43°，∴∠2=∠ABF+∠FBC=90°+43°=133°．15 / 17第15页共17 页44．∵AB∥MN（已知）∴∠BCD+∠CDN=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵CG、DG是角平分线∴∠1=∠BCD，∠2=∠CDN（角平分线定义）∴∠1+∠2=90°∵∠1+∠2+∠CGD=180°（三角形内角和等于180°）∴∠CGD=90°45．由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°，∠BEF=∠BEC=40°，∴∠BEG=90°﹣∠BEF=50°，∠DEG=∠BED﹣50°=50°．∴∠BEG和∠DEG都为50°46．∵∠AEF=125，∴∠CEA=55°∵AE∥BD，∠CDB=∠CEA=55°，在△BCD中，∵∠CBD=57°，∴∠C=68°．47．∵CE是∠DCB的角平分线，∴∠1=∠2．∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，∴∠A=∠B．48．AB∥CD，∠2+∠3=90°．理由如下：∵BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2．∵∠2+∠1=90°，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴AB∥CD．∴∠3=∠ABF．∵∠1=∠ABF，∠2+∠1=90°．∴∠2+∠3=90°．49．由题意可知，AB∥CD，∠HEB=50°，∴∠FGD=50°，又∵∠CFG=30°，∴∠FCG=20°50．∵AB∥CD，BC∥ED，∴∠B=∠C，∠C+∠D=180°，∴∠B+∠D=180°．51．∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠BCD（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠DCE（已知），∴∠BCD=∠DCE（等量代换）即CD平分∠BCE．52．∵AB∥CD，∠B=40°，∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°，∵CN是∠BCE的平分线，∴∠BCN=∠BCE=×140°=70°，∵CM⊥CN，∴∠BCM=20°53．∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∴AE=BE．54．如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；又∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°．55．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BCD=∠BEF，∠DEF=∠CDE；∵DE∥AC，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ACD=∠DEF；∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BEF，∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB56．∵EB平分∠ABC，EC平分∠ACG，∴∠DBE=∠CBE，∠FCE=∠GCE，∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠FEC=∠GCE，∴∠DEB=∠DBE，∠FEC=∠FCE，∴DB=DE，FE=FC，∵DE﹣EF=DF，∴DB﹣CF=DF57．∵AB∥CD，（已知）∴∠GFC=∠GMA．（两直线平行，同位角相等）∵∠GMA=52°，（已知）∴∠GFC=52°．（等量代换）∵CD是直线，（已知）∴∠GFC+∠GFD=180°．（邻补角定义）∴∠GFD=180°﹣52°=128°．（等式性质）∵EF平分∠GFD，（已知）∴∠EFD=∠GFD=64°．（角平分线定义）∵AB∥CD，（已知）∴∠BEF+∠EFD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠BEF=180°﹣64°=116°．（等式性质）答：∠BEF=116°58．∵∠BAP+∠APD=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠FPA=∠EAP，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）．∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．59．（1）∵DF∥AC，∴∠EDF=∠DEC=85°．∵DE∥AB，∴∠A=∠DEC=85°．（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠EDC=∠B，∠BDF=∠C，又∠A=∠EDF，∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠EDC+∠BDF=180°．60．∵AB∥CD，∠EFD=56°，∴∠BEF=180°﹣∠EFD=124°；∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEF=62°；∵∠EGD=∠1+∠EFD，∴∠EGD=118°17 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